在线教育下大学数学课程浅析

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摘要：在大学课程中，“线性代数”“运筹学”等数学课程具有概念抽象、理论性强、应用广泛等特点，对学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、应用实践能力的培养具有不可替代的作用。随着社会信息的快速更新，在未来的人才需求中，自学能力是一个至关重要的要素。通过将雨课堂等现代教育技术有效融入“线性代数”“运筹学”等大学数学课程的课前预习活动，可以使得过去人们熟悉的预习活动各环节变得可调、可控、可评，让学生在课堂上听讲更轻松、课程学习效果更好，有力培养学生的自学意识与能力。

关键词：预习；自学能力；大学数学课程；在线教育

“课前预习、课堂教学、课后复习”是众所周知的学习三环节。相对来讲，预习环节虽然早就被学者屡次提及[1-2]，但教学实践中学生预习效果并不如人意。由于大学管理模式下课外时间一般由学生自主支配，课程教学过程中预习环节的实施往往更加薄弱。针对利用预习活动提高大学课程教学效果的问题，学者已经进行了大量的方法探索和机制研究[3-14]。近年来，随着网络教育技术的发展，人们借助诸如微课预习、在线预习等不同形式，在物理、化学、医学等理工科类，语文、英语等文科类的大学课程中对预习活动进行了研究探索，取得了一些不错的成果。随着社会信息的快速更新，未来的竞争主要体现在人才竞争方面，而人才的培养深度可以从逻辑推理能力、抽象思维能力、开拓创新能力、动手实践能力、专业学科素养、人文社会素养等不同层面进行描述。近年来，国家出台了一些涉及人才培养标准的导向文件，例如，2012年《教育部关于全面提高高等教育质量的若干意见》中提到“把促进人的全面发展和适应社会需要作为衡量人才培养水平的根本标准”[15]。除上述描述人才的培养标准之外，笔者认为自学能力也将是人才标准的一个至关重要的要素，具有足够自学能力的高校毕业生在未来诸多未知因素和挑战面前，会有更多的机遇获得更大的创新性成果。那么如何培养学生的自学能力呢？“宝剑锋从磨砺出”，理论越抽象、内容越难懂的课程，越需要课前预习，越能锻炼学生的学习意志和自学能力。“线性代数”等大学数学公共基础课程具有概念抽象、理论性强的特点；“运筹学”等大学数学专业课程具有逻辑性强、应用性广泛等特点。这些课程不但对学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、应用实践能力的培养具有不可替代的作用，而且对学生的自学能力培养以及自主管理意识提升也有重要的作用。为实现2020年春季的“停课不停教、停课不停学”，笔者曾综合应用雨课堂教学技术、微信平台等手段，圆满完成了在线课程教学任务，也在“线性代数”“运筹学”这些大学数学课程的线下教学中尝试性利用雨课堂平台深入开展课前预习活动。笔者发现在课程教学中借助雨课堂等在线教育平台开展预习等教学活动，可以实现以下目标：有效降低学生学习大学数学课程的难度，提高课程教学的针对性；确实提高学生的自学能力，激励学生养成自学的意识与习惯，使得预习的全过程可调、可控、可评估；增强教师对学生预习进度、预习效果的掌控，预习活动由此变得具有可操作性。本文结合已经开展的在线教学实践，对大学数学课程中的课前预习环节进行探讨。

一、明晰课程预习活动的开展意义

当前，在大学数学课程教学过程中，部分学生是在被动式学、灌输式听、应对式学习，这对人才培养的效率、学生主观能动性的发挥有一定限制作用。而预习环节，不管是主动式预习，还是引导式预习，甚至是任务式预习，可以在很大程度上提高学生的学习效率、主观能动性、自主学习能力。过去，由于缺乏足够的技术手段与平台，学生的预习程度、预习效果不方便进行督促、反馈与评估。现在，新兴的网络在线教育平台为有效开展课前预习提供了切实可行的技术与支持。为了在大学数学课程中实施有效的预习活动，一方面，需要让学生在课程教学周期中能切实将时间精力投入到预习过程中，真正意识到预习的价值与作用，使其内心对预习是接纳、乐意参与的，而不是抱着任务式、对付式的心态。另一方面，需要让教师意识到积极部署预习活动的价值。预习的目的：一是培养学生的自学能力，提升在未来工作生活中面对信息态势千变万化时的应对能力；二是让学生对下一次课的内容有一个大概了解，从而使学生在课堂上听讲能“有的放矢”，可以有选择性地去听，使听课变得更轻松愉快、更有效果；三是有利于教师及时把握学生的预习进度、自学能力的强弱以及自学习惯养成的程度。

二、营造预习行为习惯的养成氛围

对于高校学生来说，如果某门课程偶尔布置一两次预习任务，他们一般还是能够自觉完成或者接近完成，即使遇到一些困难也能克服。但是由于学生的课余时间往往面临课外任务的多重性（例如，军队院校学生每天课后还需要进行大量的体能训练等）、自由支配随意性、手机游戏诱惑性等特点，从而导致他们在校期间要想养成预习的行为习惯，还需要外界的干预、督促与监督。教师通过营造预习的氛围并加以约束，使得学生在多次不得不进行预习的外界干预下养成一种愿意参与预习的心态，甚至产生期待预习的欲望。同时，教师需要借助奖惩举措让学生体会到预习的长期效益和短期回报，体会到不进行预习的后果。在雨课堂的预习作业中，简单直接的方法就是给每次预习任务的每个题设置一定的分值（选择题设为1分或2分，主观题设为3分或4分），从而每次预习任务的截止时间之后，每个学生会有预习得分，一个学期结束后，每个学生会有该学期的预习总分。根据最新教学大纲要求，军队院校大多数课程的考核成绩由形成性考核成绩和终结性考核成绩按一定比例折合而成。学生在课程预习环节的表现就可以作为形成性考核的一个方面，在笔者主讲的大学数学课程中，就是将上述预习总分作为一个重要依据直接计算形成性考核成绩的。通过这些举措，可以在一定程度上对学生的预习活动起到有效的监督和奖惩作用，营造预习氛围，进而养成学生的预习习惯。

三、设定课程预习活动的运行机制

（一）预习时长的设置

在预习过程中，有多个时间节点需要精心设定，只有这些时间节点控制得好，预习过程才能与后面的课堂教学、课后复习等环节形成有力的闭环。在布置预习任务时，应根据授课进度同步、定时布置，每次课都需要布置，做到中途不间断；为了保证学生在各种突发性任务之外有足够的时间进行预习，最好是在本次课完成后的当天布置下一次课的预习任务。在雨课堂的预习题布置过程中，需要设置“截止时间”，一般将下次上课前20~30分钟设为截止时间最好，这样可以避免极少数学生在下次课前一刻忙于赶作业的现象。在雨课堂的预习题布置页面有“公布答案时间”功能，可以设为与截止时间相同，从而可以避免先提交作答的学生得到的答案提示对其他学生的影响。

（二）预习效果的检验

预习既要看过程，也要看效果。一般来说，学生通过第一遍自学能掌握一些概念、定理，但有些概念、定理的掌握更多是停留在字面上，属于浅层次的。为了对预习效果进行检验，教师需要结合课堂教学进度，就一些概念和定理，编写部分与预习题型类似的题目到课堂练习，一方面可对预习的效果进行检验，另一方面也可让学生在课堂练习中加深对知识的理解和掌握，对原来的认知和理解偏差进行“拨乱反正”，另外还可通过“反差”式教育让学生意识到自己与他人的差距，调整心态，激发学生希望参与预习、迎接下次检验的挑战心理，从而实现让学生变被动式学习、强迫式预习为主动式预习、期待式预习的目的。

（三）预习任务的提醒

俗话讲“千年磨一剑”，要想养成良好的预习行为习惯需要日复一日、年复一年的练习。由于大学生日常任务的多样性、发布预习作业时间点的波动性等原因，教师可以事先公布每次发布作业的固定时间点，但能进一步增强提醒作用的办法是在每次雨课堂布置完作业后，在班级微信群或QQ群发个通知，告知学生预习题目已经发布，并且需要告知学生应该预习完哪部分内容或者预习到哪一页，从而增强学生预习的针对性。当然，通过这些“全方位”“无微不至”的提醒环节，还可以进一步让学生意识到教师的良苦用心与无私付出，拉近师生距离，增进师生情谊。

（四）预习过程的指导

虽说预习活动的主体是学生，但教师的指导不可或缺。在预习过程中，学生并不只是把教材或者学习资料看一遍、了解一下那么简单。对于大学数学课程来说，真正的有效预习，从效果上看有“概念基本会讲、定理基本会证、方法基本会用”，从过程上看有“接触概念—理解概念—熟悉定理—运用方法”等多个步骤，在这些步骤中，教师既需要对学生提出总体要求和具体内容，让学生在预习过程中有目标、有危机感、有反馈；也需要对学生在预习相关课程内容时可能遇到的难点疑惑进行事先研判，并通过“微信群”“QQ群”等渠道进行针对性的、及时的辅导答疑。

四、预判成效，钻研课程预习题目要点

（一）注重概念的含义理解

学生在预习过程中，对数学课程的一些概念容易处于“似懂非懂”或“自以为懂”的状态，对概念的理解比较肤浅、停留在文字层面上，在这种情况下需要精心研制预习题，使其对预习起到引导作用。例如，针对“数域”这个概念，通常采用从有理数集、实数集、复数集再抽象到一般的数集的描述方式，但是学生容易对数域中元素关于加法、减法、乘法满足封闭性的含义理解不深刻，为了让学生达到理想的预习效果，在雨课堂的预习题中可以布置有较多候选项的多选题，这些候选项在“自然数集”“整数集”“有理数集”“无理数集”“实数集”“纯虚数集”“复数集”等常见数集之外，还可以列出诸如等类型的数集。通过较多候选项的预习题，让学生在比较和反思中增强对数域封闭性内在含义的理解。

（二）注重定理的细节条件

在大学数学课程中，有部分定理的结论表述涉及一些条件参数，学生在预习过程中，对这种参数的前后联系往往留意不够，通过预习题可起到提醒作用、强化印象。例如，在讨论齐次线性方程组Ax=0的解空间的维数时，有结论dim{x│Am×nx=0}=n-rankA；又如，在学习矩阵的秩的关系式时，有结论“若Am×nBn×k=0，则rankA+rankB≤n”。在预习这些内容时，学生对这些结论表达式中符号“n”的指示性含义往往没特别留意，为了增强学生的“识别力”和“印象”，在雨课堂的预习题中可设置一些有针对性的单选题。

（三）注重结论的前后引用

学生的预习不只是对后续课程内容的自学，也可上升到课程内容的复习和巩固，“线性代数”课程中部分内容往往是“牵一发而动全身”，但是如果缺少对课程内容的整体把握，学生在自学这些内容时就容易出现“只见树木不见森林”的状况，这种情况下，可以通过雨课堂预习题来帮助学生进行系统性归纳总结，预习题可以是客观题，也可以是主观题。例如，同型矩阵之间的等价、同阶方阵之间的相似、同阶方阵之间的合同是线性代数课程中的3种重要关系，学生一般都记得它们的定义，但是遇到具体方阵之间的关系判断时，往往出现模棱两可的状况，因此在预习相似矩阵内容时可布置一个多选题：设An×n=似的有哪些？在预习合同矩阵内容时可布置一个“大杂烩”式主观题：在下列方阵中哪些之间是等价的、相似的、合同的？

（四）注重题目的难度与挑战性

在题目研究和确定过程中，教师需要在预判学生预习成效的基础上，选择难易适当的题，也需要穿插性地制作一些颇有挑战性的题，作为自学能力强、基础扎实的学生的练笔素材，便于他们获得成就感。如果是选择题，候选项之间在满足区分性之外应该注意多样性与迷惑性乃至真假难辨。例如，对向量空间的两组基之间的过渡矩阵，可设置既有正确选项（例如A）也有错误选项（例如A-1）的单选题。又如，对矩阵的逆，在选择题中可增加选项的数量（设置6~8个而不是通常的4个），也可让学生求某个特定位置上的数等多样化的题目。

五、结语

在过去的教学过程中，课堂教学和课后复习往往引起足够的重视并投入大量精力，而预习环节由于重视不够、约束不足、动力不强、主动性不高等原因出现开展不多、不深入，效果不够理想、不及预期的现象，借助雨课堂、微信群、QQ群等现代信息技术，打造在线教育手段辅助大学数学课程开展课前预习活动，既可以让预习活动“落地生根”，使课前预习与课堂教学、课后复习形成有利于教学效果提升的闭环，也可以提升学生的自学能力，培养学生的自主创新意识和探索能力。

作者:刘春林 李宝娣 单位:国防科技大学 陆军特种作战学院