离散数学教学内容改革探索
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摘要：离散数学是培养计算思维能力的核心课程，教学内容抽象，理论性强。结合离散数学当前教学存在的不足之处和新工科教育要求，探索离散数学教学内容改革，以期提升新工科学生的离散化、抽象概括、形式推理、发散思维等计算思维能力。
关键词：新工科；离散数学；计算思维；教学内容
生的计算思维培养需求，延展了集合关系的计算机表示、关系分析及其函数构造的应用领域，提高了同态和同构思维在不同行业的创新应用。同时，降低了部分知识的重要性如数论和组合数学。⑵对离散数学知识的运用提出了高要求。新工科理念驱使的学科交叉归根结底是数学模型和可行计算方法的有机结合，这促使离散数学应适当减少纯理论知识，致力于培养学生探索自身专业的离散对象内在关系、关系分析和多角度解决实践问题的能力。继承传统工科学生对解的存在性和表示等优点，探索解的可行性分析，促使理论转化为实践。⑶跨学科计算思维能力培养。新工科建设要求学生在掌握专业理论知识的前提下，实现专业术语的符号化、定理数据化，推理过程化和模型离散化，结合人工智能解决本专业大型复杂的工程问题。⑷跨学科发散思维和创新能力培养。跨学科创新需继承传统相关学科的优点，实现相关学科知识和技能的互补。随着社会经济的快速发展，各行业相互渗透，这造成了凭借单一专业知识难以解决的行业问题日益增多，如海量数据的信息挖掘和解空间迁移。为了解决新出现的行业难题，这需要整合相关学科的知识体系、将相关学科的先进技术融于一体、培养学生的发散思维。
1传统离散数学教学内容缺陷
目前离散数学教学内容主要包括数理逻辑、集合论、图论和代数系统，有些还涉及数论、组合数学和概率论等内容[5]。其数理逻辑主要研究自然语句的符号表示、形式证明和验证推理，从简单语句的共性出发，培养学生对离散对象的概括能力；集合论以集合元素为研究对象，探索集合元素的二元关系、计算机表示和关系性质，以数据聚类为实例延伸集合论的实践环节；图论是二元关系的一种直观表示和推广，有利于从局部和整体出发挖掘集合关系。在图论知识的教学中以计算机网络路径寻优为实例，锻炼学生分析问题的能力。代数系统的教学中以运算为出发点，揭示不同运算之间的内在联系和构造新运算，以支持向量机的多项式核函数和径向基函数为实例，展示新运算解决问题的有效性。传统离散数学教学内容及其实践均是以计算机科学和软件工程专业为基石，致力于培养学生的概括抽象能力、逻辑推理能力和归纳创新能力。但面对跨专业的计算思维培养，其教学内容过于理论化、知识点分散而独立、相关专业的应用实例较少。这些缺陷使得该课程的教学内容、知识点和技能运用能力难以在其他工科实践中得到体现。⑴教学内容过于理论化[6]。离散数学具有多概念、多符号、强理论、高度抽象等特点，这使得教师在授课过程中倾向概念定义、符号说明和理论演绎推理，侧重于数学的抽象性和严密性，强调理论结论和证明技巧。忽略了离散数学的工业应用背景，使得学生被动地灌注了大量概念、证明技能，推理方法和定理结论，但因缺乏与专业具体问题的有机结合，造就了“学而不用”的现象，从而难以培养学生对自身专业知识的概括能力、分析推理能力和灵活运用能力。⑵教学内容过于专业化。传统离散数学的教学内容主要研究离散量的结构及关系，它为计算机科学和软件工程专业的数据结构、算法设计与分析、编译原理、数据库原理、人工智能等课程提供数学理论基础。离散数学知识点的实例主要来源于机器学习、计算机网络和通信编码等专业领域，而涉及跨行业知识的应用实践环节较弱，如离散数学中关于图细化仅以概念形成给出，没有具体阐述细化方法和及其优缺点，这限制了图细化在有限元分析方法(物理专业)的拓展应用。薄弱的实践环节不能有效激发跨专业学生对该课程学习的兴趣，导致教学效果不理想。⑶教学知识点过于独立分散[7]。离散数学的教学内容主要涉及自然语句、集合、图论和运算等对象，且每个对象分别对应各自独立的、自成体系的知识模块。其中数理逻辑根据简单语句的共性，对命题进行命题符号化表示，结合推理规则进行符号推理演算和证明；集合侧重于阐述元素关系的存在与否，关系的共性及其应用；图论以二元关系的直观表示为基础，借助邻接矩阵和关联矩阵分析图的道路、连通分支数和子图。代数系统根据运算的可交换性、可结合性、幺元和逆元的存在性，讲述半群、群和布尔代数及其应用。这些对象及其内容自成体系，强调知识模块的独立性和完备性，使得学生支离破碎地学习离散数学知识点，缺乏系统掌握相关内容。各自独立的知识模块削弱了离散数学与专业课程的关联，使得相关内容在工程问题分析、模型构建、模型离散化和求解的可行性等方面未充分发挥其作用。同时每个知识模块具有多概念、多公式，强理论、强抽象和强逻辑等特点，这种“两多三强”的特性导致大部分学生将离散数学当作一门纯数学理论课程，难以将所学知识应用于实践。
2离散数学教学内容改革
跨学科交叉专业应以多学科交叉理论为基础，实践教学为重点，培养工程实践能力、创新能力和智能化应用能力，达到自主创新解决业界问题。对此，学生需具有多学科专业语句符号化，专业相关的形式化推理、演绎和证明能力，挖掘对象关系、计算机表示、模型创新构建和可行计算等思维能力。面向跨学科计算思维的培养需求，离散数学的教学内容应继承传统工科教学优点，结合计算机科学和工业智能，培养交叉专业学生的归纳能力、概括能力、计算思维和工程实践能力。
2.1教学内容系统化
传统工科专业课程普遍具有研究对象明确、知识模块联系紧密等特点。如电力系统规划课程以电网为对象，仅仅围绕电网规划和建设，分析不确定因素对电网的负面影响和电力预测等内容。面对学生习惯于接受系统性的知识内容，离散数学的知识模块需要重组优化，突出知识模块间的潜在联系，弥补其独立性。如在离散数学教学过程中，以自然语句为对象，根据语义将语句分为命题（对象外在属性判断）或谓词（对象内在关系的判断），分析命题和谓词的共性以及两者的差异性；结合谓词逻辑研究对象的内在关系，引申出集合和二元关系表示、关系性质分析等知识，分析二元关系的不同表示之优缺点，对关系的有向图表示进行延续讲述图论相关概念。综合分析离散数学中各个知识模块间的关系在多学科交叉教学中具有以下优点：⑴有助于激发学生持续不断地学习离散数学的相关知识；⑵在分析过程中有助于培养学生分析问题能力，探究传统方法的优缺点，激发学生从不同角度提出创新思想；⑶有助于学生系统地学习、掌握离散数学知识和技能。
2.2教学内容侧重于抽象概括和形式推理能力培养
传统工科专业课程中涉及大量专业术语和定理，这些术语和定理均利用自然语句描述连续对象。为了运用计算机解决定理相关的工程问题，对专业术语和定理的数据离散化处理是首要环节。结合离散数学命题符号表示的本质，培养学生从不同角度对专业术语和定理进行数据离散化表示能力。从数据表示方面鼓励学生在本专业领域的创新，如集合的特征函数表示弥补了经典集合的不足。离散数学的代数系统摒弃运算差异性，将注意力集中于运算的基本性质，揭示运算更一般的规律性。以此为例，在教学内容上应致力于培养学生对不同问题高度抽象能力，使学生把握事物本质并反过来指导实践中的深入应用。借助此模块知识讲授，分析不同专业的研究对象和具体问题的共性，培养学生概括能力，为引领业界奠定基础。
2.3教学内容注重发散思维能力培养
离散数学应有助于培养跨专业学生多角度分析解决具体问题的能力，如数理逻辑学模块运用直接法、CP规则法、反证法和机械消元法等进行形式证明同一问题。以此为基础，借助数学符号推理训练学生分析问题的能力，总结不同方法可解决问题的前提条件，提升学生解决问题的灵活性；比较各种方法的优缺点，激发学生创新性地提出新方法，以便弥补传统方法的缺点。以集合的二元关系表示为例，分析其集合表示、图表示和矩阵表示等方法各自优点，如集合表示具有紧凑性；矩阵表示有利于计算机分析关系性质；图表示有助于主观分析元素间的局部性和整体性。在交叉专业基础知识的指导下，培训学生的发散思维能力。
2.4教学内容强调分析问题的完备性
离散数学中大多数定理均具有前提条件，这类似于不同专业理论结论的边界条件。类比分析前提和边界条件两者共性，模拟离散数学中对不满足定理前提条件问题的解决方法。结合专业结论的边界条件和专业知识应用条件的多样性，培养交叉专业学生分析问题的完备性能力。
3结束语
传统工科与计算机科学的有机结合延伸了离散数学教学内容在交叉学科的广泛应用。在传统工科专业理论基础上，继承传统离散数学教学内容的优点，激发学生的探索创新学习，扩展专业知识的应用领域。面对交叉专业的离散数学教学应具有知识系统性、适当减少理论知识和增加实例分析环节，弥补传统内容过于理论化的不足。特别是引入专业相关的问题分析、模型可行计算和工程实践，侧重于培养学生的抽象概括能力、发散思维能力和全面分析问题能力，使离散数学教学内容在新工科理念驱使的交叉专业应用型人才培养中发挥重要作用。
作者:何坤 单位:四川大学计算机学院
