室内供暖温度调控数学建模浅议

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摘要：冬季北方部分地区采取热水供热的供暖方式，研究如何控制进水流量使得室内温度维持在一个相对稳定的范围具有实际意义。针对空间温度分布问题，本文将三维空间节点化，建立了空间节点控制模型，将空间节点分为热源节点与非热源节点，分别基于热传导方程与非热源节点由雅可比迭代法进行求解，得到该房间各高度所在平面的温度分布图可知，从南北方向来看，每个高度的分布图都呈现靠近南、北墙两端温度相对较高、中间相对较低分布；而从东西方向来看，则呈现中间温度相对较高、两端温度相对较低的分布。另外，高度越高，热量分布相对越均匀。针对当水流量变化的问题，我们对暖气片产热量进行修正，以0.1m3/h为间隔求解不同进水流量的出水温度，然后利用空间节点控制模型求解房间的动态温度分布，得到平均温度随水流量的变化趋势：随着进水口流量每增加温度提高的幅度逐渐变小。对于最小耗水量问题，本文以最小累计耗水量为单一目标，在约束条件下进行求解。并在室内平均温度为21℃、标准差为1.5℃、进水口流量在0.1-1.0m3/h的约束条件利用lingo求解得到最小进水量为13.59m3。

关键词：温度分布；傅里叶热传导定律；能量守恒定律；雅克比迭代；单一目标规划

1概述

供暖问题一向被许多人所关注，尤其在某些特殊领域，如医疗行业对室内温度有严格要求。水暖是最流行的一种采暖方式，且在我国北方地区使用非常普遍，针对这种供暖方式，在外界温度不断变化的情况下，如何依靠控制进出水流量来控制室内温度保持在一个合适的位置是一个具有实际意义的问题。由于封闭式内温度场的测量点不计其数，目前多数的计算方式或是是采用具有代表意义的一个或几个点代入计算，或是将三维空间转化为二维求解[1]，有或是建立三维热传导方程对空间动态温度进行求解[2]，前者可能会因为使用不稳定的数据而对整个温度场的计算造成影响，第二者则会因维度较低而对空间温度分布计算不准确，后者又会因维度较高计算复杂。故本文将南北墙面视作面热源进行计算，减少了选取特征点带来的误差，并将整个三维空间节点化，进一步降低了计算难度。

2模型建立

2.1问题重述

冬季供暖采取热水供热方式的每一户中有一个进水口和出水口，可以通过控制水流量来使室内温度维持在一个相对稳定的范围内。该房间参数如图1。本文研究问题可描述为：（1）已知室外温度为0℃，进水口流量为0.5m3/h，求房间的空间温度分布。（2）当进水口流量在0.1m3/h-1.0m3/h范围内变化，求房间的动态温度分布。（3）根据一天之内室外温度变化情况每一小时调整一次进水口量，在保证室内温度达标的情况下合理调整进水口流量，并使得一天累计耗水量最小。

2.2问题假设

（1）进水口流量和外界温度发生变化时，室内温度达到稳态的时间很短。（2）房间与室外的热交换只发生在最外围的热源节点。（3）内墙散失的热量忽略不计。

2.3空间节点温度分布模型

2.3.1散失热量的求解。由于砖面和玻璃的材质和厚度不同，所以两者传热系数也不同，整个墙面（包括窗户）散失的热量需要分开求解。查询材料导热系数总表可得，墙面砖块部分导热系数λ1为1.0W/(m·k)，窗户玻璃的导热系数λ2为0.78W/(m·k)。根据常见房屋相关参数，假设墙面砖块部分厚度σ1为30cm，窗户玻璃的厚度σ2为0.4cm。墙面砖块与窗户部分的传热系数Ki为：(1)公式(1)中a1为21℃时的空气对流换热系数，a2为0℃时的空气对流换热系数。查询不同温度下空气对流系数表可得，a1和a2分别为10W/(m2·k)、30W/(m2·k)。体积为V的空间在t1到t2的时间内散失的热量为：(2)公式(2)中负号表示散失，K为传热系数，由于墙面砖块部分和窗户部分传热系数不同，两个部分所占面积也不同，整体墙面的传热系数K定义为不同材质部分与其面积的加权值。2.3.2产热量的求解。暖气片向房间散热，相当于一个散热器。暖气片热量来源于热水，所以产生的总热量与进、出水的温度、进水口的流量和进水总量有关。在t1到t2的时间内，进水口的流量为G，进水温度为uin，出水温度为uout，产生的总热量为：(3)2.3.3室内热量的求解室内的热量主要来源于暖气片的散热，而室内某点的热量与房间体积、室内空气流动等因素有关。若室内一点（x，y，z）在t时刻的温度为u（x，y，z，t），空气密度为ρ，空气比热为c，则室内的热量为：(4)根据能量守恒定律，散失的热量Q1、房间内的热量Q2和暖气片产生的总热量为Q3有如下关系：(5)将(2)式、(3)式和(4)式代入(5)式，简单化简后得到室内任意一点的温度表达式为：(6)其Δu为温度在x，y，z三个方向上的二阶导数之和。2.3.4空间节点模型为求解空间温度分布，本文将三维空间节点化，将房间划分为51×101×29的节点集，即把房间划分为50×100×28个小立方体区域，一个单位长度对应0.1m，网格的交点为节点，每一个节点都控制本身与周围六个节点所占有空间，将这个空间称为控制体，如图2所示。我们将所有节点分为热源节点与非热源节点，热源节点位于空间的边界，他们的温度只与自身前一刻的温度决定，而非热源节点的温度受初始环境温度与热源节点的控制，由雅可比迭代法求解，对每一个节点分析，根据热量守恒定律和傅里叶导热定律，流入的热量Qin与流出热量Qout之差为该点热量的增量Qst，其关系式如下：(7)当导热达到稳态时，从所有方向流入控制体的热量与流出的热量相等，表达式如下：(8)以房间中部节点为例，对于节点（x，y，z），根据热量守恒定律有：(9)以第一项Q（x-1，y，z）为例(其他控制节点同理),假设温度场线性分布，根据傅里叶定律有：(10)内热源表达式为：(11)由于Δx=Δy=Δz，而且无热源，有如下关系：(12)其余节点分析方法与上述一致。

2.4动态流量模型

模型二在模型一的基础上使进水口流量在0.1-1m3/h之间变化，而由(4)式可知暖气片产生的总热量Q3与进水口流量直接相关，为了满足基本供暖需求，其出水温度也会发生变化。用传热系数、散热器相关修正系数[3]和室内温度表示暖气片产生的总热量与(3)式联立可得如下表达式：(13)式中β1散为热器组装片数修正系数；β2散热器连接形式修正系数；β3为散热器安装形式修正系数。

2.5最小耗水量模型

问题三要求每隔一小时调整一次进水口流量，在保证室内日均温度达到21℃且标准差为1.5摄氏度的条件下，使得一天累计耗水量最小。设Gi（i=1，2，…，24）表示第i小时内的进水口流量，ui（i=1，2，…，24）表示第i时的平衡温度。进水量与屋外温度和室内温度存在函数关系：令则有：假设零点时室内平衡温度为平均温度，即u0=21。因此目标函数为：根据题意，要求平均温度为24℃，标准差为1.5℃，所以有如下约束条件：

3结果分析

3.1房间温度分布

利用MATLAB软件画出高度为0m、0.5m、1.0m、1.5m、2.0m和2.8m的温度空间分布图。其中选取具有代表性的两个高度0m、和3m的分布图进行具体分析，如图3所示。由图3可知，从南北方向来看，每个高度的分布图都呈现靠近南、北墙两端温度相对较高、中间温度相对较低的分布；而从东西方向来看，通过观察等温线可知，每个高度的分布图都呈现中间温度相对较高、两端温度相对较低的分布。这是因为距离热源越远的地方，所获的热量越低。另外，每个高度的分布图四个角落处温度都相对较低，这不仅与距离热源的位置有关，也与外墙与外界的热量交换有关。再比较0m和2.8m的温度分布图，发现高度为2.8m所在平面中间低温带最窄且等温线最密集，说明热量在房间高处更易传导，这与室内空气流动快慢有一定关系。

3.2流量变化时的动态温度

针对问题二进水口的流量以0.1m3/h等间隔依次利用雅克比迭代算法，其中进水温度为40℃，出水温度根据(13)式求得。利用MATLAB求解得到进水口流量依次增加0.1m3/h后房间的平均气温如表1所示。表1进水口流量所对应的平均气温表取x为2.5m,z为1.4m，温度在y轴方向(南北方向)变化曲线如图4所示。由表1和图4可知，房间的平均温度与进水口流量呈现正相关，而进水口流量从0.1m3/h增加到0.2m3/h时温度提高的幅度最大，然后进水口流量每增加0.1m3/h温度提高的幅度逐渐变小。所以在满足室内正常温度的情况下，进水口流量继续增大对温度提升的效果不明显，且会造成耗水量的浪费。

3.3最小耗水量

利用lingo软件求解得到最小累计进水量为13.59m3，每个小时具体的进水口流量如表2所示。

4结论

本文所研究热水供暖的模型的目的是为了更好调整房间供暖系统的参数，并对系统的能源利用和温度分布进行优化，即动态选取最佳的水流量与合适的暖气片参数及位置来达到达到满足用户需求并节约能源的目的，满足可持续发展的要求，因此这类问题的研究具有一定的实际应用价值。

作者:王嗣淇 邓睿翔 颜志雄 佟东霖 单位:南京信息工程大学人工智能学院 南京信息工程大学 自动化学院南京信息工程大学大气科学学院