复变函数与中学数学教学浅析

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摘要：本文从高中数学课程标准“复数”内容的变革和高观点教学等角度分析了《复变函数》对中学数学教学的重要意义，希望能让师范生重视《复变函数》的学习．

关键词：复变函数；中学数学教学；高观点

《复变函数》是数学与应用数学专业学生在大学阶段的必修课程，但由于师范生毕业后主要从事中学教学工作，中学数学教学中有关复数的知识点只在高中数学中出现，且相较于整个高中数学学习内容来说占比很小，高考试题中要求直接运用复数这一知识点求解的题型一般以选择或填空题出现，所占卷面分值不高．所以在当今应试教育的背景下，大学生很容易产生学习《复变函数》的思想误区，觉得学习《复变函数》对中学教学用处不大，从而不重视这门课程的学习．随着师范类专业认证的改革，师范生都需要通过教师资格证考试来获得教学资格．而中学数学教师资格证考试涉及的大学数学知识主要是数学分析、高等代数、解析几何和概率论与数理统计，这就使得数学专业师范生更加不重视《复变函数》的学习．事实上，《复变函数》对中学教学有着重要的指导意义．下面，我们将从多方面对此加以分析．

１复数内容在普通高中数学课程标准中的变革凸显了该课程的重要性

我们先比较２００３版《普通高中数学课程标准（实验）》和《普通高中数学课程标准（２０１７版）》，具体见表１．由表１可知，从模块放置角度来看，复数由２００３版的选修模块放到了２０１７版的必修模块“几何与代数”；从教学内容与要求来看，《普通高中数学课程标准（２０１７版）》增加了复数的三角表示这一引申内容；从教学建议角度来看，２０１７版课程标准更注重对复数的表示及几何意义的理解，对学有余力的学生可增加引申内容“复数的三角表示”．此外，２０１７版课程标准必修模块“几何与代数”包括平面向量及其应用、复数、立体几何初步三部分内容［１］．首先，通过对向量的学习，学生可理解平面向量的几何意义和代数意义，掌握平面向量的概念与运算，从而借助向量建立起几何与代数的桥梁；其次，由于复数与复平面上的点一一对应，可把复数视为二维向量，复数的加减就对应向量的加减，复数内容放置在平面向量之后，既能帮助高中生进一步巩固向量知识，还能让他们深刻理解两者之间的关系，牢固代数与几何的桥梁；最后，在平面向量与复数的基础上扩充立体几何，注入更复杂的几何运算，进一步拓宽几何与代数的桥梁．因此，普通高中数学课程标准这一纲领性教学文件的变革充分体现了高中数学学习中复数内容的重要性．

２《复变函数》为职前中学教师的高观点教学打下良好的基础

复数是衔接中学数学与大学《复变函数》的重要内容，在没有学习这门课程前，数学专业师范生对于复数领域的了解程度非常浅，学习本课程后不仅会更深刻理解复数内容，更能拓宽自身对《复变函数》的认知视野，从而重视对中学生学习复数的引导，设计更有效的教学．（１）学习《复变函数》，数学专业师范生可了解《复变函数》的初步发展历史与前沿，理解其中蕴含的数学文化价值．瑞士数学家欧拉首次采用虚数单位ｉ＝－１，打破了负数没有平方根的认知．复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生、发展的客观需求［２］，它解决了实际问题在实数范围内无法满足的需求．《复变函数》是《数学分析》的后继课程，是实分析理论在复数域上的拓展，因此，《复变函数》的讲授经常结合数学分析知识进行类比，帮助学生顺利过渡到对复分析理论的发展历程的理解，体会人类理性思维在数学理论拓展中的作用．（２）学习《复变函数》，数学专业师范生可系统掌握《复变函数》的基本理论与思想方法．数学专业《复变函数》课程一般讲授复数理论、解析函数、复积分、复级数理论、留数理论等，参见［３］．《复变函数》的开篇一般是复数理论，复数可以看作为向量，复数的加减对应向量的加减，复数的模与辐角对应向量的长度与方向；复数的三角表示和指数表示建立在复数的几何意义基础上，两个复数相乘ｚ１ｚ２相当于把复数ｚ１这个向量伸缩ｚ２倍，然后再旋转一个角度（ｚ２的辐角）；一个复数ｚ＝ｒｅｉθ开ｎｎ（≥２）方共有ｎ个根，它们均匀地分布在以原点为圆心半径为ｎｒ的圆周上，是内接于该圆周的正ｎ边形的ｎ个顶点．复平面上点的标准邻域对应一个圆盘．学习解析函数以及多值解析函数都必须借助图形加以理解．复积分的值一般不仅依赖积分曲线的起点与终点，还与积分路径有关，而柯西积分定理揭示了复积分与路径无关，它取决于被积函数的解析性和解析区域的单连通性．柯西积分公式告诉我们：用积分曲线上的值可以表示解析函数在积分曲线所围区域的內部值．解析函数的唯一性定理说明：一个函数在区域内的局部取值可确定它在该区域内的整体的值．Ｐｉｃａｒｄ定理描绘了解析函数在本质奇点领域内的特性．Ｒｏｕｃｈé定理考察零点的分布情况．由上可知，不管是从教材的编写还是讲授来看，几何思想贯穿整个复变函数内容，充分体现了《复变函数》是分析的几何化［４］，学习复变函数理论能让学生进一步领会代数与几何结合的神奇之处．（３）学习《复变函数》，数学专业师范生可优化教学设计，为中学数学解题提供新方法．复变函数为中学数学解题提供了很多新思路和新方法，中学数学习题里不等式的证明、求函数的最值问题、平面几何证明等各类题型都能够运用复变函数知识来解决，该方面的具体研究成果见［５］．这里我们以三角函数恒等式的证明为例进行具体分析，在中学课堂上，教师先教授向量法证明两角差余弦公式，再以此公式为基础导出其它三角函数公式，而我们学习了复数的三角表示后，可以补充欧拉公式ｅｉｘ＝ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ，再利用此外，利用欧拉公式比较容易推导关于三倍角、五倍角等的三角函数公式，这里以三倍角的三角函数公式为例展开推演：

3结语

总而言之，数学专业师范生学好《复变函数》既可深入理解中学复数内容，又可在进入中学教学后从更高角度讲授好中学复数内容.希望各位数学专业师范生能重视本课程的学习，创新教学思维.

参考文献

［１］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准［Ｍ］．２０１７版．北京：人民教育出版社，２０１７．

［２］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００３．

［３］钟玉泉．复变函数论［Ｍ］．４版．北京：高等教育出版社，２００４．

［４］潘丽云．维尔斯特拉斯的复变函数思想分析［Ｄ］．西安：西北大学，２００９．

［５］林炎生．复数在中学数学解题中的应用例举［Ｊ］．中学课程辅导：教学研究，２０１４，（２５）：１５３－１５４．

作者:李浏兰 方敏 刘刚 单位:衡阳师范学院数学与统计学院