平行线分线段成比例定理

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平行线分线段成比例定理范文第1篇

一、教学目标，全国公务员共同天地

1．使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用.

2．使学生掌握三角形一边平行线的判定定理.

3．已知线的成已知比的作图问题.

4．通过应用，培养识图能力和推理论证能力.

5．通过定理的教学，进一步培养学生类比的数学思想.

二、教学设计

观察、猜想、归纳、讲解

三、重点、难点

l．教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用．

2．教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、常用画图工具．

六、教学步骤

【复习提问】

叙述平行线分线段成比例定理（要求：结合图形，做出六个比例式）.

【讲解新课】

在黑板上画出图，观察其特点：与的交点A在直线上，根据平行线分线段成比例定理有：……（六个比例式）然后把图中有关线擦掉，剩下如图所示，这样即可得到：

平行于的边BC的直线DE截AB、AC，所得对应线段成比例．

在黑板上画出左图，观察其特点：与的交点A在直线上，同样可得出：（六个比例式），然后擦掉图中有关线，得到右图，这样即可证到：，全国公务员共同天地

平行于的边BC的直线DE截边BA、CA的延长线，所以对应线段成比例．

综上所述，可以得到：

推论：（三角形一边平行线的性质定理）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

如图，（六个比例式）．

此推论是判定三角形相似的基础．

注：关于推论中“或两边的延长线”，是指三角形两边在第三边同一侧的延长线，如果已知，DE是截线，这个推论包含了下图的各种情况．

这个推论不包含下图的情况．

后者，教学中如学生不提起，可不必向学生交待．（考虑改用投影仪或小黑板）

例3已知：如图，，求：AE．

教材上采用了先求CE再求AE的方法，建议在列比例式时，把CE写成比例第一项，即：.

让学生思考，是否可直接未出AE（找学生板演）．

【小结】

1．知道推论的探索方法．

2．重点是推论的正确运用

七、布置作业

平行线分线段成比例定理范文第2篇

一、造相似三角形法

若要证角相等或线段成比例，通常利用相似三角形.如果没有现成的相似三角形，就需要作辅助线来创造.在构造三角形时，常常是按比例式选定三角形，然后从图形看形状是否相似，再作平行线，或者利用平行于三角形一边的直线和其他两边相截，截得的三角形和原三角形相似，或者利用一个等角条件，再造一个等角条件而得到相似三角形.

例1 如图1，从ABC各顶点向对边所引的三线段AD、BE、CF相交于形内一点P，则PDAD+PEBE+PFCF=1.

图1分析：结论左边是三个比例的和，右边是常数1.这里既没有相似三角形，又没有其他比例线段定理的条件，因此需要构造相似三角形.过点P引AC的平行线交AB于G，交BC于H，这就造成了五对相似三角形.从DPH∽DACPDAD=PHAC，以FPG∽FCAPFCF=PGAC两式相加，得PDAD+PFCF=PHAC+PGAC=HGAC.又由BHG∽BCA，BHP∽BCE，得HGAC=BHBC=BPBE.通过代换得PDAD+PFCF=BPBE，两边同加上PEBE就得到要证明的结论.

二、造垂线法

在证题中，有时需要做垂线，造成直角三角形利用勾股定理或造成三角形的高以利用面积公式；或造成等腰三角形底边上的高，以利用三线重合的性质；或造成平行性或利用平行线间的距离处处相等的条件等.在造垂线时，常常是过已知点做已知直线的垂线，或者利用结论是直角或两线垂直的定理造垂线.

三、合取和折取法

要证明一量等于其他两量之和或差，常将两个小量合取，证其等于大量，或者将大量折取成两部分，证其分别等于其中的两个小量.作为合取和折取的特殊情况，就是加倍和折半，这在证明一量等于另一量的两倍或一半时常有.

四、翻折法

如果图中出现轴对称图形，有时可以沿着对称轴把一部分图形翻折过去，从而达到证题的目的.

五、旋转法

如果图形中出现中心对称图形，有时可绕对称中心进行旋转，或者图形中出现有一个公共端点的等线段，可将一条线上的图形绕此公共端点旋转到另一条线段，或者甚至连等线段也没有，有时仍需将某部分图作一定的旋转，借此达到证题目的.

六、平移法

在证题中，有时还需要把一部分图形平行移动到适当的位置，使之与证明的结论发生联系.平移通常是通过作平行线来实现.造平行线一般有：过直线外一点作已知直线的平行线、造平行四边形、造中位线.

七、四点共圆法

通过证明四点共圆可造成等角条件，或利用圆中成比例线段定理.

例2 如图4，圆内接四边形ABCD的两组对边延长各交于E、F，分别过E、F作圆的切线EG和EH.求证：EF2=EG2+FH2.

图4

分析：过F、D、C作圆交EF于K，不难证明E、B、C、K共圆，于是EG2=EC·ED=EK·EF①，FH2=FC·FB=FK·EF②，两式相加得EG2+FH2=EK·EF+FK·EF=EF·（EK+FK）=EF2.

平行线分线段成比例定理范文第3篇

（一）一般方法：全等三角形的性质；2线段的垂直平分线或角平分线的性质；3等腰三角形的性质或“三线合一”的性质；4特殊四边形的性质；成比例线段；6圆中垂径定理，或切线长定理，或在同圆（等圆）中，等弧对等弦、弦心距等则弦等、弦等则弦心距等；7中间量传递；8计算证明

（二）特殊方法：方程法、面积法、三角函数法、补形法、反证法、同一法

大多数题有多种解法，需要对各种解法进行优化，找出最直接、最简单的一种有些题还需要用两种或两种以上的方法合并解决

例 如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上

（）如图，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；

（2）如图2，若∠EAF=60°，求证：AEF是等边三角形

分析与解 （）如图3，连结AC，在菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得ABC是等边三角形因为E是BC的中点，根据“三线合一”，可得AEBC因为∠AEF=60°，所以∠FEC=90°-∠AEF=30°，∠CFE=80°-∠FEC-∠C=80°-30°-20°=30°，继而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，继而证得BE=DF

（2）如图4，连结AC，可得ABC是等边三角形，即可得AB=AC，求得∠ACF=∠B=60°因为AD∥BC，所以∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，所以∠AEB=∠AFC根据“AAS”定理，证得AEB≌AFC，所以AE=AF又因为∠EAF=60°，所以AEF是等边三角形

点评 此题主要运用了数形结合思想，合理构造辅助线，继而利用菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质证明线段相等

例2 如图，在ABCD中，BE交对角线AC于点E，DF∥BE交AC于点F（）写出图中所有的全等三角形（不得添加辅助线）；（2）求证：BE=DF

分析与解 （）根据平行四边形性质推出AD=BC，AB=CD，根据“SSS”证出ABC≌CDA；根据平行线性质推出∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，根据“AAS”证出AFD≌CEB；推出∠AEB=∠CFD，∠BAE=∠DCF，根据“AAS”证出ABE≌CDF；

（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠DAF=∠BCE因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB即∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，AD=BC，所以AFD≌CEB（AAS），所以BE=DF

点评 本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用主要考查了学生运用性质进行推理的能力当然，问题（2）也可以通过证明ABE≌CDF解决关键只要能找到分别有BE、DF为对应边的两个全等三角形

例3 如图6，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EFAB于点F，EF交BD于点G，设AD=a，BC=b

（）求CD的长度（用a，b表示）；

（2）求EG的长度（用a，b表示）；

（3）试判断EG与FG是否相等，并说明理由

分析与解 （）因为AB为半圆的直径，∠DAB=∠ABC=90°，所以DA、BC为半圆O的切线又因为CD与以AB为直径的半圆相切于点E，所以DE=DA=a，CE=CB=b，所以CD=a+b

平行线分线段成比例定理范文第4篇

随着新课程改革的顺利实施，我在教育教学方面结合学生实际和现有教材实施新课程改革，在改革教法和学法方面下工夫，让学生思维的火花燃起来，极其强烈的求知欲。在教学中采用讨论-----探究-----合作------创新的教学方法受益非浅，在教学时收到了令人十分惊喜的效果。

课前布置预习作业让学生展开思维的翅膀去猜想此题有多少种不同的证法，给学生充分发挥自己能力的空间和创造运用知识的机会。

一、检查预展示成果。

课堂教学实在玉溪的基础上进行的，新课之前让学生展示自己的预习成果互相交流，在交流中激起学生的求知欲望。

二、一题多证开启思维

课堂采用讨论、探究、师生交流的方式解决问题。让学生在讨论中收获知识，在交流中拓广知识，在辩论中加强记忆。

在教学《平行线分线段成比例》一节的例7时收到了意外的惊喜。

师：大家作了预习，你能用不同的方法来证明例7吗？师出示例题及图形

生：能。

师：同学们想出了多少种不同的方法。

生：2种，3种，4种，7种。

师：谁来展示自己的成果？

生：我来，我来。（学生积极抢答，兴趣很高）

师：同学们积极性很高，老师特别高兴，下面请两种方法的小组来证明例7。

生甲：我第一种方法是过B点作AC的平行线交BA于E点来证明的.

第二种证法是过B点作BEAC，交AD

延长线于E。

师：下面请有不同证法的同学来讲解你的证法。

生乙：证法3是过D分别作AB、AC的平行线交AC于E，AB于F。

证法4是在AB上截取AE=AC，过点B作BF∥DE交AD延长线于F。

证法5是我预习了相似三角形用相似三角形来证明。分别过B、C点作AD的垂线，垂足分别为E、F。首先证ABF∽ACE再证BFD∽CED就得到结论。

证法6作AP∥BC过B点作BM=AC交AP于M，所以梯形AMBC是等腰梯形，作OD∥AC交AB于O，作NO∥AM交BM于N，然后利用平行线分线段成比例定理和合比性质可得出结论。

证法7和例题的一样。

三、关注学生的情感，激励学生学习。

这堂课结束是老师肯定了学生的表现。很好，你们想出了7种方法，可以看出同学们预习很到位，老师很开心，请同学们对这堂课做一下课堂小结。

生丙：一题多证使我的思维开阔许多，同时也认识到预习很重要，旧知识的复习是学习新课的基础，所以在以后的学习中我要注意这两点。

生丁：这堂课我上的很开心，对数学很感兴趣，觉得数学很好学，但是学习数学要勤思、善学讲究方法才能不走弯路，当有一题多证时我认为应选择最简单的方法。

四、每堂课都要自我反思

这堂课的氛围很好。在学习的过程中给学生提供一个讨论-----合作------探究--------创新的机会，让学生展示自己的才能，肯定学生的学习成果，引导他们一步步走向知识，达到善学、乐学。

这堂课最大的特点是：充分发挥学生的主体作用，让学生去发现问题、解决问题。由“要我学变我要学”。解决问题的方法和结果具有现实性和多样性，教学过程中突出学生的主体参与和主动探究意识。学生在合作探究的过程中，产生思维碰撞，点燃思维的火花。因此课堂可能会出现教师意想不到的许多情况，它要求教师具有优良的素质和先进的教学观念及过硬的基本功，更要有驾驭课堂行为、灵活处理突发事件的能力。

平行线分线段成比例定理范文第5篇

“良好的开端，等于成功的一半。”一节课上的是否成功，导入新课效果如何是关键。我在数学教学中，常用如下几种方法导入新课。

1类比导入法

根据新旧知识的相似点，采用类比的方法导入新课。因为数学有严密的科学体系，知识的连贯性很强，多数概念、定理、公式都产生或发展于相应的原有知识的基础上，所以由类比导入新课在中学数学教学中较为常见。例：学习“分式”，可从“分数”引入；学习“一元二次不等式”可从“一元一次方程”引入；学习“根式的基本性质”可从“分式的基本性质”引入等等。但要注意类比只能是一种推理方法，其结论不一定成立，对于类比提出的概念、公式、定理需给出严格的定义和论证，以防混淆。

2复习引入法

一些与学过知识有密切联系的新课题，应尽量采用联系旧知识的方法，使与新课有联系的旧知识在学生的头脑中重现。然后，对旧知识的形式或成立条件作适当的处理，引出新课题。如：讲“平行线分线段成比例”时，我这样引入：首先复习：①什么叫做两条线段之比?它们的比与测量时所取的长度单位是否有关？②请叙述平行线等分线段定理，能否将定理的结论改为AB：BC=DE：EF如图)?

这里，第①题为线段成比例和测量不尽时变换长度单位埋下伏笔。第②题，把AB=BC，DE=EF转变为AB：BC=DE：EF，自然地过渡到成比例线段。然后，老师稍加点拨，巧妙入题：若AB≠BC，上面的比例式是否成立？

3错例引入法

针对学生学习中出现的错误，精心设计有针对性的练习题，上课伊始，让学生练习，再分析，使大家知道错在何处，为什么错。这样既加深了学生对旧知识的理解，又为学习新知识扫清了障碍。

如：在讲“相似多边形”这一节课时：

师：在一块长方形木板的四周，镶上等宽的木条，得到一个新的长方形，内外两个长方形是否相似?

生：相似。

当老师把学生认为“千真万确”的生活经验否定时，学生的思维顿时活跃起来，注意力立即集中到老师所提出的问题上，由此顺势导人新课。

4生活实例引入法

在开课时用与新授内容有关、学生熟知的生产、生活中的实际例子引入新课，这不但能使学生感知数学与现实生活的密切联系，提高学习的目的性，而且能激发学生学习的兴趣，提高学习的自觉性。

如：在导入三角形全等的判定定理时，可问：“如图，有一块三角形形状的玻璃，被打断成两块，若要再划一块同样大小的玻璃，要不要将两块都带去?为什么?”

再如：讲授“直角坐标系”时，教师可首先让学生打开课本，翻到某一页并提问：“谁能告诉我，这页第三行的第四个字是什么字?”当学生一从这些生活实例中领悟到“两个有序实数可以确定平面内的点的位置”时，教师再讲解“直角坐标系”，已是水到渠成了。

5学生实验导入法

通过学生亲手参加某种实践，来导入新课。

例如：讲“三角形内角和定理”时，一上课要求学生用硬纸板剪一个三角形，把它按如图所示的方法剪开，然后把三个内角接在一起，使三角形的顶点重合。问：“这三个内角的和等于多少度?”由此导人三角形的内角和定理。这样导入新课，学生有亲身的感受，学习起来注意力集中，记忆牢固。

6故事导入法

在新课的开始，不是急于提示课题，而是先讲一个与本课题有关的数学典故来揭示课题，使学生在好奇中思索，探究问题的答案。例如：在讲“有理数的乘方”前，先讲一个故事，关于古印度舍罕王重赏他的宰相的一个故事。当学生听到宰相只要求国王在国际象棋棋盘的64个格中放人麦粒，各格的麦粒数依次是1、2、4、8、16……觉得很可笑。但听到国王找来无数袋小麦仍不够时，又都惊奇不已。最后老师说：“国王仅在第64格放人的麦子就有263粒，263是非常大的一个数，把印度全国所有收获的麦子放在一起也没它多，那么究竟263是一个怎样的数呢?”同学们急切地盼着老师把谜底揭开。由此巧妙地导入“有理数的乘方”这一新课。

7开门见山导入法

这种方法直接点明要学习的内容，即开门见山。当一些课题与学过知识联系不大，或者比较简单时，可采用这种方法，以使学生的思维迅速定向，认真投入对新知识的探究、学习中。常见的是“上节课我们学习……，这节课我们学习……”或“这节课我们学习……”等形式。这种方法使用率很高，这里就不再多讲了。

导入新课的方法，当然不止这些。怎样导入新课，必须根据教学目的、教学内容和教学对象的具体情况而定。但要注意导入新课只是课堂教学的其中一环，不论何种形式，都要简明扼要，紧扣课题，切忌喧宾夺主，影响正课进行。