初二数学竞赛题

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初二数学竞赛题范文第1篇

关键词：完全平方公式；数学竞赛；推广公式

由两个基本的公式：（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2，我们可以推广得到以下一组公式：

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（1）

（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2=2（a2+b2+c2）+2（ab+bc+ac）（2）

（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=2（a2+b2+c2）-2（ab+bc+ac）（3）

（a2+b2）（c2+d2）=（ac+bd）2+（ad-bc）2=（ac-bd）2+（ad+bc）2（4）

由（1）可得：a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ac）（5）

由（2）-（1）得：a2+b2+c2=（a+b）2+（b-c）2+（a+c）2-（a+b+c）2（6）

由（3）+（1）得：a2+b2+c2=■[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2+（a+b+c）2]（7）

由（2）+（3）得：

a2+b2+c2=■[（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2+（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]（8）

灵活选用以上公式，可以简单、快速地求解一些竞赛题，下面请看一些例子.

例1.有3个正整数a，b，c，且a>b>c，从中任取2个有3种不同的取法，将每种取法取出的2个数分别作和与作差，得到如下6个数：42，45，64，87，109，151，则a2+b2+c2=（ ）（2013“希望杯”初二第2试）

A.12532 B.12533

C.12534 D.12535

解析：由于本题是求三个整数的平方和，且题目给出了三个数中任意两个的和与差，满足公式（8），直接利用公式（8）可得：

a2+b2+c2=■[（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2+（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]

=■[（422+452+642+872+1092+1512）]

=■（1764+2025+4096+7569+11881+22801）=12534

故正确选项为C.

评注：通过以上解析过程可以发现，此解法根本不需要a，b，c为正整数及a>b>c这两个条件，事实上，只要知道这三个数中任意两个的和与差即可求出它们的平方和。出题者可能是考虑到有些学生可能想不到这个公式，因此加上这两个条件，引导学生从三个整数的大小关系入手，结合作和与作差所得的6个整数进行逻辑分析，求出a，b，c的值，然后代入计算得出答案。虽然也能得到正确解答，但是如果能从整体上把握题目特征，利用变形公式求解，就显得简单、明快.

例2.已知实数a，b，c满足a2+b2+c2=49，a+b+c=a3+b3+c3=7，求a，b，c的值.

分析：由已知条件联想到公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+

2ac，然后获得解题思路.

解：a2+b2+c2=49，a+b+c=7，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac即49=49+2ab+2bc+2ac，

ab+bc+ac=0，从而可得：

a2b+a2c=-abc，ab2+b2c=-abc，ac2+bc2=-abc，

7=a3+b3+c3=（a+b+c）（a2+b2+c2）-（a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2）

=7×49+3abc，

abc=-112.

评注：解答本题的关键在于根据条件联想到公式，然后构造相关代数式求解.把此题稍加改变，就得到下面这道竞赛题：

例3.若实数a，b，c满足a+b+c=2，ab+bc+ac=0，abc=-1，则a3+b3+c3= .（18届“华杯赛”初一）

分析：由已知条件联想到公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，从而求出a2+b2+c2，然后再构造代数式a3+b3+c3求解.

解：a+b+c=2，ab+bc+ac=0，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，

a2+b2+c2=4，

从而a3+b3+c3=（a+b+c）（a2+b2+c2）-（a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2）

由ab+bc+ac=0，abc=-1得：a2b+a2c=1，ab2+b2c=1，ac2+bc2=1

a3+b3+c3=2×4-3=5.

评注：解答本题的关键在于根据题目条件想到推广公式（1），构造出所要求的代数式。以上两例本质上是一样的，事实上，稍加分析以上两题解答过程可得

a3+b3+c3=（a+b+c）（a2+b2+c2）-（a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2）

=（a+b+c）[（a+b+c）2-2（ab+bc+ac）]-（a+b+c）（ab+ac+bc）+3abc

=（a+b+c）[（a+b+c）2-3（ab+bc+ac）]+3abc

因此，四个代数式a+b+c，ab+bc+ac，a3+b3+c3，abc，知其中任意三个的值，可以求出另外一个的值。

例4.已知a+b+c=0，a2+b2+c2=1.（1）求ab+bc+ca的值；（2）求

a4+b4+c4的值（2009年北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛）.

解：（1）由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac得：

ab+bc+ca=■[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]=-■

（2）a4+b4+c4=（a2+b2+c2）2-2（a2b2+b2c2+a2c2）

=1-2[（ab+bc+ca）2-2abc（a+b+c）]=1-2×（-■）2=■.

评注：本题考查对推广公式的灵活运用。

初二数学竞赛题范文第2篇

关键词：培优 扶困

当今,在新课改背景下,初中数学教育和教学质量普遍提高;然而,同一班级学生的数学成绩存在着较为严重的两极分化现象且日益显现,尤其在初级中学数学教育和教学中,表现得较为突出;班级的后进生比例逐步扩大,在初二年级开始出现,特别在初三年级表现尤为突出,这种状况直接影响着班级数学教学质量的提高。

一、明确培优扶困的意义和作用

培优扶困是初中数学教学工作中的一个重要环节,是使数学教学适应学生个别差异、贯彻因材施教原则的一个重要措施。培优就是对学有余力的、学习成绩比较突出或有数学天赋和潜质的学生,通过有目的、有计划、有组织的辅导和培训,使他们的学业成绩更加优秀、专长得到进一步的发展,成为具有创新能力的新一代人才;扶困就是对学习数学有困难且学习成绩和学习能力偏差或个人身心、品德、行为较差的学生通过有目的、有计划、有组织的辅导和帮助,使他们能够身心健康,学习成绩不断进步,激发他们的学习兴趣,提高他们的学习能力,逐步养成较好的生活和行为习惯。通过培优扶困,我不仅可以巩固和提高学生在课堂上所学知识,及时发现和培养有数学天赋和潜质的学生;同时通过培优扶困,我还从多种渠道获得了各类学生的反馈信息,及时发现、反馈教育和教学中优势与不足,并及时不断地加以改进、不断地提高,这对于自身的数学教育和教学起到了很好的促进作用,对我的教学水平的提高也是一副很好的催化剂。

二、和谐、融洽的师生关系,是做好培优扶困工作的剂

数学教学工作是一种多层次、多因素的比较复杂的工作。虽然它与相邻学科的教学工作有许多共同之处,但数学教学还具有自己独特的教学规律和理论体系。因此,开学初,我根据所教两个班级的学生数学成绩及思想表现情况,精心选择确定好培优扶困的对象,并制定出具体的培优扶困计划和措施。

我积极主动地做好思想方面的培扶教育,我十分注重与学生交朋友,深入细致地了解和关心他们的学习与生活,洞察学生的生理、心理,尤其是思想上的变化及波动情况,及时帮助他们解决学习上的困难和成长过程中产生的一些困惑,抑制了学生思想上的一些不良观念;让他们从内心中感觉到老师一直像自己的亲生父母在一样关心和爱护着他们,从而从心理上接受、信任和佩服我;特别是学困生,他们对学习缺乏兴趣,对自己缺乏信心,因此我经常利用课外时间与他们谈心,关爱他们的身心健康、关注他们的健康成长,想尽一切办法激发他们的学习积极性;充分挖掘他们身上的闪光点,一有进步就对他们进行表扬、鼓励和鞭策,发挥他们自身的优势和潜能,让他们在同学之间找回属于自己的那份自信。

三、将培优扶困渗透于课堂教学之中

我不断地更新教育理念,端正教学思想;用发展的眼光客观而又公平地看待每一位学生,既关注优秀生,更关注学困生。根据班级学生的实际情况,采取分层教学的方式,既保护中等的学生、又兼顾两头的学生,对待优生及学困生,特别给予关注,多提问、多督促,让他们多思考,以激发他们的学习兴趣和学习积极性,做课堂练习时,及时发现他们掌握知识的过程中存在的问题,及时解决;同时,对于不同层次的学生提出不同的要求,有的放矢,使他们各自尽情发挥、各得其所,优生能够更上一层楼,向更高峰迈进!学困生也能够循序渐进、将所学的知识及时消化和掌握,以鼓励、欣赏、激励的方法,肯定他们取得的一点一滴的进步,培养了他们的自信心,激发了他们的学习热情和积极性,增强了他们学好数学的勇气和力量。

四、将培优扶困渗透于课外辅导及作业批改之中

学生的素质是有差异的,对数学知识的理解和掌握程度也是参差不齐的,因此我在课外辅导中贯彻因材施教的原则,对于数学成绩较好的学生,通过个别辅导,强化他们对数学的兴趣与爱好;课外作业,鼓励他们一题多解,寻求最佳解题途径,偿试写出解题心得体会;对于数学有特长的学生,有目的、有计划地培养他们的逻辑思维能力和数学理解能力,指导他们多看课外书籍,多答辩一些竞赛题,以拓广他们的知识视野。

对于数学成绩较差的学生,也采取个别辅导的方式,以增强他们学好数学的信心,提高他们学习数学的兴趣,他们提出的问题,我都耐心细致地给予解答,并与他们一起分析问题的症结所在,是属于知识的问题还是技能方面的问题,协助他们一起制定出详细可行的学习计划,并做好跟踪督促工作。作业面批面改,结合作业中的出现问题,及时查漏补缺;在每次作业的后面,针对每个学生作业的具体情况,我都会附上信手拈来的微型评语,如: “有进步”、“没有人敢忽视你”、“这才是真正的你”,“看你的作业是一种享受”,“思路独特,有创造性”,“字要能工整一些就更好”……小小的几字评语,往往能起到“四两拔千斤” 的作用,让学生看到自己的优缺点,激发了学生的学习热情和积极性,对于提高培优扶困的效果起到了很好的催化剂的作用。

五、举办数学讲座,拓宽学生知识视野;同学互助,共同进步