排列组合练习题

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排列组合练习题范文第1篇

关键词：考试；高中数学；排列组合

■引言

排列组合作为代数课中一个分支内容，与其他教学模块有着十分紧密的联系，然而对于高中学生来说这却一直是学习的难点，教师也普遍反映在教学排列组合的时候很难用简洁明了的语言把要点阐释清楚，因此学生在考试的时候往往会失分很多. 学生在学习排列组合时遇到的学习障碍不仅在这一模块失分，还会严重影响到学生的学习数学的信心. 因此教师必须对学生学习排列组合时遇到的各种问题加以整理，并针对性提出解决策略，帮助学生克服这一学习难点.

■契机

笔者所在学校数学调研组为了解学生对排列组合的学习掌握情况进行了一次摸底考试，此次考试的内容包含了高中阶段排列组合的所有知识点和题型，尤其是将各班数学教师整理出来的错误率较高的题目类型包含在内. 为了节省学生们的时间，此次摸底考试，学校力求以最少的题目囊括最多的题型和知识点. 由于此次摸底考试主要考查学生在学习排列组合中遇到的思维性问题或知识性问题，故考试题型全部设定为应用题，要求学生把解题过程都明确写明.

经过任课教师和调研组教师再三商讨，最终此次摸底考试共设置9个题目. 题目的背景和学生们日常生活都紧密关联，例如献血问题、排队问题、分书问题等等. 这几个题目尽可能多包含了排列组合中知识点，例如对于特殊元素和位置的排列问题、元素相邻（或不相邻）问题、某些元素固定排列问题、正难则反问题等等. 对这次摸底考试答题结果进行统计和分析，我们看到了学生在学习排列组合时出现的一些集中性问题.

■问题

对学生答题结果进行统计以后我们发现学生产生错误的地方相对集中.

例如：“班上某小组共有5位男生和3位女生，现在要求对他们进行排序，要求男生A不能站在队首，男生B不能站在队尾，请问一共有多少种方法.” 此次摸底考试中该题的正确率只有39.9%. 这题的答题结果能清楚反映出学生对排列组合中关于特殊元素和特殊位置的这一类型的问题掌握力度还不够.

在深入对学生错误进行分析以后，我们发现，做错该题的原因有多种.

1. 这其中有一部分学生是因为没有正确理解题目的意思，所以在解题的时候根本无法下手，答题区域没有涂涂改改，甚至一片空白，没有任何解题头绪. 这反映出学生们的数学阅读理解能力较差，缺乏信心，不敢作答.

2. 有38%的学生没有答对是因为没有正确的列式. 这其中一部分学生是因为过于粗心，没有认真仔细读题就将数学公式带入计算；除了粗心以外绝大部分学生是对这一类特殊元素和特殊位置的题目缺乏正确的解题思路. 有的学生简单地认为A同学不站在队首共有7种情况，B同学不站在队尾也有7种情况，除去A、B两位同学以后，只要将剩下6位同学进行排列组合看看共有多少种排列方法即可. 这样做的学生不在少数，原因是他们仅仅考虑了一种A不在队首的站法，而事实上，A同学不站在队首必须分为在队尾和不在队尾两种情况，如果A同学站在队尾，那么B同学就可以有7种站法；如果A同学没有站在队尾，那么B同学就有6种站法. 这两种情况的计算结果是不一样的，绝大多数的学生都没有考虑到这一特殊情况，说明对特殊元素和特殊位置题目掌握还不够好.

3. 从一部分学生的答题结果来看，他们有基本的解题思路也考虑到了应该将A同学的情况进行分类，但是却在分类的时候陷入了混乱. 有的学生不知道应该按照什么标准来进行分类. 有的学生在分类的时候出现了遗漏和重复的现象，例如某位学生把该事件分为三类：分别是①B站在队首，A站在队尾；②B站在队首，A在中间；③B站在中间，A站在队尾. 这样的分类方法得出来结果必然是不完整的，他没有考虑当B站在中间的时候A既可以站在队尾，也可以站在中间的情况. 这一错误原因反映出来学生们在考虑这一类型题目的时候还不够全面细致.

除了上述这一小题存在问题以外，类似的问题还存在于“将9本书平均分成3组”这样的平均分配问题；“将6个歌唱节目和4个舞蹈节目进行排列，要求任何两个舞蹈节目不得相邻”这样的元素不相邻问题；“8本中文书和2本英语书任选5本，要求至少有一本英语书”这样的“至少”或“至多”的排列组合问题.从此次摸底考试的结果分析中，我们可以总结出学生在学习排列组合时遇到的问题.

首先是对题目概念理解存在障碍，很多学生还不能明确区分排列和组合以及分配这三个完全不同的概念. 在实际做题的时候有的学生往往把要求排列的问题当做是组合问题去解决，把组合问题当做是分配问题去解决.

其次是有的学生在数学阅读理解上存在障碍. 由于高中排列组合问题与生活都有一定的关系，学习排列组合实际上就是让学生们运用所学知识去解决实际问题. 因此，在排列组合中往往会遇到很多问题情境，有的学生对这些问题情境如果较为陌生，就会产生数学阅读理解障碍. 高中生的数学阅读理解障碍主要表现为对题目的意思无法理解从而不会列式或是随意列式，也有些学生不会正确使用排列组合的符号. 这些问题都说明了学生的数学语言转换能力还十分低.

在排列组合中学生最常见的问题是无法找到正确的解题方法. 排列组合的题目是十分灵活的，题型也十分丰富，很多学生面对变幻复杂的题目找不到正确的解决策略，区分不了有序排列、无序组合，也不了解分类用加、分步用乘这一基本问题. 这必定导致学生无法正确选择解决方法或是在解决方法的运用上存在明显错误.

运算的错误在排列组合中表现得也较为集中，一部分学生是因为在运用公式进行运算的时候出现错误，另一部分学生是用排列组合公式化简的时候出现错误.

以上这几类问题，是高中生在学习排列组合时最常见的问题，因此必须采用有效的策略加以解决.

■反思

针对上述问题，笔者及时采用正确的解决策略来提高对排列组合理解和掌握程度.

1. 深化学生对概念的理解

对题目中所涉及的概念加以理解是解题的首要步骤，也是正确解答的根本保证. 因此笔者在复习加强课上首要就是帮助学生加深对概念的理解. 笔者为了消减学生对概念的陌生感，将一些日常生活中常见的情境引入了课堂教学当中，例如，在复习课上给学生创设了下列情境：“某列火车从本市出发，目的为北京，途经多站”，然后再把排列组合的问题添加进去. 这样的情境练习可以帮助学生深入理解排列组合的意义，避免死记硬背. 在深化概念的过程中，笔者还增设了易混淆问题的辨析教学.例如分组问题和分配问题，笔者就进行了这样的题目训练：“将6个苹果分给三个同学，第一个同学有3个苹果，第二个同学有2个，第三个同学有1个”让学生明确这样的问题就是分组问题，而“将3个苹果分给A同学，将2个苹果分给B同学，将1个苹果分给C同学”这样的问题就是分配问题.

2. 重视学生思维训练

排列组合问题解决除了要对概念进行正确理解之外，同时还要求学生有较强的思维能力. 笔者在以后教学中要求学生在解题的时候要有清晰的解题步骤，在每一步都要思考“我为什么要这么做”、“我这样做符合题意么”、“我这样的分类完整吗”，让学生自己用这样引导性的问题训练自己的思维，在解题过程中及时找到正确的解题思路，克服自己思维的不严谨，提高自己的逻辑水平. 因为排列组合题是一种思维的组合，这类题通常与实际生活相关，所以在排列组合的学习过程中，应该注重学生思维的训练，将生活问题抽象为排列组合数学模型，再应用排列组合知识去解答.

3. 进行科学的专题训练

排列组合问题虽然灵活多变，但是有着基本的题目类型和解题套路. 如果学生扎实掌握这些题目类型，则能大大提高自己的解题能力. 这些基本题目类型包括“分类与分布问题”. 分类问题要用分类计数原理，而分布问题要用分布计数原理；“特殊元素与特殊位置问题”应当以元素分析为主，全面考虑特殊元素的位置，在此基础上再处理其他元素；“元素相邻问题”可用捆绑法进行，将若干元素当做一个整体来进行排列；“相离问题”的主要做法是先解决其他元素，再把题目要求不能相邻的元素进行排列. 此外，还有“正难则反”问题、“定序问题”等等.

■小结

排列组合练习题范文第2篇

一、创设研究情境，激发研究欲望

创设一定的教学情境是实施“研究性学习”的基础。苏霍姆林斯基说：“人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者”，因此教师在教学中必须注重学生的这种“根深蒂固”的心理需求，为研究性学习打下坚实的情感基础。然而，对于低年级学生来说，由于其生活经验有限，所以更应该用学生熟悉的且比较容易引入课堂的内容、材料或生活情境来创设一定的研究情境，以激发学生的“研究”欲望。如在教学“平均分”一课时，教师创设故事情境“两只笨熊分饼”。通过教师生动形象的故事讲述来激发学生积极主动地探索问题，“为什么两只笨熊最后都没有吃到饼？”从而联系生活探索“平均分”的概念和生活中的“平均分”现象。再如，在教学“三角形内角和”的时候，教师可以从两副三角板入手，让学生提出猜想“是不是所有的三角形的内角和都是180O呢？”然后，学生可通过亲自动手画任意的三角形进行测量验证，也可以任意剪一个三角形通过折一折，或剪掉三个角拼一拼来验证。在此动手操作的过程中，学生不仅兴趣高涨，且让学生经历了知识形成的过程。

二、提供研究材料，体现研究价值

让学生进行“研究性学习”，必须有一定的载体，而开放性的学习材料则是实施“研究性学习”的有效保证。当然，开放性的学习材料有很多，但对低年级数学教学中实施“研究性学习”来说，主要是向学生提供一些开放性的练习题。因为数学开放题的条件可以是多余的，答案可以不是唯一的，解题的策略和方法也比较灵活，即它有开放性的特点，发挥各自想象力，展开数学思维和方法交流的机会，并且大部分学生都能参与，都乐于参与，这样学生的主动性才能得到充分发挥，从而也就体现了“研究性学习”的根本宗旨。如在教学“排列组合”一课后，我上了一节数学活动课，主题内容是“我是小小研究者”，将数学课上学的知识进行拓展延伸。教师根据学习内容出示问题：（1）四人握手每两人握一次，能握几次？5人、6人、7人、100人呢？（2）3个数字可以排列成几个两位数？4个数、5个数、6个数……各能排列多少个两位数？教师提供出有价值的探索问题后，学生通过动手、合作、实践，自主探索出了排列组合的规律，学会了用式子计算，使得复杂问题变得简单化。

三、倡导合作学习，培养研究能力

排列组合练习题范文第3篇

一、引起中学生数学应用意识和能力差的原因

1、对数学的价值认识不足。

“科学技术是第一生产力”，“科学技术的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学”。这一论述揭示了数学在生产力中的巨大作用。数学作为从量的方面处理现实世界中各种关系的科学，当然也要处理有关生产关系的问题。这就是数学的价值。但由于历史的影响，教师们在过去的教学中过份强调数学的逻辑性、严谨性、系统性和理论性，宁可一遍遍地去重复那些严谨的数学概念、讲授那些主要为解题服务的技巧，却很少去讲数学的精神、数学的价值、数学结论的形成与发现过程、数学对科学进步所起的作用等等内容。这使学生对数学的认识片面化、狭隘化，比如许多学生就认为“数学不过是一些逻辑证明和计算，”甚至认为“数学只是一个考试科目。”

2、用数学的意识差

用数学的意识，简言之就是用数学的眼光，从数学的角度观察事物、阐释现象、分析问题。

意识是一个思想认识问题，也是一种心理倾向，其重在自觉性、自主选择性，它需要在较长时间中通过一定量的实践才能形成。

3、数学的能力弱（不善于建立数学模型）

数学课中要培养学生数学应用意识和能力，数学的建模是关键。我们面对的是学生，首先应从学生的实际情况分析，学生的阅历有限，对应用问题的背景不熟，难以从中构建出数学模型，阻碍了对实际问题的解决。

二、 培养应用意识以数学教材中的应用问题为切入点

1、教材贴近现实，每一章的序言都编排了一个现实中的应用问题，引入该章的知识内容，以突出知识的实际背景。如在第三章《数列》以趣味话题：“国王对国际象棋棋盘发明者奖励的麦粒数”的计算作为章头序言，激发学习欲望，增加教材内容的趣味性。

2、以实际例子引入“具体问题”的研究。高中数学的十章内容中，分别就概念引入、实例说明、数学表示等方面有三十一处都恰当地运用了实际问题和具体情景。如用“不同重量信件的邮资问题”表示分段函数，用功和位移的关系引入向量数量积的概念等。实例引入增强了问题的实际背景，为顺利解决问题作了铺垫。

3、例题中的应用问题。例题中安排应用问题，一方面可以培养学生阅读能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，而且通过范例讲解，使学生掌握解决应用问题的一般思想和方法。

4、练习、习题、复习题中增加了应用问题的分量。为使学生巩固所学知识，逐步提高分析问题、解决问题的能力，新教材在练习题、习题、复习题中增加了大量的应用问题，量大面宽，情景新颖，融知识性、趣味性、自主实践性于一体。

三、以数学应用题问题的教学实践为着力点

1、注重培养学生基本方法和解题思路。只有在教学中结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模过程、建模思想，才能为培养学生的应用意识，提高学生分析问题、解决问题的能力打下坚实的基础。

教学应用题的常规思路是：将实际问题抽象、概括、转化――数学问题――解决数学问题――回答实际问题。具体可按以下程序进行：

（1）审题：由于数学应用的广泛性及实际问题非数学情景的多样性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的问题，舍弃与数学无关的因素，抽象转化成数学问题，分清条件和结论，理顺数量关系。为此，引导学生从粗读到细研，冷静、缜密地阅读题目，明确问题中所含的量及相关量的数学关系。

（2）建模：明白题意后，再进一步引导学生分析题目中各量的特点，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代数式表示，它们之间存在着怎样的联系？将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建成数学模型。

（3）求解数学问题，得出数学结论。

（4）还原：将得到的结论，根据实际意义适当增删，还原为实际问题。

2、引导学生养成善于归纳总结的良好习惯。为了增强学生的建模能力，在应用问题的教学中，及时结合所学章节，引导学生将应用问题进行归类使学生掌握熟悉的实际原型，发挥“定势思维”的积极作用，可顺利解决数学建模的困难，如将高中的应用题归为：①增长率（或减少率）问题；②行程问题；③合力的问题；④排列组合问题；⑤最值问题；⑥概率问题等。这样，学生遇到应用问题时，针对问题情景，就可以通过类比寻找记忆中与题目相类似的实际事件，利用联想建立数学模型。

3、选择合适的教学方法。高中新教材的数学应用问题遍及教材的各个方面，教学时针对不同内容，有的放矢，各有侧重，就会取得较好的效果。

（1）章头序言，指导阅读，留下悬念。对图文并茂的章头序言，由教师简单提出或由学生阅读，使学生稍作碰壁，留下解题悬念，增强解决问题的欲望。

（2）重视例题的示范作用。例题是连接理论知识与问题之间的桥梁，示范性强。因此在讲解例题时应在分析题目各个量的特点关系、建模、解决数学问题、还原为实际问题诸环节都应很好地起示范作用，教师应重视例题的分析与讲解，积极进行启发式教学，培养学生分析问题、解决问题、寻求基本实际模型的能力，重视数学理论知识与实际应用的联系。

（3）指导练习，巩固方法。充分运用课本的练习题、习题、复习题，让学生自己动手、动脑，运用所学的知识解决实际问题。练习题位于具体的理论知识后面，建模方向性强，教师只需稍作指导；而习题则更多利用教师批改作业的机会，主要纠正数学语言转化过程及解题的规范过程；复习题由于综合性强，学生解决有困难，教师要给予必要的指导、提示。

排列组合练习题范文第4篇

一、训练问题解题法

为培养学生的应用意识，提高学生分析问题解决问题的能力，教学中首先应结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模过程、建模思想。

教学应用题的常规思路是：将实际问题抽象、概括、转化——数学问题、解决数学问题、 回答实际问题。具体可按以下程序进行：

（1）审题：由于数学应用的广泛性及实际问题的多样性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的问题，舍弃与数学无关的因素，抽象转化成数学问题，分清条件和结论，理顺数量关系。为此，引导学生从粗读到细研，冷静、慎密的阅读题目，明确问题中所含的量及相关量的数学关系。对生疏情景、名词、概念作必要的解释和提示，以帮助学生将实际问题数学化。

（2）建模：明白题意后，再进一步引导学生分析题目中各量的特点，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代数式表示，它们之间存在着怎样的联系？将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建成数学模型。

（3）求解：解出数学问题，得出数学结论。

（4）还原：将得到的结论，根据实际意义适当增删，还原为实际问题。

例：某城市现有人口总数100万人，如果年自然增长率为1.2％，写出该城市人口总数y(人)与年份x(年)的函数关系式。

这是一道人口增长率问题，教学时为帮助学生审题，我在指导学生阅读题时，提出了以下要求：

——粗读，题目中涉及到哪些关键语句，哪些有用信息？解释“年自然增长率”的词义，指出：城市现有人口、年份、增长率，城市变化后的人口数等关键量。

——细想，问题中各量哪些是已知的，哪些是未知的，存在怎样的关系？

——建模，启发学生分析这道题与学过的、见过的哪些问题有联系，它们是如何解决的？对此有何帮助？

学生讨论后，从特殊的1年、2年…抽象归纳，寻找规律，探讨x年的城市总人口问题： y=100·(1+1.2%)x。

二、引导学生将应用问题进行归类

为了增强学生的建模能力，在应用问题的教学中，及时结合所学章节，引导学生将应用问题进行归类使学生掌握熟悉的实际原型，发挥“定势思维”的积极作用，可顺利解决数学建模的困难，如将高中的应用题归为：①增长率（或减少率）问题②行程问题③合力的问题④排列组合问题⑤最值问题⑥概率问题等。这样，学生遇到应用问题时，针对问题情景，就可以，通过类比寻找记忆中与题目相类似的实际事件，利用联想，建立数学模型。

三、针对不同内容采取不同教法

高中新教材的数学应用问题遍及教材的各个方面，教学时只要针对不同内容，有的放矢，各有侧重，就会取得较好的效果。

1.章头序言，指导阅读，留下悬念。对图文并茂的章头序言，由教师简单提出或由学生阅读，使学生稍作碰壁，留下解题悬念，增强解决问题的欲望。

2.重视例题的示范作用。例题是连接理论知识，与问题之间的桥梁，示范性强。因此在讲解例题时应在分析题目各个量的特点关系，建模，解决数学问题、还原为实际问题的诸多环节都应很好的起示范作用，教师应重视例题的分析与讲解，积极进行启发式教学，培养学生分析问题、解决问题、寻求基本实际模型的能力，重视数学理论知识与实际应用的联系。

3.指导练习，巩固方法。充分运用课本的练习题、习题、复习题，让学生自己动手、动脑，应用所学的知识解决实际问题。练习题位于具体的理论知识后面，建模方向性强，教师只需稍作指导；而习题则更多利用教师批改作业的机会，主要纠正数学语言转化过程，及解题的规范过程；复习题由于综合性强，学生独自解决有困难，教师要给予必要的指导、提示。

4.课外阅读，补充提高。对于不作教学要求的阅读材料，根据教学进度提出阅读要求，布置学生进行课外阅读，培养学生的阅读能力，扩大知识面，激发学生的学习兴趣。

5.实习作业，重视实际操作与团结协作。完成实习作业，可以打破单一沉寂的课堂教学氛围，激发学生的探索精神，培养学生的实践能力，进一步培养学生应用数学的意识和创新能力。但实际问题的因素是错综复杂的，这就要求学生在调查、分析、研究的基础上，抓住本质，通过筛选，去粗取精，结合数学知识，进行建模解决实际问题。如第五章《三角函数》中的实习作业，对不能直接测量的两点的距离，教师选定符合要求的地点，组织学生实际测量，通过计算器进行计算，学生兴致很高，特别是对“已知两边和一对角”解三角形的三种情况，通过动手操作，实地测量，加深影响，激发了学生的探索精神，增强了学生的感性认识。

6.研究性课题，重视自主探究。“研究性课题”是新教材中的一个专题性栏目，具有探究性和应用性的特点，它既是所学内容的实际综合应用，又对学生探究和解决问题具有较好的训练价值。

“研究性课题”，一个有关分期付款的问题，因为很多人一次性地支付售价较高的商品款额有一定困难，另一方面不少商家也不断改进营销策略，方便顾客购物和付款，它与每个家庭的日常生活密切相关，在今天的商业活动中应用日益广泛。对它的探究将会引起学生极大的兴趣，教学这一课题时，应突出以学生探究为主，教师点拔、介绍为辅，教师不断提出问题，介绍情况，启发诱导。鼓励学生研究和探索。

第一步，让学生阅读教材中的方案表，明确每个付款方案的次数、方式。

第二步，引导学生探究第二种方案，即分6次付清，购买后第2个月第一次付款，再过2个月第2次付款……购买后12个月第6次付款，月利率为0.89％，每月利息按复数计算。

首先，学生根据要求试做，不少学生得出每期付款多少元，也有学生得出每期付款多少元。这时教师不必指出对错，进一步分析、调整学生思维，这两种方式对谁有利？学生计算后，自然得出前者对顾客有利，商家吃亏，而后者对商家有利，顾客吃亏，都不符合买卖公平的原则。

排列组合练习题范文第5篇

【关键词】 有序思考 渗透 数学思想方法

“渗透”就是把某些抽象的数学思想逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中，使学生对这些思想有一些初步的感知或直觉，但还没有从理性上开始认识它们。数学思想方法是数学知识的精髓，又是把知识转化为能力的桥梁。一个充满教育智慧的教师，不仅要教给学生前台的基础知识，更要教给学生后台的数学思想方法，让学生真真地学会数学思考。让学生获得基本的数学思想方法，是小学数学新课程教学改革的新视角之一，课标还在关于“数学思考”的目标中提出“在解决问题的过程中能进行简单的，有条理的思考”。那么，怎样培养学生进行有序思考？怎样的学习内容和学习方式对培养学生问题解决利用“有序性”思考的效果好些呢？笔者进行了一一梳理。

1 培养学生“有序性”思考能力是可行的也是必要的

有序思考是学生按照一定的顺序，使其不遗漏又不重复的一种思维方法。学生的有序思考能力不是与生俱来的，也不是在哪天突然间就会了的。而是通过数学内容的学习和课堂教学中有意识的培养逐步形成的。北师大版实验教材中，有序性思考的教学内容，在各个领域的教学中都有渗透，几乎每个年级都渗透“有序思考”的方法，（如下表）这使学生在解决问题的过程中自觉地运用了这一思想方法。

以一年级的学生为例，由于年龄小，他们的思考常常是无序的，想到哪儿就说到哪儿。这更需要教师在平时的教学中逐步的渗透，培养学生养成有序思考的习惯，使学生在潜移默化中学会学习和有序的思考。

例如：小学数学北师大版一下的数学书上第60页中有这样一道题：下面（ ）里可以填什么数？10+30>（ ）、20+（ ）

在做这道练习时，我还是多留了个心眼。我先让学生独立思考，自己尝试。正如同事所言，我发现大部分同学只写了一种方法。但学生真的只是这么想的吗？在讨论交流10+30>（ ）的时候，学生争先恐后地发言，说出了很多的答案，结果括号里写不下了。我故意把问题抛给学生：“怎么想，不重复，也不漏掉，能一下子说出所有的答案。有什么好办法吗？”学生陷入了沉思，马上有一个同学首先举手了：“括号里的数只要小于40就行了。”真的如此吗？我让学生讨论一下，大家兴奋地发现，果然可以按照这样的规律写，一下子写出所有的数了。完成第2题就简单了。经过思考，学生发现，20+（ ）（ ）、60+（ ）

总之，只要我们教师细心地观察、积极地引导和训练，一年级的学生也会在我们的数学课堂上张开有序思考的翅膀。在开放练习中，学生有序思考的能力得到提高，学生发现了规律，提升了思维的层次。只要我们能做个有心人，能持之以恒，学生就能逐步形成有序地、全面地思考问题的意识，进而达到《课标》要求，使学生在现实生活、社会实践中观察事物、发现问题、分析问题等各方面形成有序思考的能力。

2 在探究中渗透“有序性”思想，培养学生的有序思考习惯

逻辑思维能力应该从小抓起，通过各个教育环节，潜移默化地、循序渐进地、不间断地进行。首先要从培养学生潜在的有序性思考入手，经过发展潜创造力，培养良好的创造情境动机，然后转变为现实创造力，实现了对学生逻辑思维能力的培养。在有序性的教学过程中，我们用创造学理论指导教学，注重对学生创造性思维的人格特征的培养。

例如：北师大版五上《旅游费用》一课的教学中，学生在计算这样一道题：某小学四年级155人去秋游，大客车40个座位，车费1000元；面包车25个座位，车费650元，有哪些租车方案？哪种方案最省钱？结果在全班汇报时发现，学生的思考都是无序的，想到一种方案就算一种，出现了重复和遗漏。生1：我有两种方案。第一种全租大客车4辆，共4000元，第二种全租面包车7辆共4550元，所以全租大客车省钱。生2：我还有补充。还可以租3辆大客车，2辆面包车，共4300元……

在这样的情况下，教师有意设置认知冲突，促使显示另辟蹊径，进行数学思考。于是引导学生进行反思：怎样才能做到不重复又不遗漏呢？在引导学生有序的思考后，得出所有的方案，并列成表格。（如下表）

最后得出：租2辆大客车，3辆面包车最省钱。

这样的探究才是学生最迫切需要的，是在学生的最近发展区，才能最充分地调动学生的内部动机，而探究的结果也将成为学生记忆最深刻的知识。通过引导学生进行反思，比较其前后两种方法的异同，有利于学生发现其中的规律，学会有序思考，从而提高学生思维的质量，培养学生高水平的数学思维。“有序性”数学思想方法也得到了渗透，培养学生养成了有序思考的习惯，使学生在潜移默化中学会学习和思考。

又如：《搭配中的学问》一课，课中出现的搭配衣裤的情境，我们如何帮助学生从这些生活现象中提取数学信息，使学生学会简单、易行的有序性思考方法，从而培养学生的数学能力，这是我们应该重点关注的。从事件现象到数学符号，这个产生过程非常重要。教学中，教师尽可能请学生根据要求，用卡片动手摆一摆。之后设置了衣服卡片不够用的情况，师问：“没有卡片怎么解决？”学生就可能会用许多符号来表示这些实物、字母、数字、几何图形等，在反馈时，发现学生已经有了多种表示方法，我就让学生展示这些方法。

方法1：

方法4：3×3=9（套）。生：第一件上衣分别搭配三条裤子有三套，一共有三件上衣和三条裤子，是3个3，就是9套。

生：上衣有三件，只写一个字不能分出是哪件，写多了字又太麻烦，所以，我用衣1、衣2、衣3来表示，裤子有三条，同样用裤1、裤2、裤3来表示，这样连线搭配后，也是3个3，就是9套……

这样，可以充分暴露学生个性化的思维习惯方式，且他们主动参与的热情也将会更高。学生可以从上衣出发考虑，也可以从裤子出发，渗透有序思考的意识，思维层次就更高了。“排列与组合”是一种思维有序性的教学。这部分知识有许多生活原型，纵观“创设问题情境――建立数学模型――解释与应用”的过程，让学生充分经历“排列与组合”这一数学知识再发现、再创造的过程，激励和尊重学生多样化的独立思维方式，实现个性化的学习。由此想到，教学有三重境界：一是教知识；二是教方法；三是教思想。新课程下的小学数学比以往更加重视了数学思想方法的蕴涵，我们在平时的教学中也应该及时地对数学思想、方法进行提炼、归纳和概括，应该引导学生灵活地运用数学思想方法解决数学问题，让数学思想方法逐步深入人心，最终内化为学生的数学素养。

3 在练习中渗透“有序性”思想，提高学生的解题策略能力

练习题是小学数学教材的重要组成部分，是学生进行有效学习的重要载体。在课改实践中，有些教师比较重视例题的教学，却不屑对课本习题作精细化的研究，以致习题的功能被弱化，习题中隐含的一些有价值的因素未能被充分开发与利用，教材的意图不能凸显。其实，只要我们多思考它对提升学生思维、促进学生发展的价值，则看似简单的习题背后蕴藏着丰富、深刻和生动，一些练习题还大有文章可做。

3.1 善于运用针对性练习。几乎每个年级都安排了不少“有序思考”的练习，如（以北师大教材为例）一年级上册书上的+=6，7-=；三年级上册“搭配中的学问”；四年级下册“数图形中的学问”、“图形中的规律”等等。教师应善于发现这部分针对性练习，做到心中有数。例如有这样一道练习题：给一本书编页码，一共用去732个数字，这本书一共有多少页？按照每个页码所用数字的个数分类：①只用一个数字的有1～9页，共用了9个数字；②用两个数字的有10～99页，共用了2×（99-9）=180（个）数字；③余下的（732-180-9）个数字用来编三位数的页码，可以编（732-180-9）÷3=181（个）页码。于是可以求出这本书一共有9+90+181=280（页）。有些数学问题，由于条件与问题之间的联系不是单一的，情况比较复杂，为了解决问题的方便，需要对各种情况加以分类，有序的逐类求解，然后综合得解。

通过一些针对性练习，使学生能按照一定的条理，朝着有利于解题的思维方向去思考。教师对教材中练习的深入思考，对自己阅读教材的能力是一种提升，教师有意识的引导学生有序地思考，学生的学习会更加的有效。一次小练习，对教师和学生来说都是一次思考的提升，有思有得，在不断的思考中教学相长。

3.2 充分挖掘练习的内在价值。我们平时在做练习时往往满足于得到正确答案，而忽略了答案背后所隐含着的更为深刻的思维引导价值。学生的有序思考能力正是通过数学内容的学习和课堂教学中有意识的培养逐步形成的。因此，教师要走出“为练而练”的误区，合理地对习题进行深度挖掘，举一反三。像上面的20+（ ）

3.3 对一题多解合理优化。一题多解，有利于挖掘题目信息，联贯所学知识，培养学生发散思维；改变问题背景，多题一解，建模归类，有利于培养学生的收敛思维，从而加深学生对数学知识的深刻理解，更重要的是它扩大了学生的认知空间，激发学生创造灵感，培养学生的创新欲望，训练学生思维的变通和求异性。但我们要引导学生（特别是中下学生）从多种解法中比较出方法的优劣。

例如：前面《搭配中的学问》搭配衣裤的情境，学生展示了5种比较典型的方法，教师组织比较，问：“这些方法你喜欢哪一个，为什么？”生1：第1种方法好。因为他用表示上衣，用表示裤子，看起来很清楚。生2：第5种方法好。因为他有文字又有数字，每一件衣服的编号都不一样，一看就知道有三件。生3：第4种方法最好。因为一件衣服分别搭配三条裤子有三套，一共有三件衣服，就是3个3，列式就是3×3=9（套）……

方法本身没有好坏，但在具体题目中有运算繁简之分，思维上有难易之别，书写上有长短之分，不同的同学，元认知起点不同，选择也不一样，但我们要学会去选择。因此，我们要通过引导学生进行反思，比较其异同，有利于学生发现其中的规律，学会有序思考，使多种多样的算法不再仅仅是某些学生的突发奇想，而成为按照一定方法有序思考的必然产物，从而提高思维质量，培养高水平的数学思维。

3.4 重视方法的具体指导。教学时，教师不能孤立地教学其中的某种策略，而应了解编者的意图，有机地将前后策略联系起来，提高策略教学的有效性。？要培养学生的有序思考能力，特别是对于低年级的孩子来说，方法的具体指导是十分重要的。例如：在数的组成这一练习中，为了帮助学生有序化地思考，教师需要借用一种简便易行的方法帮助学生分析。如图： 可以先打框，问学生怎么排比较好。有了这个模式，学生的思维更有序了。

同时，我们需要对学生已有的认知经验作必要的了解，从而来修正自己的教学设计。比如，学生在学习《排列组合》之前是否接触过类似的数学问题。在二年级的《直线和线段》这一课中，教师教学数线段方法并使之优化时，就曾经讲过通过计算的方法。如：下图里有几条线段？

这实际上已经蕴涵着组合的思想，即点与点的组合。用“4+3+2+1=10”的方法计算，很快地就可以算出结果。这为数三角形、长方形奠定基础。不过小学生学习的重点还是经历这种探究过程，不能急于概括算法。我们如何有效地利用学生的认知起点为学生的思维能力发展服务，这是一个永远值得研究的课题。

总之，要抓住每次练习机会，给学生充足的思考时间，并给学生一些具体的指导，让他们渐渐养成并学会有序思考。有序思考的步骤一般如下：①有序地思考的第一步：提取信息，瞄准目标。②有序地思考的第二步：观察联想，盘点家底。③有序地思考的第三步：关联利用，择决途径。④有序地思考的第四步：鉴别优劣，规范表述。

4 及时总结梳理所渗透的数学思想及方法，深化学生的思维

对本节课所渗透的数学思想及方法进行总结梳理。这是深化学生思维的重要内容。学生对所学知识有无深刻的理解和认识，就要看他对整节课堂学习中知识发生、发展过程中所体现的数学思想方法的认识程度。对学生的发展而言，学习的价值不只是记住几个数学结论，解决几个习题而已，而是让学生在解决问题的过程中体会到解决问题是可以有不同策略的，这些解决问题的策略，渗透着数学的思想方法在里面。当学生能用自己的语言表达对问题的理解，对常见的数学思想方法有一定认识的时候，学生的思维才能真正得到升华。

例如：“用0、3、5、6能组成哪些四位数？”这一练习题，学生看完题目就开始写了，有些学生的思考是无序的，写出的数字都是杂乱无章的，如3560、6530、5036等，但有些学生的思考是有序的，在汇报时，根据学生汇报板书：

生1：3056、3560、6530、6053、5630、6035

生2：3056、3065、3506、3560、3605、3650

5036、5063、5306、5360、5603、5630

6035、6053、6305、6350、6503、6530

引导学生对两种方法进行比较，师问：为什么两组数字相差这么多？你能比较出两种方法的不同吗？学生讨论后，教师进行总结：用一些给定的数字组成多位数时，先确定最高位上的数字，然后依次往下排列，这样可以使得到的数比较完整，而且易于比较。这是一种有序思考问题的方法，有了这种有序思想，就有了思维的方向，也就有了行动的方向。

在小结时都应该引导学生结合过程知识进行高度概括。让学生深刻体会到数学思想这个“隐身人”在解决问题中的作用。在小结中不断让学生体会常见的数学思想方法，如：函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想，化归与转化思想。等等，能让学生的思维能达到一个较高的思维水平，能让学生用数学来思考问题，分析问题，解决问题，从而提高学生的整体数学水平。

总之，有序性思考是最有利于培养学生的右脑智力，使左右脑协调发展，把抽象思维和形象思维有机的结合起来的一种教学模式。作为小学教育工作者，要在课堂上有意识的引导学生，渗透有序思考的数学思想，来解决一些有序性思考的问题，逐步培养学生的逻辑思维能力。只有经过逻辑思维，人们才能达到对具体对象本质规定的把握，进而认识客观世界。因此，我们的课堂应该是学生感受数学思想的启迪课、运用数学方法的训练课。它对学生今后的数学知识建构、其他学科的探究学习乃至终身学习的能力发展都将大有裨益。

参考文献

1 王晓洁.浅谈逻辑思维能力的培养[J].济南教育学院学报，2000（03）

2 郅庭瑾.教会学生思维.教育科技出版社，2003

3 陈和.小学数学教师.上海教育出版社，2007