三角函数值

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三角函数值范文第1篇

关键词：直角三角形；边角关系

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）04-244-01

直角三角形的边角关系，在现实世界中应用非常广泛。而锐角的三角函数在解决实际问题中有着重要的作用，如测量距离、角度、高度等问题，特殊角30度、45度、60度角的三角函数值也是经常用到的，但许多学生在应用这些特殊角的三角函数值解决问题时，却总是出现记忆不牢靠或者张冠李戴的现象，如何让学生牢固并熟练掌握这些特殊角的三角函数值呢？我觉得可以从以下几个方面去加强。

一、引入图形，让学生建立清晰的第一印象

由于含30度、45度、60度的直角三角形三边之间有着特殊比例关系，因此，教学时为了便于学生理解和记忆，可以根据含这些特殊角的三角形的边角之间的关系，画出相应的图形，如30度角所对的直角边，所临的直角边，斜边之比为1∶√3∶2，含45度角的直角三角形三边之比为1∶1∶√2，让学生自己独立完成这几个特殊角的三角函数值的求值过程，学生根据定义，便可得到各角的三角函数值，学生经历了特殊角的三角函数值的求值过程，由于图形的直观作用，必然会产生清晰的第一印象，方便了记忆。

二、利用三角函数的增减规律进行记忆

在直角三角形中，当锐角的度数一旦确定，它对应的正弦值、余弦值、正切值也随之确定，当锐角的度数发生变化，它的正弦值、余弦值、正切值也随之发生变化，为了帮助学生探索并理解随着锐角度数的增大或减小，它对应的正弦值、余弦值、正切值变化的规律，可设计有公共锐角顶点且一直角边有重叠，以及斜边相等的一系列直角三角形，通过图形，学生会直观的感受到，当锐角的度数逐渐增大，它所对的直角边也随之增大，它所邻的直角边则随之减小，所以会很自然地得出结论，正弦值随锐角的增大而增大，余弦值随锐角的增大而减小，正切值随锐角的增大而增大，用锐角三角函数的增减性，学生记忆这几个特殊角的三角函数值就会容易许多。

三、寻找数字规律巧妙记忆

在记忆30度、45度、60度角的三角函数值时，可引导学生通过比较，寻找数字规律，巧妙记忆，如30度、45度、60度角的正弦值分母都是2，而分子依次对应为：1即√1，√2，√3，而余弦值分子则分别是√3，√2，√1即1，分母也都是2。

四、利用互余两角正弦和余弦之间的关系，及同角三角函数之间的关系，通过比较与联系记忆。

三角函数值范文第2篇

一、 “给角求值”

一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察则非特殊角与特殊角总有一定的关系。解题时，要利用观察得到的关系，结合三角关系转化为特殊角，并且求出特殊角的三角函数而得解。

点评本题中“切化弦”是解题的关键，它为逆用

和角公式铺平了道路，然后通过对角的合理变换，将其转化为特殊角的三角函数值的求解问题。

二、 “给值求值”

给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数式的值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。

点评化未知角为已知角的思考，抓住了问题的本质是函数值与自变量之间的最基本的对应关系，而不是“变角”技巧。同时，在求解三角函数值时，一方面要注意角的取值情况，切勿出现增根，另一方面要关注角与角之间的关系。通过应用整体法来处理各个角，以减少问题的运算量。

三、 “给值求角”

实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含有已知角的式子表示，由所得的函数值结合该自变量的取值范围求得角。

求“动点轨迹的方程”是解析几何部分的重点和难点，我们要求学生在解答时要注意完备性与纯粹性。完备性即轨迹上一个点也不能漏掉；纯粹性即轨迹上一个点也不能增加。让很多学生头疼的是，最后求出来的曲线方程是否符合完备性和纯粹性？方程后面有没有附加条件？怎样做可以避免这类问题的错误？我们就学生作业中出现的问题来谈一谈如何有效地去掉动点轨迹中多余的点。

下面是两道学生作业题中出现的问题：求出一个轨迹方程便结束，以为完成了所有解答，却不知还有多余的点要去除。

例1 苏教版选修2-1第64页第3题：

已知动抛物线的准线为y轴，且经过点A（1，0），求抛物线焦点的轨迹方程。

学生解

设焦点为F（x，y），

由抛物线定义得AF=d=1，

代入坐标得（x-1）2+y2=1。

分析 本题的题设描述的是抛物线的焦点、准线和抛物线上一点的关系，使用定义可以建立几何等式，进一步得到代数等式，但是在使用抛物线定义时，要注意焦点不在准线上，所以本题还需要添加如下过程：

因为焦点F不在准线y轴上，所以x≠0，

所以焦点的轨迹方程为（x-1）2+y2=1，其中x≠0。

例2 苏教版选修2-1第64页第4题：

在求轨迹方程时，很多往往算出一个方程便结束，出现作业题“对而不全”的情况，求动点轨迹如何去掉多余的点，总结起来应注意以下几种情况：

1. 有些题目中含有已知曲线，如椭圆、双曲线、抛物线，它们的定义中都有附加条件，解题时要根据曲线的定义来考虑完备性和纯粹性，如例1；

2. 利用三角形的三点不共线，去掉多余的点，如例2；

三角函数值范文第3篇

1.定义的差别

新教材“任意角三角函数”（人民教育出版社A版，必修4第一章），其三角函数采用如下的定义（姑且称这个定义为“单位圆定义法”）：

“设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y），那么 ①y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；

②x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；

③■叫做α的正切，记作tanα，即tanα=■（x≠0）

可以看出，当α=■+kπ（k∈Z）时，α的终边在y轴上，这时点P的横坐标x等于0，所以tanα=■无意义。除此之外，对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的。所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。

老教材对“任意角三角函数”的定义（姑且称这个定义为“终边定义法”）：“在角α的终边上任取一点P（x,y），P到原点的距离为r，比值■，■，■分别定义为角α的正弦函数、余弦函数和正切函数。”

2．教学内容安排的差别

新教材利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数。这个定义表明了正弦函数、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系，而坐标定义法只是作为例题的形式让学生自己去证明。老教材由锐角三角函数推广到任意角三角函数，体现特殊到一般，易于学生接受，然后再特殊化到单位圆定义法。两者教学的顺序刚好相反，教学内容的侧重点也有所不同。

二、在实际教学中的教师处理方式

大多数教师在刚开始接触新教材，教学“任意角三角函数”定义这节时，觉得老教材的处理方法（由初中的三角函数过渡到任意角三角函数）比较自然，上课时仍然采用“终边定义法”，而对“单位圆定义法”则点到为止，未体会到新教材中单位圆定义法的作用与地位。这样处理这节内容，虽然也完成了教学内容，但是笔者认为有悖于新教材的设计意图,显得有点本末倒置。因为新教材对“任意角三角函数”的定义采用“单位圆定义法”的目的旨在体现它在三角函数中的重要地位，而非仅仅是“终边定义法”的一种特例。

三、对新教材“任意角三角函数”的定义的解读

1．老教材的优缺点

优点：老教材在对任意角的三角函数下定义时，以学生的原有知识——锐角三角函数为生成点，以比值法为切入点，进一步到“终边定义法”，将它很自然的纳入到学生原来的知识结构中去，这种定义方法能够表现出从锐角三级函数到任意角三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有的认知基础出发学习三角函数，贴近学生的思维，易于学生接受新概念。为了使形式更简单、实用，将“终边定义法”特殊化为“单位圆定义法”，学生不会觉得突然。

缺点：它对准确把握三角函数的本质。从“角的集合到比值的集合”的对应关系与学生所熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解。同时对于解读三角函数的图像、性质、一系列三角公式等也不如利用单位圆来得方便，且便于学生理解。

2．对新教材的理解

（1）单位圆与三角函数的关系

对于任意角α，它的终边与单位圆的交点P（x，y）是唯一确定的，所以采用“单位圆定义法”定义任意角的三角函数是符合函数的基本定义的。同时用这种方法表示任意角的三角函数形式上也非常简单，正弦是纵坐标y余弦是横坐标x（sinα=y，cosα=x），反之，x=sinα，y=cosα是单位圆的自然的动态描述。同时由于单位圆的半径为1，在采用弧度制后，这样角的大小就可以用弧长来表示，为以后的三角函数图象的描点法打下了很好的基石。因为“单位圆定义法”充分利用了单位圆上点的横坐标、纵坐标，并且圆是一个具有很好对称性的图形，由此我们想到正弦函数、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（特别是对称性）的解析表述，所以利用单位圆使三角函数反映的数形关系更具体，为后面诱导公式的推导以及三角函数图象性质的研究奠定了很好的基础。单位圆上的点的坐标随着角α每隔2π（即一个圆周长）而重复出现，非常直观且又很形象地显示了三角函数的周期性，也使单位圆中的三角函数线与三角函数定义有了更直接的联系，从而使我们更方便地采用数形结合的方法来解决三角函数的有关问题。反之，正弦、余弦又是圆的参数形式的代数静态描述，为圆的参数方程作了铺垫。

（2）“单位圆定义法”使三角函数性质变得更简单

“单位圆定义法”以单位圆作为研究的平台，使自变量α与坐标x、y的对应意义显得非常直观而具体，使三角函数的诱导公式及性质等显得更自然、更富有活力、更丰满，下面具体罗列之（主要讨论正弦、余弦函数）。

设角α的终边与单位圆交于P（x，y）

①定义域、值域：由于α的终边与单位圆有交点，且只有唯一的一个，从而符合函数定义，使x=sinα，y=cosα变成了以α为自变量的函数，且定义域均为R；又因为｜x｜≤1，｜y｜≤1，所以x=sinα，y=cosα的值域均为［-1,1］。

②象限符号：由点的横、纵坐标的象限符号，很容易得到sinα，cosα在各象限的符号（具体略）。

③同角三角函数的基本关系：

｜op｜＝1■｜op｜2＝1■x2+y2=1

sin2α+cos2α=1■tanα=■=■

④诱导公式及奇偶性：

圆关于x轴对称，则有cos(-α)=cosα,sin(-α)=-sinα这也就说明了y=cosα是偶函数，y=sinα是奇函数。

圆关于y轴对称则有：sin（π-α）=sinα，cos（π-α）=-cosα

圆关于原点对称则有：sin（π＋α）=－sinα，cos（π＋α）=-cosα

圆关于直线y=x对称则有：sin（■-α）=cosα，cos（■-α）=sinα

⑤三角函数图象的对称性：

圆关于x轴对称，即P（a，b）的对称点P/（a,-b）

y=cosx的图象关于直线x=kπ（k∈Z）对称。

y=sinx的图象关于点（kπ，0）（k∈Z）对称。

圆关于y轴对称，即P（a，b）的对称点P/（-a，b）

y=sinx的图象关于直线x=kπ+■（k∈Z）对称。

y=cosx的图象关于点（kπ+■，0）（k∈Z）对称。

⑥单调性：当α从-■增大至■时，y从-1增大至1，当α从■增大至■时，y从1减小至-1.

y=sinα在［-■+2kπ，■+2kπ］（k∈Z）上是增函数，在［■+2kπ，■+2kπ］（k∈Z）上是减函数，同理余弦也一样。

（3）单位圆定义法在解三角题中的作用

利用单位圆或者“单位圆定义法”解三角题，充分挖掘单位圆与三角函数的内在联系，很好地利用了圆的几何特性和参数方程，把三角问题转化为圆的问题，数形结合，方法新颖，有时能具有别具一格的效果，活跃学生的思维，创造性地利用了三角函数的定义，抓住了三角函数的核心根基，有利于激发学生的兴趣和开拓学生的思维。

①三角函数化简与求值

例1.记cos（-80°）=k，那么tan100°=（ ）

A．■ B．-■

C．■ D．-■

解析：记-80°的终边与单位圆交于点P（k,y），则100°的终边与单位圆交于（-k,-y）

k2+y2=1（y

②证明三角函数恒等式

例2.求证：

■=sinα+cosα

解析：1+sinα+cosα+2sinαcosα=1+y+x+2xy

（sinα+cosα）（1+sinα+cosα）=（y+x）（1+y+x）=y+y2+yx+x+xy+x2

③求三角函数的最值

例3.求f（x）=■（0≤x≤π）的最大值与最小值

解析：设P（cosx，sinx），x∈［0，π］,则P为单位圆（上半圆）上的点，由f（x）的几何意义知，f（x）是P与定点A（2，1）的连线斜率，由右图马上可解。

三角函数值范文第4篇

（一）中职院校缺乏完整的课程评价体系

中职院校学生基础差，学习习惯不好，学习积极性较弱，学校以培养专业学生为首要任务，忽视基础数学教育的培养，降低教学内容难度，考试不以考察学生掌握知识状况为目的，而是单纯保证学生通过考试，这样宽松的课程评价体系，促使教师抱有“保量不保质”的心理，学校和教师为学生营造的懒散的学习环境，学生根本没有学习到有用的知识。

（二）教师教学方法落后

中职院校教师沿用传统教学方式，教师主导课堂，采用“填鸭式”教学，强行“灌输”给学生所学内容，在加上教师对学生的认知停留在成绩层面，没有深入分析学生的学习状况、学习方法和掌握情况，这样教师与学生的关系紧张，会造成学生厌学情绪。

（三）学生缺乏学习数学的信心

长期接受传统教育的学生，普遍缺乏自主学习的能力。由于数学内容繁多，复杂且较为综合，学生在学习数学时普遍认为数学太难，学生极易产生自己不能掌握运用知识的心理，绝大部分的学生认为数学枯燥难懂。厌倦和恐惧的心理，使学生没有学习的动力，缺乏学习数学的自信心。

此外，中职院校的学生基础较差，在学习三角函数时，极易混淆正切、余切、正弦、余弦、正割、余割等函数定义。此外，极易将特殊角度的正切值、余切值正弦、余弦、正割、余割混淆。例如：

学生死记硬背，不理解如何得出特殊角度正切、余切、正弦、余弦值，不能够灵活通过三角函数的周期性和奇偶性，结合图像，得出特殊角度的三角函数值。此外，学生不能够灵活运用三角函数奇偶性和周期性，快速计算出其他角度的函数值，例如，sin（-5π/2）=sin（-2π-π/2）=sin（-π/2）=-sinπ/2=-1，此例中利用sin图像的周期性，即2Kπ（其中K≠0，K为正整数）此外，还利用到sin图像的奇偶性，由于sin图像是关于原点对应的图像即满足函数f（-x）=-f（x），如果学生掌握sinx函数为奇函数，则在最短的时间换算，因此学生在掌握三角函数的概念和特点的基础上，能够举一反三，快速解答三角函数相关题目。

三角函数值范文第5篇

关键词：三角函数 复习策略

从近几年的江苏省对口单招数学试题来看，三角函数这一章是考试的重点，2007年占27分、2008年占19分、2009年占19分、2010年占22分，题型都是若干个小题目（选择题+填空题）和解答题构成。

考查的主要内容：任意角的三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、正弦、余弦、正切函数的诱导公式、三角函数的图像和性质、两角和与差、倍角公式、解三角形，下面结合试题谈谈各个知识板块的复习策略：

一、抓牢三角函数的概念

这里包括三角函数的定义（主要是正弦、余弦、正切），同角三角函数的基本关系（主要是sin2α+cos2α=1，=tanα）。通过多年的高三复习，我认为不需要让学生掌握八个公式，在复习时对这两个关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），利用这两个公式可以解决的一些题型让学生熟记于心，我在复习这一知识板块时，主要设计了以下几个模块：

（1）已知sinα（或cosα）求其余三角函数。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。

（2）在sinα+cosα，sinα-cosα，sinα，cosα三个式子中知道一个求其余。

（3）已知tanα（cotα）求其他三角函数、对于分式都是关于正弦、余弦的一次（或二次）的齐次式的计算与化简。

诱导公式的记忆和灵活运用，对绝大多数学生都是会而不对，易错题让学生除了要深刻理解“纵变横不变，符号看象限”这一“口诀”，还要建立“负化正，大化小，化到锐角为终了”的思想，对于几个易错易混淆的几个公式，特别强化，如cos（-α）=cosα，sin（+α）=cosα与cos（+α）=sinα。另外还要重视在三角形中应用诱导公式。

这部分内容考试时填空、选择较多，学生若要不失分，关键还在公式应用的准确、熟练上下功夫，不必强化过多的技巧。

如：3.已知sinα=，α是第二象限的角，则cos（π-α）=（）（2008年单招）

A． B.

C.- D.-

3.已知P（-3，m）是角α终边上一点，若sinα=-，则m=（）（2009年单招）

A.-4 B.-3

C.3 D.4

从题型来看，诱导公式与三角函数的概念、同角三角函数的基本关系相结合是选择题的考点。

二、认真把握正弦、余弦、正切函数与正弦型函数的图像与性质（主要是单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值）

从这几年考试题型来看这部分考试的难度也不大，复习时重视正弦型函数的图像的性质。如：

1．已知函数y=3sin（ωx-）（ω＞0）的周期为，则ω=（）（2008年单招）

A． B.2

C.4 D.

2.已知函数f（x）=sinωx（ω＞0））的最小正周期为π，则该函数的一个单调减区间

（）（2009年对口单招）

A.［-，］ B.［-，-］

C.［-，］ D.［，］

3.函数y=2sin6x是（）（2010年对口单招）

A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数

C.周期为π的奇函数

D.周期为π的偶函数

在复习这一模块时，对于2001年出现的三角函数的图像变换和2004年出现限定区间上求最大值最小值问题也可能会卷土重来，作为教者仍然要重视，对于最大值与最小值问题在复习时我设计了这样一组例题让学生理解、区别：（1）y=sinx，（2）y=sinx x∈［，］，（3）y=sin2x+sinx，（4）y=sin2x+sinxcosx.

通过（1）（2）的对比，让学生懂得结合图像来求最大值和最小值。

通过（3）（4）的对比，让学生明确三角函数求最值的两种不同类型。

①可化为求二次函数的函数的值域；

②可化为y=Asin（ωx+φ）型函数值域；

而这两者最大的区别就是看各项的次数是否统一。

三、熟练掌握三角函数的基本变换方法（主要是两角和与差的正弦、余弦、正切公式和倍角公式）

基本公式记准、用熟特别重要、另外对于几个公式的重要变形也要做到心中有数，tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ），tanα-tanβ=tan（α-β）（1+tanαtanβ），sin2α=，cos2α=

这一部分内容属于三角部分较难的部分，学生对公式的正用、逆用要有一个循序渐进的过程，要在“实”字上下功夫，例题的设计要有层次，思维的跨度不能太大，如利用二倍角公式化简求值我设计了以下一组例题：

例1.求值

（1）2sin15°cos15°

（2）sin15°cos15°

（3）sin15°cos75°

（4）8sin20°cos20°cos40°cos80°

（5）cos20°cos40°cos80°

对于课本例题及变形也要深刻理解，这几年许多题目都是课本例题和习题的变形，如课本例题，csc10°-csc10°的计算实际上就是解题时及时发现asinα+bcosα的形式，利用辅助角公式进行化简，让学生树立化同名、化同角、求同次的化归思想。

15.若sin2θ=，则tanθ+tanθ= .（2008年对口单招）

19.已知向量a=（sinα，3），b=（cosα，1）且，求下列各式的值：（2009年对口单招）

（1）tan（+α）

（2）4sin2α-sin2α

20.已知α为锐角，且点（cosα，sinα）在曲线6x3+y2=5上.（2010年对口单招）

（1）求cos2α的值

（2）求tan（2α-）的值

四、解三角形（正弦定理、余弦定理、面积公式）与三角公式的综合应用是近几年的热点问题

正弦定理、余弦定理与三角公式、三角形的基本性质相沟通，在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理，要求学生要注重边角转化的桥梁――正、余弦定理；其中在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，这一转化技巧，要求学生熟练掌握。

20．在ABC中，已知∠A=60°，AC=1，SABC=，求边AB与BC的长.（2008年对口单招）

14.已知在ABC中，A=60°，=，则sinC=.（2009年对口单招）

7.在ABC中，若a=4，b=4，则∠A=60°等于（）（2010年对口单招）

A.120°

B.120°或30°

C.60 °

D.60°或120°

五、重视三角知识与其他章节的综合，如三角与向量、解几、数列等之间的联系

三角函数这一章节内容多而杂，在复习时我们要以大纲为依据，立足课本，重视基础，帮助学生化模模糊糊一大片为清清楚楚几根线，达到理想的复习效果。