数学模型

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数学模型范文第1篇

一、经济数学模型的基本内涵

数学模型是数学思想精华的具体体现，是对客观实际对象的数学表述，它是在一定的合理假设前提下，对实际问题进行抽象和简化，基于数学理论和方法，用数学符号、数学命题、图形、图表等来刻画客观事物的本质属性及其内在联系。当数学模型与经济问题有机地结合在一起时，经济数学模型也就产生了。所谓经济数学模型，就是把实际经济现象内部各因素之间的关系以及人们的实践经验，归结成一套反映数量关系的数学公式和一系列的具体算法，用来描述经济对象的运行规律。所以，经济数学模型是对客观经济数量关系的简化反映，是经济现象和经济过程中客观存在的量的依从关系的数学描述，是经济分析中科学抽象和高度综合的一种重要形式。

经济数学模型是研究分析经济数量关系的重要工具，它是经济理论和经济现实的中间环节。它在经济理论的指导下对经济现实进行简化，但在主要的本质方面又近似地反映了经济现实，所以是经济现实的抽象。经济数学模型能起明确思路、加工信息、验证理论、计算求解、分析和解决经济问题的作用，特别是对量大面广、相互联系、错综复杂的数量关系进行分析研究，更离不开经济数学模型的帮助。运用经济数学建模来分析经济问题，预测经济走向，提出经济对策已是大势所趋。

在经济数学模型中，用到的数学非常广泛，有些还相当精深。其中包括线性规划、几何规划、非线性规划、不动点定理、变分发、控制理论、动态规划、凸集理论、概率论、数理统计、随机过程、矩阵论、微分方程、对策论、多值函数、机智测度等等，它们应用于经济学的许多部门，特别是数理经济学和计量经济学。

二、建立经济数学模型的基本步骤

1.模型准备。首先要深入了解实际经济问题以及与问题有关的背景知识，对现实经济现象及原始背景进行细致观察和周密调查，以获取大量的数据资料，并对数据进行加工分析、分组整理。

2.模型假设。通过假设把实际经济问题简化，明确模型中诸多的影响因素，并从中抽象最本质的东西。即抓住主要因素，忽略次要因素，从而得到原始问题的一个简化了的理想化的自然模型。

3.模型建立。在假设的基础上，根据已经掌握的经济信息，利用适当的数学工具来刻画变量之间的数学关系，把理想化的自然模型表述成为一个数学研究的题材——经济数学模型。

4.模型求解。使用已知的数学知识和观测数据，利用相关数学原理和方法，求出所建模型中各参数的估计值。

5.模型分析。求出模型的解后，对解的意义进行分析、讨论，即这个解说明了什么问题？是否达到了建模的目的？根据实际经济问题的原始背景，用理想化的自然模型的术语对所得到的解进行解释和说明。

6.模型检验。把模型的分析结果与经济问题的实际情况进行比较，以考察模型是否符合问题实际，以此来验证模型的准确性、合理性和实用性。如果模型与问题实际偏差较大，则须调整修改。

三、建立经济数学模型应遵从的主要原则

1.假设原则。假设是某一理论所适用的条件，任何理论都是有条件的、相对的。经济问题向来错综复杂，假设正是从复杂多变因素中寻求主要因素，把次要因素排除在外，提出接近实际情况的假设，从假设中推出初步结论，然后再逐步放宽假设条件，逐步加进复杂因素，使高度简化的模型更接近经济运行实际。作假设时，可以从以下几方面来考虑：关于是否包含某些因素的假设；关于条件相对强弱及各因素影响相对大小的假设；关于变量间关系的假设；关于模型适用范围的假设等等。

2.最优原则。最优原则可以从两方面来考虑：其一是各经济变量和体系上达到一种相对平衡，使之运行的效率最佳；其次是无约束条件极值存在而达到效率的最优、资源配置的最佳、消费效用或利润的最大化。由于经济运行机制是为了实现上述目标的最优可能性，我们在建立经济数学模型时必须紧紧围绕这一目标函数进行。

3.均衡原则。即经济体系中变动的各种力量处于相对稳定，基本上趋于某一种平衡状态。在数学中所表述的观点是几个函数关系共同确定的变量值，它不单纯是一个函数的变动去向，而是整个模型所共有的特殊结合点，在该点上整个体系变动是一致的，即达到一种经济联系的平衡。如需求函数和供给函数形成的均衡价格和数量，使市场处于一种相对平衡状态，从而达到市场配置的最优。

4.数、形、式结合原则。数表示量的大小，形表示量的集合，式反映了经济变量的联系及规律，三者之间形成了逻辑的统一。数学中图形是点的轨迹，点是函数的特殊值，因而也是函数和曲线的统一。可以认为经济问题是复杂经济现象中的一个点，函数则是经济变量之间的相互依存、相互作用关系，图形就是经济运行的规律和机制。所以，数、形、式是建模的主要工具和手段，是解决客观经济问题的三个要素。

5.抽象与概括的原则。抽象是思维的延伸，概括是思维的总结，抽象原则揭示了善于从纷繁复杂的经济现象延伸到经济本质，挖掘其本质的反映，概括是经济问题的纵横比较与分析，以便把握其本质属性，揭示其规律。

四、构建和运用经济数学模型应注意的问题

经济数学模型是对客观经济现象的把握，是相对的、有条件的。经济研究中应用数学方法时，必须以客观经济活动的实际为基础，以最初的基本假设为条件，一旦突破了最初的基本假设，就需要研究探索使用新的数学方法；一旦脱离客观经济实际，数学的应用就失去了意义。因此，在构建和运用经济数学模型时须注意到：

1.首先对所研究的经济问题要有明确的了解，细致周密的调查。分析经济问题运行的规律，获取相关的信息和数据，明确各经济变量之间的数量关系。如果条件不太明确，则要通过假设来逐渐明确，从而简化问题。

2.明确建模的目的。出于不同的目的，所建模型可能会有很大的差异。建模目的可能是为了描述或解释某一经济现象；可能是预报某一经济事件是否发生，或者发展趋势如何；还可能是为了优化管理、决策或控制等。总之，建立经济数学模型是为了解决实际经济问题，所以建模过程中不仅要建立经济变量之间的数学关系表达式，还必须清楚这些表达式在整个模型中的地位和作用。

3.在经济实际中只能对可量化的经济问题进行数学分析和构建数学模型，对不可量化的事物只能建造模型概念，而模型概念是不能进行数量分析的。尽管经济模型是反映事物的数量关系的，但必须从定性开始，离开具体理论所界定的概念，就无从对事物的数量进行分析和讨论。

4.不同数学模型的求解一般涉及不同的数学分支的专门知识，所以建模时应尽可能利用自己熟悉的数学分支知识。同时，也应征对问题学习了解一些新的知识，特别是计算机科学的发展为建模提供了强有力的辅助工具，熟练掌握一些数学或经济软件如Matlab、Mathematic、Lindo也是必不可少的。

数学模型范文第2篇

经济数学模型可以发挥明晰思路、整理信息、检验理论、计算解答、剖析与处理经济问题的价值。对范围宽广、彼此联系、极为繁杂的经济数学关系做出剖析探究，离不了经济数学模型的协同合作。在该模型里面，牵涉的数量极为广泛，包含线性规划、极值定律、概率原理、最大值理论等等。

二、经济数学模型的各项归类

反馈经济数学关系繁杂变迁的经济数学模型，能够依照各种准则来归类。

1.依照经济数学关系，普遍分成三类：经济计算模型、投资回报模型、最佳规划模型。（1）经济计算模型说明的是经济架构关系，以此来剖析经济变动的原因与运动定律，是一项社会重新投产的模型。（2）投资生产模型说明的是组织、地域或商品彼此间的对等关系，以此来探究生产技艺关联，进而调节经济运动态势。（3）最佳规划模型说明的是经济项目中的条件最值问题，是一项独特的对等模型，以此来挑选最佳方案。

2.依照经济范畴的宽窄，模型能够分成五类：单位、机构、区域、国家与国际。（1）单位模型普遍称作微型模型，其说明的是经济单位的经济运作情况，对完善单位的运营管理有很大的价值。（2）机构模型和区域模型是联接单位模型与国家模型的中部桥梁。（3）国家模型普遍称作整体模型，整体反映一个国家的经济运作中整体要素之间的彼此关联性。（4）国家模型说明的是国际经济关联的彼此影响与制约。

3.依照数学样式的不同，模型普遍分成线性与非线性两大项。（1）线性模型意指模型里面含有的关系式均是一次关系式。（2）非线性模型意指模型里面含有对于二次的高次方程。

4.依据时间情况，模型分成静止和运动两大类型。（1）静止模型说明的是某个时间上的经济数学关系。（2）运动模型说明的是一段时间的经济运行进程，包含时间延长滞后的要素。

5.依据运用的目的，分成原理模型和运用模型两大类，是否运用详细的统计数据，是区分两大模型的根本所在。

6.依据模型的使用归宿，仍能够分成架构剖析模型、可预见模型、政治模型、规划模型。除此之外，仍存在随机模型（包含任意误差的因子）和确切性模型（任意性要素不在考虑范围内）等等种类。以上归类彼此关联，有时仍能够综合在一起进行考察，像运动中的非线性模型、随机运动模型等等。

三、构建经济数学模型的程序

构建经济数学模型要求依照相应的方案、程序开展，进而让所构建的模型具备可信度、适用性，构建该模型的程序普遍地有下面几项：

1.深刻认知现实经济情况，还有和经济情况相关的背景学识，收集有关的数据，而且对数据做好整理、划分归类。

2.构建适用的模型要求经过科学的假想将所需探究的现实经济情况简单化、抽象化，应用数学方略描绘变量彼此间的关联性，构建要素之间关联性的数学模型。模型不可以太过简化，导致不可以真切地反馈现实经济的情况，又不可以太过复杂，造成无法施行的后果。一种模型抽象抑或是具象到哪种程度，决定于解析的需要、剖析职员的才能，还有获取素材的可能性与正确性。

3.依据所收集的数据素材还有构建的模型，依靠电脑电算化等开展各类仿真实验，求解所构建模型里面各个系数的预计值。

4.把模型计算的答案和经济问题的现实状况做出对比，进行判定，假若模型最后的答案和现实情况一致，证明模型是合乎现实情况的，假若模型和现实观察不一样，就不可以把所开发的模型运用到现实情况中去。此时则需重返检查，注意是假想不科学，抑或是所构建的模型出错，寻找问题的根本，持续地检验、验证，让所构建的模型合乎现实情况。点评模型好坏的准则是模型的相符程度也就是和实际经济情况的相同性还有适用性，也就是可以运用到现实情况的可能。伴随外在经济状况的转变，模型会被要求持续修正与更新。

四、构建经济数学模型需要规避的点

1.对社会经济情况的调研应当是深刻的、周全的，所获取的数据是真切可信的。

2.模型假想是否合乎科学的原则。该模型的构建脱离不了相应的假设条件，然而此种假想是有据可循的，并不是毫无根据的，但要是超越了范围的话就应当做出调整。

3.对于稍微繁杂的问题做出相应的简化，简化是必不可少的，然而简化必须要合理，不可以让最后的论断和现实不相符。

4.依据调研的数据与构建的模型推断出来的系数值仅仅是估算值，其和现实情况无可回避地会出现相应的偏差，我们需剖析偏差出现的缘由，进而做出调整，让偏差在可接受的范畴里。

五、经济数学模型运用实例分析

数学模型范文第3篇

【关键词】单纯区间；单纯点；单纯点树列；倍率

混沌动力学是复杂性科学的一个重要分支，也是近三十年来的一个热门学科.混沌（Chaos）是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动.一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测，这就是混沌现象.混沌是非线性系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象，牛顿确定性理论能够处理的多为线性系统，而线性系统大都由非线性系统简化而来.因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的.

混沌现象最初是由美国气象学家洛伦茨，在20世纪60年代初研究天气预报中大气流动问题时偶然发现的.1963年，Lorenz在《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”一文，指出在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一种联系，这就是非周期与不可预见性之间的联系.他还发现了混沌现象“对初始条件的极端敏感性”.这可以生动地用“蝴蝶效应”来比喻：在做气象预报时，只要一只蝴蝶扇一下翅膀，这一扰动，就可能在很远的另一个地方造成非常大的差异甚至引起风暴，将使长时间的预测无法进行.

以函数f（x） = x3-x为例，用牛顿迭代法求其零点.计算结果表明，当初始值取在不同区间上时，迭代将会收敛于不同的值.本文探索这其中更深刻的量化规律性.

由于f（x）是奇函数，仅在[0，+∞） 区间上取初始值作牛顿迭代法计算，下表所列是以步长b = 10-14 进行搜索得到的结果：（程序采用双精度进行计算，步长b虽可再降低两个数量等级，但考虑到计算误差，仅取 b = 10-14）

定义1 表中的各区间称为收敛于其迭代结果的单纯区间.

例如I5（第五号区间）是收敛于+1的单纯区间.

定义2 收敛于不同值单纯区间的分界点称为单纯点.

若以xi表示单纯区间Ii的左端点，则除了x20 = 0外，所有xi都是单纯点.而收敛于零的单纯区间是（-x19，x19），所以x20不是单纯点.另外，x1正巧是函数f（x）的驻点.

定义3 称单纯点构成的数列为单纯点数列.

规律1 单纯数列是单调有界的.

规律2 在单纯区间中，除最后一个I20是收敛于零之外，其余的单纯区间交错收敛于+1和-1.

计算表中从I2到I19各相邻单纯区间的长度之比，得到以下数列：

7.26，6.18，6.03，6，6，6，6，6，5.99，6，5.99，6，5.99，5.99，6，6.33，3.

这一数列的主基调明显是6，第一项偏离的原因与x1是驻点有关，最后一项偏离的原因与计算精度有关.

定义4 在以上数列中，去掉第一项与最后一项之后的平均值称之为函数f（x）的倍率.

这反映了牛顿迭代法的混沌动力学特性.

规律3 函数f（x） = x3 -x在[0，+ ∞）上具有倍率6.

由于f（x）是奇函数，所以有

规律4 函数f（x）在（-∞，0]上的单纯区间与[0，+∞）上的单纯区间以x=0点为对称，但迭代收敛值互为相反数.在x=0点两旁具有相同的倍率，即f（x）在（-∞，+∞）上倍率为6.

（上述结论已有严格的数学证明，将另行发表）

数学模型范文第4篇

数学模型的分类极多，在小学数学教育及学习中主要运用到的是描述性模型，因为描述性数学模型是从特殊到一般，即从分析具体的客观事物及状态中，经过数学的语言概念、符号、公式等的描述，得到一个数学模型。客观事物及状态的量化关系通过数学模型被概括在一个具体的抽象数学结构之中。例如乘法交换律：式2×5=5×2、 12×3=3×12 及4×3.5=3.5×4等我们可以把此类的式子用数学符号a×b=b×a这样的数学模型来表达，让此类问题有了归类，就能让学生更好地把握问题。

描述性模型有三种类型，他们在小学数学中有着不同的用：

第一种是确定性数学模型，这种确定性数学模型对应的客观对象具有确定性的数量关系。这种模型的表示式一般为各种各样方程式、关系式等，内容一般为代数方程、微分方程、积分方程等。在小学数学教材中许多计算公式也都是一些确定性数学模型，例如长方形的面积公式： z：面积=长×宽（S=ab）如图：

（3×2﹢3×2=6×2）

由图及表达式我们不仅推出S=ab此模型成立，而且还反应了面积这样的实际问题运用数学符号模型化的过程。

第二种是随机性数学模型，这种模型对应的对象都具有或然性、随机性，处理这种数学模型的方法是概率论随机过程及数理统计方法。新课程内容领域和范围中的统计与概率在小学主要运用到此模型。在小学中学习的大多是一些有规律的、简单的概率统计，例如一枚硬币掷出后正面或者是反面朝上的概率是多少，以及一颗色子抛出后出现几点的概率是多少等类似于一系列的问题，我们就要首先知道事件发生的可能性，当我们设此可能性为n时，那么其中一种事件发生的概率就为1╱n，其中1╱n就是建立起来的一个此类随机性问题的数学模型。他的可能性大小就要看随机变量n的可能性。

第三类就是模糊数学模型，对此类数学模型对应的客观事物都具有模糊性，对此种模型的解决方法主要是采用模糊数学的方法。

数学模型范文第5篇

【关键词】包装的学问 包装方案 数学模型

“包装的学问”是北师大版小学数学五年级下册第82-83页的“C合与实践”领域的教学内容。限于小学生的思维，教材中的包装问题只涉及一个面、两个面拼接的情况，不涉及三个面的拼接。作为教师，应该思考一般的包装问题。

一、问题提出

包装问题：将n个长、宽、高分别为a，b，c（）的长方体包装成大长方体，包装时要求包内相邻两物体必须以全等的两个面对接，怎样包装使表面积最小？

二、问题分析

要求包装后长方体的表面积，只要求出棱长；要求出棱长，只要求出包装方案。要解决包装问题，必须先将包装方案数学化，再确定包装方案数，算出各包装方案的表面积，确定最优方案。

三、模型建立

（一）包装方案的数学化

为叙述方便，建立如下图所示的空间直角坐标系。任一包装方案都是由x，y，z方向对接形成的，因此可用三维数对表示包装方案。

x方向对接引起长的改变，y方向对接引起宽的改变，z方向对接引起高的改变。

例如：某包装方案是x，y，z方向分别对接n1，n2，n3个形成的，那么该包装方案可用表示，其中n1是方向接的个数，n2是方向接的排数，n3是z方向接的层数。

该包装过程如下：方向对接n1个形成一行，包装后长方体的长扩大到原长方体长的n1倍；y方向再拼接这样的行形成1层，包装后长方体的宽扩大到原长方体宽的n2倍；方向再拼接这样的n3层，包装后长方体的高扩大到原长方体高的n3倍。

由于包装前后小长方体的总个数不变，所以包装方案的数学化可用n=n1・n2・n3来表示。

（二）包装方案数的确定

根据包装方案的数学化表示，要确定所有的包装方案，只要求出n的三因数分解的排列数。

例如：12个长方体的包装问题，有如下18种不同的包装方案：

12=12×1×1 12=1×12×1 12=6×12×1

12=6×2×1 12=6×1×2 12=2×6×1

12=2×1×6 12=1×6×2 12=1×2×6

12=4×3×1 12=4×1×3 12=3×4×1

12=3×1×4 12=1×4×3 12=1×3×4

12=3×2×2 12=2×3×2 12=2×2×3

（三）最优方案的确定

包装方案下，长方体的长、宽、高分别为n1a、n2b、n3c，表面积为。

问题转化为在，下，求的最小值问题，是非线性整数规划模型。

包装问题的数学模型：

四、模型求解

设 （），由n1、n2、n3确定的所有包方案（最多6种）中，最优包装方案为：（），最小表面积为S0。

其中（）

证明：设（n1，n2，n3）是n1，n2，n3（）的任意一个排列，该包装方案下的表面积为。

下面证明，即证。

我们以（ni，nj，nk）=（n2，n3，n1）为例给出证明，其他情况不再赘述。

因为，

所以，，，，

从而，即。

这样，我们得到了解决这类包装问题的一般方法：先求出n的三因数分解有几类，每一类按上述方法确定最优方案，再从这些方案中确定最优方案。

五、模型评价

本文利用初等数学的方法给出了包装方案的数学化，包装方案数的确定方法，建立了包装问题的非线性整数规划模型，给出了求解方法，后续进一步可思考n的三因数分解的排列数计算问题。

【参考文献】

[1]义务教育数学课程标准研制组编.小学数学五年级下册（实验版）[M].北京：北京师范大学出版社，2004：82-83.

[2]张思明.中学数学建模教学的实践与探索[M].北京：北京教育出版社，1998：46.