初中数学竞赛
前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇初中数学竞赛范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。
初中数学竞赛范文第1篇
一、构造法解题的原则
学习数学不仅要求会解题，还要善于解题，而且在运用构造法解题时要遵循一定的原则。
1.相似性原则
相似性原则是指认真观察数学问题的条件，进行联想，然后判断该问题是否和我们已解决过的，或者熟知的式子一致，通过构造出的数学模型对间接解决问题。
2.直观性原则
指的是构造某种使条件和结论的数学关系清晰体现的数学形式。
3.等价性原则
指的是一种将所构造对象满足的条件转换为一种和它同等的新的表现形式，从而使所需要的构造在新条件下进行。
1.构造方程式
有些数学题可以通过构造一个方程得到简便的解题方法。
例1已知两数a、b，ab≠1且2a2+1234567890・a+3=0，3b2+1234567890・b+2=0，则a2-ab+b21a2+ab+b2的值为。
解析：所求代数式的分子、分母都由a2，b2，ab组成，且a、b都不为0，我们将所求的代数式的分子、分母同时除以ab就变成了a1b-1+b1a1a1b+1+b1a，只与b1a、a1b有关。因此可以根据条件直接求出b1a或a1b的值.
另外，两个已知等式在形式上相似，只在二次项系数和常数项上互换了位置，且系数均为3、1234567890和2，所以在第二个方程式两边同时除以b2（b≠0），第二个等式也就成了211b2+1234567890・11b+3=0。那么这个式子在形式上就跟第一个式子相一致。由此可以联想出利用根的定义构造出一个关于x的一元二次方程2x2+1234567890・x+3=0，a，11b是这个方程的两个实根，且ab≠1，所以根据韦达定理可知a・11b=312，将这个值代入所求代数式的变形式即可求出答案。
2.构造代数式
某些与整数有关的整除数学竞赛题例如代数式的化简、求值等都很难从固定思维中找到解题方法，但构造多项式、有理化式、递推式等方式推出熟悉常用的数学式就可以解决难题了。
例2整数a、b、c的和是6的倍数.那么，它们的立方和被6除，得到的余数是（）.
A.0B.2C.3D.不确定的
解析：根据a、b、c三数之和是6的倍数，而想要直接得出a3+b3+c3被6除的余数则难以下手，那么可以从两者的差入手，构造
（a3+b3+c3）-（a+b+c）=（a3-a）+（b3-b）+（c3-c）=a（a-1）（a+1）+b（b-1）（b+1）+c（c-1）（c+1），从而将问题转化。
因为a是整数，所以a-1，a，a+1是三个连续整数，所以a（a-1）（a+1）是2×3的倍数。
同理可得，b（b-1）（b+1）和c（c-1）（c+1）也是6的倍数，已知a+b+c是6的倍数，所以a3+b3+c3是6的倍数。因此答案为A。
3.构造几何图形
对于一些题目，我们可以通过构造所需要的图形并借助几何图形的性质来解题。
例3已知a、b、x、y为正实数，且a2+b2=1，x2+y2=1。求证ax+by≤1。
解析：遇到这样的题目，很多学生无从下手，这里只有等式，没有其他条件，仔细观察就能发现，题目的未知量相加的等式结果都为常数1，那么我们可以从它们之间的关联入手，构造出相关图形。
如图，作以AB=1为直径的O，在AB两侧任意作RtABC和RtADB使得AC=a，BC=b，BD=x，AD=y。
初中数学竞赛范文第2篇
重庆市陶家中学（401328）杨军
E-mail:snpl_yj@tom.com
溶液竞赛题的教学是初中化学教学的“一道坎”。一方面由于初中化学溶液竞赛题的数量关系经常寓于具体的生活情境之中，比较复杂、隐蔽和抽象，学生大多感到解答困难；另一方面初中化学溶液竞赛题教学能培养学生思维能力和解决实际问题的能力。心理学家认为：作为人智力结构核心的思维能力，与学习生活有关的是动作思维、形象思维、抽象思维，而抽象思维一般较为少见；动作是思维的起点；无论学什么科学，如果没有形象思维的参与，那都是很难学好的。所以，在教学中学生解答初中化学溶液竞赛题时，要充分活跃其动作思维和形象思维。实践证明：让学生在审题解题过程中，数形结合解初中化学溶液竞赛题，能获得事半功倍的效果。
第一步：了解题意，划出重点
引导学生在审题的过程中，一字一句，边读边勾划出题中的已知条件、所求问题和关键词语，并尽可能做出批注。这样，学生“口、手、脑”三线合一，积极投入审题过程，初步感知题中数量关系，根据关键词语还可初步感知本题与以前解过的初中化学溶液竞赛题的异同。如教学2002年一道全国竞赛题：由NaHS、MgSO4、NaHSO3组成的混合物中，已知S元素的质量分数ω(S)= a% ，则O元素的质量分数ω(O)为（ ）A、1.75a% ；B、1-1.75a ；C、1.25a% ；D、无法计算。本题的重点词语有已知“NaHS、MgSO4、NaHSO3”、“S”、“质量分数”，有未知“O元素的质量分数”。勾划过程中，感觉出三个化学式之间有一定的联系：NaH、Mg、NaH的相对质量是一样的——24，推出“NaH、Mg、NaH”与“S” 的比例也是相等的。从而找到解题的突破口。
又如教学“今有溶质的质量分数为20％的某溶液一瓶，倒出3/4体积后，再加水至原来的质量，又倒出2/3体积，求剩余溶液溶质的质量分数？”找出关键词“20%，倒出，3/4体积，加水至原来和质量，求，剩余溶液溶质质量分数”，划出重点，做出批注——剩余溶液中溶质只有原来的1/4，质量和原来的一样。
这样，学生在边读边划的过程中，题中的数量关系便已基本弄清。
第二步：理解题意，说出题设
理解题意，就是用自己的语言把出题者的意图说出来。我国教育家陶行知先生早在几十年前就提出：“要解放学生的嘴，让他能说。”语言是表达思维的重要形式，要会说首先就要去想，想清楚了才能说清楚。理解题意时尽量让学生多说，这样才能促进学生多想。在教学初中化学溶液竞赛题过程中，不要急于告知学生数量关系，首先要求学生读题，要求逐字逐句读题，在读题划题后，能用自己的语言说出已知条件和所求问题，并能在教师的相关提示引导下，明确以下几点：①根据题中已知条件可以求出哪些问题；②求题中的问题需要知道哪些已知条件；③所需已知条件是否是直接告诉，题中有没有多余的已知条件。如教学“将15g锌放入146g10％盐酸中，求反应后氯化锌在溶液中的质量分数？”题中有两个已知条件：15g锌，146g10％盐酸。根据化学方程式，可以知道，每65份质量的锌可以和73份质量的盐酸（指纯量）完全反应生成136份质量的氯化锌和2份质量的氢气。所以，本题中锌过量，只能按照盐酸的量来计算。
教学该题时，可以先设计一道题：“将一定质量锌放入146g10％盐酸中，恰好完全反应，求反应后氯化锌在溶液中的质量分数？”，让学生说出根据已知条件可求出的问题。问题中包含有“求锌”、“求氯化锌”、“求氢气”、“求反应后的溶液的总质量”，学生在说的过程中明确：要求反应后溶液中的溶质质量分数，就必须清楚反应后的溶液的总质量和溶质质量。
说的形式也是多种多样的，可以让学生自言自语、交流讨论或争论，也可以让学生公开发表自己的意见。在说的过程中，学生既理清了初中化学溶液竞赛题中的数量关系，也发展了学生的语言表达能力。
第三步、图解题意，画出内容
应用型的溶液竞赛题占很大比例，前苏联教育家苏霍姆林斯基曾说过：“把应用题画出来。”画出来的图可以是方框图，也可以是示意图，但一定要形象直观。现在要求数形结合，在初中化学溶液竞赛题教学中，采取数形结合的方法分析数量关系，有利于培养学生把形象思维和抽象思维相结合的学习习惯。所以，在教学初中化学溶液竞赛题时，教师可引导学生把初中化学溶液竞赛题画出来，并逐步培养学生“画”初中化学溶液竞赛题的习惯，让学生学会把题中的数量关系转化为图形关系，用图形关系直观地展示数量关系，把握问题的本质。在画示意图时，以“少的量”和“一倍数”为“单位”先在烧杯中表示出来，这样能更快更规范地画出示意图。如教学选择题“已知浓硫酸的密度比稀硫酸大，现将质量分数为90％和10％二种硫酸溶液等体积混合后溶质的质量分数为（ ）A．大于50％；B．等于50％；C．小于50％；D．不能确定。”学生初次接触等体积混合的溶液竞赛题，大多不知如何去寻找已知条件。教师要启发引导学生先画两种硫酸质量示意图（如右图，等底），再分步混合：①等质量混合，可得知混合后的溶质分数为50%；②把剩余的浓硫酸又倒入到上一步的溶液中，可知，溶液浓度一定大于50%。
又如，“在某温度下，溶质质量分数相同的两份硝酸钾溶液，质量都为200g，把其中一份溶液蒸发掉2.5g水后，恢复到原温度，析出2g晶体；另一份蒸发掉5g水后，恢复到原温度，析出析出4.5g晶体，则这两份原200g溶液 （填“饱和”或“不饱和”）”。学生在画示意图的过程中，认为：①可以把这两份溶液当成一份来做；②可以把第二次操作（蒸发5g水，析出4.5g晶体）分成两步，第一步，蒸发2.5g水，析出2g晶体；第二步，蒸发2.5g水，析出（4.5g-2g=2.5g）晶体。同样蒸发2.5g水，后一次析出的晶体比前次多，由此可知，原溶液是不饱和溶液。
初中数学竞赛范文第3篇
关键词：韦达定理 韦达定理的逆定理 初中数学竞赛 一元二次方程
一元二次方程的根与系数关系定理是韦达定理的特殊情况，它的逆命题也是正确的。初中阶段我们不妨称之为韦达定理和逆定理。
韦达定理及逆定理是初中数学极为重要的基础知识之一，在解决初中数学的许多问题中，它是有力的工具，在初中数学竞赛中巧用韦达定理及逆定理来解的竞赛题屡见不鲜。本文通过六个方面的应用探讨如何利用韦达定理及逆定理解题目的方法和技巧。
一、求值，当所求代数式是某个一元二次方程两根对称时，可应用韦达定理使计算简便。
说明：1.求代数式值的问题常规方法是先求出代数式中求知数的值，然后代入。此例如按上述方法解将陷入复杂的计算，没有用韦达定理求解简便。
2.这种解法必须能熟练地将要求的代数式化为用α+β和αβ表示的形式。
3.这种方法一般适用于求关于方程根的对称式。
分析：要求7p+2q的值，应先求出p、q 的值，而此例中方程的两根都是质数，由韦达定理知两根之积为74，故必有一根为偶数，而2是唯一的偶质数，则方程两根是2和37，再结合 p、q是自然数可求p、q的值。（解略）
二、构造一元二次方程，当问题中出现a+b=m、ab=n的形式时，可用韦达定理和逆定理把a、b看作t■-mt+n=0的两
当m=-7或m=3时，抛物线与x轴两个交点间距离是3。
说明：此类问题利用二次函数图像与x轴交点横坐标是函数值为零时自变量的值，即方程的根，再利用韦达定理把图像与x轴交点的距离与函数解析式联系起来。
四、研究一元二次方程的整数解，此法主要是应用韦达定理结合题意把问题转化为不定方程组或不等式，再进一
步求不等式的整数解，以达到解决问题的目的。
六、证明不等式。
例7. 已知：a、b、c为实数，且a+b+c=0，a・b・c=1，求证：a、b、c中必有一个大于 。
分析：已知条件是三个数的和与积，把它转化为两个数的和与积的问题，然后利用韦达定理解决。
证明：由a+b+c=0a・b・c=1知a・b・c＞0，且a、b、c中有一个正数两个负数，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，
参考文献：
［1］吴志翔.中学数学教学参考书证明不等式［M］.1982年02月第1版.
［2］唐耀庭.一元二次方程的特殊解法［J］.中学生数理化初中版，2007年Z1期.
［3］杨茜，郑建平.谈韦达定理的应用［J］.成都教育学院学报，2002年01期.
初中数学竞赛范文第4篇
【关键词】 培养；初中生；数学学习兴趣；策略
一、引 言
俗话说，兴趣是最好的老师，只有培养初中生数学学习兴趣，让初中生自己愿意去倾注热情进行学习，才能最大限度地发挥出他们自己的才能和潜力，全身心地投入到初中数学学习中来. 与此同时，培养初中生数学学习兴趣有利于避免一些学生对于数学学习的恐慌情绪，还可以给学生带来自信. 所以，总结一些切实有用的培养初中生数学学习兴趣的策略有着非常重要的意义.
二、充分重视学生的主体地位，让学生当“老师”
为了调动数学课堂教学的积极性，必须充分重视学生的主体地位，让学生当“老师”，学生掌握着学习的主动权，让学生可以担任起教师的职责，在教学的过程中结合具体的情况有针对性地帮助别的同学答疑解惑. 通过这种方式，能够关注所有学生的全面发展，有利于保证学生能够积极主动地参与到教学活动的整个过程中来. 与此同时，学生在帮助别的同学答疑解惑的过程中，能够再一次巩固自己所掌握的知识，有利于学习效率的提高. 教师应该主动给学生提供当“老师”的机会，保证学生可以积极发挥出自己的潜能，主动说出他们的想法.
具体来说，在进行“多项式与多项式相乘”一节的教学过程中，学生经常会出错，其中一个非常频繁的错误就是：一些学生不能够正确合并同类项，还存在着各种各样的错误. 如果教师一一地进行讲解是非常浪费时间的，一些学生也不会感兴趣. 在这种情况下，教师应该充分重视学生的主体地位，让学生当“老师”. 当“老师”的学生就会充满自豪感和信心，能够采取措施帮助其他同学尽量不犯错误. 他们在进行讲授的过程中，也能够对多项式与多项式相乘的学习有更深刻的领会，其他同学也能够很快发现自己存在的问题. 在这种互相沟通的过程中，全班同学的学习效率得到大幅度的提高.
三、通过建立良好的学习情境来进行课堂导入
良好的课堂导入有利于激发学生的数学学习兴趣，也可以引导学生进行思考，保证学生可以在最短的时间内回到课堂中来，进入数学学习的最佳状态. 这就要求教师在开始讲授新知识的时候，建立良好的学习情境来进行课堂的导入，从而有效地激发学生的学习兴趣，促进学生学习效率的提高. 在日常的教学过程中，应该要求学生学会思考并尝试解决新问题，让他们能够积极主动地去进行数学的学习. 建立良好的学习情境，一方面可以自然地过渡到下一个教学过程中，另一方面，也可以使学生的学习欲望达到有效地激发，让学生迸发出智慧的火花，保证学生可以集中精力认真学习.
具体来说，在进行“三角形的内切圆”这一节课的讲授之前，教师可以通过下面的方式来进行课堂导入：“大家好，老师通知大家一个好消息，哪名同学如果在这节课结束的时候，在最短的时间内可以在一块三角形纸片上画出一个面积最大的圆，那么，就能够担任本周的进步之星，还能获得钢笔等物质奖励哦. ”
通过这种方式，学生对于这节课的学习非常感兴趣，从而认真思考和听讲. “三角形的内切圆”这一节课就这样开始了，学生的注意力一定会高度集中，对于学习数学也产生了极强的积极性. 教师在课堂的讲授过程中再进行适当的启发、点拔、诱导，起到主导作用，并让学生真正发挥出主体性，防止出现没有目标的学习情况. 由此可见，教师在创设教学情境之后，可以充分激发学生的求知欲.
四、适当运用多媒体教学
在现在这样一个知识爆炸的时代，互联网在人们的工作、学习和生活中发挥着举足轻重的作用，所以，在初中数学课堂教学的过程中，也可以适当运用多媒体教学，来激发学生的学习兴趣. 在传统的数学课堂中，教师不能仅使用黑板、投影仪、教具模型等来进行数学信息的展示，而应适当地运用多媒体教学，从而充分展示出图像、动画、文本、图形、视频和音频等各种形式的教学信息，可以有机结合不同的教学材料，让学生在短暂的时间内就可以同时运用多种感官，以更加饱满的兴趣投入到新知识的学习中来，并且可以深刻理解教学内容. 与此同时，适当运用多媒体教学，向学生展示教师精心设计的动画、插图和音频等，能够实现复杂概念和问题的简单化，使教学内容一目了然，更加有利于学生对于知识的接受. 适当运用多媒体教学，能够将各种各样的和教学无关的干扰克服掉，充分吸引学生的注意力，让学生全身心地投入到课堂学习中来，从而有利于学生学习成绩的提高.
五、举办适当的数学竞赛
为了培养初中生数学学习的兴趣，激发他们的学习积极性，可以举办适当的数学竞赛. 通常情况下，学生在数学竞赛的推动下，可以更加有效地发挥出自己的潜能. 在数学竞赛的过程中，学生都存在着非常强的好胜心，希望能够一举成功. 通过举办适当的数学竞赛，可以大大激发学生的学习兴趣，增强学生克服困难的毅力. 具体来说，在初中数学教学的过程中，能够采用各种各样的比赛形式，可以在整个年级或者整个班级进行比赛，也可以在班级中的数学小组之间开展比赛，切实保证所有学生的共同进步.
六、结束语
综上所述，本文探讨了培养初中生数学学习兴趣的策略，以供教育界借鉴，希望有利于初中数学教学效果的提高.
【参考文献】
［1］朱雪兴． 培养初中生数学学习兴趣的思考和建议［J］． 数学学习与研究， 2011（16）.
［2］成利芳． 用心寓教 让学生在数学学习中全面提高［A］． 中国民办教育家优秀论文集［C］，2006.
［3］陈亚燕． 数学有效性课堂的几点尝试与探讨［A］． 中国商品学会第十四届学术论坛暨中韩商品科学交流会议论文集［C］， 2011.
初中数学竞赛范文第5篇
一、构造三角形
例1 (2011年北京市初二数学竞赛)已知AD是ABC的中线，∠ABC=30°，∠ADC=45°，则∠ACB=°．
解 ：如图1，作CEAB交于E，连结DE．在RtBCE中，易得DE=1 2BC =CE =DC，从而可知ABC是等边三角形，所以∠EDA=∠EDC-∠ADC=15°，又∠DAE=∠ADC-∠ABC=15°，故EA=ED=EC，从而∠BAC=45°，进而得∠ACB =105°．
方法点拨 ：当题目中有“中点”及“30°的特殊角”时，一般构造出含30°的直角三角形，因此自然想到添加“垂线CE”，进而利用等腰直角三角形及斜边上的中线等知识使问题得以解决．
例2(2011年上海市初中数学竞赛)在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，P是ABC内一点，且PA=11，PB=7，PC=6，则AC边长为 ．
解 ：如图2，将CPB绕点C顺时针旋转90°至CP′A，连结PP′．易得CPP′为等腰直角三角形，从而PP′=62，因此AP2=AP′2+PP′2，故∠AP′P=90°，进而得∠AP′C=135°，所以由余弦定理，可得AC=
62+y2-2×6×7cos135°
=85+422
．
方法点拨 ：一般地，当题目出现等边三角形、等腰直角三角形（或正方形）条件时，可将图形作旋转60°或90°的全等变换，可将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一起，以便挖掘隐含条件，使问题得以解决. 可见，通过旋转,可把已知条件相对集中到新的直角三角形中,这为应用勾股定理（逆定理）创造了条件.本题由于利用图形的旋转变换，把题设中的“11、7”及“6”派生出来的“ ”得到新直角三角形，求得“角度”、求解线段，使问题出现生机.
例3 (2008年天津市初中数学竞赛)如图3，在ABC中，已知AC=BC，∠C=20°，D、E分别为边BC、AC上的点．若∠CAD =20°，∠CBE=30°，求∠ADE的大小．
解 ：如图3，在ABC内部作∠BAF＝20°，AF与CB交于F.因为CA＝CB，∠C＝20°，所以∠CAB＝∠CBA＝80°，可得∠AFB＝80°，进而得AB＝AF.又可知∠EAF＝60°，∠EBA＝50°，所以∠BEA＝50°，则∠EBA＝∠BEA，所以AB＝AE，所以AE＝AF，所以AEF是等边三角形，进而知∠AFE＝60°，从而得∠DFE＝40°.又∠DAF＝60°－20°＝40°，∠AFD＝100°，所以∠ADF＝40°，所以∠ADF＝∠DAF，所以AF＝DF，进而得DF＝EF，所以∠EDF＝∠DEF＝70°，所以∠ADE＝70°－40°＝30°.
方法点拨 ：由于本题所给等腰三角形的顶角与底角是4倍关系，且隐含着另一个等腰ABE，所以在ABC内部作∠BAF＝20°，可得AF＝AB＝AE，这样构造出更特殊的“等边AEF”，为破解问题开启了思维的闸门.又如，2012年全国初中数学竞赛试题第3题可向外作“等边三角形”获得求解.当然，本题也可作点E关于BC的对称点E′，易知BEE′为等边三角形（如图4），其解题过程留给读者思考.事实上，构造“等边三角形”进行角度求解有很多情形，这里不再赘述．
例4(2008年全国希望杯邀请赛初二1试)如图5，I是ABC的内心，且CA+AI=BC，若∠BAC=80°，则∠ABC= ，∠AIB= ．
解 ：如图5，作IDAC于D，IEBC于E，IFAB于F.因为I是三角形内心，所以AD=AF，CD=CE，BE=BF.因为 AC+AI=AD+CD+AI=AF+CE+AI=BC=CE+BE，所以AF+AI=BE.
在线段BF上取点O，使FO=AF，则OFI≌AFI，所以∠IOF =∠IAF =
1 2∠ABC=40°，进而知AI=IO，所以结合前面证得的结论，可得AF +IO = FO + IO =BF =FO + BO，所以IO=BO，进而得∠EBI=∠OIB=∠IBF=
1 2∠EBA，而∠IOF =40°，所以∠EBI=∠OIB=∠IBF=20°，所以∠ABC=40°，∠AIB=120°．故答案为：40°；120°．
方法点拨 ：当题中有“内心”这个条件时，自然想到角平分线这个性质.此题正是基于题设中的“角平分线”通过“反射变换”构造“全等三角形”，同时变“线段和”为“线段相等”得到等腰三角形，进而求解．同样，如2012年湖北省武汉市第22题也可用类似方法解决.
例5 (2011年《数学周报》杯全国初中数学竞赛)如图6，ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC．点P在ABC内，且PA=3，PB=5，PC=2，求ABC的面积．
解 ：在ABC中，由∠BAC=60°及AB=2AC，可得∠ACB=90°.如图6，作ABQ，使AQB∽APC．由AB=2AC，得其相似比为2.于是QA=23，QB=4，∠QAP=∠BAC=60°，由∠QAP=60°及AQ=2AP，可得∠APQ=90°，于是PQ=3AP=3，故BP2=25=BQ2+PQ2，从而∠BQP=90°，进而∠APC=∠AQB =120°，则AC2=PA2+PC2-2PA•PC•cos120°=7+23，故SABC=
1 2AB•AC•sin60°=3 2AC2=6+73 2．
方法点拨 ：本题解题思路与例2有相似之处，都是向外作三角形，也就是说，当题设中有“丫字型线段组”时，以寻求“角度求解”为切入点，通过“位似旋转变换”构造“相似三角形”进而解决问题．本题正是借助这种方法，层层深入，逐渐转化，使问题出现“曙光”.因此，构造“相似三角形”也有比较广泛的应用，如证明托勒密不等式等．
二、构造四边形
例6 (2009年上海市初中数学竞赛)如图7，四边形ABCD中，AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°．设AD、BC延长线交于E，则∠AEB= ．
解 ：如图7，作BF∥CD，且BF=CD，连结FD、FA.则易得四边形BCDF为菱形，∠ABF=60°，进而知ABF为等边三角形，ADF为等腰三角形.由∠AFB=60°，∠BFD=162°，得∠AFD=138°，从而在等腰ADF中，∠ADF=21°，由FD∥BC，得∠AEB =∠ADF=21°．
方法点拨 ：从相等线段“AB=BC=CD”入手，通过平移变换构造“平行四边形”，使线段传递到所需位置，进而获得等边ABF、等腰AFD解决问题．特别地，通过平移变换构造得到的“平行四边形”进一步可能为矩形、菱形或正方形．
例7 (2007年北京市初二数学竞赛)如图8，在ABC中，∠ABC=46°，D是边BC上的一点，DC =AB，∠DAB = 21°．试确定∠CAD的度数．
解 ：如图8，作AE∥BD，且AE=BD，连结ED、EC．则四边形ABDE为平行四边形，同时∠EDC=46°，所以可得ED=AB=DC，进而在等腰CDE中，求得∠ECD=67°，又∠ADC=∠ABD+∠BAD=46°+21°=67°，由∠ECD=∠ADC及AE∥CD，得四边形ADCE为等腰梯形，故AC=DE=DC，在等腰ADC中，∠CAD=∠ADC=67°．
方法点拨 ：通过“平移变换”获得“平行四边形”、“等腰梯形”后通过“等腰三角形”求解．当然，构造的方法众多（如图9，把ABD沿AD翻折，先证ABD≌CDE，再证ACE≌CAD，具体的解题过程留给读者思考.），也可利用“反射变换”构造“等腰梯形”以及“全等三角形”求解，这里不再赘述．
三、构造辅助圆
例8 (2010年湖南省初中数学竞赛)如图10，O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO的大小为 ．
解 ：如图10，作辅助圆O，显然点A、B、C在O上，则易得∠AOC=2∠ABC=140°，进而在四边形ADCO中，易求得∠DAO+∠DCO=360°-140°-70°=150°．
方法点拨 ：由于例题呈现的条件中，都有相同公共端点的三条相等线段，即OA＝OB＝OC，这样自然联想到圆的定义，所以以O为圆心， OA长为半径构造辅助圆，然后借助圆的知识，建立起已知量与未知量之间的关系，再结合题中条件，问题得以简捷解决.如2012年湖北省鄂州市的第6题也属此类题型.
例9 (2009年“我爱数学”初中生夏令营竞赛)如图11，已知E是圆内接四边形ABCD的边CD的延长线上一点，I是ABC的内心．若∠ABC=70°，∠ACB= 60°，DE=DA，则∠DEI的度数是 ．
解 ：如图11，连结IA、IC，易得∠AIC=90°+
1 2∠ABC=125°.因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ADE=∠ABC=70°.又DE=DA，所以在等腰ADE中，可得∠AED=55°.由于∠AIC+∠AEC=125°+55°=180°，所以A、I、C、E四点共圆，则∠DEI=∠CAI=
1 2∠BAC=25°．
方法点拨 ：本题通过题中四边形ABCD是圆内接四边形的暗示，挖掘题设得到“A、I、C、E四点共圆”，通过“构造辅助圆”将未知角转化为已知角获得结论．实际上，对于众多数学问题，四点共圆”既是常见问题，又是常用策略，树立“构圆意识”，运用“对称”、“和谐”的思考方法，大处着眼，小处入手，往往可以另辟蹊径，柳暗花明，迅速释放题目内涵，打开解题思路.
例10 如图12，凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，已知∠ABD=35°，∠ADB=20°，∠ACB=40°，∠ACD=70°，则∠AEB= ．
解 ：经观察，由于∠ADB=1 2∠ACB=20°，且∠ABD=
1 2∠ACD=35°，所以作ABD的外接圆交AC的延长线于点F（如图12），连结FB、FD．则易得∠AFB=∠ADB=20°，又∠ACB=40°，所以∠FBC =20°=∠AFB，进而得CB=CF.同理，可得 CD=CF，所以CB=CD.因此在等腰BCD中，易求得∠CBD=35°，所以∠AEB=∠ACB+∠CBD=75°．
