垂直与平行
前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇垂直与平行范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。
垂直与平行范文第1篇
教学目标
1.认识同一个平面内两条直线的两种特殊位置关系，初步认识垂线和平行线
2.通过学生自主探究、合作交流，感知平行与垂直的特点，培养学生的空间观念和空间想象能力，以及抽象概括的能力
3.培养学生合作探究意识，感受数学与生活的密切联系
教学重点
正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念。
教学难点
理解“同一平面内”“不相交”。
教学准备
三角板、磁钉、白纸、塑料棒、直尺。
教学过程
一、复习旧知，引发新知
师：同学们已经认识了直线，谁能说说直线的特点？
生：直线能无限延长。（出示课件演示直线无限延长）
二、画图感知，激发兴趣
1.感知平面
师：大家拿张纸平放桌上摸一摸。我们是不是摸到一个平平的面？（感知平面）
2.学生画图
师：同学们我们现在把纸张轻轻地捧在手中，闭上眼睛，想象一下，这张纸放大，再放大直到无穷。纸张上出现了一条直线，又出现了一条直线，他们将会是怎样的关系？请大家睁开眼，用彩笔把你所想象的两条直线的位置关系画在这张纸上。
三、观察分类，自主探索
1.学生动手画图
师：画完的同学举起来互相看看，相同吗？（不相同）
师：谁把自己画的两条直线展示给大家？
2.作品展示
师：同学们的想象可真丰富，想出了这么多不同的画法，现在我们选几组有代表性的直线来分析。
教师选出几幅有代表性的作品展示在黑板上。
师：你能根据黑板上每幅作品中两条直线的位置关系将他们分类吗？
3.学生上台尝试给作品进行分类，并说出这样分的原因
师：你能根据直线的位置关系把这些作品分类吗？（为了方
便，我们给他们编上序号后，指名上台分）
师：你能说说这样分的原因吗？
师：刚才老师听到一个词“交叉”，两条直线“交叉”了，用数学语言应表述为两条直线“相交”了，我们一起来说一遍“相交”这个词。（板书：相交不相交）
4.引导学生分类
师：大家对他的分法有不同意见吗？
（1）学生质疑，教师引导验证
重点：①对于看似不相交的，这两条直线无限延长后真的会相交吗？
②学生动手验证。
师：这两条直线无限延长后真的相交了，可以和相交的分为一类。
③小结：这种看似相交，实际不相交的情形，在判断的时候，要注意把它延长后再判断。
5.展示课件
师：在同一平面内，两条直线的位置关系有两种情况，相交和不相交。
四、动手验证，揭示概念
1.平行线
（1）教师指着不相交的一类，质疑：这两条直线是暂时不相交，还是永远不相交？你能用手中的工具验证一下吗？
（2）动手验证。
指名上台量，说出结果。引导学生说出：两端的宽度相同。
（3）揭示平行线的概念。
师：像这种在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。（板书：互相平行）。
师：知道为什么要加“互相”吗？
生：必须有2条或2条以上的直线，才说互相，一条直线不能说互相平行。
①强调：在同一平面内。
（出示模型）师：同学们，这是什么？有几个面？这条直线在哪个面上？这条呢？这两条直线会相交吗？为什么？那么平行吗？看来，平行线必须在同一平面内，并且不相交（板书：在同一平面内）
师：谁能说一说什么是互相平行呢？
②指着黑板上的作品和关键字引导描述。
③出示课件：指名读，齐读。
师：两条直线互相平行必须具备哪些条件？
生1：直线。
生2：同一平面。
生3：不相交。
2.垂线
师：我们已经研究了两条直线不相交的情况，现在我们来研究两条直线相交的情况。
（1）师指着相交的一类，质疑：在同一平面内，两条直线相交形成了什么？（角）都形成了哪些角？
（2）动手验证。
师：太棒了。同学们这么快就判断出这四个角是直角，但是数学很严谨，我们不能凭眼睛就认定是直角。那有什么办法能让我们可以很肯定地说这四个角是直角呢？
生4：（作思考状）对了，可以用上直角三角板。
师：（作好奇状）怎么用上直角三角板？你能给大家演示一
下吗？
学生拿着三角板量角，确定四个角中的一个角是直角。
师：老师发现还有同学举起了小手，他一定还有话要说。那我们请这位同学说说他的想法吧。
生：还可以用量角器量。
师：同学们真不简单！（板书：成直角不成直角）
（3）揭示垂线的概念。
师：像这样的两条直线，我们就说它们互相垂直。（板书：互相垂直）。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
①指着黑板上的作品和关键字引导描述。
师：用自己的语言说说什么是互相垂直（学生试说后指名回答）
②课件出示互相垂直的概念
师：像这种在同一平面内，相交成直角的两条直线叫做互相垂直，两条直线互相垂直必须具备哪些条件呢？
生1：直线。
生2：相交成直角。
生3：同一平面。
3.联系实际，找一找
（1）在教室中找出平行与垂直的例子，交流。
（2）（出示课件）师：你能在操场上找到平行与垂直吗？（学生思考，相互交流。）
（3）生活中的垂直与平行（出示课件）。
五、巩固练习，深化理解
游戏：我说你摆
师：拿出一根绿色的小棒，再拿出两根红色的小棒，把它们都摆成和绿色小棒平行，这两根红色小棒是什么关系？
小结：如果两条直线仅都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
（课件演示）
师：拿出一根绿色的小棒，再拿出两根红色的小棒，把它们都摆成和绿色小棒垂直，看看这两根小棒是什么关系？
小结：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行。
（课件演示）
六、欣赏图片，畅谈收获
师：生活中垂直与平行无处不在，它装点着我们美丽的世界，让我们共同去感受平行与垂直的美，出示生活中蕴含的垂直与
平行。
七、全课总结
1.揭示课题并板书（垂直与平行）
师：今天我们研究了同一平面内两条直线的什么关系呀？（板书：垂直与平行）
2.谈收获
垂直与平行范文第2篇
类型一：直线与平面平行的证明
【例1】 在三棱柱ABCA1B1C1中,A点在底面A1B1C1上的射影是正A1B1C1的中心.E为侧面BB1C1C对角线BC1上一点,且BE=2EC1,
证明：OE∥平面AA1C1C．
分析 (1) 从“量”上分析:①从BE=2EC1知E是一个三等分点(离C1较近);②从正A1B1C1,O是A1B1C1的中心,知O是A1B1C1的重心,隐含O是B1C1边上中线的一个三等分点,与E点有遥相呼应之感；
(2) 从“形”上分析：由相似三角形的原理知延长CE与B1C1的交点必是B1C1的中点H,从而根据重心知识知A1、O、H共线,这样可形成A1HC；同时可联想B1C1的中点是建立联系的纽带；
(3) 从方法上分析：应用线面平行的判定定理证明,设法在平面内找到平面外的直线OE的平行线,俗称“找线法”。
证明 连接CE并延长,交B1C1于点H,因为BC∥B1C1,BE=2EC1,所以BCE∽C1HE,且BC=2C1H,所以H点为B1C1的中点.
又因为点A在底面正A1B1C1内的射影点O是A1B1C1的中心,所以O是A1B1C1的重心,显然A1、O、H共线.且A1O=2OH.
在HCA1中,CE=2EH,A1O=2OH,所以HEO∽HCA1,所以EO∥CA1.又EO平面AA1C1C,CA1平面AA1C1C,所以OE∥平面AA1C1C．
点拨
(1) 从图形上可联想有一个三角形,过OE且与平面AA1C1C有一条交线,故联想到B1C1的中点；
(2) 在添加辅助线时,易出现错误.如：连CE交B1C1于H点,连A1、O、H等形式的错误；
(3) 除用判定定理证明外,也可以构造平面与平面AA1C1C平行,利用面面平行的性质来证明。
总结:证明线面平行的方法有：定义法、线面平行的判定定理、面面平行的性质定理等方法,常用的是线面平行的判定定理。
类型二：直线与平面垂直的证明
【例2】 已知四棱锥PABCD的底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC且BC=2AB=2AD=2,侧面PAD是等边三角形,PB=PC=2,求证：PC平面PAB.
分析 (1) 从“量”上分析：底面的等腰梯形中,可得出其他的基本关系,作AHBC垂足为H,知BH=12,故易知∠ABC=60°,在ABC中由余弦定理易知AC=3,在PAC,PA=1,PC=2,AC=3,易知PCPA；在PBC中,PB=2,PC=2,BC=2，易知PCPB；
(2) 从“形”上分析：应联想到PC应垂直平面PAB中两条相交的直线
PB,PA,AB中的其中两条即可,可联想连接AC,用勾股定理证明；
(3) 从方法上分析：应利用线面垂直的判定定理,
设法在平面PAB内找到与PC垂直的两条相交直线。
证明 由条件易知在PBC中,PB=2,PC=2,BC=2,故PB2+PC2=BC2，即∠BPC=90°,故PCPB.在等腰梯形ABCD中,
由BC=2AB=2AD=2,得BC=2,AB=AD=DC=1,
作AHBC于点H,得BH=12,所以在RtABH中，∠ABH=60°；
又在ABC中使用余弦定理知：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC=3，
所以在APC中,PA=1,AC=3,PC=2，满足勾股定理,即∠APC=90°,即PCPA，
由上可知PCPA,PCPB,PA∩PB=P,所以PC平面PAB．
点拨
(1) 本题从找线出发,联想到要证PCPA与PCPB,而PCPA是本题的一个难点；
(2) 本题最终在APC中利用勾股定理证得PCPA,亦可以通过AB平面PAC,证得PCAB得到。
总结:证明线面垂直的方法有：定义法、线面垂直的判定定理法、面面垂直的性质定理等方法,常用的是线面垂直的判定定理。
恃国家之大，矜民人之众，欲见威于敌者，谓之骄兵。――魏相
类型三：利用线面平行、垂直的性质的探索性问题
【例3】 已知三棱锥PABC中,ABC是边长为2的正三角形,PC平面ABC,PA=22,E为PB的中点,F为AC的中点,试在线段PC上找一点Q,使得AE∥平面BFQ．
分析
(1) 从“量”上分析：ABC为正三角形,PA=22,易得PC=2；从而知PB=22；
(2) 从“形”上分析：AE平面PAB,且AE∥平面BFQ；PBC
为等腰直角三角形；同时可以联想在平面BFQ内有一条与AE平行的线；
(3)从方法上分析：利用线面平行的性质,通过线面平行得出线线
平行,从而确定Q点的位置。
解 因为ABC是边长为2的正三角形,所以AC=2；
又因为PC平面ABC,AC、BC平面ABC,所以PCAC,PCBC,所以PAC为直角三角形,所以PC2=PA2-AC2=4,即PC=2,所以PBC是以C为直角顶点的等腰直角三角形.不妨在PC上取一点Q,假设满足AE∥平面BFQ,则由线面平行的性质定理,连接CE交BQ于点H,连接HF,作出平面AEC.因为AE∥平面BFQ,
AE平面AEC,平面AEC∩平面BFQ=FH,所以AE∥FH；
显然在AEC中,F为AC的中点,所以H为EC的中点．
过E作EG∥BQ,交PC于点G；
在CEG中,HQ∥EG,H为EC的中点,所以Q为GC的中点,故GQ=QC；
在PBQ中,EG∥BQ,E为BP的中点,所以G为PQ的中点,故GQ=PG；
所以PG=GQ=QC,故Q为PC的一个三等分点且靠近C点；因为PC=2,所以QC=23．
点拨 (1) 取Q点形成平面BFQ,利用线面平行的性质定理得AE∥FH,从而知H为EC的中点；
(2) 在PBC中求Q的位置,除了用本题的方法外,还可以把PBC平面化,利用解析几何知识建立直角坐标系,求出Q点的坐标,从而确定Q的位置；
(3) 学理科的同学还可以通过建立空间直角坐标系,通过求Q的坐标,确定Q的位置。
总结:线面平行的探索性问题常用的解题步骤是：(1) 假设点在某处；(2) 利用线面平行的性质得出线线平行；(3) 通过线线平行确定点的位置。
【例4】 已知直三棱柱ABCA1B1C1中,
BC=2AB=2AC=2,CC1=1,D为B1C1的中点,
AE平面BB1C1C,试在CC1上找一点Q,使得EQ平面A1DC．
分析
(1) 从“量”上分析：BC=2,AB=1,AC=1得∠BAC=90°；CC1=1,可知侧棱长均为1；
(2) 从“形”上分析：AE平面BB1C1C,则必有AEBC,即E为BC的中点；同时可以联想在平面BB1C1C内应该有一条易证的,且与平面A1DC垂直的直线；
(3) 从方法上分析：应利用线面垂直的性质,先找出平面的一条垂线,
再过E作所找垂线的平行线。
解 连接BC1,交DC于O点.因为三棱柱ABCA1B1C1
为直三棱柱,所以BB1C1C为矩形,则由长度关系知：BB1B1C1=DC1C1C=22,所以BB1C1∽DC1C,易得BC1DC.根据D是BB1的中点,且A1B1=A1C1得A1DB1C1.又因为CC1平面A1B1C1,A1D平面A1B1C1,得CC1A1D.所以由A1DB1C1,CC1A1D,B1C1∩CC1=C1得A1D平面BB1C1C,因为BC1平面BB1C1C,所以A1DBC1；因为A1DBC1,BC1DC,A1D∩DC=D得BC1平面A1DC1．
又根据题意,AE平面BB1C1C知AEBC,因为ABC为等腰三角形,所以E为BC的中点；故要使得EQ平面A1DC,只需EQ∥BC1；在BCC1中,EQ∥BC1且E为BC的中点,故Q为CC1的中点；综上所述,Q的位置在CC1的中点．
点拨
(1) 根据线面垂直的性质,要找到EQ平面A1DC,只需先找到一条平面A1DC的垂线,即可通过平行线找到EQ；
(2) 本题理科学生也可以通过建立空间直角坐标系求出Q点的坐标,确定Q点的位置。
总结:线面垂直的探索性问题的一般步骤是：(1) 假设点在某处；(2) 找到已知平面的一条垂线；(3) 通过作已知平面垂线的平行线,确定要找的点的位置。
牛刀小试
1. 三棱锥PABC中,E、F是PA、PB的中点,O是AC的中点,G是OC的中点,证明：FG∥平面BOE.
2. 三棱锥PABC中,D是AB的中点,E在PB上,且PE=2BE,在PB上确定一个点Q,使得DE∥平面ACQ．
3. 四棱锥SABCD中,AB∥CD,BCCD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1,O为AC与BD的交点,试在SB上找一点E,使得OE平面SAB．
【参考答案】
1. 证明：连接AF交BE于点H,连接OH,因为O是AC的中点,
G是OC的中点,所以AOAG=23；在PAB中,BE,AF均为三角形的中线,故AF与BE的交点H是PAB的重心,
所以AHAF=23.所以在AFG中,AOAG=AHAF=23,
由相似三角形知识得OH∥FG；
又因为OH平面BOE,FG平面BOE,所以FG∥平面BOE．
2. 证明：因为ABCD是正方形,所以AD=DC=1,又因为PC=2,所以PD2+DC2=PC2,即PDDC.又因为PDDC,PDBC,DC∩BC=C,所以PD平面ABCD．
2. 在PB上取点Q,作平面ACQ,假设DE∥平面ACQ；因为DE∥平面ACQ,DE平面PAB,平面PAB∩平面ACQ=AQ,所以DE∥AQ.ABQ中,DE∥AQ,D是AB的中点,所以E为BQ的中点.所以BE=EQ=13PB=PQ,即Q为PE的中点,亦可答：Q是PB的一个三等分点且靠近P点．
3. 在四边形ABCD中,过D作DHAB于点H,在四边形ABCD中,
因为AB∥CD,AB=2,CB=2,CD=1,所以AH=1,DH=2,故AD=5．
在SAD中,SA=2,SD=1,AD=5,则SA2+SD2=AD2,
所以SDSA.BCD中,CD=1,BC=2,BCCD,则BD=5．
故在SDB中,SD=1,SB=2,BD=5,所以BD2=SD2+SB2,所以SDSB．
因为SDSA,SDSB,SA∩SB=S,所以SD平面SAB．
要在SB上找一点E,使得OE平面SAB,只需作出SD的平行线即可．
根据CD∥AB,
易得OCD∽OAB,得O为DB的三等分点(靠近D点),
故在SDB中,OE∥SD,显然E是SB的三等分点(靠近S点)；
垂直与平行范文第3篇
关键词：晶界；晶体塑性；铜双晶；孔洞；裂纹
中图分类号：TH140.7；TB302.3 文献标识码：A
Morphologic Observation and Analysis of Compressed
Copper Bicrystals with Horizontal and Vertical Grain Boundaries
DUAN Xianyun，RUAN Feng，ZHANG Saijun
（School of Mechanical and Automotive Engineering， South China University of Technology，Guangzhou，Guangdong 510640，China）
Abstract：The microscopic morphologies of uniaxially compressed copper bicrystals （CB） with horizontal and vertical grain boundaries （GB） were observed. Experiment results have shown that， under the same comppressive loading condition and comparing the case of CB sample with horizontal GB， a higher stress exists beside the GB for the CB sample with vertical GB， for which there are much more microvoids and cracks， whose locations are much concentrated to or beside the slip lines.
Key words：grain boundary； crystal plasticity； copper bicrystal； hole； crack
在微形冲压中，由于金属晶粒取向不同以及晶界相对加载轴方向的位向不同，单向的外加载荷会转变为复杂的力平衡系统[1-2]，晶界在抵抗材料变形与破坏中起到了关键作用[3].因此，研究晶界方向对塑性变形中孔洞和裂纹的影响有重要的意义.
目前国内外相关的研究主要集中在循环应力下，不同的晶界方向对铜晶体疲劳失效的影响[4-8]，并对疲劳裂纹的产生和扩展做出相应的解释[9-15].而在微型冲压中，材料的关键变形区和破坏区受力并不是循环应力的交变载荷，大部分是单纯的拉伸力和压缩力，因此有必要研究该受力条件下晶界方向对塑性变形的影响.本文基于以上目的，在铜双晶体的晶界分别处于水平晶界（晶界面为水平面）和垂直晶界（晶界面为垂直面）两种情况下，对受到压缩变形后晶界附近的形貌进行了试验观察分析.
1 试验材料
本实验的铜基材采用台湾NeoTech公司的纯度为99.995%，外径为2.5 mm的连铸单晶铜线.试样的制备主要经过以下步骤（如图1）：取两段该铜线，不考虑晶向，随机磨削成30 mm×2 mm×1 mm的长方体；经扩散焊随机焊接成30 mm×2 mm×2 mm双晶体条（图1（a））；将整个双晶体条长度方向4个面磨平行，经抛光机逐步抛光至2 000号后，再经线切割分割成若干个2 mm×2 mm×2 mm的双晶体方块（图1（b））；取两个双晶体方块，晶界方向分别为水平方向和垂直方向，相邻放置于特制固定扣中，注入热熔胶（水晶胶易损坏已经抛光的表面），在磨床（5 ℃低温喷淋）磨平上下两端面，再抛光至2 000号（图1（c））；再将两方块从热熔胶中取出，将要观察形貌的两个主要平面抛光至4 000号，再经平绒布抛光，然后进行电解抛光；经EBSD测定双晶体的取向矩阵为：
湖南大学学报（自然科学版）2013年
第7期段先云等：铜双晶水平与垂直晶界压缩形貌观察与分析
2 试验方法
微压缩装置如图1（d）：上下夹板经过精磨抛光处理，以确保贴合的平行度，上下夹板分别固定在模架和模板上，两个双晶体方块放在上下夹板间，一个双晶体为水平晶界方向，另一个为垂直晶界方向，整个装置在万能材料试验机上进行微压缩试验.据本试验的压缩方法，每次取出样品进行显微形貌观察时，两种晶界方向双晶体的竖直方向的形变始终保持相同.整个试验在奥林巴斯CX21BIMSET5显微镜下观察拍照.
3 试验结果与分析
铜质地较软，延展性能好，在变形初期试样表面已经能观察到密布的滑移线.当压缩应变达到ε=-0.6时，两个晶粒内部和晶界处可以观测到较明显的孔洞和裂纹.初始的孔洞和裂纹都很微小，它们的尺寸在3
SymbolmA@ m以上时能较明显地被观察到.图2是典型的孔洞与裂纹的外观形貌，孔洞类似于圆形，裂纹呈不规则多边形.
由于孔洞和裂纹尺寸微小，加之大应变下显微景深的影响，一张照片无法显示出全部孔洞和裂纹.本文在压缩应变为ε=-0.7时（压缩加载方向为图3中竖直方向），对4组试样中的能较明显观察到的、尺寸大小在同一级别上的孔洞和裂纹进行了数量与分布的统计，并绘制了相应的分布图，见图3.图中“o”代表孔洞，“+”代表裂纹，“o”和“+”的数量为4组试样观测到数量的均值，“o”和“+”的位置是分布密度和分布位置的示意.
从分布图中可见，孔洞裂纹的分布与文献[7，16-18]中观测到的结果有吻合的一面，即晶界附近较大的应力集中阻碍了位错的滑移，裂纹和孔洞多发生在晶界附近.同时，在本实验方法下，也观察到不同的分布特点：见图3，水平晶界双晶的孔洞和裂纹分布区域更宽，而垂直晶界的则更集中于晶界附近；水平晶界中同一尺寸级别的孔洞数量比垂直晶界的多，而垂直晶界的裂纹数量比水平晶界的多；垂直晶界的孔洞和裂纹的总体数量多于水平晶界.
造成此现象的原因本质上仍是应力集中，而且是因为垂直晶界附近的应力集中现象明显高于水平晶界的，无论是这些应力的方向、大小都比水平晶界的复杂.这些更加集中的应力触发了晶体内部更多的滑移系，在这些滑移系和应力集中的共同作用下，较多数量的孔洞和裂纹相应产生.同时，多个滑移系共同作用的结果也促使垂直晶界中的孔洞更快地转化为裂纹.本实验中，两种晶体的加载力大小和方向都相同，对于垂直晶界孔洞裂纹分布更集中于晶界附近的原因，虽然同样也归结为应力集中所引起，但必然与晶界和加载方向之间的相对角度直接相关.
为了观察孔洞和裂纹在不同变形量下的变化情况，本文分别在ε=-0.7和ε=-0.85条件下，对晶界和晶界附近区域的若干个点进行了连续形貌观察.
图4为水平晶界双晶体中，在晶界的右下方区域的孔洞和裂纹图像.从显微镜照片可见，微小孔洞和裂纹的发生点多集中于主、次滑移线的交错位置附近区域，有些是位于二者的交点上，有些是位于一根滑移线下方另一根滑移线上，也有的是位于两滑移线交角内.该区域中，有4处较明显的孔洞裂纹点（标号1～4），对它们进行了连续观察，如图5，每个观察点前后两张形貌照片的压缩量分别为ε=-0.7和ε=-0.85.从图中可见，随着压缩量的增大，裂纹的形状变得更加不规则.裂纹的初期形状更接近于孔洞，如点3和点4，左图的裂纹中心均有一个较小而圆度好的孔洞.
在640倍放大观测下（图6），可观测到微孔及其变形.图5（a）是一初生的微孔，形状相对较规则，随着滑移变形的加大，微孔发生变形并伴随一处或多处的破裂，最终变形成裂纹的形状.从图5中还可观测到，圆孔或裂纹的扩展方向并没有统一的方向性.点1和点2裂纹扩展方向沿近似135°的滑移线方向，而点3、点4则沿近似45°的滑移线方向.
相同的方法，对于垂直晶界双晶体中晶界中部区域进行了形貌观察，并在其中选取了点1～5进行了连续观察，结果如图7.从图7可见，它的孔洞和裂纹分布与水平晶界的有许多不同点：首先，晶界附近分布有较多的孔洞和裂纹，在单个晶粒中间以及远离晶界的一侧，成形的同一大小级别的孔洞和裂纹较少.图中选取的观测点已是较明显的孔洞和裂纹，这种级别的孔洞裂纹在远离晶界的晶粒中部区域数量较少；其次，在整个形貌观察中，裂纹更加明显，而孔洞的数量较少.本观察中，5个观察点只有一个是孔洞，其余均为裂纹；再次，在晶界附近，可观察到发生了多个次级滑移（点3附近较明显），孔洞和裂纹的发生位置有的位于滑移线交错处，也有的位于没有明显滑移线的杂乱区，更多的是位于某根滑移线上或滑移线一侧，这是与水平晶界的区别最明显的一点.图8为连续观测结果：点1，点4，点5的裂纹均位于滑移线上或在一侧，随着变形的加大，裂纹长度沿滑移线逐步扩展，这种扩展可以是由若干个孔洞连接发展而成，如点1；也可由小裂纹进一步长大扩展而成，如点4，点5，点2是一孔洞，初生在两滑移线交角下方，经过第二次变形后，与新出现的次级滑移形成交错，变形成裂纹形状.本观察中，点3是一个初生的孔洞，它是在一杂乱区域，随着变形量的增大，一个孔洞在两滑移线的交错中出现.
对于上述垂直晶界孔洞和裂纹的不同特点，主要的起因仍然是晶界附近的应力集中，而且是垂直晶界附近的应力集中大于水平晶界的.垂直晶界附近较高的应力集中，使得多个滑移系开动，并且滑移系间相互交错，应力不均衡.裂纹是微小孔洞产生后，在滑移变形的作用下，孔洞周边交错拉裂而形成.由于各滑移系滑移方向不同，变形有不相容性，在晶界附近的微小孔洞一旦产生，在高应力下，迅速转化成微小的裂纹，从而使得裂纹数量更多，孔洞数量较少.同时，由于晶界的存在，协调了整个晶粒的变形，在高应力下，各滑移系都产生了允许范围内的最大滑移量，以降低整个区域的应力并走向一个新的平衡状态，这种滑移系允许范围内的最大滑移，促使了裂纹沿滑移方向的生长.
图9是对于其中一根滑移线上孔洞和裂纹放大了640倍的观察图，图中可明显看到在滑移线上既有孔洞又有裂纹，裂纹由两个孔洞状区域联通而成，从整体的扩展趋势而言，孔洞随着形变的加剧，形状都将发生不规则变化并演化成裂纹.
4 结 论
1） 在相同压缩应变条件下，水平和垂直晶界附近均存在应力集中，垂直晶界双晶体晶界附近的应力集中高于水平晶界的；
2） 在相同的大压应形变条件下，垂直晶界双晶体中孔洞和裂纹数量多于水平晶界的，分布更集中于晶界附近；
3） 在相同的大压应形变条件下，垂直晶界双晶体中孔洞和裂纹分布位置更集中于滑移线上或临近滑移线某一侧，而水平晶界的无此集中现象.
参考文献
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垂直与平行范文第4篇
让我们用两根食指比划比划每组中直线的位置关系。如果让你给这几种情况分类，你打算怎么分?先自己独立思考，再与小组同学交流交流，小组长做好记录和总结。以下是为大家整理的数学两条直线之间的关系教学案例资料，提供参考，希望对你有所帮助，欢迎你的阅读。
数学两条直线之间的关系教学案例一
两条笔直的铁轨，看成两条直线，把它们画在纸上，它们的位置关系如同等号。如果你也来画两条直线，还会有什么不同的位置关系呢?
学生画一画。
(二)、分一分，初步感知平行与垂直的特点
1、让我们用两根食指比划比划每组中直线的位置关系。如果让你给这几种情况分类，你打算怎么分?先自己独立思考，再与小组同学交流交流，小组长做好记录和总结。
2、、交流分类情况。
可能出现以下几种分法：
第一种：分两类——相交、不相交
第二种：分三类—— 相交、快要相交的，不相交
第三种：分四类—— 相交、快要相交的，不相交，相交成直角的。
(三)、归纳特点，探究规律
平行：
1、大家先来看第一类，这一类的两条直线的位置有什么特点，想象一下再画长点，会相交吗?
2、像这样的两条直线我们就叫平行线，谁能用自己的语言说一说，什么是平行线?
3、我们打开书56页，看看书中是怎么定义平行线的。(齐读)
4、在这个概念中，你想提醒同学们注意些什么?(“同一平面内”，“互相平行”)
5、引导学生正确表述两条直线互相平行。
6、介绍用符号表示平行线的方法。
7、出示课件：判断是否成平行关系。
8、再一次出示铁轨，你还能举出生活中平行的例子吗?
垂直：
1、下面我们再来看看第二类直线有哪些共同特点?(有交点，都成了四个角)能不能按照角的大小也把它们分分类?有的四个角都是直角，有的四个角不是直角)，你怎么知道他们相交后形成的角是直角呢?(三角板、量角器)，
2、谁知道像这样两条直线相交成直角是什么关系?
3、谁能用自己的语言说一说，什么是互相垂直?
4、我们打开书57页，看看书中是怎么定义互相垂直的。(齐读)
5、在这个概念中，你想提醒同学们注意些什么?(“相交成直角”，“互相垂直”)
6、引导学生正确表述两条直线互相垂直。
6、介绍用符号表示互相垂直的方法。
7、完成题卡：判断每组中两条直线的位置关系，并用符号表示出平行和垂直,写出读法。
8、生活中，很多时候平行和垂直都是同时存在的，把它们掺杂在下起，同学们能区分出来吗?
(四)、小结，梳理知识结构
刚才，同学们在画一画，分一分、说一说、找一找等探究活动中，知道了在同一个平面内的两条直线的位置关系可以分成两大类，相交和不相交。不相交的这一类叫做平行。相交的这一类按照是否成直角也可以分成两类，其中相交成直角的叫做垂直。生活中有了平行和垂直，我们的世界变得更加有序和美丽。
(五)、拓展练习，巩固知识
辨析题：1、两条不相交的直线叫平行线。
2、同一平面内的两条直线不平行就相交。
3、垂线和直角如同孪生兄弟，有垂线的地方就有直角。
4、如图 + 直线b叫垂线。
(六)、拓展提升
本节课，我们主要研究了同一个平面内两条直线平行和垂直的关系，如果再加入一条直线，你还能弄清它们之间的关系吗?
出示：如果两条直线都与第三条直线平行，那么，这两条直线之间是什么关系?
如果两条直线都与第三条直线垂直，那么，这两条直线之间是什么关系?
(七)联系生活实际，进一步提升平行与垂直的应用价值
出示图片：(铅锤测平行，水平仪定平行垂直，测量跳远成绩)
引导学生了解平行和垂直在生活中的应用，引发学生的深度思考，为下节课做渗透。
板书： 平行与垂直
不相交—平行 (∥ )( = )( )记作： a//b读作：a平行于b
同一平面内
相交—成直角—垂直( )(+)(⊥) 记作：a⊥b读作：a垂直于b
数学两条直线之间的关系教学案例二
知识与技能目标：
1、使学生初步理解垂直与平行是同一个平面内两条直线的两种特殊的位置关系。
2、学生结合生活情境，通过自主探究活动，初步认识平行线、垂线。
过程与方法目标：
学生在小组合作学习的过程中理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，培养学生的空间观念及空间想象能力，合作探究能力。
情感、态度与价值观目标：
1、 通过讨论交流，使学生独立思考能力与合作精神得到和谐发展。
2、 学生在具体的情境中感受“垂直与平行”来源于生活，在知识形成过程中体验数学的价值。
【教学重点】
正确理解“同一个平面”“相交” “互相平行” “互相垂直” “平行线” “垂线”等概念，发展学生的空间想象能力。
【教学难点】
正确判断两条直线之间的位置关系(尤其是对看似不相交而实际上是相交现象的理解)和对“同一平面”的正确理解。
【教学用具】
白纸、尺子、三角板、水彩笔一支、小棒、多媒体
教学过程：
一、画图感知、研究两条直线在同一平面内的位置关系。
1、 今天这节课老师请来了一个老朋友，他是一条直线，那么直线有什么特点呢? (没有端点，可以向两边无限延伸)
师：直线就像孙悟空的…?
生：金箍棒。
2、想象活动(想象纸面上两条直线的位置关系)
师：老师和同学们都有同样的一张纸,现在请大家拿出来平放在桌上摸一摸这纸，然后谈谈你的发现。
生：这张纸很薄。
生：这张纸的表面是平平的。
师：也就是说我们手中的这张纸的面是一个平面。 (学生活动感知纸面是一个平面。)
师：同学们我们现在来想象一下，如果把这个面无限扩大，闭上眼睛想象一下，它是什么样子?
生：很大很大，越来越大。 (学生闭上眼睛想象)
师：如果在这个无限大的平面上，出现了一条直线，又出现一条直线，现在请你想一想这两条直线的位置关系是怎样的?会有哪几种不同的情况呢?(学生想象)
3、在纸上画出想象中的两条直线。 每个同学手中都有这样的白纸，现在咱们就把它当成一个无限大的平面，把你刚才的想法画下来。注意，一张白纸上只画一种情况。开始吧。(学生试画，教师巡视)
设计意图：通过学生的观察与想象，感知并感受无限大的平面。为下一步进行两条直线间位置关系的想象提供一个可操作的平台。想象平面上出现两条直线，不是让学生直接想象两条直线，而是一条一条的出现，有利于学生想象出更多的两条直线间的位置关系，培养学生空间想象力。一张纸上只画一种情况，目的提高学生分类时的可操作性。
二、观察分类，了解平行与垂直的特征。
(一)展示各种情况。
1、请你的同桌欣赏一下你的作品。
2、将你自己的作品展示给你所在的小组同学，并选出几张有代表性的作品(小组交流)。 师：哪个小组愿意上来把你们的想法展示给大家看看? (小组展示，将画好的图贴到黑板上)
师：仔细观察，你们画的跟他们一样吗?如果不一样，可以上来补充!(如果学生没有把所有的情况都想到教师给予补充) 教师给学生的作品进行编号。
师预设有以几种两条直线的位置关系：
设计意图：在学生自己确定了想法之后，再在小组中交流。充分利用学生自己的学习能力，然后选出有代表性的情况，展示在黑板上，其他小组观察后，补充不同的情况，这样学生的学习活动就经历了一个从个人到小组再到全班的逐层递进的过程。使在同一平面内两条直线间位置关系的各种情况，可能地通过学生的思考、想象、动手操作展现出来，为分类提供材料。
三、师生共同探究 揭示平行与垂直的概念
(一)揭示平行的概念
1、那剩下的这组直线相交了吗?(没有)想象一下，画长点，相交了吗?(没有)再长一点，相交了吗?(没有)无限长，会不会相交?(不会)(边提问边用课件演示)
2、那么，像这样在同一个平面内的两条直线画得再长再长也不会相交，你们知道这种在同一平面内永不相交的两条直线在数学上叫什么吗?我们就说这两条直线是平行线，这两条直线互相平行。(板书：互相平行)(学生试说不完整的概念)
3、小结： 象这样在同一平面内，永远不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。(课件出示，并让学生齐读概念)
4、你们知道为什么要加“互相”吗?(学生回答)
教师用谁是谁的同桌来说明平行线间的关系。 课件演示，老师强调：平行是两条直线之间的位置关系，可以说直线L1与L2互相平行，或者说L1平行于L2，L2也平行于L1。能不能说L1是平行线?
5、你觉得在这句话中，还应注意哪些词? 学生回答(同一平面、不相交)
师：“同一平面”是什么意思?(学生讨论)学生发言后师举例帮助学生理解，强调：判断两条直线是否是平行线时“在同一个平面内”和“不相交”这两个条件缺一不可。指出如果不在同一平面的情况，以教室的几个墙面为例。(假如在教室前面的墙面上画一条直线，然后在教室的侧面画一条直线，它们不相交但它们平行吗?)
6、辨析练习：课件出示，请学生判断并说出原因。
(二)、揭示垂直的概念
1、咱们再来看看两条直线相交的情况。你们发现了什么?(都形成了四个角)
2、你认为在这些相交的情况中哪种最特殊?(相交形成了四个直角)
3、两条直线相交成直角，而其他情况相交形成的都不是直角，有的是锐角，有的是钝角。
4、你是怎么知道他们相交后形成了四个直角呢?(学生验证：三角板、量角器)(板书：成直角)
5、你们知道在同一平面内，两条直线相交成直角，在数学上叫什么吗?(互相垂直)什么叫互相垂直?谁能用自己的话说说。(学生试说) 课件出示互相垂直的概念，让学生齐读。
6、强调其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
出示直线a1和a2互相垂直的情况，让学生说说它们之间的关系。 即：直线a1是a2的垂线，或者说a1垂直于a2， 也可以说a2是a1的垂线，或者说a2垂直于a1。
7、强调看两条直线是否互相垂直的关键是看它们相交所成的角是否直角，与两条直线放置的方向无关。
四、 练习巩固，深化垂直与平行的理解。
1、你能在运动场上找出平行或垂直的现象吗?(课件出示主题图)
2、生活中我们常常遇到垂直与平行的现象，你能举几个例子吗?(学生举例后教师适当添加学生没想到的例子。)
3、小结：通过刚才的学习，我们已经知道了同一平面内两条直线间有两种关系一种是相交，一种是不相交。同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行;如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
4、揭示课题。(板书课题)
五、拓展延伸，发展空间观念。
下面咱们一起来做个游戏，(出示小棒)每根小棒代表一条直线。教师在电子白板上画图，学生用小棒在自己的课桌上摆放小棒。
(1)先摆一根3号的小棒，再摆一根1号小棒，使它与3号小棒平行。再摆一根2号小棒，使它也跟3号小棒平行。仔细观察1号和2号小棒，说说你们发现了什么?(互相平行)看看你摆的是不是互相平行?想象一下，有多少条直线跟3号小棒平行?
(2)先摆一根3号小棒，再摆一根1号小棒，使它与3号小棒垂直。再摆一根2号小棒，使它也跟3号小棒垂直。想象一下，有多少条直线跟3号小棒垂直?仔细观察1号和2号小棒，说说你们发现了什么?(互相平行)看看你摆的是不是互相平行?
六、 总结:
师：这节课你有什么收获?
学生谈自己的收获。结合学生所谈收获教师总结全课。
师：同学们你们都满载着收获，我们的生活离不开数学，数学能使我们生活变得更加有序，更加美好，让我们都做有心人吧!去感受数学的美，去感受生活的美。
七、 作业：
1、回家后继续寻找生活中垂直与平行的现象，讲给你的父母听，并说一说它们有什么作用?
2、动手折一折：(!)、用一张白纸折出两条互相垂直的折痕线。
(2)、用一张白纸折出两条互相平行的平行线。
八、板书设计
垂直与平行
不成直角
相交
同一平面内的两条直线 成直角 互相垂直
不相交 互相平行
数学两条直线之间的关系教学案例三
[教学目标]
1、引导学生通过观察、讨论、感知生活中的平行与垂直的现象。
2、帮助学生初步理解平行与垂直是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，初步认识平行线和垂线。
3.培养学生的空间观念及空间想象能力，引导学生树立合作探究的学习意识。
[教学重点]
正确理解“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。
[教学难点]理解“平行与垂直”这两种关系的界定前提是“同一平面内”。
[教具、学具准备]
课件，水彩笔，尺子，三角板，长方形纸等。
[教学过程]
一、谈话导入。
师：同学们，今天老师请来了一位老朋友，你们想知道它是谁吗?(课件出示一条无限延长的直线)谁来介绍一下这位朋友?
师：直线就像孙悟空的…?
生：金箍棒。
二、探索体验，经历过程
(一)画图感知，确定研究对象。
过渡：今天我们继续研究有关直线的知识，就是两条直线在同一平面内的位置关系。
板书：两条直线
1、想象活动，想象纸面上两条直线的位置关系。
师：想一想，如果我们在这张长方形纸上画两条直线，这两条直线会有怎么样的位置关系呢?(学生想象)
2、动手操作。
(学生试画，教师巡视)
3、收集展示。
4、观察分类，了解平行与垂直的特征。
师：同学们的想象力可真丰富，画出这么多种情况。根据两条直线的位置关系你能给它们分分类吗?
5、汇报分类情况。
在分类过程中通过课件展示重点引导学生弄清看似两条直线不相交而事实上是相交的情况。(课件展示不相交的两条直线延长后的情况，完善分类标准。)
教师根据学生的分类板书：相交 不相交
(二)师生共同探究，揭示平行与垂直的概念
1、揭示互相平行的概念。
(1)通过交流揭示互相平行的概念。
在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。(课件出示，并让学生齐读概念，互说概念)
(2)练习。(辨析练习：课件出示，请学生判断并说出原因。)
通过练习让学生理解“同一个平面”、“不相交”等的意思。
(3)小结
2、通过交流揭示互相垂直的概念
师：我们再来看看两条直线相交的情况。
(1)观察。两条直线相交成的四个角是什么角?
(2)汇报：两条直线有的相交成直角，有的是锐角，有的是钝角。
成锐角、钝角
板书：相交
成直角 垂直
(3)引出互相垂直的概念，你们知道在同一平面内，两条直线相交成直角，在数学上叫什么吗?(互相垂直)什么叫互相垂直?
(4)课件出示互相垂直的的概念。(齐读概念，互说概念)
(5)练习。(课件出示)
(6)自学互相平行、互相垂直的表示方法。
a与b互相平行，记作a∥b ，读作 a平行于b
a与b互相垂直，记作a⊥b ，读作 a垂直于b
(三)欣赏生活中的平行和垂直现象。
三、巩固练习
四、总结全课
五、作业
板书：
平行与垂直
不相交 互相平行
两条直线的位置关系 成锐角、钝角
(同一平面内 ) 相交
垂直与平行范文第5篇
关键词：小学；数学；教
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）11-311-01
一、自主学习，尝试画图。
第一步，请学生画出两条直线互相平行。第二步，请学生画出两条直线互相垂直。第三步，小组里说一说什么是互相平行，什么是互相垂直，并互相检查你们所画的是不是正确的。第四步，选取组内一个同学的作品，做好向全班同学汇报的准备。
二、交流展示，观察辨析
学生完成学习单内容后，自主完成导学提示单上的内容后，再课堂中引导学生进行交流，选出你认为是互相平行互相垂直的向全班汇报。师：谁来说说两条直线怎样的位置是互相平行？怎样的位置关系是互相垂直？a：学生根据书上的定义准确描述互相平行和互相垂直的定义，并让学生说说你认为哪些词比较重要。b：教师在黑板上出现这两条概念的表述。教师根据学生的想法、所提出的问题进行随机评价，并对白板上学生的作品进行评价整理，归类，会出现两种如下情况：
三、理解互相平行
如何让学生理解互相平行，根据定义抓住平行线的本质特征来判断是否互相平行，学生对其中的不平行的线条生质疑，让学生知道不平行的线条延长后会相交，再根据学生的回答，通过白板先把两条直线延长，然后利用白板中的三角板功能量下两条直线之间的距离相等。小结：通过刚才的学习，我们知道两条直线的位置关系有两种，一种是相交的，一种是不相交的，像这样延长后永不相交的两条直线在数学上叫互相平行，如两条直线分别叫做a、b，记作a∥b，读作a平行于b。（板书）谁能说一说：互相平行需要具备什么条件：一，两条直线，二，永不相交，（三，同一平面，等会儿再得出）
四、理解互相垂直
通过书本上的定义抓住垂线的本质特征来判断是否互相垂直，学生对不相互垂直的线条产生质疑，在质疑中概括出互相垂直的本质属性。小结：像这样两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足，读作a垂直于b。师：谁也来说一说：互相垂直需要具备什么条件？（一两条直线，二相交成直角， 三同一平面，等会儿再得出）
五、理解同一平面
引导学生质疑：（1）先让学生说说为什么互相平行和互相垂直这两条直线要在同一平面内。（2）出示一个只有4个面的长方形纸盒，前面和后面各画了一条直线a和b，再展开（如右图）：让学生去想象平面和直线分别是无线延伸和延长的，不管直线怎么延长，它们都分别在自己的平面内，而互相平行的前提是在同一平面内。（3）再次深化“互相平行”和“互相垂直”，通过设计5个问题的过程进行深化凸显概念的本质。如：①如何去找到直线a的平行线，能找到几条？②与a平行的这两条平行线是否也互相平行。③选取与a平行的两条直线，要让直线a与直线b互相垂直，应该怎么办？④两条直线是不是互相垂直了呢？（再次用三角板去验证）⑤如果让直线a继续转下去，还会发生情况。（出现重合情况）⑥让其中一条直线平移，会出现什么情况。
六、教学设计反思效果
1、运用翻转课堂，提高自学能力
教师提前创建视频，运用翻转课堂教学模式，学生在课前或家中观看学习视频中的内容，完成老师导学提示单中的问题，回到课堂上师生面对面交流和完成作业的这样一种教学形态。垂直与平行这节课的内容基本上以陈述性内容为主，更要注重引导学生自主、有效的学习，本节课先通过让学生自己想象两条直线的位置并画下来，再通过交流、分类，在分类中引导学生概括出“互相平行”和“互相垂直”的本质属性。数学的学习就是思维不断激烈碰撞的过程，也是师生互动、生生互动共同发展的过程，根据学生的知识起点，让他们通过充分的交流和再创造“跳一跳”摘到果子，促进他们在动手实践、自主探索和合作交流的过程中真正理解数学，使数学的课堂充满生命和活力。
