植树问题教学反思

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植树问题教学反思范文第1篇

片断一：

（出示3道准备题，要求学生列出算式，不计算，然后同桌交流）

（1）甲是100，乙是80，乙是甲的百分之几？

（2）甲是100，乙是甲的80%， 乙是多少？

（3）乙是80，乙是甲的80%，甲是多少？

师：大家想一想，这三道准备题是属于哪一类问题？

生：这些都是属于百分数的问题。

师：对，这三道题目都是百分数的问题。那么，解决这样的问题关键是什么？

生1：我觉得关键是找准单位“1”的量。

生2：理清题目中的数量关系也是解题的关键。

师：是的，确定单位“1”的量和理清题目中的数量关系都是解答这类题的关键。大家解决上面这三道题的顺序是怎样的？

生3：第一步是找出单位“1”的量。

生4：第二步是理清数量关系。

师：谁能具体说一说怎样理清数量关系？

生5：如果是求百分数的题目，用除法计算，用单位“1”的量作除数。

生6：如果单位“1 ”的量已知，用单位“1 ”的量乘分率，就可以求出未知量；如果单位“1”的量未知，用已知量除以分率就可以求出单位“1”的量。

生7：然后就可以列式解答了。

（师板书：确定单位“1” 理清数量关系 列式解答）

师：同学们说的都有道理，这节课我们就来复习用百分数的知识解决问题。（板书课题：用百分数知识解决问题）

片断二：

出示：我们班有男生23人，女生25人。

师：这是我们班男女生信息，请同学们为它补充一个问题，使它成为一道百分数的解决问题。看谁想出的问题多！

（先让学生独立思考，把想出的问题写在小卡片上，然后四人小组交流，并把组内想到的问题汇总到一张纸上。教师巡视，选出一组展示，让大家补充）

（1）男生是女生的百分之几？

（2）女生是男生的百分之几？

（3）男生比女生少百分之几？

（4）女生比男生多百分之几？

（5）男生占全班人数的百分之几？

（6）女生占全班人数的百分之几？

师：这些都是求百分数的解决问题，解答这样的问题，与准备题（1）有什么区别？

生1：这里第一、第二个问题和准备题一样，都是一步计算的解决问题。

生2：第三和第四个问题都是两步计算的解决问题，它们单位“1”的量不同，只要用男女生人数的差除以单位“1”的量就可以了。

生3：第五和第六个问题单位“1”的量是相同的，都是全班人数，注意相关量是男生还是女生就可以了。

师：那么，求百分数的解决问题，我们应当注意什么？

生4：单位“1”的量和相关量有时候不直接给我们。

生5：相关的量怎么找呀？

生6：求谁是单位“1”的量的百分之几，谁就是相关的量，就用它除以单位“1”的量。多百分之几或少百分之几，这“多”或“少”的部分也是相关的量。

片断三：

出示：一盒彩色粉笔，里面装有红、黄、蓝三种颜色的粉笔共50支，其中红色粉笔占总数的50%，黄色粉笔占总数的30%，蓝色粉笔有多少支？

（让学生独立解决，同桌之间交流解题方法）

师：谁来告诉大家，解这道题要注意什么？

生1：可以先分别求出红色粉笔和黄色粉笔的支数，然后再求蓝色粉笔的支数；也可以先求蓝色粉笔支数占总数的百分率，再求蓝色粉笔的支数。

师：刚才有同学说如果单位“1 ”的量已知，用单位“1 ”的量乘分率，就可以求出未知量。你们觉得这句话有问题吗？

生2：我觉得应该是乘未知量的对应分率。

师：在用百分数知识解决问题中，量率的对应也是解题的关键，大家一定要注意相关量的对应分率或分率的对应量。

师：现在，请大家根据这道习题，改编题目中的条件，形成一道新的题目。

（学生独立改题，然后全班交流展示）

（1）一盒彩色粉笔，里面装有红、黄、蓝三种颜色的粉笔共 50支，其中红色粉笔占总数的50%，黄色粉笔是红色粉笔的60%，蓝色粉笔有多少支？

（2）一盒彩色粉笔，里面装有红、黄、蓝三种颜色的粉笔共 50支，其中黄色粉笔占总数的30%，红色粉笔是黄色粉笔的1(2/3)倍，蓝色粉笔有多少支？

（3）一盒彩色粉笔，里面装有红、黄、蓝三种颜色的粉笔共 50支，其中红色粉笔占总数的50%，黄色粉笔和蓝色粉笔支数的比是3∶2，蓝色粉笔有多少支？

……

师：同学们改编的题目真不少，在这里我们先解决第一题，其余的题目课后再研究。大家看这道改编题和原题有什么区别？解决这样的问题要注意什么？

生3：这两道题都知道粉笔的总数，还有红色粉笔的数量，要求的问题也一样，都是求蓝色粉笔的支数；不同的是，原题只有一个单位“1”的量，改编题有两个单位“1”的量。

生4：可先求红色粉笔的支数，然后用红色粉笔的支数乘60%就能求出黄色粉笔的支数，最后用粉笔总数减去红、黄两种颜色的粉笔数就能求蓝色粉笔的支数。

生5：黄色粉笔是红色粉笔的60%，而红色粉笔是总数的50%，用50%乘60%就能算出黄色粉笔是粉笔总数的百分数，这样就变成原题了。

师：这两个同学的解决方法，一个是先求红色粉笔和黄色粉笔的支数，然后再求出蓝色粉笔的支数，而另一个同学的想法是――

生：他是先求蓝色粉笔的对应分率。

师：对，还是量率对应问题。

片断四：

师（拿出一个笔粉盒，并从中取出4 支）：里面装有一些粉笔，我请五个同学来猜一猜，现在盒子里还剩下多少支粉笔？

（生异常兴奋，师把生猜测的结果板书在黑板上）

师：很遗憾，没有一个同学猜对，大家也不用再猜了，干脆用计算的方法把它算出来。

出示：一个粉笔盒里装有若干支粉笔，老师从中取出4支， 盒子里还有多少支粉笔？

师：这道题才有一个条件，这样的题可解决不了，请同学们小组讨论，把需要补充的条件写出来。

（师巡视并参与讨论，选取一组讨论的结果呈现）

（1） 拿出的粉笔数量是原来的百分数。

（2） 盒子里剩下的粉笔数量是原来的百分数。

（3） 拿出来的粉笔比剩下的少的百分数。

（4） 剩下的粉笔数比拿出来的多的百分数。

（5） 拿出来的是剩下的百分数。

（6） 剩下的是拿出来的百分数。

……

师：同学们想出来的问题可不少，不过我从中拿出的4 支粉笔比盒子剩余的更少，这第3 和第4题的“少”与“多”要交换一下位置。［同时根据学生的要求补充条件，在（1）～（6）的百分数后面分别写上80%、20%、300%、75%、400%、25%］

（然后让学生列式，小组讨论归纳出用百分数知识解决问题的方法，并把讨论的结果写在纸上，最后全班交流）

反思：

1．用百分数知识解决问题是小学总复习中的教学内容，它包括了三大类解决问题，一是求百分率；二是求单位“1”的百分之几是多少；三是求单位“1”的量。上课伊始，我没有刻意创设情境，开课显得平淡无奇，但我注意寻求知识的生长点，直接出示三类用百分数知识解决问题的基本题型，毕竟学生学习用百分数的知识解决问题是六年级上册的内容，时间间隔较长，且无论多复杂的百分数解决问题都是以其基本类型演变而来的，简单的三道复习题能为后面的进一步学习奠定基础。同时，简明扼要的复习也节约了时间，为后面学生的讨论交流留出时间。

2．让学生改编题目，设计一组对比练习题，意在让学生通过审题，把握两题之间的联系，辨别两题之间的差异，化繁为简，让学生在对比中养成主动反思的学习习惯。

3．《全日制义务教育数学课程标准》指出：“课程内容要贴近学生的生活，有利于学生的思考与探索；内容的组织要处理好过程与结果的关系，直观与抽象的关系，生活化、情境化与知识系统性的关系。”我以班级男女生人数作为资源，让学生提出有关百分数的问题，接着又通过粉笔这课堂上常见的物品来创编题，采用的这些数学信息就发生在学生自己身边，学生通过学习真切地感受到了数学知识的价值，自然就充满了兴趣。

植树问题教学反思范文第2篇

1.理解间隔概念，知道间隔数与棵树之间的关系，初步建构植树问题的三种数学模型。

2.能够应用本节建构的植树问题的数模，以及探寻到的“一一对应”的规律，针对实际情形灵活解决问题。

教学重点、难点：

引导学生探索发现间隔数与棵数的规律，并运用规律解决实际问题。

教学过程：

一、提出学问题

1.师：同学们知道3月12日是什么日子吗？老师要和同学们一起研究植树问题，看看植树中蕴含哪些数学知识。

2.揭示课题。

评析：以植树节为素材，引出问题，使学生感受数学与生活的密切联系，激发学生探求植树问题的欲望。

二、以植树问题为例，研究探讨规律

1.出示问题，理解题意。

（1）出示情境图。

同学们在全长20米的小路一边植树，（ ）一共需要多少棵树苗？

师：还需要哪些信息才能解决这个问题？

（2）完整题目，理解题意。

同学们在全长20米的小路一边植树，（每隔5米种一棵，）一共需要多少棵树苗？

2.提出猜想，尝试解决。

师：你认为能种几棵？

3.动手操作，探究方法

（1）把自己的想法用简单的示意图画一画。

（2）汇报交流。

生：（种5棵的学生展示）画出了5棵。

生：（种4棵的学生展示）画出了4棵，因为有时可能有一端有障碍物不能种。

生：（种3棵的学生展示）画出了3棵，因为有时可能两端都有障碍物不能种。

评析：通过猜想解答条件开放的植树问题，使全体学生体验到植树会出现的三种常见类型。运用分类与整合思想研究植树问题，符合学生的认知规律，对引出、开展新课教学做好铺垫。

（3）研究“只载一端”。

师：在20米长的小路上栽树，每隔5米栽一棵，一般有三种情况。只栽一端时，栽了几棵树？

生：20÷5=4（棵）

师：20÷5表示把这条小路平均分成了4段，数学上把这样的一段叫一个间隔，这里共有4个间隔。（板书：间隔）

师：在这种情况下树的棵数和间隔数有什么关系？

生：间隔数=棵树，一个间隔对应一棵树，有几个间隔就有几棵树。

师：在只栽一端的情况下，树的棵数等于间隔数。（板书：棵数=间隔）

师：一棵树对应一个间隔，在数学上我们称为“一一对应”。

（4）自主探究两端都栽和两端都不栽这两种情况。

①小组讨论。

②全班交流、汇报。

生：两端都栽时，一个间隔对应一棵树，还多一棵树，所以：棵树=间隔数+1，算式就是：20÷5+1=5（棵）。

生：两端都不栽时，一个间隔对应一棵树，少一棵树，所以：棵树=间隔数-1，算式就是：20÷5-1=3（棵）。

评析：以“只栽一端”为研究重点，引发学生发现规律，感悟“一一对应”的数学思想，建立数学模型，归纳“棵数=间隔数”的数量关系式。在此基础上，引导学生利用刚才学习的数学思想研究其他两种情况。

4.利用规律、解决问题。

例题：在全长100米的小路一边种树，每隔5米栽一棵树，一共需要多少棵树苗？

生1：只栽一端：100÷5=20（棵）

生2：两端都栽：20+1=21（棵）

生3：两端都不栽：100÷5=20

20-1=19（棵）

评析：让学生思考、交流，尝试从简单入手，用“由少到多”的方法进行研究，既渗透“由个别到一般”的数学思想。

三、巩固新知，应用深化

评析：让学生体会植树问题在生活中的广泛应用，同时让学生清楚地认识到路灯排列、排队等生活现象都与“植树问题”有着相同的数学结构，给这种数学思想以充分的建模。

四、回顾整理，反思提升

通过这节课学习你有什么收获？

评析：寻求解决问题的方法和策略比获得一个结论本身要重要。这个环节，让学生在回顾反思中梳理研究方法，为学生今后学习“解决问题”这个领域的知识打下坚实的基础。

五、反思

教材安排“植树问题”的目的就是向学生渗透复杂问题从简单入手，以及“一一对应”的数学思想。

这节课主线明朗清晰，即从生活中抽取植树现象，并加以提炼，然后通过猜想、验证，建立数学模型，再将这一数学模型应用于生活实际。同时灵活构建知识系统，注重教学内容的整体处理。能活用教材，对教材进行整合和重构，让资源启迪探究，激发学生探究欲望。设计的例题是一个开放性题目，提供给学生的是现实的、是有意义的、挑战性的。开放性的设计使课堂成为充满活力的空间，从而激发学生的思维，让他们积极地探究，使学生完整地体验“植树”这一实践活动。让学生比较系统地建立植树问题的三种情况，即两端都种；两端都不种；只种一端。

1.关注学习起点。

学生是数学学习的主人，教师作为学生学习的组织者、引导者与合作者，应及时关注学生学习的起点。在教学中我选取生活中的学生熟悉的事例，请学生设计一条路上植树的情况。根据学生反馈的情况进行分类，在教师的引导中让学生探究，设境激趣，建立知识表象，使学生得到启迪，悟到方法。把学习主动权交给学生，让课堂真正成为学生学习的舞台。

植树问题教学反思范文第3篇

〔关键词〕热情度 合理安排 教学方法教学反思

一个人的学生时代，从幼儿园、小学、初中、高中、大学……小学无疑是学习知识的新起点，作为小学数学教师的我们该怎样培养一个孩子做有知识、有思想、有能力、更有影响力的人呢？我认为首先是教师自身水平，其次是教师的引导能力，紧接着是培养孩子良好习惯的能力，还有学生在教学过程中的收获及实践能力也是必不可少的。这些过程都是在每个短暂的40分钟里完成的，那么怎样坚持上好每节课，并让学生在课堂中有所收获，是我们每个老师该思考的问题。

一、教师的热情度高，是一节成功课的开始

作为一名优秀教师，必须随时保持积极向上的绿色心情，一堂有趣的数学课教师必须满怀激情，教学的热情会影响学生的学习动机，教师必须以激情状态投入到教学工作中。教师教学的激情状态包括：教态要端庄大方、语言要抑扬顿挫、合理赞美学生、灵活的应变教学、“幽默细胞”等。把这些状态穿插在教学课堂中，一个令人愉快，充满快乐的课堂就营造出来了。

二、合理安排，决定学生的获益程度

1、合理安排教学内容在一堂数学课中，教学要求有时少有时多，必须按照本班学生来合理安排教学信息量。知识点安排少了，浪费时间，知识点安排多了，学生不宜接受，又会有挫败感，这都不予里调动学生的积极性

2、合理安排教学顺序。在小学数学教材中，一般教材顺序都安排好的，但是在有的课程设计中，如果改变教学顺序，学生能更容易接受。例如：在四年级下册“植树问题”一课中，我根据教材进行了大胆的加工。

①“改一改”把原有“100米”的数据减少到“12米”，把“每隔5米栽一棵”分别改为“每隔2米、3米、4米、6米栽一棵”，并制作成统计表（图略）。

②“画一画”，用画图的方式来表示，这样可以直观的了解到“植树棵树”和“间隔数”的关系。③“填一填”，学生把收集到的数据，填在表内。④“演一演”，利用多媒体把“全长”、“间隔长”、“间隔数”和“植树棵树”之前的规律演示出来，再来解决教材上的问题，就简单多了。⑤“找一找”，找出除了植树问题以外，哪些地方还有这些同样的规律。

这样设计，学生能成为数学学习的主人，学生用自己喜欢的画图方式来寻找其中规律，步步渗透，学习的主动权掌握在学生手中，课堂真正成为学生学习的舞台。

三、预习、自主、合作及探究绝不能纸上谈兵

1、预习做得好，教学目标容易达到。大多数小学生在三年级以后，就有一定的自学能力，只是自学能力相对的弱一些，教师就必须做好课前准备。在教学每个新知识之前，教师如果给出一个好的预习引导问题，也是为教学目标做铺垫。

2、自主学习的关键在于自觉和主动。自主学习是课程改革的一大目标和重点，是促进学生自主发展的高品质学习方式。自觉学习、主动学习所强调的是把学习建立在内部动机上的想学、愿学、乐学、会学、善学以及坚持学。

3、合作探究不能走“过场”。随着新课程数学课堂教学改革的不断深入，小组合作、探究学习在数学课堂中得到广泛运用，成为数学教学的重要手段之一。所谓小组合作、探究学习是对传统教学的一种突破和补充，在小学数学教学中，受到了广大教师的关注和使用。这里把它们放在一起，我觉得二者是息息相关、密不可分的重要学习方式。

四、课中成败取决于反思自己、反思学生

一堂好的数学课如果只是为了上完课就完了的话是很肤浅的。在新课程形势下要求：一个称职的教师，决不能“教书匠”式地“照本宣科”，要在教学中不断反思，不断学习，与时共进。通过这几年的教学，我认为要从以下两大方面来反思：

（1）反思自己。①教师的语言表达。教师的语言习惯直接影响着学生的语言习惯，标准的普通话、规范的数学术语、在引导句中要表达清楚等。②突出教学重点、突破教学难点。教师应该根据该课创设恰当的情景，剖析情景中存在的问题，分析其中问题所在，这样直接影响一堂课的有效性。③本节课的亮点。在课堂中不仅有缺点，有时候亮点也不少啊！ 只有认真的及时的总结每个教学过程中的得与失，用高层次的水平来思考，我们才有针对性的进行改进教学。④板书是否条理分明。板书设计根据教学要求，尽可能简约精当的文字、符号、线条和图表反映尽可能丰富的内容，并通过板书培养学生的分析能力、概括能力，帮助学生把握重点，理清思路。

（2）反思学生。在课堂中要以学生为主体，虽然教学反思是使教师进步的重要方法之一，但是教师的进步也是建立在学生学习情况上的，我认为一名优秀的教师每堂课后都要对学生进行反思。①学生这节课的状态，是否全心投入。②这节课的知识学生是否都掌握了。③学生在这节课中对哪些问题更感兴趣。④上完一节课，学生有没有愉快的心情。

植树问题教学反思范文第4篇

论文关键词：数学广角,教学,数学思想方法,渗透

一、注重过程体验

数学思想方法是不可以简单操练的，更不可以机械记忆来获取的，而是学生通过亲历数学活动进行感悟、体验而内化的。因此，数学广角教学要跳出以获取解题模式，强化解题技能为目标的传统应用题教学框框，变讲为做，变听为悟，让学生在教师精心设计的结构化数学活动中主动探索，有效感悟，强化数学思想方法教学。

例如一教师在上“搭配”问题时，首先围绕“男女生搭配跳舞”这一情景，让学生任意选几个男生和几个女生进行搭配，可以用图、符号画一画，连一连，写一写搭配情况，独立尝试解决的基础上进行小组讨论交流，汇报。教师及时把学生汇报的结果板书在黑板上：

男生人数 女生人数 搭配种数

1 5 5

3 2 6

5 3 15

根据汇报的结果老师引导学生观察数字间的内在联系，要求学生找出规律，学生观察得到这个规律是男生人数×女生人数=搭配种数，紧接着的衣服搭配、点心搭配中都直接运用算式去计算，在这教学过程中，教师所追求的教学目标，就是一心想要尽快得到这规律，也就是计算公式，对如何有序搭配与符号化数学思想方法都缺乏具体的指导和有机渗透。

下面是又一教师在教学三年级“穿衣服问题”的教学片段：

（l）尝试猜想。（课件出示情境图）师：现在我们挑选了 7 位小小志愿者，为他们准备了 2 种颜色的上衣和 3 种颜色的裤子。要使每人穿得不一样，能做到吗？请你猜一猜。（2）思考讨论。用上衣和裤子搭配，到底可以有多少种不同的搭配方法？（3）展示汇报。师：你们怎么想的？用什么方法记录的？学生展示汇报……（4）观察比较。经过刚才的讨论我们发现了哪几种记录的方法？（媒体演示连线或编号两种思考过程和不同的记录方法）你认为哪一种记录方法能既快速又方便地表示出来？学生说出自己的选择，大部分认为连线或编号较好。（5）拓展延伸。要使每人穿得不同，请你增加一种颜色的上衣或裤子，想一想有几种不同的搭配方法？

本案例通过创设生活情境，让学生充分经历“有序思考”的过程，避免了只有直观、没有抽象或者在直观和抽象之间没有阶梯、没有过渡，缺少递进的过程。通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动来体验感悟，从直观的问题解决达到渗透抽象的数学思想方法之目的。

二、利用数形结合

“数学思想方法是一种基于数学知识又高于数学知识的隐性知识，它比数学知识更抽象。“数形结合”就是借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。例如：第十册“找次品”，利用列表、画图等方式帮助学生形象地分析如何找次品等。如果用语言描述和绘制简单天平示意图的方式表示找次品过程，当遇到使用天平次数较多时，表述起来十分麻烦“。可引导学生采用树形图来表示:用小括号代替了“把物品分成几份，每份分别是几”的叙述；同时还吸收了箭头示意图的优点，用两个分支表示称得的不同结果；在两个数字下以划线的方式代表“将这两堆物品分别放在天平两边”。如下图:

平：3（1，1，1）

不平：3（1，1，1） 2次

这样既减少了文字，又方便最后统计次数。每种情况，最后只需数一数共划了多少条横线即可，既准确、形象，又使图示更具有数学味，也更简洁。在数学广角的教学内容中大部分教学例题都可使用数形结合这一学习方法，从而化繁为简、化难为易，体会其中的数学思想方法。

三、引导反思提升

当学生通过参与探究问题解决的全过程后，对数学思想方法已有初步的感悟和体验，这时的数学思想方法在他们脑中还只是在“朦朦胧胧”“隐隐约约”阶段，此时，如果我们能及时组织引导学生进行对探究过程的“反思”，也就是帮助他们从感性的认识提升到理性的思想方法，那么学生对数学思想方法的认识就成了“水到渠成”和“突然的醒悟”。

例如：四年级下册“植树问题”第一课时为了让学生体验到“复杂问题简单化”的思想方法,教者设计了以下的回顾反思环节:

（1）刚才我们用发现的规律解决了较复杂的植树问题，请大家一起回忆一下刚才的学习过程，边演示边提问：我们用了哪些方法来研究？

生 1：画线段图；生 2：列出了表格；生 3：找植树棵数与间隔数之间的规律。

师：是的，通过画图、列表找到植树棵数和间隔数之间的规律后，最后用规律来解决这样一个比较复杂的问题。

（2）师：想一想当遇到比较复杂的问题时，我们可以怎么办？生 4：可以先想简单的问题；生 5：可以画图找规律。

（3）师：看来当遇到比较复杂的问题时，可以先从简单的问题入手，画出示意图，找到其中的规律，然后应用规律解决问题。这是学习数学、思考问题时一种重要的方法。

通过以上的反思学习，化繁为简的学习思想就得以渗透和不断应用。

四、加强应用实践

学习终极目的是为了应用和解决生活中的许多问题，可是多年的数学课堂教学实践证明：不少学生在学习与应用的过程中存在严重的断层现象，学归学，却不懂得如何灵活应用，那么这样所学的知识仅是层面上的“假知识”。根据数学思想方法的抽象性，单靠书上的一个例题及一两个练习显得太单薄，我们必须寻找生活中丰富的教学资源，让学生在大量应用中去领会，去感悟优化思想和对策论方法，使他们更深刻体会到数学的魅力。

一是要让学生进一步运用“化归思想”迁移解决类似问题。如在让学生感受了植树问题的解决策略后，去解决类似的变式的问题，如装路灯问题、上楼梯问题、锯木头问题、排队问题等。

植树问题教学反思范文第5篇

    一、数学建模的重要意义

    把一个实际问题抽象为用数学符号表示的数学问题,即称为数学模型。数学模型能解释特定现象的显示状态,能预测对象的未来状况,能提供处理对象的最有效决策或控制。在小学数学教育中开展数学建模的启蒙教育,能培养学生对实际问题的浓厚兴趣和进行科学探究的强烈意识,培养学生不断进取和不怕困难的良好学风,培养学生分析问题和解决问题的较强能力,培养学生敏锐的洞察力、丰富的想象力和持久的创造力,培养学生的团结协作精神和数学素养。

    二、数学建模的基本原则

    1.简约性原则。生活中的原型都是具有多因素、多变量、多层次的比较复杂的系统,对原型进行一定的简约性即抓住主要矛盾。数学模型应比原型简约,数学模型自身也应是“最简单”的。

    2.可推导原则。由数学模型的研究可以推导出一些确定的结果,如果建立的数学模型在数学上是不可推导的,得不到确定的可以应用于原型的结果,这个数学模型就是无意义的。

    3.反映性原则。数学模型实际上是人对现实生活的一种反映形式,因此数学模型和现实生活的原型就应有一定的“相似性”,抓住与原型相似的数学表达式或数学理论就是建立数学模型的关键。

    三、数学建模的一般步骤

    数学课程标准向学生提供了现实、有趣、富有挑战性的学习内容,这些内容的呈现以“问题情景——建立模型——解释应用——拓展反思”的基本形式展开,这也正是建立数学模型的一般步骤。

    1.问题情境。将现实生活中的问题引进课堂,根据问题的特征和目的,对问题进行化简,并用精确的数学语言加以描述。

    2.建立模型。在假设的基础上利用适当的数学工具、数学知识,来刻划事物之间的数量关系或内部关系,建立其相应的数学结构。

    3.解释应用。对模型求解,并将求解结果与实际情况相比较,以此来验证模型的科学性。

    4.拓展反思。将求得的数学模型运用到实际生活中,使原本复杂的问题得以简化。

    四、数学建模的常见类型

    1.数学概念型,如时、分、秒等数学概念。

    2.数学公式型,如推导和应用有关周长、面积、体积、速度、单价的计算公式等。

    3.数学定律型,如归纳和应用加法、乘法的运算定律等。

    4.数学法则型,如总结和应用加法、减法、乘法、除法的计算法则等。

    5.数学性质型,如探讨和应用减法、除法的运算性质等。

    6.数学方法型,如小结和应用解决问题的方法“审题分析——列式计算——检验写答”等。

    7.数学规律型,如探寻和应用一列数或者一组图形的排列规律等。

    五、数学建模的常用方法

    1.经验建模法。学生的生活经验是学习数学最宝贵的资源之一,也是学生建立数学模型的重要方法之一。例如,教学人教版课程标准实验教科书数学一年级上、下册中的“时、分”的认识时,由于学生在生活中已经多次、反复接触过钟表等记时工具,看到或听说过记时工具上的时刻,因此,他们对“时、分”的概念并不陌生,教学是即可充分利用学生这种已有的生活经验,让学生广泛交流,在交流的基础上将生活经验提升为数学概念,从而建立关于“时、分”的数学模型。

    2.操作建模法。小学生年龄小,生活阅历少,活动经验也极其有限,教学中即可利用操作活动来丰富学生的经验,从而帮助学生感悟出数学模型。例如,教学人教版课程标准实验教科书数学四年级下册中的“三角形特性”时,教师让学生将各种大小、形状不同的三角形多次推拉,学生发现——不管用力推拉哪个三角形,其形状都不会改变,并由此建立数学模型:“三角形具有稳定性。”

    3.画图建模法。几何直观是指利用图形描述和分析数学问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路、预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用,而且贯穿在整个数学学习和数学建模过程中。例如,教学人教版课程标准实验教科书数学三年级下册《数学广角》中的“集合问题”时,让学生画出韦恩图,从图中找出重复计算部分,即找到了解决此类问题的关键所在,也建立了解决“集合问题”的数学模型——画韦恩图。

    4.观察建模法。观察是学生获得信息的基础,也是学生展开思维的活动方式。如何建立“加法交换律”这一数学模型?教学人教版课程标准实验教科书数学四年级下册的这一内容时,教师引导学生先写出这样一组算式:6+7=7+6、20+35=35+20、300+600=600+300、……,然后让学生认真、有序、多次地观察这组算式,并组合学生广泛交流,学生从中即可感悟到“两个加数交换位置,和不变。”的数学模型。

    5.列表建模法。把通过观察、画图、操作、实验等获得的数据列成表格,再对表格中的数据展开分析,也是建立数学模型的重要方式。例如,教学人教版课程标准实验教科书数学四年级下册的“植树问题”时,教师组织学生把不同情况下植树的棵数与段数填入表格中,学生借助表格展开观察和分析,即可建立相应的数学模型——“在一段距离中,两端都植树时,棵数=段数+1;两端都不植树时,棵数=段数-1;一端不植树时,棵数=段数;在封闭曲线上植树时,棵数=段数。”。

    6.计算建模法。计算是小学数学教学的重要内容,是小学生学习数学的重要基础,是小学生解决问题的重要工具,也是小学生建立数学模型的重要方法。例如,教学人教版课程标准实验教科书数学六年级下册第132~133页的“数学思考”中的例4时,教师就让学生将实验数据记录下来,然后运用数据展开计算,在计算的基础上即可建立数学模型——过n个点连线段条数:1+2+3+4+……+(n-1)=1/2 (n2-n)。其主要过程如下:

    过2个点连线段条数:1

    过3个点连线段条数:1+2

    过4个点连线段条数:1+2+3

    过5个点连线段条数:1+2+3+4

    ……