三角函数

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三角函数范文第1篇

三角函数的值域及其周期性有它的独特之处，针对这一特点每年都设置有不同的高考试题，常见的考查形式是直接考查，在2012年的高考试题中则以数列为背景考查了这两个性质，难度比较大.

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一般地，解答三角函数与数列交汇的试题的思路是根据三角函数的周期性确定数列的特点，进而利用数列的相关知识求解.

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■ 数列{an}的通项公式an=ncos■+1，前n项和为Sn，则S2012=_____.

破解思路 本题的设问启发考生，这个数列必定是一个特殊的数列，于是要集中精力发现这个特殊性，为此必须列出一定数量的项，通过观察发现其特点. 根据通项公式计算得到：a1=1，a2=2×（-1）+1，a3=1，a4=4×1+1=5…. 根据三角函数的周期性可知该数列中奇数项都等于1，偶数项a2n=2n×（-1）n+1. 进一步求和发现a1+a2+a3+a4=6，a5+a6+a7+a8=6，…. 根据通项公式的特点，可以判断这个特性可以推广，得到a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=6. 进而求出S2012.

经典答案 由已知，a4n+1=（4n+1）×cos■+1=（4n+1）×cos■+1=0+1，a4n+2=（4n+2）×cos■+1=（4n+2）×cosπ+1=-（4n+2）+1，a4n+3=（4n+3）×cos■+1=（4n+3）×cos■+1=0+1，a4n+4=（4n+4）×cos■+1=（4n+4）×cos2π+1=（4n+4）+1，所以a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=6，即S2012=■×6=3018.

■ 设an=■sin■，Sn=a1+a2+…+an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（ ）

A. 25 B. 50 C. 75 D. 100

破解思路 根据正弦函数值的特点，可知当0

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图1

经典答案 对于1≤k≤25，ak≥0（唯a25=0），所以Sk>0（1≤k≤25）都为正数. 当26≤k≤49时，令■=α，则■=kα，其终边两两关于x轴对称，即有sinkα=-sin（50-k）α，所以Sk=■sinα+■sin2α+…+■sin23α+■sin24α+0+■sin26α+■sin27α+…+■sinkα=■sinα+■sin2α+…+■-■sin24α+■-■sin23α+…+■-■・sin（50-k）α，其中k=26，27，…，49，此时0

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已知数列{an}（n∈N？鄢）满足：a1=1，an+1-sin2θ・an=cos2θ・cos2nθ，其中θ∈0，■.

三角函数范文第2篇

例1若α, β为第一象限角,且α>β,则

(A) sinα>sinβ (B) sinα

错解: 函数y=sinx在第一象限是增函数, α>β, sinα>sinβ,选A.

错因分析: 象限角的概念不清,误将第一象限角理解成0,上的角. 若取α=2π+,β=,可知A明显不对.

正解:第一象限角的取值范围为2kπ,2kπ+(k∈Z), 当α=2π+,β=时,sinαsinβ,即三种大小关系都有可能. 选D.

二、忽略隐含条件,扩大取值范围

例2已知α∈(0,π)且sinα+cosα=,则cos2α的值为

(A) (B) - (C) ± (D) -

错解: 将sinα+cosα=两边平方,得1+sin2α=, sin2α=-. 又 α∈(0,π), 2α∈(0,2π), cos2α=±=±=±,选C.

错因分析: “错解”忽略了sin2α=-中的隐含条件. 由sin2α=-可知 2sinαcosα=-0,cosα0, sinα>cosα. 由正弦函数及余弦函数的图象可得:α∈,, 2α∈π,, cos2α

正解: 由“错解”可知,sin2α=-,由“错因分析”可知cos2α

-. 选B.

例3在ABC中,sinA=,cosB=,则cosC=.

错解: 由sinA=,cosB=可得cosA=±,sinB=. ∠A+∠B+∠C=π, cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)=sinAsinB-cosAcosB, cosC=×-×=,或cosC=×--×=.

错因分析: 忽略了在ABC中cosB=所隐含的条件,并且在求解过程中扩大了∠A的取值范围. 由cosB=>0可知B∈0,. 由“错解”可知sinB=>sinA,由正弦定理=可得b>a, ∠B>∠A. B∈0,, A∈0,, cosA>0,即cosA不可能为-.

正解: 由“错因分析”可知cosA>0, cosA=. cosC=sinAsinB-cosAcosB=×-×=.

例4已知3sin2α+2sin2β=2sinα,则sin2α+sin2β的取值范围是

(A) -, (B) 0, (C) 0, (D) ,

错解: 3sin2α+2sin2β=2sinα, sin2β=, sin2α+sin2β=sin2α+(2sinα-3sin2α)=sinα-sin2α=-(sinα-1)2. sinα∈[-1,1], 当sinα=1时,sin2α+sin2β有最大值;当sinα=-1时,sin2α+sin2β有最小值-. 选A.

错因分析: 错解没有考虑题目的隐含条件,扩大了sinα的取值范围. sin2β∈[0,1], 0≤≤1;又 3sin2α+2sin2β=2sinα, sinα≥0. 由0≤≤1可得sinα∈0,, sinα无法取到-1和1.

正解: 由“错因分析”可知sinα∈0,. sin2α+sin2β=-(sinα-1)2,令y=-(sinα-1)2,则y的图象是以sinα=1为对称轴、开口向下的抛物线. sinα∈0,时,y=-(sinα-1)2单调递增, 当sinα=时,y有最大值,即(sin2α+sin2β)max=;当sinα=0时,y有最小值0,即(sin2α+sin2β)min=0. 选C.

三、忽略三角函数自身的定义域

例5求f(x)=的定义域.

错解: 2cosx+1≥0,tanx≠0, 2kπ-≤x≤2kπ+,x≠kπ.故函数f(x)的定义域为x 2kπ-≤x≤2kπ+且x≠2kπ,k∈Z.

错因分析: “错解”考虑到了要使分式成立分母必须不为0,即tanx≠0;但是忽略了正切函数自身的定义域,即要使tanx有意义,则必须有x≠kπ+(k∈Z).

正解: 由“错解”及“错因分析”可知,f(x)的定义域为x 2kπ-≤x≤2kπ+且x≠2kπ且x≠kπ+,k∈Z.

四、误用三角函数的图象与性质

例6已知0≤x≤π,求函数y=sinx-cosx的最大值和最小值.

错解: y=sinx-cosx=sinx-, 0≤x≤π,-≤x-≤, -≤sinx-≤. ymax=1, ymin=-1.

错因分析: 单调函数的最值在边界上,但正弦函数在闭区间-,上不单调,因此,函数最值不一定在区间端点处取得.错解误用了函数单调性.

正解: 由“错解”可知x-∈-,,由正弦函数的图象可知-≤sinx-≤1,所以当sinx-取得最大值1时,ymax=;当sinx-取得最小值-时,ymin=-1.

五、未弄清三角函数图象变换的实质

例7要得到函数y=sin2x-的图象,只需将函数y=sinx的图象

(A) 先将每个x值扩大到原来的4倍,y值不变,再向右平移个单位

(B) 先将每个x值缩小到原来的,y值不变,再向左平移个单位

(C) 先把每个x值扩大到原来的4倍,y值不变,再向左平移个单位

(D) 先把每个x值缩小到原来的,y值不变,再向右平移个单位

错解: 变换前函数为y=sinx,变换后函数为y=sin2x-,都是形如y=Asin(ωx+φ)的函数. ω从变成2,是原来的4倍,φ从0变成-,因此是先将x值扩大为原来的4倍,y值不变,再向右平移个单位. 选A.

错因分析: ω从变成2,确实是原来的4倍,但是变换是针对自变量x而言的,所以是把每个x缩小到原来的. 同样的,横向平移也是针对x而言的,y=sin2x是经过了如下变换:sin2xsin2x-=sin2x-,从而成为y=sin2x-,所以是向右平移个单位.

三角函数范文第3篇

关键词：三角函数；单位圆；周期

1.任意角的三角函数的概念和教材分析

1.1内容分析

1.1.1背景分析。三角函数作为拥有与对数数和指数函数同等重要的地位，应该在构建基本的知识体系过程中将基本概念与基本认知相结合的方式作为学生教学的重点。认识三角函数的的本质属性石函数中的一个特例，具有函数的下一级的概念。通过在概念的进一步精化过程中，加深学生对三角函数基本概念即正切、余弦和正弦的进一步理解，同时掌握单位圆的作用。

1.1.2教学的目标。作为三角函数概念在教材分析中的重要学习目标之一，对于任意角的三角函数的定义的学习不可忽视。掌握三角函数的诱导公式，并记住三角函数的定义域与值域也相当重要。同时，学生还应该在已知∠a终边上的一点，会求解角的正弦，余弦和正切值。另外，培养学生各方面的能力目标也是三角教学中的重要目标之一。梳理三角函数的基本概念和内容，树立正确的映射观，理解其实以实数为自变量的函数。同时通过对诱导公式，定值域的进一步教学加深理解三角函数的实质。教育教学改革中明确提出对学生德育教育的要求，在进一步的教学过程中，严谨自学的科学学习精神会在转化思想的学习过程中会得到培养。养成教育也会培养学生的自主学习理念，树立正确的价值观念，让学生深刻的认识到事物之间是有一定的联系的观念。提高学生分析问题、解决问题的能力。

1.1.3教学的难重点。三角教学中的难点是如何利用与单位圆有关的一些基本概念例如有向线段、任意角的三角函数值等用集合的形式表现出来。这些都是教学中的难点。那么什么是教学中的重点呢？在教学中如何有效的帮助学生理解任意角的三角函数的正弦、正切和余弦的定义并在这个过程中突出单位圆的重要作用，则是三角函数教学的重点。

1.1.4知识结构图析

1.1.5其中包含的数学思想、类比联想的思想、数形结合的思想、化归转化的思想。

1.2教材分析的方法和原则

教材分析的方法是教与学相结合的方法，实践与理论相结合的方法。教材教学的原则是突出数学思想的原则、以学生为中心的原则、课表与课标相结合的原则以及教师为主导的原则等。

2.三角函数的宏观整体把握

2.1内容分析

2.1.1背景介绍。在高中阶段的学习中，三角函数是一项重要的学习知识点。它涉及到的不仅仅是数学，还有生物、物理等其他学科。在高考中也占据相当一部分的分值比例。另外，作为学习过程中的工具性，它的应用也是十分广泛的，可以对生活中大量的周期性现象进行描绘，也是数学建模的重要重要基础工具之一。通过学习和研究三角函数的基本内容和概念性质从而对周期性变化规律中的问题的解决打下基础。

2.1.2 教学目标。（1）过程与方法：通过对本章内容的学习，从而使学生在解决函数概念的问题上的能力得到提高，也能更加加深学生对相关概念、内容的理解。（2）知识与技能的培养：学习中对知识的技能与知识的培养是极其重要的，它是学生高效学习的保障，也是学生在处理复杂的数学问题时必须必备的技能之一。学生通过任意角内容和基本概念的认识和了解，从而借助单位圆更加形象直观的体会三角函数的美学价值，加深对三角函数概念的进一步掌握。

2.1.3知识架构

2.1.4重难点。三角函数知识在解决集合、代数和实际问题上的解决时重点。图像和性质以及诱导公式是难点。

2.1.5蕴含的数学思想方法。数学思想方法大致分为如下八类。（1）化归转化思想；（2）方程思想；（3）分类讨论思想；（4）换元法；（5）整体的方法；（6）类比联想的方法；（7）数形结合的思想；（8）分类讨论的思想。

2.16 教育学习的价值。三角函数宏观把握不仅可以有助于学生加深对数学各内容之间的理解和联系，而且还可以更好的体验发现和学习的创造过程。是学生解决世界生活中的问题以及体会实际生活与数学联系的重要桥梁。从而有助于学生的推理能力与运算能力的提高。

2.2 教材分析的原则与方法

原则；以教师主导为主要原则，引导学生为辅助原则，并构建数学思想方法的原则，同时加深理论与实际相结合的原则。方法；学与教相结合的方法；理论与实践相结合的方法。

3.三角函数的特定内容的分析

作为本章学习的重要角色，单位圆在本章中扮演的是更加直观明晰的解决三角函数中的一些复杂棘手的问题。那么如何运用单位圆来有效的解决三角函数的问题呢？这要从如下的五个方面来说明这个问题。其一、三角函数，作为一个很有自身特点的函数，本身具有的多层次的性质。在利用单位圆的良好几何特性的优势来克服三角函数中只有数的劣势，它为同学们掌握同角三角函数的基本特点关系时，为更有效的理解诱导公式及三角函数的性质和图像提供了更大的便利。其二、以单位圆为基础，诱导出三角函数单位圆定义，这是数学中数形结合的重要典范之一。是学生掌握数学思想方法的有利手段。其三、单位圆定义正弦、正切和余弦这三个三角值是数向图转换的一个典范。运用平面坐标系统建立三个角度的弧度数到终边角与单位圆的交叉结合让学生在学习过程中更加形象明了的掌握三个角的深层次的内涵。其四、单位圆为学生在学习三角函数如何刻画周期现象的过程并以此建立正确的数学模型。数学建模是大学的一个重要学习课程，这也为学生的大学深造打下良好的基础。其五、过重的角它是通过一条射线绕着一个点来旋转出来的，它与初中角的概念的由来有很大的区别，运用单位圆可以作为三角函数基本角的定义即用圆的基本角来定义三角函数。

参考文献：

[1]罗红.巧用对称法 轻松学语文[J].中学语文. 2009（33）

[2]但泉水.诱导公式的新概括[J]. 数学通讯.1998（03）

[3]赵春祥.高考中的三角函数知识点常考题型解析[J].考试（高考数学版）. 2007（Z3）

[4]张绍林，王江.浅谈函数奇偶性、周期性、对称性之联系[J].数学教学. 2008（04）

[5]周永福.勾股定理在三角函数及反三角函数计算中的应用[J].天津教育. 1982（09）

[6]任克温.有条件的三角函数求值问题[J]. 数学教学通讯.1986（01）

[7]赵明仁，焦伟红.关于诱导公式教学的探索[J].河北能源职业技术学院学报. 2008（02）

[8]成克利.在三角教学中引入对应锐角的尝试与体会[J].数学教学研究. 2004（02）

三角函数范文第4篇

三角函数的概念及公式是三角函数整章的基础，是三角函数图象和恒等变换的最终着落点.

重点：本部分的重点是三角函数的定义，同角三角函数的函数关系式、诱导公式，并能够灵活运用定义和公式解决有关求值和化简等问题.

难点：三角函数线及函数符号的确定，以及灵活选取诱导公式.

1. 角的分类

（1）按旋转方向分类可以分为正角、负角和零角.

（3）按照终边是否相同分类. 与α的终边相同的角的集合为{ββ=2kπ+α，k∈z}，与α的终边共线的角的集合为{ββ=kπ+α，k∈z}.

3. 根据三角函数的定义，求角α的三角函数值？摇

（1）已知角α的终边上一点p的坐标，则可先求此点p到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解.

（2）已知角α的终边所在的直线方程，需分两种情况取点：先在终边上的两条射线上分别取点，再利用三角函数的定义去求解；根据直线方程直接求出tanα，然后再根据角的终边所在的象限求出其他的三角函数值.

 

4. 同角三角函数关系式的用途

（1）根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值.

（2）化简同角三角函数式.

（3）证明同角的三角恒等式.

（4）注意公式的逆用和变形用，如在解决齐次分式求值问题时，经常要用到sin2α+cos2α=1，sin2α=1-cos2α，sinα=cosαtanα等形式.

 

5. 使用诱导公式的注意事项

（1）使用步骤：负化正，大化小，小化锐是终了.

“负化正”，即使用sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=-tanα这组公式将负角转化为正角.

“大化小”是指当角较大时可以使用sin（2kπ+α）=sinα，cos（2kπ+α）=cosα，tan（kπ+α）=tanα这组公式将已知角转化为0～360°的角（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？

三角函数范文第5篇

关键词：三角函数；角；变形；方法

三角函数恒等变形中，角的变形是一个难点，学生难于无规律可寻，教师要帮助总结方法与规律.

一、通过自然的展开变形

自然的展开是一种朴素的方法，往往题设或结论中嵌有特殊角.

例1 已知cosα-π6+sinα=453，则sinα+7π6的值是（ ）.

A.-235B.235C.-45D.45

解 cosαcosπ6+sinαsinπ6+sinα=453.化简得

12cosα+32sinα=45.

sinα+7π6=sinαcos7π6+cosαsin7π6

=-32sinα-12cosα=-45.

选C.

二、通过加减变形

如：α=（α-β）+β=α+β2+α-β2=…

例2 已知sin（π4+α）=45，cos（β-π4）=13，π4+α∈（π2，π），β-π4∈（0，π2），求cos（α+β）的值.

解 cos（α+β）=cosπ4+α+β-π4

=cosπ4+αcosβ-π4-sinπ4+αsinβ-π4

=-35・13-45・223=-3+8215.

例3 已知函f（x）=sin（x+2φ）-2sinφcos（x+φ）的最大值.

解 f（x）=sin（x+φ）+φ-2sinφcos（x+φ）

=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ-2sinφcos（x+φ）

=sin（x+φ）cosφ-cos（x+φ）sinφ

=sin[（x+φ）-φ]=sinx.

由于f（x）的定义域为R，所以f（x）的最大值为1.

三、通过诱导变形

例4 已知cos2π3-θ=-25，求cosπ3+θ的值.

解 cosπ3+θ=cosπ-2π3-θ

=-cos2π3-θ=25.

例5 已知sinθ+π12=-13，求cosπ6+2θ的值.

解 cosπ6+2θ=cos2θ+π12

=1-2sin2θ+π12

=1-2-132=79.

四、通过二倍的相对性变形

如x=2・x2，x2=2・x4，x4=2・x8…

例6 已知tanx6=-2，求sinx3的值.

解 sinx3=sin2・x6=2sinx6cosx6cos2x6sin2x6

=2tanx61+tan2x6=2・（-2）1+（-2）2=-45.

五、通过换元变形

例7 已知cosα+π6=45，α为锐角，求sin2α+π12的值.

解 令α+π6=θ，则α=θ-π6，cosθ=45，θ为锐角.

sin2α+π12=sin2θ-π6+π12

=sin2θ-π4

=2sinθcosθcosπ4-（2cos2θ-1）sinπ4