前言:想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗?我们特意为您整理了5篇有理数的乘方范文,相信会为您的写作带来帮助,发现更多的写作思路和灵感。
教材分析:《有理数的乘方》是有理数乘法中相同因数相乘的简单表示方法,它作为基础知识,对学生以后学习科学记数法,进行幂的五种运算、整式加减等知识有很大帮助。
学情分析:学生在小学阶段学过边长为a的正方形的面积a.a,正方体的体积a.a.a,同时,学生已经熟练掌握有理数乘法的运算,为学生学习有理数的乘方奠定了基础。
教学目标
1.通过现实背景理解有理数乘方的意义,能进行有理数乘方的运算;
2.已知一个数,会求出它的正整数指数幂,渗透转化思想;
3.培养学生观察、归纳以及思考问题、解决问题的能力,切实提高学生的运算能力。培养学正确的人生观和价值观,从立志的角度激发学生的学习斗志。
教学重点与难点
1.教学重点:正确理解乘方的意义,能利用乘方的符号规律进行有理数乘方运算;
2.教学难点:准确建立底数、指数和幂三个概念,并能求幂的运算;
3.学生的疑点:乘方和幂的区别以及(-a)n与-an的区别.
教具准备:多媒体
教学方法:教师引导,学生探究相结合的教学法
教学过程设计
我们学习过了有理数的加、减、乘、除。今天我们来学习一种新的运算有理数的乘方(板书)。在学习乘方前,我们先来看一下这一节课的教学目标:
1.通过现实背景理解有理数乘方的意义,能进行有理数乘方的运算;
2.已知一个数,会求出它的正整数指数幂,渗透转化思想;
3.培养学生观察、归纳能力,以及思考问题、解决问题的能力,切实提高学生的运算能力。培养学正确的人生观和价值观,从立志的角度激发学生学习的斗志。
一、问题与情境设计意图
活动 学生活动:请同学们拿出一张纸进行对折,再对折一张纸片,对折1次,得到2层纸片;对折2次,得到4层纸片,即:2×2;对折3次, 得到8层纸片,即:2×2×2;对折4次,会有几层呢?即:对折5次呢?10次呢?……20次呢?通过游戏,使学生感受到用简单的方法表示多个相同因数相乘产生的迫切性和必然性,激起学生浓厚的学习兴趣。
师:一直对折下去,你会发现什么?
生:每一次都是前面的2倍。
师:请同学们猜想:对折20次有几层?怎样去列式?
三、巩固训练:男生女生快乐向前冲、用事实说话等几个环节对学生学过的知识进行巩固,特别是用事实说话,是对开篇问题的总结,对下一课题内容的引入。
四、乘方的精神:在这一环节中,让情感太度价值观有所体现,让学生在这一环节中从乘方中得到做人的道理.
五、总结本节课:(由学生总结)本节课学习了有理数的乘方,学习了乘方的定义和乘方的意义,还知道了乘方的符号规律:正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.0的任何正整数次幂都是0,1的任何次幂都是1,-1的奇次幂是-1而偶次幂是1.负数的乘方,在书写时一定要把整个负数(连同负号),用小括号括起来.分数的乘方,在书写时一定要把整个分数用小括号括起来.
六、布置作业:
关键;分步;叠加
〔中图分类号〕 G633.8 〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004―0463(2008)09(A)―0060―01
一、量确定的离子方程式的书写――通过计算书写
例1向100 ml 0.1 mol/L的FeBr2溶液中通入0.025 mol Cl2,请写出反应的离子方程式.
解析:反应中Cl2需要电子的物质的量为:0.025 mol×2=0.05 mol.FeBr2溶液中的Fe2+、Br-均可被Cl2氧化,可失去电子的物质的量为:0.01 mol×1+0.01 mol×2×1=0.03 mol.根据电子得失守恒可知FeBr2完全反应,Cl2有剩余.化学反应为:2FeBr2+3Cl2=2FeCl3+2Br2,其离子方程式为:2Fe2++4Br-+3Cl2=2 Fe3++6Cl-+2Br2.
例2向100 ml 0.1 mol/L FeBr2溶液中通入0.01 mol Cl2,写出反应的离子方程式.
解析:0.01 mol Cl2在反应中需要0.02 mol电子.Fe2+首先被氧化失去0.01 mol电子,那么0.02 mol Br-中只能有0.01 mol Br-参加反应,并失去0.01 mol电子.因此反应的Fe2+、Br-、Cl2的物质的量之比为1∶1∶1,反应的离子方程式为:2Fe2++2Br-+2Cl2=2Fe3++4Cl-+Br2.
二、与量有关但量不确定的离子方程式的书写――定量分析
所谓定量分析,就是取完全反应的物质(少量物质)的物质的量为1 mol,而足量物质中需要什么离子就写什么离子,需要多少量的离子就写多少量.
例3写出在NaHCO3溶液中加入少量的澄清石灰水后反应的离子方程式.
解析:石灰水完全反应,因此取Ca(OH)2 1 mol进行定量分析.1 mol Ca(OH)2电离产生1 mol Ca2+、2 mol OH-.首先是2 mol OH-需要2 mol HCO3-,进一步产生CO32-,又与Ca2+生成CaCO3.故反应的离子方程式为:Ca2++2OH-+2HCO3-=CaCO3+CO32-+2H2O.
例4写出在NaHCO3溶液中加入足量澄清石灰水反应后的离子方程式.
解析:NaHCO3完全反应,取其1 mol,产生1 mol的HCO3-离子,需要Ca(OH)2中的1 mol OH-,产生CO32-后又需要1 mol Ca2+.因此反应的离子方程式为:HCO3-+ OH-+ Ca2+= CaCO3+H2O.
三、有特殊要求的离子方程式的书写――抓关键进行分析后书写
例5NaHSO4溶液与Ba(OH)2溶液反应后溶液刚好呈中性,写出反应的离子方程式.
解析:本题中“呈中性”是关键.即要求H+、OH-等物质的量反应恰好中和.因此当取1 mol Ca(OH)2时,产生2 mol的OH-,需NaHSO4 2 mol.其反应的离子方程式为:Ba2++2OH-+2H++SO42-=BaSO4+2H2O.
四、因过量而存在递进式反应的可分步书写方程式,再通过叠加得到总方程式
例6(1)FeCl3溶液中加入少量的Na2S溶液,写出反应的离子方程式.
(2)FeCl3溶液中加入过量的Na2S溶液,写出反应的离子方程式.
解析:(1)当Na2S溶液少量时只会发生Fe3+与S2-之间的氧化还原反应:2Fe3++S2-=2Fe2++S.
(2)当Na2S溶液过量时,除发生Fe3+与S2-之间的氧化还原反应之外,生成的Fe2+还会与过量的S2-发生复分解反应:Fe2++S2-=FeS,故总的离子反应为(两式相叠加,消去Fe2+):2Fe3++3S2-=2FeS+S.
例7(1)写出AgNO3溶液中滴加少量氨水的离子反应方程式.
(2)写出AgNO3溶液中加入足量氨水的离子反应方程式.
解析:(1)当氨水少量时发生的离子反应方程式为:Ag++NH3・H2O=AgOH+NH4+.
(2)当氨水足量时,上述反应中生成的AgOH继续与氨水反应:AgOH+2NH3・H2O=Ag(NH3)2OH+2H2O,得其离子方程式为:AgOH+2NH3・H2O=[Ag(NH3)2]++OH-+2H2O.
综上,总的离子反应方程式为(两式相叠加,消去AgOH):Ag++3NH3・H2O=[Ag(NH3)2]++NH4++2H2O+OH-.
关键词: 数学教学 不等式恒成立 参数 求解方法
不等式恒成立问题是数学中常见的问题,经常与参数的范围联系在一起,是数学试题中的重要题型,涉及数学各部分知识,是不等式中的重点和难点,在高考中频频出现,也是高考中的一个难点.这类问题既有参数又含变量,学生往往望而生畏,常因处理不当而费时费力.怎样处理这类问题呢?函数是不等式恒成立的载体,因而运用转化思想将其转化为函数问题是一条捷径,在教学实践中笔者体会到,运用函数的有关性质求解既能解决问题又能减少运算量,可以化难为易,化繁为简,从而使问题更好地得到解决.下面笔者举例谈谈不等式恒成立求参数的常用方法.
一、实根分布法
涉及指定区间上一元二次不等式恒成立的问题,利用不等式与函数和方程之间的关系,根据“三个二次”的辩证统一关系,结合函数图像形状,考虑对称轴,顶点,区间端点,按照“三个二次”有实根分类讨论,列出不等式解决.
例1:已知函数f(x)=x -2ax+2(a∈r),当x∈[-1,+∞]时, f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围.
解:f(x)=(x-a) +2-a ,此二次函数图像的对称轴为x=a.
(1)当a∈(-∞,-1)时,f(x)在∈[-1,+∞)上单调递增.f(x) =f(-1)=2a+3,要使f(x)≥a恒成立,只需f(x) ≥a,即2a+3≥a,-3≤a<-1;
(2)当a∈[-1,+∞)时,f(x) =f(a)=2-a ,则,
2-a ≥a,-1≤a≤1.
综上所述,所求a的取值范围是[-3,1].
二、分离参数法
对于一些含参数不等式恒成立的问题,如果将不等式进行同解变形,将不等式中的变量与参数进行分离,即变量和参数分别位于不等式两边,然后通过构造变量函数,转化为求解新函数的值域或者最值问题,借助函数的最值消去变量,就能把问题转化为求只含有参数的不等式问题,一般有如下性质:①f(x)≤a,等价于f(x) ≤a;②f(x)≥a,等价于f(x) ≥a.
例2:(2010年高考全国理20)已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1,
(ⅰ)若λf′(x)≤x +ax+1,求a的取值范围;
(ⅱ)(x-1)f(x)≥0.
解:(ⅰ)f′(x)= +lnx-1=lnx+ ,(x>0)
xf′(x)=xlnx+1,由xf′(x)≤x +ax+1,得a≥lnx-x,令g(x)=lnx-x,则g′(x)= -1,当0
(ⅱ)由(ⅰ)知g(x)=lnx-x≤g(1)=-1,lnx-x+1≤0,,
当0
当x≥1时,f(x)=(x+1)lnx-x+1=xlnx+lnx-x+1,
=lnx+x(lnx+ -1),
=lnx-x(ln - +1)≥0.
综上所述,(x-1)f(x)≥0.
例3:已知函数f(x)=x +alnx,若函数g(x)=f(x)+ 在[1,4]上是减函数,求实数a的取值范围.
解:由g(x)=x +alnx+ ,得g′(x)=2x+ - .
因为函数g(x)=x +alnx+ 在[1,4]上是减函数
则g′(x)≤0,在[1,4]上恒成立.
所以不等式2x+ - ≤0在[1,4]上恒成立.
即a≤ -2x 在[1,4]上恒成立.
设h(x)= -2x ,显然h(x)在[1,4]上为减函数.
所以h(x) =h(4)=- ,a的取值范围是(-∞,- ].
三、数形结合法
若含参数不等式参变量不能进行分离,则应构造关于变量的函数(如一元一次函数,一元二次函数),并结合函数图像使问题变得直观,从而形成解题思路,提高数学思维能力.
例4:当x∈[0,1]时,求ax+1>0成立的a的取值范围.
解:设f(x)=ax+1,当a=0时,ax+1>0显然成立.
当a≠0时,f(x)为一次函数,欲使f(x)=ax+1>0,在[0,1]上恒成立,其图像为线段,即两端点恒在x轴上方,要使上式不等式恒成立只需f(0)>0,且f(1)>0,即1>0,a+1>0,故a>-1,因此a的取值范围是(-1,+∞).
四、更换主元法
某些含参数不等式恒成立问题,从主元入手非常困难或不可能时,可转换思维角度,将主元与参变量互换是关键,再用数形结合思想,效果事半功倍.
例5:已知不等式x +px+1>2x+p.
>
(1)若不等式对于p∈[-2,2]恒成立,求实数x的取值范围;
(2)若不等式对于2≤x≤4恒成立,求实数p的取值范围.
分析:(1)若直接解关于x的不等式,再利用p∈[-2,2]求x的取值范围,显然相当复杂,因此视p为变量,x为常量,利用数形结合思想求x的取值范围.
解:原不等式可化为(x-1)p+x -2x+1>0.
令f(p)=(x-1)p+x -2x+1,由题意知f(p)>0在p∈[-2,2]上恒成立,其线段恒在x轴上方,即两端点在x轴上方,则
则f(-2)=-2(x-1)+x -2x+1>0,且
f(2)=2(x-1)+x -2x+1>0,即x -4x+3>0,且x -1>0.
解得x>3或x<-1.
故x的取值范围是(3,+∞)∪(-∞,-1).
(2)视x为变量,p为常量,分离常量p
不等式化为(x-1)p>-x +2x-1,
2≤x≤4,x-1>0,
p> =1-x时,在2≤x≤4恒成立.
令g(x)=1-x,g(x)在x∈[2,4]上单调递减,g(x) =g(2)=-1,
本章教学目标:
根据《数学课程标准》(实验稿),引用并拟定本章教学目标如下:
1.理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,会比较有理数的大小。
2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义,会求有理数的相反数与绝对值(绝对值符号内不含字母)。
3.理解乘方的意义,掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步为主)。
4.理解有理数的运算律,并能运用运算律简化运算。
5.能运用有理数的运算解决简单的问题。
6.能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。
7.会用计算器进行有理数的简单运算。
本章教学理念设计:本章教学,通过从教材所设问题情景切入,以全体学生的发展为本,结合学生已有的知识背景、活动经验,鼓励学生主动参与到数学活动中,亲身经历知识的产生、形成过程。注重培养和发展学生归纳、概括、猜想、推理、交流等能力,引导学生在实践中发现问题、探索规律、解决问题,加深对知识的理解、掌握和运用。
本章教学实践总结:
第1节 《数怎么不够用了》
本节是在小学所学算术数之后数的范围的第一次扩充,是算术数到有理数的衔接与过渡,并且是以后学习数轴、相反数、绝对值以及有理数运算的基础。教学时,可借助教材创设的情境(也可根据学生实际自行设计活动)、引导学生列举生活实例,让学生真正熟悉正数、负数,以及生活中具有相反意义的量,体会身边的数学,把身边的数学引入课堂,使实际问题数学化。
第2节 《数轴》
本节通过与温度计的比较,导出数轴等有关知识,让学生体会数学与现实生活的紧密联系,感受到可以从实际问题中抽象出数学。数轴可以帮助学生进一步认识有理数,同时又为学习数的大小比较、相反数、绝对值、有理数的运算等内容提供一种帮助理解的“工具”。
第3节 《绝对值》
绝对值是继有理数、数轴、相反数之后又一数学概念,是学习数的大小比较、有理数的运算以及根式等内容的基础,是七年级数学的一个难点,也是重点。通过从教材所设实例出发,借助数轴上的点与原点的距离引出有理数的绝对值的概念,并让学生在实际运用中理解绝对值的意义和作用。由于《课标》要求“绝对值符号内不含字母”,在组织教学过程中,对学有余力的学生可给予适当渗透。
第4节 《有理数的加法》
学生在小学学习了数的加法运算及运算律,进入初中又认识了有理数、数轴、绝对值,本节是加法运算的延伸。教学中,借助课文用+表示+1,-表示-1(或利用数轴呈现)这一实际情境,引导学生自主探索发现并归纳有理数的加法法则,让学生经历有理数加法法则和运算律的探索过程,在实践中理解并掌握有理数的加法法则,并引导学生通过比较自主发现运用加法运算律给计算、解答所带来的简捷。
第5节 《有理数的减法》
通过教材实例引出一个涉及有理数减法运算的问题,学生联系已有的知识经验,带着问题去探索。根据减法是加法的逆运算,结合具体例子,发现有理数的减法法则,体会化归思想在数学中的应用。再结合例习题,让学生学以致用、熟能生巧。要注意强调法则中的两个变化:“减号”和“减数”。
第6节 《有理数的加减混合运算》
本节是这一章的重点之一,教材通过将有理数的加减混合运算融入实际问题中,激发学生学习兴趣,注重让学生在实际情境中发现和感悟新知、寻求规律,着重突出数感和符号感的培养,而淡化了形式化和记忆的过程。本节教学,借助课文所提供的情境和游戏,引导学生主动参与,通过实践,在交流、比较中探索新知,发现规律,并自觉应用到以后的运算中。同时要对解题的规范性加以强调。
第7节 《水位的变化》
本节是对本章前半部分知识的小节和综合应用,教材借助实际生活背景,引导学生理解正、负有理数在表示具有相反意义的量的实际价值,巩固有理数加减混合运算。通过引导学生学会将生活中的实际问题抽象、转化为有理数的加减混合运算,进而帮助学生理解所学知识,体会学习有理数的意义和作用,感受数学在生活中的价值,培养学生建立数学模型的意识和能力。
第8节 《有理数的乘法》
本节是对数的运算的延伸,是在学生学习了小学数的乘法和有理数的加法运算的基础上进行的。教材通过实际情境,引导学生探索有理数乘法法则,经历知识的产生、形成过程,发展学生观察、操作、猜想、归纳、验证的能力。教学中借助课文提供的实际情景和学习素材(也可选取其它贴近学生生活的情景),引导学生探索两个有理数相乘的所有情形,鼓励学生通过观察、操作、猜想、验证等活动,归纳、发现有理数的乘法法则和乘法运算律。重点要让学生在实践中探索发现使用运算律所带来的简便,从而自觉地将运算律用到以后的问题解决中去。(在探索“负数×负数”时,还可试着引导学生比较、发现规律:“两数相乘,把一个因数换成它的相反数,所得的积是原来的积的相反数”)。
第9节 《有理数的除法》
本节通过引导学生类比小学所学除法法则,联系有理数的乘法,通过一连串的特征算式,比较发现有理数的除法法则。教学流程可尝试用以下两种方式:一种是按课本呈现方式进行,利用除法是乘法的逆运算,通过列举两个有理数相除的所有类型,借助特征算式,让学生在分析求解、观察比较中发现有理数除法法则。
第10节 《有理数的乘方》
本节是对有理数的乘法运算的升级,旨在简化相同因数的积的形式,是数的又一基本运算,也是以后学习幂的运算性质、数的开方、二次根式等内容的基础。教学中,既要注重逻辑推理能力的培养,又要注重观察、归纳等合情推理能力的培养。先借助课文中细胞分裂的实际场景(也可另择情境,如让学生课前准备细绳、剪刀,通过对折、剪断等活动),激发学生阅读、探索、体会有理数乘方的意义,感受乘方的简洁美。然后通过课文例题的练习,引导学生对底数分正、负、零,对指数分奇、偶(正数)等情形分析、讨论,鼓励学生相互合作、交流,并总结所发现的规律,渗透分类讨论的数学思想。注意引导学生明确:当底数是负数、分数时,括号的作用。最后联系生活,让学生讲述在课前所收集、了解到的与乘方相关的实例,使学生感受乘方运算对数的大小变化的影响,体现数学美及数学在现实生活中的实用价值。
第11节 《有理数的混合运算》
本节是对全章知识的复习、应用、巩固。组织教学时,先让学生自学,阅读课文,边读边做,引导学生类比小学所学数的混合运算,推广到有理数范围的混合运算,进而总结有理数运算的顺序。通过演练一题多解或者设计比赛活动,让学生在比较中自主发现运算律对简化运算的作用。通过“做一做”24点游戏,激发学生的学习兴趣,提高运算技能,培养分析问题、解决问题的能力,体会游戏中蕴涵的数学知识,体验生活中处处存在着数学。指导学生在实践中不断摸索、积累方法、总结经验、熟能生巧。
在引入负数时,用学生非常熟悉的材料,如要学生同时用数表示商店的赢利与亏损等事实引入负数,学生是很容易理解的。
在讲有理数的绝对值时我采用的方法是,举出学生熟悉的例子:客运公司在制订票价时,只需考虑两地之间的路程,而不需考虑客车行驶的方向等。让学生认识到我们在引入负数后,有些时候我们确实只需用一类数就可以解决问题,再结合数轴,让学生来理解绝对值,事实说明,在课堂上学生是能认识到绝对值的意义的。
在有理数的加法运算法则的教学时,我采用的方法是用生活中的事实让学生自己独立得出法则:让学生扮演营业员,列举出各种情况,第一天赢利一定的数量,第二天亏损的数量等,让学生切实感受到要求出两天的和,必须先确定是赢利还是亏损,然后再确定赢利与亏损的数量,这样做,学生易于进入状态,也易于得出法则。有理数的减法法则的教学,我采用的是求温度差的方法,如让学生求出1℃比-2℃高多少度等,这些例子学生易于得出结论,通过这些例子让学生根据自己的实际经验得出1-(-2)=3,再由1+2=3得出1-(-2)=1+2,再多举几个这样的例子,让学生得到减去一个数等于加上这个数的相反数这样的认识。然后让学生用这个想法去解答2-3,-2-3,-2-(-3)这样的问题,再让学生用温度差去验证所得结果是否与实际相符,这样促进了学生对减法法则的认识事实说明,这样做学生是能自己获得有理数的减法法则的。
对有理数的乘法法则的教学,我采用的是利用学生已经具有的比较判断能力获取有理数的乘法法则:如先让学生计算3×5,然后让学生计算-3×5与3×(-5),通过让学生比较3×5和-3×5,认识到他们之间的不同点是3和-3相差一个“-”,让学生判断出它们的结果也应该只相差一个“-”,判断出-3×5=-15和3×(-5)=-15,再让学生用同样的方法得出-3×(-5)=15,再举几个类似的例子,完成有理数乘法法则的认识。
对有理数除法法则,主要是让学生理解负数的倒数即可。