方程的意义

前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇方程的意义范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。

方程的意义范文第1篇

（一）活动，感受平衡

师：天平有这样的现象吗？那就试试看。学生活动，小组中进行天平的操作。师：通过活动，你感觉到了什么？生：天平两边的重量不同时，天平是歪的；两边的重量相等时是平的。师：很棒！天平有时是平衡的，有时是不平衡的。天平平衡了，你会用式子表示出来吗？学生展示自己小组的活动，汇报写出的式子：10克+10克=20克，20克+30克=50克

（二）辨析，明晰平衡

师：你认为这些式子写得对吗？它们都有什么共同点呢？学生再度解读式子，发现这些式子都有“等于号”；式子左右两边计算的结果是相等的师：能用同样的策略写出那些左、右不相等的式子吗？学生小组合作，尝试写出不等式（设计说明：以活动为媒，促进数学学习与数学活动的有机融合。一方面引导学生进行保持天平平衡的活动，并通过观察写出相等的式子，不仅能丰富学生的感知，更能促进平衡与等式关系的理解，而且还能诱发学习思考，促使学生去思考：天平平衡意味着什么？这些式子表示的意义又是什么等，从而让活动与思考有机地连接在一起。另一方面引导学生观察天平不平衡的例子，尝试用式子表现出来，这个过程就是锤炼思维的过程，让学生明白式子有的左、右两边是相等的，有的左、右两边是不相等的，进而强化等式的建构，帮助学生形成天平平衡与等式之间的必然联系，形成扎实的学习记忆。活动丰富了学习感知，更促进学习思维的跟进，更利于认知表象的积累，促进等式等知识的科学建构。）

二、探究，理解方程

（一）借助天平，感受未知数的存在

师：老师这里也有一组天平图，你能根据前面的学习写出相应的式子吗？课件出示：学生依据图例，写出对应的式子。①x+50>100，②x+50=100，③x+50<200，④x+x=200（或2x=200）。师：请说出自己写这些式子的想法，好吗？学生交流自己写这些式子的理由。（设计说明：再度借助天平图，让学生在熟悉的情境中体会到新的气息。同时，利用4组天平图有效地拓展了原有的学习认知面，为提炼未知数、方程提供孕伏，丰富学习感知。再引导学生解读天平平衡、不平衡所对应的式子，让未知数、等式等概念得到深化。）

（二）比较式子，感知方程的存在

师：我们又写出了一组关于天平的式子，请仔细比较一下前后两组式子，说说你的新发现。学生观察前后两组式子，交流自己的理解。生：前面的式子都是数据构成的，后面这4个中都有字母x。生：前面的每一个都是具体的数，而后面的4个中都有不知道的。生：老师我知道，这里的x叫作未知数。师：新说法——“未知数”。你们知道吗？查查资料或小组中交流一番，看看什么是未知数。学生活动，有的查阅资料，有的议论交流。师：这4个式子都有未知数，它们都是一样的吗？生：不一样，①、③用的是大于号和小于号，而②、④是等于号。生：①、③叫不等式，②、④叫作等式。师：很棒的解释。还有其他认识吗？生：②、④还叫作方程。师：是的，像这样有未知数的等式，它们是方程。

（三）解读式子，领悟方程的意义

师：刚才这位同学给我们带来了一个新名字，“方程”。老师想问一问，你们知道这个名词吗？它到底有什么特定的意义呢？学生小组活动，发表自己的见解，引发学习争论。生：我认为只要有字母就行了，它就是方程。生：不对！应该是等式。生：都不对！像A+B=B+A，这个是等式，我爸爸昨天和我讲，它就不是方程。师：有这么多的意见，那到底怎样的式子才是方程呢？生：就像刚才的②、④一样，它们是等式，而且含有x。生：老师我的理解是方程必须是等式，含有未知数，就是有不知道的数，不一定就是x。像（）+2=5我认为也是方程。生：他的说法我赞同。我还见过这样的：a+8=10，b-25=56师：有这么多的辩论，从中你收获了什么？生：方程一定是等式，但是等式不一定是方程。如1+2=3，因为它没有未知数。生：方程中一定有未知数，但不一定都用x来表示。生：方程是等式，一定含有未知数。师：总结得很好，抓住了方程的意义的要领。你能根据自己的理解写出一组方程吗？学生自主练习，写出自己的方程，并在小组中交流讨论。展示学生的学习成果，总结方程的意义。突出方程的两个核心要点。（设计说明：让学生经历等式、不等式的解读与辨析，促进学生思维的深化，也使方程的概念在交流比较中展现出来，在自主分析中凸显出来。学生一方面能把握等式与不等式的关系，能够辨析等式的存在；另一方面还有利于学生发现这些式子都含有字母x，明白未知数的存在。并把等式、未知数融合在方程的感知当中，当学生提出质疑，师生在互动释疑过程中，进一步把握方程的本质要义，促进对方程意义的理解。同时，让学生写出自己喜欢的方程，不仅有利于学生对方程的理解，更有助于学生领悟未知数的多元性，还能拓展方程的视角，让学生获得最科学、最有意义的方程知识。）

三、引用，深化理解

（一）读一读式子，归归类别

①4+3y=10②6+2a③17-8=9④7-b＞3⑤8x=0⑥18÷a=2⑦3y+2x=15⑧4×80=2x-60上面的8个式子中：不等式有（），等式有（），方程有（）。

（二）明眼辨真伪，判断对错

①等式都是方程。（）②÷8=8，它是一个方程。（）③2x=0也是方程。（）④方程是含有未知数的式子。（）⑤含有字母的等式叫方程。（）

（三）编一编，写写式子

①100元不够买一台电子琴。（学生推断出只能写出不等式，不能用方程表示。）②320元正好买4只篮球。（学生找准等量关系，学习用方程表示。）（设计说明：通过不同形式的训练，旨在让学生进一步理解方程的基本意义，明晰等式、不等式、方程之间的内在关联性，从而建构正确的方程观。训练阶段安排三组练习，第一组是基本的选择，目的在区分等式、方程等概念，使概念更加清晰；第二组是判断，主要是帮助学生理清概念的本质意义，从而明晰方程的意义；第三组是利用给定的条件引发编写方程的思考，通过能否找出等量关系的思考来帮助学生建构初步的方程思想，让学生感受方程意识的作用，也为后续列方程解决问题提供一种思维范式。）

四、反思，提升学习

（一）本节课学习了什么内容？你有哪些收获？

（二）讨论：等式、不等式、方程你是怎么理解的？

（三）说说方程的基本要素，理一理字母与未知数之间的联系。

方程的意义范文第2篇

例1

已知两点A（0, －5）， B（3, －2）,直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，且过点C（0, 1），求直线l的方程.

错解

由已知直线AB的斜率k=－2+53=3，因为直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，所以直线l的斜率为k=32，从而直线l的方程为y=32x+1，即3x－2y+2=0.

剖析

上述解法中直线AB的斜率为3，可知其倾斜角为60°，因为直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，可知其倾斜角为30°，所以其斜率应为33，而学生误认为“直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半”意味着“直线l的斜率也是直线AB斜率的一半”，混淆了斜率与倾斜角这两个概念.因此，我们要谨防走入：

误区一 忽视斜率与倾斜角的定义及其关系而致错

为了避免此类错误，要深入理解直线倾斜角、斜率的定义及其二者的关系.(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，因此直线倾斜角的范围是［0°, 180°）（不直接引用定义，而是说明斜率与倾斜角两者意义上的区别）；(2)直线的斜率与倾斜角的关系是：若α≠90°，则k=tanα，若α=90°，则k不存在.直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半不同于l的斜率是直线AB斜率的一半.

正解

由已知直线AB的斜率k=－2+53=3，所以直线AB的倾斜角为60°，因为直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，所以直线l的倾斜角为30°，故直线l的斜率为k=tan30°=33，从而直线l的方程为y=33x+1，即3x－3y+3=0.

例2

求经过点A（－5, 2）且在x轴上的截距等于y轴上截距的2倍的直线的方程.

错解

设直线的方程为x2a+ya=1，把点A（－5, 2）代入得：－52a+2a=1，即a=－12，所以所求直线的方程为x+2y+1=0.

剖析

上述解法中，设直线的截距式方程是有限制条件的，即截距不能为0，否则无意义，实际上本题中的截距可为0，这时方程就不适用了，造成错解的原因是没有深刻理解直线截距式方程成立的前提条件.因此，我们要谨防走入：

误区二 忽视截距式方程的限制条件而致错

为了避免此类错误，需要深入理解直线的截距式方程成立的条件.若直线的横截距和纵截距分别为a, b，且截距均不为0，这时可设直线的截距式方程为xa+yb=1，然后根据已知条件列出相应的方程，待定系数a, b；当直线的截距其中之一为0时，此方程不成立，这时可选择直线方程的其他形式.选择直线某一方程务必要注意方程成立的前提条件，以免因忽视限制条件而致错.

正解

若截距不为0，可设直线的方程为x2a+ya=1，把点A（－5, 2）代入得：－52a+2a=1，即a=－12，所以所求直线的方程为x+2y+1=0；若截距为0，可设直线的方程为y=kx，把点A（－5, 2）代入得k=－25，所求直线方程为2x+5y=0，故所求直线的方程为2x+5y=0和x+2y+1=0.

例3

已知直线l1:ax+2y+3a=0与直线l2:3x+（a－1）y=a－7平行，求a的值.

错解

因为l1∥l2，所以3a=a－12，即a2－a－6=0,解得a=3或-2.

剖析

上述解法中，若a=－2，此时直线l1的方程为－2x+2y－6=0即x－y+3=0，直线l2的方程为3x－3y=－9，即x－y+3=0，此时两条直线是同一条直线，造成此题错误的原因在于判断两直线位置关系时忽视了成立的条件.因此，我们要谨防走入：

误区三 忽视直线位置关系成立的条件而致错

两直线平行可分为两种判断情况：

（1） 已知直线l1:y=k1x+b1与直线l2:y=k2x+b2，若两直线平行则k1=k2, b1≠b2（假设其中两直线的斜率均存在）；

（2） 已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0，若两直线平行则A1A2=B1B2≠C1C2（其中系数均不为0,否则另行考虑），因此本题中的条件还应考虑到是否重合这一条件，需要检验，避免因忽视直线位置关系成立的条件而致错.

正解

若a=0时两条直线显然不平行；

若a≠0，则3a=a－12≠a－7－3a，解得a=3，故所求a的值为3.

例4

求经过点A（2, －1）,且到点B（－1, 1）的距离为3的直线方程.

错解

由点斜式可设所求直线方程为y+1=k（x－2）,即kx－y－2k－1=0.由题设,点B（－1, 1）到此直线的距离为3,即|－k－1－2k－1|1+k2=3,解得k=512,于是所求直线的方程为y+1=512（x－2）,即5x－12y－22=0.

剖析



方程的意义范文第3篇

关于代数或超越方程求根的具有大范围收敛的迭代方法，是指对初始值的选取无特殊限制，而迭代所得的数列恒具有收敛性的一类迭代方法。这给求解代数或超越方程的数值根带来极大的方便。故近年来，对具有大范围收敛的迭代方法的研究受到广泛重视，出现了许多有意义的成果[1~51。但在这些方法中，有的需要计算函数的二阶导数，有的需要计算多个点的函数值，使得计算复杂。徐利治、朱自强曾提出：“在一定条件下，能否利用差分算子，以降低公式中导数的阶数，而仍保持某种意义的大范围收敛。”的设想。

本文构造了一个不需要计算函数导数的迭代公式，并论证了该公式的大范围收敛性及收敛速度。最后给出了数值例子。

迭代公式的建立

方程的意义范文第4篇

一、忽视二次项系数不为零

例1 方程（m-2）xm2-5m+8+（m-3）x+5=0是一元二次方程，求 m 的值.

误解：当 m2-5m+8=2，即 m=2 或 m=3时，该方程为一元二次方程.

剖析：忽视一元二次方程 ax2+bx+c=0中“a≠0”.应取 m=3.

例2 若 x 的方程 m2x2-（2m-3）x+1=0两实根的倒数和是S，求S的取值范围.

误解：设原方程的两实根为 x1、x2，则

S=1x1+1x2=x1+x2x1x2=2m-3，

所以 m=S+32.

又Δ=-12m+9≥0，

所以 m≤34.

即S+32≤34，因此S≤-32.

剖析：当S=-3时，m=0，原方程不是一元二次方程，故正确答案应是：S≤-32且S≠-3.

二、忽视二次项系数的讨论

例3 方程 kx2+2kx+k-1=0无实数根，求 k 的取值范围？

误解：由Δ＜0得

（2k）-4k（k-1）＜0，

即 k＜0，所以当 k＜0，原方程无实数根.

剖析：此方程不一定是一元二次方程，二次项系数 k 也有可能等于0，所以应分为 k≠0和 k=0来考虑.

例4 已知关于 x 的方程（k-2）x2-（2k-1）x+k=0有实数根，求 k 的取值范围？

误解：因为原方程有实数根，

所以 k-2≠0，

且Δ=［-（2k-1）］-4k（k-2）≥0，

所以 k≥-14且 k≠2，

所以当 k≥-14且 k≠2时原方程有实数根.

剖析：题目在措词上值得注意的是，题中条件仅仅为“关于 x 的方程”和“有实数根”，并没有指出是否为二次方程和有二个实数根.因此所给的方程可能是一元二次方程有二个实数根；也可能是一元二次方程有一个实数.所以除了考虑“a≠0”外，还应考虑“a=0”的情况.

三、忽视一元二次方程有根的条件Δ≥0

例5 若 x1、x2 是关于 x 的方程 x2+（2m-1）x+m2=0的两实根，且（x1+1）（x2+1）=17，求 m 的值.

误解：由 x1+x2=1-2m，x1x2=m2，

又 （x1+1）（x2+1）=17，

得 m2-2m-15=0，

即 m=-3 或 m=5.

剖析：忽视一元二次方程有根的条件Δ≥0，即 m≤14，故 m=5舍去.取 m=-3.

四、忽视系数中的隐含条件

例6 已知关于 x 的方程（1-2k）x2-2k+1x-1=0有两个不相等的实数根，求 k 的值.

误解：由题意得Δ=（-2k+1）2+4（1-2k）＞0，得 k＜2，

所以当 k＜2时原方程有两个不相等的实数根.

剖析：误解忽视二次项系数1-2k≠0的条件和k+1必须有意义，故应补充 k≥-1 且 k≠12.

故正确答案应是-1≤k＜2且 k≠12.

例7 已知 p2-2p-5=0，5q2+2q-1=0，其中 p、q 为实数，求 p2+1q2的值.

误解：虽然 q≠0，由5q2+2q-1=0，得

1q2-21q-5=0，

又 p2-2p-5=0.

所以 p 和1p是方程 x2-2x-5=0的两个根.

由根与系数之间的关系有：

p+1p=2，p・1p=-5，

所以 p2+1p2=（p+1p）2-2・p・1p

=22-2×（-5）=14.

剖析：这里忽视了 p 和 1p 相等和不等的讨论，上面解法仅承认了 p≠1p的情况，而漏掉了 p=1p的情况，应补充.当 p=1p时，p 和1p是原方程的同一个根，而方程的根 x=1±6.

则有 p2+1p2=2p2=2（1±6）2=14±46，

所以 p2+1p2的值应为14或14±46.

五、用根与系数关系解题时，忽视“a≠0”与“Δ≥0”

例8 关于 x 的方程 k2x2+（2k-1）x+1=0的两根互为倒数，求 k 的值？

误解：因为 x1 与 x2 互为倒数，

所以 x1x2=1，即 1k2=1，

所以 k=±1.

所以所求的 k 的值为：k=±1.

剖析：本题的隐含条件“二次项系数 k2≠0”和“方程必须有实根即Δ≥0”被忽视了，正确答案应为：k=-1.

六、忽视两根的符号

例9 已知方程 x2+3x+1=0的两个根为α、β，求αβ+βα的值.

误解：因为Δ=32-4×1×1=5＞0，

所以α≠β.

由一元二次方程的根与系数的关系得：

α+β=-3，αβ=1.

所以αβ+βα=αβ+βα

=α+βαβ=-31=-3.

剖析：上述解法，没有应用根与系数的关系判断方程 x2+3x+1=0的两根的符号，算术平方根的概念也没有搞清楚.正确答案应为：

因为Δ=32-4×1×1=5＞0，

所以α≠β.

由一元二次方程的根与系数的关系得：

α+β=-3，αβ=1.

所以α＜0，β＜0.

所以原式=-α-β+-β-α=-α-βαβ

=-α+βαβ=--31=3.

方程的意义范文第5篇

关键词：广义逆矩阵；矛盾方程组

【中图分类号】G642

1.引言

逆矩阵的概念只对非奇异方阵才有意义。但是，在很多实际问题中，我们碰到的矩阵并不都是方阵，即使是方阵，也不都是非奇异的。因此，有必要推广逆矩阵的概念。为此，本文给出了广义逆矩阵的定义，并利用广义逆的性质，求出了矛盾方程组的最小二乘解。

2.广义逆矩阵的定义

定义2.1设A是m×n的矩阵，若n×m的矩阵G满足如下四个Penrose方程的全部或者一部分，则称G为A的广义逆矩阵，简称广义逆。

AGA=A(1)

GAG=G(2)

(GA)H=GA(3)

(AG)H=AG(4)

如果某个G只满足（1）式，G为A的{1}广义逆，记为A(1)；如果另一个G′满足（1）和（2）式，则称G′为A的{1,2}广义逆，记为A(1,2)，常用的5种广义逆：A{1},A{1,2}，A{1,3},A{1,4},A{1,2,3,4}，其中常记A{1,2,3,4}为A+。

3.广义逆矩阵在矛盾方程组中的应用

考虑非齐次线性方程组

Ax=b（3.1）

其中A∈Cm×n，b∈Cm给定，而x∈Cn为待定向量。如果不存在向量x使方程组（3.1）成立，则称方程组矛盾。关于方程组求解问题，常见的有以下几种情况：

如果方程组（3.1）不相容，则不存在通常意义下的解，但在许多实际问题中，需要求出极值问题

（3.2）

的解x，其中||・||为欧氏范数，称这个极值问题为求矛盾方程组的最小二乘问题，相应的x称为矛盾方程组的最小二乘解。

一般说来，矛盾方程组的最小二乘解也不是唯一的，但在最小二乘解的集合中，具有极小范数的解

（3.3）

是唯一的，称之为极小范数最小二乘解。

定理3.1若方程组（3.1）不相容，则方程组存在最小二乘解

其中A(1,3)∈A{1,3}.

证明：因为，而

，所以

(3.4)

其中||・||是欧氏范数。显然，式(3.4)取得极小值的充要条件是

Ax=PR(A)b，（3.5）

任取A(1,3)∈A{1,3}，有R(AA(1,3))=R(A)，

，

所以，AA(1,3)=PR(A)，故当x=A(1,3)b时，Ax=AA(1,3)b=PR(A)b，即式（3.5）成立。

例3.1求方程组Ax=b的最小二乘解和极小范数最小二乘解，其中，，.

解这里rankA=2，rank(A,b)=3，所以方程组为矛盾方程组，最小二乘解为

极小范数最小二乘解为

参考文献

[1]北京大学数学力学系.高等代数[M].北京:高等教育出版社，1978

[2]吴昌悫,魏洪增.矩阵理论与方法[M].北京:电子工业出版社,2006

[3]张凯院,徐仲.矩阵论[M].北京:科学出版社,2013