数列的极限

前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇数列的极限范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。

数列的极限范文第1篇

一、问题的提出

引例1：计算（）n3。

解：（）n3 =[（1+）]2（1+）-1=e2。

本例中数列极限（1+）=e许多学生认为是由于（1+）n=e，但这种想法似是而非，严格地讲这是由（1+）x=e得出来的，同一个类型的例子基本上都是这样，由此可见x=e这个式子的正确使用是我们必须要掌握的。

引例2：证明（1+）x=e。

证：对于任意的x>1，有（1+）[x]

其中[x]表示x的整数部分，令x-> +∞ 时，不等式左右两侧表现两个数列的极限 （1+）n=e与（1+）n+1=e，再利用函数极限的夹逼定理得到（1+）x=e。

接下来我们重点了解一下能不能从数列极限 （1+）n=e求函数极限 （1+）[x]=e 。研究数列极限和函数极限时，许多学生会想到海涅定理，根据海涅定理， （1+）[x]=e的充分必要条件是对于任意趋于+∞的数列{n }都有。

当xn=n时，数列{（1+）1，（1+）2，（1+）3+……（1+）n……}，所以（1+）n=（1+）n=e。

当xn=n2时，数列={（1+）1，（1+）4，（1+）9，……（1+）n2……}是数列{（1+）n}的子列，所以（1+）[x]=（1+）n=e。但是当 xn=时，数列{（1+）[xn]}={（1+）1，（1+）1（1+）1，（1+）2，…，（1+）}，显然数列{（1+）n}是数列{（1+）[xn]}的子列，因此从逻辑上我们就不能直接用（1+）n=e得到（1+）[xn]= e，也就不能直接得到（1+）[x]=e，至于有的教材中直接将{（1+）[xn]} 认为是{（1+）n}的子列，则明显错误的。

二、得到的重要结果

通过上面的分析，我们就可以提出下面的定理。

定理1 设f（x）在[a，+∞]上有定义，（a>0），如果存在数列{xn }，{yn }满足对于任意x>=a，当n

证明：对于任意 A>0，由于 xn= yn=A，所以存在N∈N+ （假设N≥a），当n>N时，就会有x-AN且n0≤x≤n0+1，由条件可得xn≤f（x）≤yn，所以xn-A≤f（x）-A≤yn-A，于是f（x）-A≤max{xn-A，yn-A}

由极限定义知f（x）=A。

例1：证明=（1+）x=e。

证明：对于任意x≥1，当时n≤x

而 （1+）n=（1+）n+1=e，即有（1+）n

由定理1可知 （1+）x=e。

例2：证明 x=1。

证明：对于任意的x≥1，当n≤n+1时有=[x]

在学习定积分时且遇到下面的问题：

例3 ： 计算极限。

解： 对于任意的x≥，当≤x≤（k∈N+）时，有costdt≤costdt+costdt=1+2k及costdt≥costdt+costdt=1+2（k-1），于是=≤≤=，而且==。

所以受定理1的启发，结论应该是=。

数列的极限范文第2篇

关键词：平均值；极限；聚点

关于数列平均值的极限有下面著名的结论：

定理1 数列{an}极限存在为a，则由前n项的平均值构成的数列a1+a2+…+ann极限也存在且等于a。

下面我们考虑该定理的逆命题及否命题是否成立。首先我们考虑否命题，也即“如果数列{an}极限不存在，那么数列a1+a2+…+ann极限存在”是否成立呢？我们给出下面的例子。

例1 令an=n，则有limn∞an=+∞，a1+a2+…+ann=n（n+1）2n=n+12，那么我们有limn∞a1+a2+…+ann=+∞。

可见当{an}极限不存在时平均值a1+a2+…+ann的极限可能不存在，也即定理的否命题不成立。如果将无穷（+∞、-∞或∞）看成是广义极限（或非正常极限）的话，那么上面的例2并不能说明问题，我们再给出下面的例子。

例2 令an=3k-2，n=3k-2，0，n=3k-1，-3k+2，n=3k，

也即{an}=1，0，-1，4，0，-4，7，0，-7，…，可以看出{an}极限不存在。n=3k-2时，a1+a2+…+ann=1+0+（-1）+…+（3k-2）3k-2=1；

n=3k时，

a1+a2+…+ann=1+0+（-1）+…+（3k-2）+0+（-3k+2）3k=0，

可知数列a1+a2+…+ann有两个子列收敛到不同的极限，从而a1+a2+…+ann极限不存在。

上面的两个例子中数列{an}都是无界数列，an的变化很大，导致了平均值的极限不存在，那么我们就会有这样一个想法，对有界数列{an}而言，an总在上下界之间变化，改变幅度有限，这样会不会使得平均值极限一定存在呢？我们有下面的例子。

例3 如下定义数列{an}：

a1=1，a2=-1，a3=a4=1，a5=a6=-1，a7=…=a12=1，a13=…=a18=-1，…，

假设前2・3k项已定义，令a2・3k+1=…=a2・3k+2・3k=1，a2・3k+2・3k+1=…=a2・3k+2・3k+2・3k=-1。

很显然，数列{an}有界，且极限不存在。对于平均值数列a1+a2+…+ann，当n=2・3k时，

a1+a2+…+ann=1+（-1）+…+1+1+…+（-1）+（-1）2・3k=0；

当n=4・3k时，

a1+a2+…+ann=1+（-1）+…+1+1+…+12・3k个4・3k=12。

可知数列a1+a2+…+ann有两个子列收敛到不同的极限，从而a1+a2+…+ann极限不存在。

从上面例子可以看出不论数列{an}的有界性保证不了平均值极限的存在性。

接下来我们考虑定理的逆命题，也即“如果数列a1+a2+…+ann极限存在，那么数列{an}极限存在”是否成立。这个命题也是不成立的，我们有下面的例子。

例4 令an=（-1）n，很显然{an}极限不存在。但a1+a2+…+ann为-1或0，是有界量，从而limn∞a1+a2+…+ann=0。

比较上面的例3和例4我们发现，这两个数列都只是由1和-1构成的，那么为什么会造成一个平均值极限存在，一个平均值极限不存在呢？这主要是由于1和-1出现的频率不同造成的。在例3的数列中1和-1在前n项所占比例随着n的增加变化很大，而在例4的数列中1和-1在前n项所占比例比较稳定，n增加时二者所占比例趋近于1/2。这又为什么会造成平均值极限存在呢？我们可以用概率的观点来理解这件事情。把例4数列理解为一个随机事件，那么1和-1在前n项所占比例也就是频率，频率的稳定值是概率，所以该随机事件中出现1和-1的概率都是1/2，从而数学期望为12×1+12×（-1）=0，而数学期望正是平均值的稳定值，所以平均值的极限存在且等于0。其实不光对例4我们可以这样理解，对其它一些情况也有类似的结论。我们给出下面的定理。

定理2 假设有界数列{an}有且仅有两个聚点x和y，其中xx+y2}中元素的个数。如果极限limn∞xnn=p，则有limn∞a1+a2+…+ann=px+（1-p）y。

证明 将{an}中小于等于x+y2的项构成的子列记为{bn}，大于x+y2的项构成的子列记为{cn}。下面证明limn∞bn=x，limn∞cn=y。

反证法。若{bn}不收敛于x，则必存在x的一个邻域（x-δ，x+δ）使得其外有{bn}的无限多项。而{bn}为有界数列，这无限多项也是有界的，从而由聚点定理可知这无限多项至少有一个聚点z，且z≠x。由bn≤x+y2可知z≤x+y2，从而z≠y。也即{bn}有一个不同于x和y的聚点，这也意味着{an}有一个不同于x和y的聚点，这与{an}只有两个聚点矛盾，limn∞bn=x得证。同理可证limn∞cn=y。

由定理1可知limn∞b1+…+bnn=x，limn∞c1+…+cnn=y。在{an}的前n项中有xn项属于子列{bn}，有yn项属于子列{cn}，故limn∞a1+a2+…+ann=limn∞b1+…+bxn+c1+…+cynn=limn∞b1+…+bxnn+c1+…+cynn

=limn∞b1+…+bxnxn・xnn+c1+…+cynyn・ynn

=limn∞b1+…+bxnxn・limn∞xnn+limn∞c1+…+cynyn・limn∞ynn

=xp+ylimn∞n-xnn=px+（1-p）y.

可以看出，上面的例4正是定理2的特殊情况。上面的定理是对于只有两个聚点的数列得到的，其实对有有限多个聚点的数列也有类似的结论，我们不加证明地给出下面的定理。

定理3 假设有界数列{an}有k个聚点x1，x2，…，xk，其中x1

参考文献：

[1] 《数学分析》，华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2010（第四版）

数列的极限范文第3篇

【关键词】前列腺切除术；手术配合；护理

前列腺增生是老年人常见病，一般认为最主要的发病因素是机体内激素的平衡失调所致，手术方法有两种：一种是经尿道前列腺切除术，只适合前列腺增生较小的患者；另一种是耻骨上前列腺切除术，此手术解除梗阻较彻底，并发症少。2006~2008年我院对56例患者施行耻骨上前列腺切除术，取得了良好的效果，现将手术配合介绍如下：

1 心理护理

本病系老年病，大多数病人对手术抱有怀疑、恐惧、担忧等心理，需要根据患者不同的心理采取相应的心理护理，因此，手术前应向患者讲明手术的目的、过程及预后情况等，让患者放松，解除不必要的思想负担和恐惧心理，为术中保持稳定的情绪奠定了基础。

2 巡回护士

2.1 患者进入手术室，巡回护士应严格执行查对制度，做好手术部位皮肤准备，以及血型、配血、术前用药等。

2.2 协助麻醉师进行麻醉后，让患者平卧，给患者导尿，冲洗膀胱，臀下垫小纱袋，将臀部抬高15°，以便暴露手术视野，再固定好四肢。

2.3 用大号留置针连接三通管，输入液体、血液，便于静脉给药。

2.4 摘除前列腺后，失血较多，准备好60℃左右热盐水，同时准备5cm宽、700cm长、缝好的无毛边纱布条，用热盐水纱布条压迫止血。2.5 密切观察病情变化，注意吸引器、电刀等功能是否完好，准确无误，快速执行医嘱，确保患者生命安全及手术顺利进行。

3 器械护士

3.1 术前了解情绪，熟悉步骤，做到心中有数；术中做到配合准确、迅速、注意力集中，器械护士对手术台上的一切用物都必须与巡回护士查对。

3.2 在耻骨上做一正中切口，切开腹直肌前鞘及锥状肌，上推腹膜，暴露膀胱，切开膀胱前壁，两边各用肠线缝合一针做牵引用，切开膀胱时，即用吸引器引出膀胱内尿液。

3.3 前列腺摘除后，手术部位大量出血，此时立即用热盐水纱布止血，再用可吸收线在膀胱颈3~9点处作多个8字缝合止血，再逐层向外缝合，待缝好皮肤后将适当型号的三腔导尿管插入尿道，在气囊内注入20~30ml盐水，手术完毕，器械护士和巡回护士查对用物无遗漏后，擦净患者体表血迹，包扎好切口，待生命体征平稳后送返病房，并与当班护士交待有关情况和要点。

数列的极限范文第4篇

[摘要]目的：探讨患儿腭裂手术修复的最佳时机。方法：对1997～2005年间在我院治疗的1～12个月的354例唇腭裂患儿进行手术修复，按年龄分四组分别对其术中、术后各项指标及发音效果进行对比、分析和评估。结果：手术全部获得成功，354例患儿术中、术后均未出现严重的并发症，其中1～3个月年龄组患儿术中出血少，术后恢复快，术后体重普遍增加；年龄组越大，术中出血量越多、术后体重普遍下降，术后恢复较慢；术后发音效果1～3月年龄组语言效果优于其他各年龄组；近期内未发现明显上颌骨发育障碍。结论：在手术技术成熟和条件具备下，3月左右是腭裂修复的最佳时机。

[关键词]腭裂；修复时机

[中图分类号]R782．2+　[文献标识码]A　[文章编号]1008―6455(2006)12－1386－02

唇腭裂是小儿常见的先天性畸形，其发病率在先天性畸形中居第4位，在我国发病率高达1％～2％，其不仅影响小儿外貌和发音，而且造成小儿及家长严重的心理负担，为有效地恢复正常的语言功能，矫正形态上的畸形和尽可能地减少心理创伤，获取最佳治疗效果，唇腭裂的早期手术修复已备受推崇。我院整形外科自1997～2005年收治1～12个月唇腭裂患儿354例，通过对其术中、术后及语音效果各项指标的对比、分析和评估，进一步探讨唇腭裂患儿腭裂修复的最佳时机。

1　临床资料

1．1　一般资料：共收治1～12个月唇腭裂患儿354例，按年龄分为四个组。

第一组：(1～3个月)：80例，其中单纯腭裂25例，腭裂合并唇裂55例；男53例，女27例。

第二组：(4～6个月)：149例，其中单纯腭裂33例，腭裂合并唇裂116例；男97例，女52例。

第三组(7～9个月)：82例，其中单纯腭裂28例，腭裂合并唇裂54例；男35例，女47例。

第四组(10～12个月)：43例，其中单纯腭裂11例，腭裂合并唇裂32例；男27例，女16例。

1．2　治疗方法

1．2．1　麻醉方法：常规气管内插管静脉复合麻醉。早期我院用异氟醚吸入维持，近几年改用静脉药物维持，具有镇痛好、松弛好、苏醒快、安全可靠等优点。

1．2．2　手术方法：单侧腭裂采用两大瓣后推+梨骨瓣法，双侧腭裂采用双侧梨骨粘骨膜瓣与二瓣联合手术法，合并唇裂者，同期采用改良millard法或鼻前庭三角瓣法进行修复(双侧唇腭裂合并前颌上翘明显者则分期手术)，术后常规用粗线贯穿舌体作牵引预防，避免术后舌后坠引起呼吸道梗阻。

1．3　结果：各组病例手术经过顺利，术后无严重不良反应发生，伤口愈合良好。

1．3．1　由表1可以看出：1～3月年龄组患儿出血量少，术中输血率低，手术时间短，术后进食不受影响，术后大部分患儿体重增加，术后10天出院时，体重平均增加0．3kg，术后伤口愈合良好。4～6个月年龄组患儿出血量明显增多，术中输血率略高为9％，手术时间略长，术后进食略受影响，术后10天出院时，体重维持原水平较多。7～9月和10～12月年龄组患儿情况类似：出血量多，手术时间稍长，术后进食明显受限，进食量少，术后体重明显下降，一般为0．5～1．0kg。

1．3．2　术后语音疗效评估：将术后发音效果评审分4级：①优：发音清晰，几乎与正常人无异；②良：鼻音轻，发音较清晰；③一股：鼻音较重，但能听懂；④差：鼻音重，不易为人听懂。

术后随访病例1～8年不等。根据以上标准评估发音效果，1～3月年龄组优良率93％，4～6月年龄组优良率83％，7～9月年龄组优良率80％，10～12月年龄组优良率76％，随年龄组增大，术后发音优良率呈下降趋势。各年龄组发音效果优良率分别与1～3个月年龄组比较，经卡方检验，ρ＜0．05具有显著性差异。各手术年龄组发音效果见表2。

2　讨论

2．1　腭裂是一种常见的口腔颌面部发育畸形，长久以来其手术治疗的时机一直存在争议，各家意见最大的分歧在于早期手术修复是否影响上颌骨的正常发育以及患儿是否耐受手术，即手术的安全性问题，本研究临床实践表明婴儿唇腭裂手术修复在安全性方面是可行的。

2．2　有学者认为早期手术会影响腭骨及上颌骨的发育，国内外不少学者的临床及动物实验结果表明：腭裂患者的颌面部畸形主要是由于胚胎期间的潜在缺陷因素导致，同手术无关。相反，手术可以把骨骼发育的趋向引入正轨。国内姚隆洁、袁文化等研究腭裂手术对上颌骨发育的影响，认为手术对颌骨发育的干扰未起重要作用。上海九院朱昌指出：术后虽导致硬腭后端倾斜度增加和下颌骨升支进一步缩短，但对硬腭前后径和横径的发育及牙弓变化，前面部高度及前上、下面部高度的比例均无明显影响，手术前后矢状面的鼻咽腔面积与口腔面积的比例与正常人基本相同。而现在由于正畸和正颌外科的介入，使得颌骨畸形的问题可以解决，为腭裂的早期手术解决了后顾之忧。本组病例术后近期语言随访时各年龄组病例均未发现有明显面中部发育障碍，也与以上观点相符，但由于时间太短，有待进一步追踪观察。

与唇裂不同，腭裂修补的主要目的在于恢复正常的语言功能，而早期手术可以最大限度地恢复腭裂患者的语音语言功能。语言学习的先决条件受听力、语音器官解剖的完整性、神经肌肉强度和协调以及大脑感知等多种因素的影响，患儿3个月开始音素形成，5个月时开始分辨和应用音素，是语音发音阶段中最敏感最重要的时期。若在此之前能在解剖上将腭裂裂隙修补好，不仅能防止畸形的扩大，而且为发音提供了一个较为正常的语音器官，则可恢复正常的语音效果；早期手术还可避免腭部肌肉发育障碍及废用性萎缩，减少呼吸系统感染的机会，减少和避免中耳炎的发生，有助于患儿听力培育，术后也便于喂养，有助于患儿的生长发育及心理健康，婴儿早期腭裂修复已成为国内外学者的共识，但究竟何时为修复的最佳时机，尚未见深入、细致的报道。

2．3　本研究通过婴儿期唇腭裂手术修复时各年龄组之间的各项指标比较显示：患儿术中出血量、输血率、手术时间随年龄增大有增加的趋势，术后进食影响及体重影响亦有增加趋势。1～3个月年龄组患儿完全可以耐受手术，由于其痛觉不敏感，术后吃奶几乎不受影响，身体恢复快，术后体重普遍增加。由于他们对肾上腺素特别敏感，局部注射1／20万肾上腺素生理盐水后止血效果好，术中几乎不出血，术野清晰，有利于手术顺利进行，又因组织瓣小，缝合针数也少，使手术时间大大缩短，减少了手术对患儿发育的影响。

我们对各组患儿术后发音效果的评估可知，随年龄增大其发音优良率呈下降趋势，经统计学分析，1～3个月年龄组语音效果优于4～12个月各年龄组。

研究表明1～3个月年龄组患儿手术由于出血少、时间短、术后恢复快、伤口愈合好、语音效果佳，可为腭裂手术的最佳年龄，但由于新生儿期患儿有生理性腹泻和生理性黄疸的出现，而病毒、弓形虫感染及环境污染往往使黄疸期延长，应该避开，故我们认为只要具备娴熟的手术技术、完善的麻醉设备与经验以及丰富的儿科护理知识，3个月左右应是腭裂修复的最佳时机。

数列的极限范文第5篇

关键词：猎歌；门德尔松；音乐分析；和声

1 门德尔松及作品介绍

费力克斯・门德尔松（1809～1847），德国十九世纪上半叶著名作曲家、指挥家。门德尔松在古典音乐传统与民间艺术的滋养下成长，在启蒙思想、人道主义精神与浪漫主义思潮的影响下前进。门德尔松是浪漫主义时期钢琴特性曲的创始人，他首创了无词歌这一钢琴体裁，1830年初，门德尔松赴意大利旅行，金色秋天装点下的威尼斯犹如绽开的睡莲，他欣赏了文艺复兴时期大画家的传世之作，这使他很着迷，他在此写下的《威尼斯船歌》便蕴含着当时的丰富感受，意大利的大自然、光辉灿烂的古代艺术和文艺复兴时期的艺术，深化了他的人文主义思想及追求古典美的审美观念，也丰富了他的审美体验，触发了他的创作灵感，并促使他创作了意大利交响曲、《无词歌》第一册等浪漫主义艺术精品。《无词歌》中猎歌生动的描绘了欧洲的狩猎场景，具有明朗、积极向上的情感，猎歌选自歌德《诗歌集》中的一首诗《猎人的晚歌》而创作的，他想用音乐的语言来解释文字性的文学内容，他曾经在给朋友的一封信中写道：“我所喜爱的一首乐曲所表达的思想要用文字来说明时，不是感到音乐太不确定，而是太确定了。”在猎歌中，我们能够感受到大自然的清新气息、浩荡的狩猎队伍和人们欢腾愉悦的心情。

2 音乐分析

猎歌的旋律线条并不像人声一般，因为它完全超出了人声的音域，但依旧能感受到人们心情愉悦，欢唱的情景。乐曲为活跃的6/8拍子，左手八度音程的演奏，描述着狩猎队伍号角的吹响，演奏过程中要注意左右手的强弱对比，同时注意左手的根音，为A乐段主题的引出做好铺垫。以A大调为基调，是带引子、尾声的再现三部曲式，引子1～5小节，一个乐句构成。A乐段6～29小节，分为两个乐句，6～15小节为第一乐句，16～29为第二乐句，B乐段为第30～50小节，再现乐段A1为51～67小节，为变化再现，是更加丰富的主题呈示，不完满终止于67小节的第一拍A大调I级和弦上。尾声为68～100小节，相对来说尾声的篇幅有点长。

引子部分是向上流动的琶音，和弦明亮饱满，A段为封闭式乐段，结束在第29小节的E大调I级和弦上。主题带有附点的动力性节奏，级进上行的旋律型，能人一种向上的勇敢力量。主题音调激越，情绪高昂，描绘出烟尘滚滚，猎手策马急鞭的景象，演奏时要注意十六分音符和十六分休止符的节奏，手腕要灵活，同时要注意力度上的变化。从侧面描写出狩猎者整装齐发的雄姿情景。第二乐句16～29小节八度和大河西安的运用表现出狩猎者的勇敢，演奏时要注意浑厚有力，但不可过于粗壮。在B乐段，运用了新的音乐材料，29小节的力度标记为ff，演奏时需要注意各个力度标记，左右手旋律表现出乐曲的复调性特点，调性依然在基调的属方向调E大调上进行，右手用八度演奏，加上6/8拍子急促的音符气势更加高昂有力，再现段A1主题由左手奏出，右手依然为八度音型，表现猎人队伍满载而归的欢快之情，再现乐段在结构上有8小节的扩充。尾声分为两个部分，第67～75为第一部分，第76～100为第二个部分，因为尾声的结构相较来说篇幅稍长，并且从材料上看第二部分运用的是A乐段的材料进行的变化重复，所以本曲也有一定的回旋曲式的特点，但更多的是把它作为首位呼应的再现三部曲式，右手是十六分音符的伴奏声部，左手则为重复主体材料形成首尾呼应。85小节开始的各声部的演奏要弹奏清晰，减弱较长，右手的音也要适度的减轻，就像是狩猎者们满载而归的马蹄声渐行渐远。

3 艺术表现

乐曲中我们需要注意到八分音符的休止符，速度为比较快的小快板，演奏时要将速度考虑进去，乐曲A段没有比较明显的终止点，但是有呼吸的小气口。

整个A乐段有一气呵成的感觉，我们可以清楚的看到第三行的左手变成了伴奏，并且以两小节为一个气口，这个气口我们称之为“单元”。

在第15小节的第5拍上只有7音和4音而没有2，是的乐曲有种空的感觉，在此处乐曲已经进入到了E大调。第29小节为第16小节的展开变化，节奏相同，没有三音，是本曲一个重要的特点，这是作曲家有意安排进来的，他又可能是有意识的去模糊调性，也可以更好的去展开调性。B乐段主题左右手相互交替的是左手部分的材料，具有展开性的写法，右手第46小节的556用的是引子左手部分的材料，属准备是动力化的也是展开的因素之一，再现和属准备是同步的，并不是衔接的，在69小节左手又引用了引子左手部分的材料，引子部分贯穿全曲，加强了全曲的统一性。

整首乐曲结构短小，旋律变化很小，演奏时也较容易把握，但我们要学习门德尔松在作曲时对于和声和织体的巧妙运用，以及对于曲式结构的经典示范，通过以上对本曲的浅显分析，希望能够帮助大家更好的理解和学习猎歌。

参考文献：

[1] 吴蕾.论门德尔松钢琴作品的艺术风格与创作思想[D].华中师范大学硕士学位论文，2008.

[2] 吴祖强.曲式与作品分析[M].北京：人民出版社，2003.