数值积分

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数值积分范文第1篇

关键词 数值分析 数值积分 算法 Matlab实现 问题教学法

中图法分类：G643 文献标识码：A

Teaching Research of Matlab Realization of Numerical Integration in

"Numerical Analysis" Curriculum for Postgraduate Students

GE Cishui

(Department of Mathematics & physics, Anhui University of Architecture, Anhui, Hefei 230022)

AbstractBased on the practical characteristics of numerical analysis curriculum, matlab realizations of numerical integrations are introduced in the teaching procedure. Combined with question-based teaching method, it aims to enhance students' understanding and application capability of numerical integration methods, helpful to train their innovation abilities.

Key wordsnumerical analysis; numerical integration; algorithm; matlab realization; question-based teaching method

0 引言

数值分析也称为数值计算方法，是研究用计算机求数学问题近似解的方法、过程及其理论的一个数学分支。数值分析可以说是科学计算的基础和依托，正如我国著名数学家冯康教授所说：数值分析的发展对于提高计算能力的贡献是与新一代计算机的研制同等重要。在我国，几乎所有工科院校硕士研究生都开设了《数值分析》课程。

Matlab是一个功能强大的科学计算平台，它具有强大的数值计算、符号计算和可视化功能，它提供了大量的函数库、工具箱几乎涵盖了所有的工程计算领域，目前Matlab已成为最为普遍的科学计算工具之一。近年来，人们已意识到在《数值分析》课程的课堂教学和实验教学中引入Matlab科学计算软件的重要性，Matlab软件已替代C语言成为辅助数值分析课程教学的首选，事实上，Matlab软件已成为诸多课程，如：自动控制理论、数字信号处理、动态系统仿真等课程的辅助教学工具，另外掌握Matlab软件本身也对我们开展科学研究和解决工程问题至关重要。

数值积分是《数值分析》课程的重要内容之一，但各种研究生用《数值分析》教材讲解数值积分理论与方法时，对数值积分的软件实现则不加介绍或介绍较少，且融入不够，特别对多元函数的数值积分，仅仅以矩形区域上二重积分为例作简单介绍，这远远不能满足工科研究生的学习和应用需要。

本文根据《数值分析》课程的实践性特点，在数值积分的教学中融入Matlab实现问题的教学，结合问题教学法，以提高学生对数值积分方法的理解和应用能力，有利于工科研究生创新能力的培养。

1 数值积分Matlab实现的问题教学法

数值积分计算的问题很多，如振荡积分问题、无界区域上函数积分问题、无界函数积分问题、高维积分问题等等，但从Matlab实现上来说，到目前Matlab系统还没有直接提供一般区域上的三元及三元以上函数的数值积分指令等。

利用问题教学法来讨论和解决数值积分问题的Matlab实现，可以激发学生学习的兴趣，从所求解问题的性质上找原因、从算法上找原因，积极思维，努力给出解决实际问题的方案，提高综合应用来解决实际问题的能力。

下面列举三个数值积分的Matlab实现问题，来说明问题教学法在课堂教学或实验教学中的应用。

1.1 定积分exsin(1000x)dx的计算问题

下面三种方法以及获得的结果

（1）quad(@(x)exp(x).*sin(1000*x),0,pi)

运行该指令后显示：Warning: Maximum function count exceeded; singularity likely.

显示结果： -3.917208719625272

（2）quadl(@(x)exp(x).*sin(1000*x),0,pi)

运行该指令后显示：Warning: Maximum function count exceeded; singularity likely.显示结果：1.722039000823277

（3）quadgk(@(x)exp(x).*sin(1000*x),0,pi)

显示结果：-0.022140670492099

提出问题：为什么上面三种方法获得的结果会不同呢？

问题分析：这是 = 1000的高频振荡积分问题，quad指令和quadl指令采用的算法不大适合求振荡积分，所给结果不正确。由于本定积分的被积函数的原函数是初等函数，所以可用int指令来获得正确结果：

syms x

vpa(int(exp(x)*sin(1000*x),0,pi),16)

显示结果：0.02214067049210878

quadgk有一定的求振荡积分的功能，上述（3）中所给结果精度较高。注意当振荡频率再高时，如计算exsin(1000x)dx，此时若用指令

quadgk(@(x)exp(x).*sin(10000*x),0,pi)，

计算结果也会出现错误，为获得正确的结果，必须设置较高的“MaxIntervalCount”，如采用指令：quadgk(fun,0,pi,'MaxIntervalCount',10000)。由上可知，求高频振荡积分必须选用quadgk指令、设置较高的“MaxIntervalCount”选项值。

1.2 二重积分的计算问题，其中D是由抛物线y = x2，直线x = 10以及x轴所围成的区域

二重积分的计算问题首先要转化为累次积分的计算问题，上述问题可转化为计算，计算此累次积分方法很多，例如下面指令：

（1）dblquad(@(x,y)(x.^2+y).*sin(x+y.^2).*(y>=0 & y

1e-6, @quadl)

显示结果：-70.483695211568843，运行时间：19.962813 秒

（2）quad2d(@(x,y)(x.^2+y).*sin(x+y), 0, 10, 0, @(x)x.^2, 'Abstol',1e-6)

显示结果：-70.483662809994698，运行时间：0.485997 秒

（3）quad2dggen(@y,x)(x.^2+y).*sin(x+y),@(x), @(x)x.^2, 0, 10, 1e-6)

显示结果：-70.483662809308356，运行时间：0.105659 秒

问题：为什么上面三种方法所需时间相差数十倍乃至上百倍？

分析：方法（1）是将一般的积分区域“延拓”为矩形区域，利用dblquad指令计算，这样不可避免地进行了很多0乘运算，费时低效；方法（2）是利用Matlab系统quad2d指令，运行效率尚可，它将一般的积分区域映射到矩形区域，然后利用自适应Lobatton算法来计算，有时需要设置较高的“MaxFunEvals”选项值；方法（3）为NIT数值积分工具箱提供的方法，采用了Gauss算法，精度较高，用时最少。

运行时间的差异与指令所采用的算法有关，同时也与所要求的精度有关。若同一指令，要求的精度较高，可通过设置较小的“tol”值或“Abstol”选项值达到，而这时运行时间则会成倍增加。

1.3 三重积分的计算问题，其中由xoy坐标面与旋转抛物面z = 16 - x2 - y2所围成的立体区域

目前Matlab系统尚没有直接提供一般区域上的三元及以上函数的数值积分指令，下面的方法（1）是将一般积分区域“延拓”为长方体区域，然后利用triplequad指令进行计算

（1）triplequad(@(x,y,z)(x.*z+y.^2).*log(1+x.^2+z).*(x.^2+y.^2

(z>=0 & z

运行结果：1.929759987691869e+003，运行时间：234.935393秒

问题：运行时间较长，怎样高效解决一般立体区域上三重积分的计算问题？

分析：方法（1）是将一般积分区域积分“延拓”为长方体区域积分，这样不可避免地引入了很多0乘运算，故费时低效。能否用解决二元函数数值积分问题的思路来解决此三重积分的计算问题呢？效果较方法（1）如何？

为此先将上面三重积分转化为累次积分

然后利用一元函数和二元函数数值积分指令以及Matlab系统提供的函数arrayfun，进行组合来求一般立体区域上三元函数的数值积分，方法如下：

（2）quad2d(@(x,y) arrayfun(@(x,y)quadgk(@(z)(x.*z+y.^2).*log(1+x.^2+z), ...

0,16-x.^2-y.^2),x,y),-4,4,@(x)-sqrt(16-x.^2),@(x)sqrt(16-x.^2))

运行结果：1.930186638624715e+003，运行时间：4.925542秒

（3）quadgk(@(z) arrayfun(@(z)quad2d(@(x,y)(x.*z+y.^2).*log(1+x.^2+z), ... -sqrt(16-z),sqrt(16-z),@(x)-sqrt(16-z-x.^2),@(x)sqrt(16-z-x.^2)),z),0,16)

运行结果：1.930186640541383e+003，运行时间：0.468731秒

方法（2）是利用quadgk+quad2d组合方法，先二重后一重，方法（3）是利用quad2d+quadgk组合方法，先一重后二重，从结果上看这两种方法不但所获得的结果精度较高，而且用时显著减少，其中方法（3）运行效率更高一些。

2 结语

将数值积分的Matlab实现融入《数值分析》课程的教学，通过问题教学法在课堂教学和实验教学中的应用，有助于学生用数值分析的理论和方法分析计算方法所暴露出的问题，找出失败的原因和解决问题的办法，这样既能加深学生对数值积分方法的理解和记忆，又能提高他们解决实际问题的能力，同时还可以节省时间。

工程上涉及数值积分的问题很多，例如：涉及振荡积分、高维积分、无界函数的数值积分等实际工程问题，都可以作为大型作业，布置给学生课后思考解答，充分发挥学生学习的自主性，锻炼学生查阅资料和使用软件帮助文档功能，有利于学生综合解决实际问题的能力和自主创新能力的培养。

基金项目：安徽省高等学校省级教学质量与教学改革工程项目“《数值分析》课程教学内容优化与组合式教学方法的探索研究”[2008jyxm325 ]

参考文献

[1]孙志忠等.数值分析(第2版)[M].南京:东南大学出版社,2006.

[2]颜庆津.数值分析(第3版)[M].北京:北京航空航天大学出版社,2006.

[3]张志涌等.MATLAB R2010a教程[M].北京航空航天大学出版社,2010.

数值积分范文第2篇

关键词：弹塑性断裂 J积分 D-M模型 塑性区尺寸 数值模拟 ANSYS

中图分类号：O344.3 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2013）05（c）-0091-03

一般脆性金属材料，如铸铁等在裂纹扩展前，其端部都将出现一个塑性区。当此塑性区尺寸很小，即远小于裂纹时，线弹性断裂力学仍有足够的精度。此类断裂称为小范围屈服断裂，可以采用对线弹性力学导出的应力强度因子进行修正的方法来处理。然而对于延性较好的金属材料，如果在裂纹扩展前，塑性区尺寸已经接近甚至超过裂纹本身的尺寸，就属于大范围屈服断裂问题。此时线弹性断裂力学理论已不再适用，用应力强度因子衡量裂尖应力场强度将失去意义。这种塑性变形占较大比重的断裂问题就要用弹塑性断裂理论来解决，目前广为应用的是COD原理.J积分理论等方法[1]。其中，J积分作为一个重要的断裂参量，在弹塑性领域中能起到反映裂纹尖端应力.应变场奇异性强度的作用，因而是描述材料断裂的一个重要判据。此外J积分具有与积分路径无关的特性，它可以避开裂尖高应变区求得可靠的结果。由于在工程应用上，弹塑性断裂的J积分数值计算十分困难，有限元法便成为求解J积分一个很重要的手段。

1 基本理论与方程

1.1 D-M模型与常见参量

对于含裂纹薄板结构，加载时发现裂纹尖端的塑性区成扁平状[2]，如图（1），这就是所谓的D-M模型，即Dugdale―Barenblatt带状屈服区模型。它是一个弹性模型，把裂纹长度由原来的2a扩展到2（a+d），裂纹尖端前缘的塑性变形只集中在裂纹的延长线方向一长度为d应力为的窄长材料中，而2（a+d）外材料仍处于弹性状态。基于此模型可以较好地处理具有穿透型裂纹的板的弹塑性问题，有的学者还对D-M模型进行了研究与应用[3-4]。

J积分是Rice在讨论裂纹问题时提出来的，它避开直接计算裂纹尖端附近的弹塑性应力应变场，并具有与路径无关的特性，可作为表示裂纹尖端应变集征的平均参数。COD[5]，即张开位移，是指裂纹体受载后，裂纹尖端的裂纹表面张开的位移量。一定的COD值对应于裂纹端部的一定应力与应变场强度，即可以把COD的值用作间接度量，并用符号δ表示。J积分与COD在弹塑性断裂力学中起很重要作用，在工程中常用来作为结构安全评定的参数。

1.2 J积分解析式的求解

下面以均匀受拉的中心穿透裂纹为例，求基于D-M模型的理想弹塑性材料下J积分的解析解。分为两个步骤：（1）D-M模型下，J积分与COD的关系。（2）D-M模型下，裂纹尖端张开位移，即COD。

步骤1 J积分与COD的关系

在图（1）所示裂纹尖端取回路ABC，即围绕塑性区的一个回路求J积分。

J=

沿AB BC段dy=0 ds=dx及=

所以J= （1）

又由式（1）得J= （2）

步骤2 裂纹尖端张开位移COD

裂尖张开位移δ可以由图（2）中的（a）与（b）的COD叠加而成。

图（a）与（b）情况下的应力强度因子[6]分别为：

由弹塑性裂纹特性知，裂尖处，解得

（3）

在x=a处，图（a）与（b）的裂纹张开位移分别为

裂尖的张开位移 （4）

综上，结合式（2）（3），得 （5）

此即为D-M模型下弹塑性材料J积分解析解表达式。

2 弹塑性J积分的有限元模拟

2.1 弹塑性J积分算例

以均匀受拉的中心穿透裂纹板为计算模型，平面应力状态，几何模型如图（3）所示。2a=50 mm，2b=200 mm，2h=400 mm.材料的屈服应力Mpa，E=205000Mpa，。由对称性可取模型进行建模分析[7-8]，全模型网格划分如图（4）所示。

2.2 分析与讨论

2.2.1 J积分大小随裂纹长度的变化情况

为了方便表示，用作为裂纹长度的表征参数。取不同的裂纹长度，ANSYS分析程序给出的J积分值，并与D-M模型的解析解 式（4）进行比较，列于表1。从表中可以看出，J积分随着裂纹半长度a增大而几乎成线性增大。从误差在允许范围内知，ANSYS等有限元软件可较准确的求得J积分的值，从而为工程应用提供了方便与可行性。

2.2.2 J积分大小随外荷载的变化情况

为了方便表示，用作为外荷载的表征参数。取不同的外荷载，ANSYS分析程序给出的J积分值，并与D-M模型的解析解 式（4）进行比较，列于表1-II。图（5）示出了裂纹初始半长度a一定时，ANSYS给出的值与D-M模型解析解随外荷载的变化关系，呈非线性增大。同时发现在小于0.7时，由有限元方法计算的J积分与D-M解析解误差小于3%；当外荷载继续增大时，由于塑性区尺寸开始变得较大，见图（6），不能选择合理的J积分的路径，导致误差变得较大，需经多次选择才能找到误差小的路径。

2.2.3 塑性区尺寸随外荷载的变化情况

由3式可求出弹塑性裂纹的塑性区尺寸d=c-a ，由该式可以看出裂纹塑性区尺寸与裂纹初始半长度a及外荷载有关[9]。图（6）则给出了塑性区相对裂纹半长度的大小随外载荷的变化图，从图中可看出，当裂纹初始半长度a恒定时，外荷载增大时，塑性区尺寸也随之增加。并且接近1时，裂纹塑性区尺寸趋近于无穷大，也就是裂纹整个被塑化，此时整个板材已全面屈服，即属于全面屈服断裂问题。图（7）给出了平面应力下，不同外荷载时，塑性区的Mises屈服准则下的等效塑性应变云图。可以看出塑性区成蝶状，并且其大小随外荷载增大而增大。

3 结语

该文基于有限元软件对弹塑性裂纹J积分与裂纹长度及外荷载的关系，塑性区尺寸与外荷载的关系进行了数值分析。最后强调一点，J积分虽具有明确的理论基础和物理意义，可以作为表示裂纹尖端应力场奇异性强度的度量参数等优点。但严格地讲[3]，（1）只能适用于弹性体和服从全量理论的塑性体；（2）只能应用于二维；（3）只能适用于小变形问题；（4）只能适用于裂纹表面无荷载作用的情况。

参考文献

[1] Gross D.Bruchmechanik[M].Berlin Springer Verlag，1996.

[2] 洪启超.工程断裂力学基础[M].上海：上海交通大学出版社，1987.

[3] 李罡，李林奎，温海涛，等.基于D-M模型的研究与应用[J]. 喀什师范学院学报，2004（3）.

[4] 刘元镛，汤玄春.J积分的数值计算及Dugdale模型的弹塑性修正系数Φ的适用范围[J].西北工业大学学报，1987（4）.

[5] 郦正能，何庆芝.工程断裂力学[M].北京：航空航天大学出版社，1993.

[6] 中国航空院.应力强度因子手册[M].北京：科学出版社，1993.

[7] 赵海涛，石朝霞，战玉宝.基于ANSYS的J积分计算与分析[J]. 煤矿机械，2007（5）.

数值积分范文第3篇

关键词：数学；美学；高职；微积分；课堂设计

中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1672-5727（2013）06-0120-02

高职数学课程的性质和任务一般强调数学是一门重要的专业基础课，为学生学好专业课打下必要的数学基础，提高学生的数学应用能力，培养学生运用数学分析问题、解决问题的能力。对于数学这样一门严肃、抽象、难懂的课程，大多数高职学生感到学得困难，缺乏兴趣，使得数学教育目标的实现大打折扣。古罗马诗人贺拉斯提出“寓教于乐”。有位学者曾说：“若要把感性的人变成理性的人，唯一的路径是使他成为审美的人。”基于这种背景和思想，我们提出从数学美学的角度出发设计微积分课堂，在教学中充分利用微积分美的内容、形式，运用审美的教学手段，培养学生的数学审美能力，真正发挥数学美的作用，激发学生学习微积分的兴趣。让学生从欣赏美的角度学习微积分，体会它的体系之美、简洁之美、符号之美、无限之美，在美的潜移默化中学习微积分的精髓。同时，培养学生运用数学的思想和方法思考问题、分析和解决问题的能力和学生理性思维习惯，培养学生追求真理、不畏艰辛、勇于自我批判的人文精神，提高学生的数学素养。

数学美的表现形式是多种多样的——从数学的外在形象上观赏，她有体系之美、概念之美、公式之美；从数学的思维方式上分析，她有简约之美、无限之美、抽象之美、类比之美；从美学原理上探讨，她有对称之美、和谐之美、奇异之美等。同时，数学还有着完美的符号语言、特有的抽象艺术、严密的逻辑体系、永恒的创新动力等特点。本文以极限的概念讲解为例，谈谈如何利用美学手段诱发学生的想象力学习数学，体验数学美。

创设课堂情景美

哈代说：“数学家跟画家或诗人一样，也是造型家，概念也像色彩或语言一样必须和谐一致。”在数学课堂上利用诗歌、绘画营造出优美和谐的环境，让诗歌和绘画诱发出学生的想象力，让学生在美的潜移默化中学习抽象的数学概念。实践证明，这是一种行之有效的教学模式。现代科学研究证明，接受信息者如果同时使用听觉和视觉，接受的效果更好，并且音像信号愈强，接受效果愈好。为此，在教学过程中，教师对学生就应努力强化这些信号。工整的板书、优美的图片、设计美观的多媒体都可以在课堂上创造令人赏心悦目的环境，不但可以提高学生的学习情趣，还可以大量减少语言的使用，使学生对数学有更直观的了解。

例如，“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”——一句优美的诗配以滚滚长江的水墨画引入新一章的学习内容——极限。“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”是李白在《送孟浩然之广陵》中的名句。学生齐颂李白《送孟浩然之广陵》拉开极限学习的序幕，而学生也在诗与画中沉浸在一种和谐的氛围里。这首诗让学生在脑海中勾勒出一幅“一叶孤舟随着江流远去，帆影在逐渐缩小，最终消失在水天一色之中”的图景，这时无穷小的数学概念也就融合在这美的诗意中去了。

再如，讲解无穷大的概念时，学生不能理解无穷大的那个预设的边界“M”时，我们引用“抽刀断水水更流”来解释“抽刀断水”与“M”的神似之处。讲解完无穷大，我们用陈子昂的《登高》配以一副意味浓浓的摄影作品对其作小结。“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下”——从数学上看来，这是一首阐发时间和空间感知的佳句。前两句表示时间可以看成是一条直线（一维空间）。作者以自己为原点，“前不见古人”指时间可以延伸到负无穷大，“后不见来者”则意味着未来的时间是正无穷大。后两句则描写三维的现实空间：天是平面，地是平面，悠悠地张成三维的立体几何环境。全诗将时间和空间放在一起思考，感到自然之伟大，产生了敬畏之心，以至怆然涕下。这样的意境，让学生对无穷有了更深刻的理解。

课堂气氛和谐美

教师的教态和仪表向学生传递着课堂气氛的信息。亲切自然的教态、凝练朴素的语言、抑扬顿挫的语调，让学生感受到最直接的美学教育，让学生身心轻松地投入学习。风趣幽默的问题，在一问一答中建立起和谐的师生关系。数学课是思维的演练场，教师的任务之一就是要引导学生不断地思考，而提问是引导学生主动思维的有效手段。有人说，数学问题都是抽象和严肃的，怎么能让学生积极愉快地思考？这就关系到提问的技巧。首先，问题的表述要简单明了，语气要幽默，问题还要典型。例如，刚刚介绍完极限的概念后，提出一个问题：判断下列式子是否成立？

1=0.■

我们可以这样问：如果上式成立，1与0.■之间相差的那个数到哪里去了？由此引入极限史上的一个故事：“消逝的鬼魂”与无穷小量的产生。

故事的讲解不但让学生体会到极限是一个无穷变化的从量变到质变的过程，也体会到科学发展的曲折和艰辛，科学家永无止境的探索精神及对真理不懈追求的勇气。

数学思想深刻美

极限概念的引入是从单位圆面积的计算开始的。问题这样提出：让我们回到刘徽所处的魏晋时代，我们怎样计算单位圆的面积？学生在笑声中想象自己是刘徽，怎样来计算圆面积。

这个问题解决后，我们概括了三点内容。（1）逼近问题是一个与“变化”有关的问题。如果希望逼近一个不能直接计算的量，可以采用近似计算的技巧，而计算的精确度往往依赖于计算的次数。微积分（极限）可以解答精确度与计算次数之间的关系问题。如果增加计算次数，近似会无限接近某个数值，这正是逼近（或变化）的结果。（2）某些“量”的计算需要从变化的角度来处理，并通过“极限”过程来进行，这正是微积分的基本思想。（3）“以直代曲，逐步求精”的手段，是微积分中常用的方法。

随后，我们将这三点内容进行了拓展讲解，指出“化整为零，积零为整”就是在工作中拿到复杂的工作或任务时学会分解任务、分解难点、各个击破、再进行整合的方法。“以直代曲，逐步求精”就是在解决复杂问题时先用简单的模型代替实际问题，再逐步深入，逐步求精的方法。而这些方法可以用在我们工作的各个领域，是一种普适的解决问题的方法，从中也让学生体会到数学思想的深刻性和普适性。

数学思想是数学教学中的精华，是最能体现数学本质的东西。微积分中包含着丰富的数学思想。上面谈到的“极限思想”，“在微小局部‘以匀代非匀’，‘以直代曲’”的思想都是数学思想中的精髓。在讲授数学思想的课程中，笔者主要采用具体——抽象——具体的方法，通过典型实例引出问题，通过科学的抽象体现思想，再通过利用思想发现问题、解决问题的实例让学生领会思想。数学思想教育在培养学生创造力和独立思考问题的能力方面有着独到的价值。

数学哲学情操美

德育教育中有一种教育法叫无痕教育。无痕教育是指在教育过程中教育者通过创设有教育意义的情境和活动，既达到教育目的，又不留下让学生感到教育者在教育他们的一种方法。这种方法没有明显说理教育，而是把理寓于情境和活动之中，使学生在一种自然、轻松、愉快、美好的环境中心灵受到感化，自觉自愿地形成良好的思想品德。心理学研究表明：人们总有一种不太愿意整天被人教育的天性。前苏联著名教育家苏霍姆林斯基说过：“造成教育青少年困难的最重要的原因，在于教育目的在学生面前以裸的形式进行。”把教育目的隐藏起来，然后通过各种活动形式对学生进行“润物细无声”的无痕教育，会使学生在不知不觉中提高认识、净化心灵、规范行为。

微积分中饱含的深刻的人生哲学，对学生就是一种“润物细无声”的教育。例如，微积分讨论的连续函数绝大多数都是蜿蜒曲折的，有时上升有时下降，有极大值，有极小值。千姿百态的函数曲线像极了芸芸众生的命运，有时顺利有时曲折，有高峰时也有低谷时，这是人生的常态。所以，当我们处于人生佳境时不要骄傲，随时保持一颗谦恭之心；处于人生低谷时也不要气馁，只要我们继续努力，我们的人生曲线还能逐步上扬。

计算直线的长度比计算一条曲线的长度要容易得多。为了求得一条曲线的长度，把这条曲线无限细分，细分成若干条细小的直线，再把这些直线的长度加起来，就求得了曲线的长度。这就是学习极限时学过的“以直代曲”的思想，这也是微积分的基本思想。

我们可以将微积分的这种基本精神映射到人的一生。人的一生是在分分秒秒中度过，而这分分秒秒就是微分。人的一生不管有多长，都是这微小的分分秒秒的时间之和，这就是人生的积分。积分曲线的形态取决于微分函数。人生的积分曲线则取决于我们如何利用我们的分分秒秒——人生的微分函数。要想获得充实而有意义的人生，我们就必须抱有积极向上的人生态度，让我们在分分秒秒的努力中不断积累，收获我们丰盈的人生。

参考文献：

[1]张奠宙.微积分赏析漫谈[J].高等教育研究，2009（3）.

[2]杨忠泰.数学美学思想的历史演变[J].自然辩证法研究，2000（12）.

[3]周天良.无痕教育——有效的德育方法[J].素质教育大参考，2006（3）.

数值积分范文第4篇

关键词 高压直流输电线路 继电保护技术

中图分类号：TM773 文献标识码：A

1高压直流输电线路继电保护的影响因素

1.1电容电流

高压直流输电线路电容大、波阻抗小以及自然功率小的特征，这就给差动保护整定带来较大的影响，为了保障高压直流输电线路运行的安全性与稳定性，必须要对电容电流采取科学合理的补偿措施。此外，在分布电容因素的影响下，一旦高压直流输电线路运行出现故障，故障距离与继电器测量阻抗之间的线性关系就会发生改变，成为双曲正切函数，此时，就不能使用传统继电保护措施。

1.2过电压

高压直流输电线路在出现故障之后，电弧熄灭时间会延长，情况严重时甚至会发生不消弧的情况，在电路电容因素的影响下，两端开关不会在同一时间断开，此时，行波来回折反射就会严重影响整个系统的运行。

1.3电磁暂态过程

高压直流输电线路长，在操作与发生故障时高频分量幅值较大，这就给高频分量的滤除工作带来较大的困难，这不仅会导致电气测量结果发生偏差，此时，半波算法在高频分量的影响下准确性难以保障，此时，电流互感器也会发生饱和现象。

2 高压直流输电线路继电保护设计原则与注意事项分析

2.1 输电线路的主保护

影响输电线路主保护的因素是多种多样的，必须要根据高压直流电路的实际情况进行选择，在设计时，需要使用两台不同原理的装置，第一套保护装置可以使用分相电流差动纵联保护装置；第二套保护装置可以使用相电压补偿纵向保护装置，两套装置分别来使用不同的通道。

2.2输电线路的后备保护

输电线路后背保护是主保护的重要补充，在进行设计时，需要控制好线路两端切除故障差，配置好完整的接地距离保护与相间距离设备，距离保护特征不应该局限在四边形、圆形与椭圆形几种，可以将微机保护充分的利用起来，从根本上提升系统运行的安全性。

2.3并联电抗器保护

高压直流输电线路中并联电抗器出现故障后，线路会发出相应的命令，启动自动保护装置，此时，并联电抗器就可以充分的发挥出其作用，若故障超过了高压直流输电线路允许的标准，则需要及时将两侧断路器断开。

2.4自动重合闸

高压直流输电线路常用的自动重合闸有三相重合闸、单相重合闸与快速重合闸集中模式，具体选择哪一种模式，还需要根据具体的过电压水平进行分析，为了防止过电压操作情况的发生，在非全相情况下过电压倍数在允许标准范围时，可以使用单相重合闸，若超过标准范围，就需要使用三相重合闸。在进行设置时，需要充分考虑到线路两端的时间间隔与重合顺序，将其控制在标准范围内。

3高压直流输电线路常用的继电保护技术

3.1行波暂态量保护

如果高压直流输电线路出现故障，会出现反行波，要保障系统运行的稳定性，就需要做好行波保护工作，这也是高压直流输电线路的主保护措施。

就现阶段来看，常用的行波保护措施由SIEMENS方案与ABB方案。其中，SIEMENS是基于电压积分原理的一种保护措施，其保护启动时间为16～20 s，与ABB方案相比，该种的保护速度相对较慢，但是，抗干扰能力则优于ABB保护方案；ABB行波保护的检测原理是极波与地模波，能够检测到图变量为10 ms之内的反行波突变量，在必要的情况下，也可以使用用电压、微分启动与电流图变量几种方式来识别。

以上两种行波保护能力都较为有限，耐过渡电阻能力不理想，此外，还存在着缺乏整定依据、理论体系不严密等缺陷。为了提升行波保护的效果，学界也提出了形态学梯度技术与数学形态学滤波技术，但是，无论是暂态量保护还是行波保护，都存在一些弊端，还需要进行深入的分析。

3.2 微分欠压保护

微分欠压保护是一种基于电压幅值水平与电压微分数值的保护措施，兼具主保护与后备保护的功能，在现阶段下，SIEMENS方案与ABB方案检测的对象都是输电线路的电压水平与电压微分。其中，后者上升延时为20 ms，在电压变化率上升沿宽度未达到标准的情况下，就能够起到后备保护作用，但是其耐过渡电阻能力并不理想。

微分电压保护动作的可靠性与灵敏度要优于行波保护，但是动作速度则不如行波保护，两者都存在着灵敏度不理想、整定依据不足、耐过渡电阻能力较差的问题。

3.3低电压保护

低电压保护是高压直流输电线路的常用后备继电保护，主要依靠对电压幅值的检测来实现保护工作，根据保护对象的不同，低电压保护包括极控低电压保护措施与线路低电压保护措施，其中，前者保护定值低于后者，前者在线路发生故障时会闭锁故障极，后者在开展保护动作时会启动线路重启程序。

低电压保护的设计简单，但是缺乏科学、系统的整定依据，难以帮助技术人员判断故障的具体类型，动作速度较慢。

3.4纵联电流差动保护

纵联电流差动保护模式使用双端电气量，选择性较好，但是该种保护模式在故障发生较长的时间后才能够做出保护措施，因此，只能够用于高阻故障的诊断与切除中。由于各类因素的影响，现阶段使用的差动保护也未联系到电压变化过程与电容电流问题，很容易出现误动，虽然电流差动保护装置有着动作速度快以及灵敏度高的优势，但是这种优势却未在高压直流输电线路中充分的发挥出来，性能还有待提升。

参考文献

数值积分范文第5篇

关键词：课程设计 实践教学 课程考核

《数值分析》是信息与计算科学专业的一门必修的专业基础课。这门课主要解决各类数学问题的数值计算，是研究适合于计算机使用的数值计算方法。这门课内容丰富、研究方法深刻、有自身理论体系，既有纯数学的抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际生产生活高度结合的特点，是一门与计算机使用密切结合的课程。

《数值分析》课程设计教学时间往往只有一周，在这一周的时间内要求学生掌握大量的解决各类数学问题的算法程序，会做到实际应用，有相当的难度，所以尝试寻找改善教学的方法。

1教学中存在的问题

1.1时间短，涉及的算法多，学生接受较差

《数值分析》的内容包括方程（组）、函数逼近、计算积分、常微分方程的数值解等部分。涉及到微积分、线性代数、微分方程等多个高等数学的分支。对于每个知识点都有其相应的数值解法，对于学生来说，这些知识以前学过但印象不深，要学习其数值算法必须熟练相关的数学知识。时间短，内容多，学生接受的很差。

1.2缺乏合适的教材

数值分析是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的课程。现在使用的教材虽说在编写的时候已考虑到这个特点，不要求学生在理论上花费过多地时间，并提供了算法相应的框图，希望学生自己通过编程实现。但这些算法形式单一，内容与实际应用脱离，以至于学生无法全面理解和运用算法。

1.3考核中的问题

在考试中，传统的笔试方法同样不能真正反映出这门课的特点。如果在机房考试，会减少一天学习时间，不能完成教学任务，如果在试卷上考试，虽然允许使用计算器，但计算器的计算与数值分析算法在计算机上的实现是两码事。无法调动学生的学习积极性。其实通过本课程的学习，学生只需要掌握相应的算法就行。而考试则对计算过程、计算结果更感兴趣。

2《数值分析》课程设计教学实践与探索

为了帮助学生更好的学习《数值分析》课程设计，笔者针对存在的问题，对该内容进行了一些改革，改革的主旨是：以学生为主体，构建全新的试践教学内容和环境。

2.1实践教学观点的引入

实践教学以计算机系统为实验工具，以数学理论为实验原理，以数学素材为实验对象，以简单的对话方式或复杂的程序方式为实验形式，以机房为载体。它将数学知识、数学建模与计算机应用三者融为一体，通过实践教学使学生深入理解数学基本要领和基本知识，能通过实验达到发现问题、解决问题的目的，对数学有一个更新的认识，为数学发展开拓空间。既可以让学生熟悉常用的数学软件，培养学生较熟练地运用所学的知识，又可以锻炼学生建立数学模型，用计算机技术解决生活过程中的各种问题的技能。在实践教学中学生接触到的不再是简单的例题，而是实际的问题，学生通过建立数学模型，亲自动手设计程序，解决问题，达到学以致用的目的。

2.2优化教学内容，引入数学工具软件

《数值分析》这门课程与实际生活密切联系，那么在实践教学中就应该把它与解决实际问题和计算机的应用结合起来。传统的教学中，教学内容多以各种数值计算方法的算法实践练习为主，学生照着书上编写好的算法框架练习，既没有提高程序设计能力也没有体会到《数值分析》这门课程的真谛。笔者在实践教学中按照教学进度安排，在每节课都选择有实际背景的问题作为本节课的任务，这些问题能吸引学生的兴趣，解决他们会让学生感觉到本课程很实用，会提高学生的学习积极性。考虑到《数值分析》对计算能力、绘图能力有很高的要求，建议使用专业的数学软件。目前有很多数学软件包都能完成数学里各种各样的运算。例如使用Matlab、Mathematic等数学软件。问题的解决不仅可以深化学生对所学数值算法的掌握，还能提高学生的程序编写能力，提高学生学习其他课程的积极性和教学效果。

2.3考核方法的改革

课程设计考核与理论课的考试不一样，考试着重考核学生对理论知识的理解和掌握以及考试前的复习，而实践课的考核主要是对学生学习活动（过程）的评价，包括对学习目标、学习任务、学习态度、交互程度、资源利用和学习效果等方面。我们采用每人一题的教学和考核方法，对学生的学习过程进行监控、分析，根据每节课学生问题的解决情况和对学习过程的监控，综合给出学生考核成绩，这种考核方式能够对学生学习活动给出全面、客观的评价。公正的考核分数能够调动学生的学习积极性和兴趣，提高教学效果。

3结束语

经过两个学期的实践教学改革，学生对《数值分析》课程设计教学改革的反映良好，对所学的内容和数值算法的掌握较熟练，基本能做到解决实际问题，该课程的学习兴趣延伸到了其他学科中，为日后学生用所学知识解决实际问题奠定基础。当然，对《数值分析》课程设计的教学改革还处在尝试阶段，没有现成的经验。一切都在摸索中。至于实际效果如何，还有待更多的检验。

参考文献：

【1】任现霖，计算机数学基础（下册）一数值分析与组合数学[M].北京：中央广播电视大学出版社

【2】赵景军，吴勃英，关于《数值分析》教学的几点探讨[J].大学数学

【3】周生田，李维国.工科硕士研究生数值分析课程建设与教学改革[J].石油教

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