数值分析

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数值分析范文第1篇

关键词：数值分析；数值实验；数学建模

数值分析是一门与计算机使用密切结合的、实用性很强的课程。它内容丰富，涉及数学分析、代数、方程和泛函分析等诸多学科，研究方法深刻，有自身严密的科学系统。科学与工程中的数值计算已经成为各门自然科学和工程技术科学的一种重要手段，成为实验和理论并列的一个不可缺少的环节［1］。所以数值分析既是一个基础性的，同时也是一个应用性的数学学科，与其他学科的联系十分紧密。那么在平时的教学中，如何取得良好的教学效果呢？本文从以下几个方面进行探讨。

一、数值分析课程的教学特点

与其它纯数学理论课程相比，数值分析除了具备数学的高度抽象性与严密科学性的特点之外，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性的特点。具体来说，这门课程具有以下的教学特点：

1.知识面跨度大［2］

数值分析是数学与应用数学、信息与计算科学和统计学专业的必修课程，它广泛运用多门数学学科的知识，内容包括数值逼近、数值积分、线性代数方程组的直接解法和迭代方法、非线性方程组的计算方法、矩阵特征值与特征向量的计算、常微分方程数值计算等，涉及数学分析、代数学、微分方程、泛函分析等众多数学理论。

2.有可靠的理论分析［2］

能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。

3.注重理论与应用的结合

与传统数学课程强调理论分析和逻辑推导不同，数值分析课程更注重运用这些理论构造适合计算机执行的数值方法，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法。数值分析主要研究那些在理论上有解而用手工无法计算、必需借助计算机求解的数学问题。它的许多理论与方法本身并不是数学学科的产物，而是以“计算”为目标发展起来的。

二、教学体会

针对数值分析课程的特点，笔者认为在教学中应注重以下几个方面：

1.教学方法上注重数值思想的传授

计算方法这门课程最主要阐述的思想就是“近似计算”的思想。在实际的计算过程中，有许多问题的计算量非常庞大，简单的笔算费时费力，借助计算机可以快速解决这些问题。但由于计算机本身位数的限制，以及其它误差影响，只能进行近似计算。

（1）“误差分析”思想。由于是近似计算，那么就存在一定的误差，所以在计算过程中要分析误差、控制误差和比较误差，只有控制好误差才能找到好的近似值。误差是衡量近似计算结果好坏的一个标准，例如，在求解线性方程组直接法时，通过误差分析可以确定方程组是病态的还是良态的，只有良态的方程组才能保证解的准确性。通过分析误差可以判断算法的稳定性、收敛性及收敛速度。由此可见误差分析是非常重要的。

（2）逼近和近似思想。函数逼近是数值分析方法中的主要内容之一，许多数值方法都依赖于函数逼近的思想。如，各种插值方法、数值微分和数值积分、微分方程数值解等等。函数逼近中常常采取的各种近似，利用插值函数对数值近似处理，让学生意识到数值分析课程不是在简单地做数学练习，而是在训练通过对原问题的分析，如何利用已有的数学知识和工具去逼近和近似原来问题的解。逼近和近似思想作为一种全新的思维方式，它使学生认识到：不能解析或精确求解问题并不可怕，可怕的是不会和不敢利用已学数学知识去近似、简化原来的问题，从而获得原来问题的近似解答。

（3）“离散化”思想［6］。把求连续变量问题转化为求离散变量问题，称为“离散化”。一个连续的数学问题要实现上机计算，必须先进行离散化。在工程计算中，常常需要求解连续性问题，比如求微分方程的解。一般而言，微分方程很难找到解析解，所以数值求解微分方程是计算方法中的一个重要的内容。数值求解微分方程并不是依靠计算机给出微分方程的解析形式，而是依靠它近似给出微分方程在指定点的函数值。在引人离散化思想对问题离散后，可以采用各种数值方法来求解各点函数的值。通过离散化思想，原来的连续性问题变成了一个离散问题。离散化思想是数值计算的一个基本思想，现有的数值计算，几乎完全依赖于对问题的离散化解决。离散方法一直是数值分析研究中一个很重要的方面。

（4）“迭代”思想［5］。迭代是计算机中重要的概念，也是数值分析方法中的重要的概念。在数学建模过程中，对结果可能性的猜测可以在很大程度上帮助我们在建模方向上进行选择，使我们少走许多弯路。由于迭代方法大都只有有限的收敛区间，所以如何利用已有的信息对解进行猜测是很重要的一点，这依赖于学生在实践中能够综合运用数学分析理论和各种方法的经验。许多连续问题在转化为离散问题后，利用迭代法可以求解离散问题。

2.多媒体课件与板书相结合的教学手段［3］

使用多媒体教学方法，能增大教学容量，提高教学效率，有利于解决重点和难点问题。多媒体教学可以在一定程度上突破时间和空间的限制，充实直观内容，能够较彻底地分解知识技能信息的复杂度，减少信息在大脑中从形象到抽象，再由抽象到形象的加工转换过程，充分传达教学意图，并可以通过计算机的丰富表现手段突出教学重点。如，龙格现象可以用屏幕动态的显示在哪个区间收敛，使用多媒体教学可以帮助教师在课堂上根据学生的信息反馈，进行现场分析和答疑，以人机对话方式灵活方便地进行启发式教学。同时，精彩的多媒体课件也能激发学生的兴趣，提高学生的主动性。

数值分析范文第2篇

关键词：数值分析 课程改革 教与学换位思考

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）08（a）-0027-01

1 明确研究对象和任务，确保教与学有的放矢

数值分析是研究现代科学与工程计算中各种数学问题求解的数值计算方法，关于数值分析的国内外教材中涉及到的数学问题大致相同，主要包含线性代数的方程组求解，矩阵特征值特征向量的计算以及微积分和微分方程求解等，至于章节的顺序安排主要有两种，详见参考文献[1～2]。区别于解析解法，数值计算方法是结合计算机求解数值问题近似解的方法。所谓的数值问题[2]是指有限个输入数据（问题的自变量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之间函数关系的一个明确无歧义的描述。上述的数学问题不一定是数值问题，如求解一阶常微分方程初值问题：

，

要求得到定义于区间[0，1]的函数解析表达式，这实际上要求无穷多个输出，因而它不是数值问题。但利用欧拉方法选取合适的步长，求得个点处的函数值的近似值时，便成为了一个数值问题。

数值分析的研究对象就是数值问题，其主要任务是构造求解数值问题近似解的方法，并且利用计算机编程实现算法，最后通过误差分析判定算法的收敛性和稳定性。

2 合理利用计算机软件，让数值分析不再抽象

目前有很多《数值分析》[1]教材尝试了和计算机应用的结合，加入了计算机编程内容，融进了利用C语言或MATLAB软件实践计算方法理论的内容，也有不少同仁提出了如何搞好数值实验教学的建议[4]，对数值分析理论与实践并重的改革起到了推进作用。但是不同专业、不同层次的学生对数值分析的教学要求也不同。一般而言，学习数值分析这门课程的学生，可以区分为两部分：其一是数学和计算机专业的，他们学习的主要目标是研究和创造算法；而另一部分是工科专业的，他们学习的目的主要是使用算法。由于学习目标不同，所以教材的内容、体系及侧重点也应该有相应的差别。对于数学和计算机专业的学生，大都已经系统的学习过C语言，具备一定的独立编程能力，因此，他们的学习目标应该放在对数学算法的理解和优化上，如果只是让他们通过简单的调用MATLAB软件中现成的函数命令来实现算法，对他们的数学理解能力和编程水平的提高没有多大帮助；而对于其他大多数工科专业的学生来说，不具备一定的编程能力，若是让他们用C语言来实现算法有一定的难度，此时MATLAB却可以发挥其处理矩阵轻松，编程简洁以及容易入手等优势。这也是MATLAB适用于科学和工程计算的原因。同时，MATLAB软件还具备强大的绘图和可视化功能，可以让学生根据几何图形更直观的观察计算结果。可以达到“一图胜千言”的效果，让课堂教学不再只是冗长的数学公式和抽象的推理证明，进而调动了学生的学习兴趣。

搞好数值实验教学的重要意义在于详细地讲解数值计算方法的基本理论后，利用数学软件将实际算例的几种不同算法，符号解法及其图形和数表进行实际计算效果对比，让学生从理论和几何直观上观察同一种算法取不同参数时对计算结果的影响，比较和分析不同算法在计算同一问题时的误差大小，从而筛选出最佳算法。通过这样相对完整的科学计算过程，使学生切实体会到学有所用的乐趣。通过教学实践验证效果确实不错，越来越多的学生开始喜欢数值分析这门课程了。

3 活跃课堂教学气氛，培养学生学习主动性

许多大学生谈数学色变，在数学课堂上也不是很积极，通过观察及与学生的交流，我发现学生对于学习目标要求很低，考试能及格就满足了。还有的学生是认为数值分析这门课程很难，遇到听不懂的便望而却步了。

对于上述学生的困惑，结合自身的学习和工作经历，我给学生反馈的建议是：教与学的换位思考。教师讲课是积极主动的，而不少学生听课是消极被动的。学生听课只要听明白就可以了，甚至当堂听不懂也没关系，课下还有自学跟复习的机会。老师讲课不可以讲不明白，在站上讲台之前就必须备好课，不光要清楚所讲的知识点，还得清楚如何讲才能让学生更容易理解。这就需要老师具备更宽广的知识面，只有这样才能做到融会贯通，深入浅出。实际上，老师的备课过程也是一个学习过程，只不过较之学生要更积极更主动些，并且学习目标的定位也更高一些。综上所述，如果学生能以老师的标准来要求自己，又怎么会学不好呢！我做过这样的教学换位试验，让一位曾经觉得数值分析很难的学生提前准备一周，然后到讲台上讲解一个知识点。虽然当他第一次站上讲台，面对那么多同学说话的时候有些紧张，个别地方语言表达也不够严密，但是可以看出来他上课前的确下功夫准备了，最起码他自己对该知识点基本上掌握了，再结合老师的解释，他就会理解的更深刻。正如《为学》中所说：“学之，则难者亦易矣；不学，则易者亦难矣”。从此该学生听课也认真了，还经常跟老师探讨问题，期末考试成绩也很理想。我相信对他来说，这肯定是一次受益匪浅终生难忘的学习经历。由此可见找回自信端正态度对学习乃至工作和生活的重要性。

为师者，不仅要传其道还要解其惑。因此，我经常跟学生探讨学习心得与体会，及时了解他们在学习过程中的需求与困惑，听取他们关于教与学的意见与建议。同时我也会结合自身的体会以及诸多同仁的经验给予学生中肯的建议和满意的答复。要想让学生喜欢老师所讲的课，首先要让学生喜欢讲课的老师。所以，要想成为一名受学生爱戴的优秀老师，不光要提升自身的教学科研水平，还要站在学生的角度设身处地的为学生考虑，做学生的朋友，尽可能让枯燥的课堂教学变得如好友聊天般轻松愉快！

4 结语

数值分析作为数学基础课程的一部分，它与高等数学、线性代数等大部分数学课程又有很大的不同。数值分析既注重理论分析又注重实践应用，它强调结合计算机解决实际工程计算问题，所以它对数学建模课程及竞赛，数学软件和计算机编程语言的学习与应用，乃至对学生将来的工作和科研都有着重要而又深远的影响，因此，数值分析的课程建设和教学改革是一项值得长期关注和重视的项目。

参考文献

数值分析范文第3篇

关键词：空心墩；OpenSees；纤维梁柱单元；纵筋拔出变形；滞回曲线

中图分类号：TV331文献标示码：A

Numerical seismic analysis model for hollow reinforced concrete bridge piers

YANG Chun-xi

Tianjincommunicationarchitecturedesigninstitute

Abstract: Hollow reinforced concrete bridge piers are extensively used in highway and railway bridges. Simulation of the seismic behavior of hollow bridge piers is important to ensure the seismic safety of bridges. Based on fiber beam-column element and zero length rotation spring element, three hollow reinforced concrete bridge piers are modeled by using OpenSees software, in which the flexural and bond-slip deformation of the piers are considered. The simulated hysteretic curves are compared with test results. The results show that the simulated results agreed well with test results.

Key Words: Hollow bridge pier; OpenSees; fiber beam-column element; bond-slip deformation; hysteretic curves

钢筋混凝土空心墩被广泛应用于我国铁路、公路桥梁中，而国内外对空心墩抗震性能认识比较缺乏，开展钢筋混凝土空心墩的抗震数值模拟工作具有重要的工程意义[1]。孙治国基于纤维梁柱单元建立了钢筋混凝土空心墩滞回分析模型，详细讨论了纵筋配筋、壁厚、混凝土强度、剪跨比等因素对空心墩变形能力的影响。在此基础上设计了2个矩形薄壁空心墩试件，分别进行定轴力和变轴力下的拟静力试验，并指出使用修正的压力场理论(Modified Compression Field Theory, MCFT)计算的薄壁空心墩抗剪强度最为准确[2-3]。同时，同济大学[4]、东南大学[5]、北京工业大学[6]、长安大学[7]等单位也针对空心墩抗震问题开展了试验研究工作，对认识空心墩抗震能力提供了基础。

注意到目前国内外对空心墩抗震开展的数值模拟工作较少，本文基于OpenSees数值分析平台，考虑空心墩的弯曲变形与纵筋拔出变形，建立了3个空心墩数值分析模型，并将模拟结果与试验结果进行了对比，验证模型正确性。

1试验介绍

选择3个空心墩抗震拟静力试验结果，并以此为依据，建立了空心墩抗震数值分析模型，并通过与试验结果的对比验证模型准确性。

第1个试件选取Zahn等[8]完成的空心墩抗震拟静力试验中的Unit11试件，高度为1600mm，外径为400mm，内径为212mm，剪跨比为4.0，轴压比为0.08，纵筋配筋率为3.56%。第2个试件选取孙治国等[3]完成的薄壁空心墩试验中的定轴力试件，桥墩高度为4000mm，截面尺寸为1000×890mm，空心部分截面尺寸为860×750mm，轴压比为0.2，纵筋配筋率为1%。第3个试件选取Pinto等[9]完成的大比例尺矩形空心墩中的矮墩试件，截面尺寸为2740 mm×1020 mm，空心部分截面尺寸为2320 mm×860mm，轴压比为0.09，纵筋配筋率为0.4％。需要强调，所有桥墩试件最终均发生弯曲破坏，图1为各试件截面及配筋形式。

(a) Unit 11试件 (b) 定轴力试件

(c) 矮墩试件

图1 空心墩截面及配筋形式

2 模型建立

2.1 混凝土本构及钢筋材料模型

混凝土数值模型采用OpenSees中的Concrete01，该材料基于Kent-Scott-Park混凝土单轴受压应力-应变关系，如图2所示，k为约束效应系数，ε0为峰值应变，εu为极限应变，fc’为混凝土抗压强度。钢筋材料采用OpenSees中的Steel02钢筋模型，其应力应变模型是基于Giuffre-Menegotto-Pinto模型，骨架曲线为双折线形式。

图2 混凝土应力-应变关系

纵筋在底座中的拔出采用Zhao Jian提出的Bond_SP01[10]材料模拟，骨架曲线如图3所示，其中E为钢筋弹性模量，fy为钢筋屈服应力，Sy为屈服滑移量，fu 为极限应力，Su为极限滑移量，b为刚度折减系数。Sy计算公式如下：

(1)

式中，db为钢筋直径，α是局部粘结滑移参数，取0.4。fc’为混凝土强度。另根据经验计算可得，Su=(30~40)Sy，b取(0.3~0.5)，R取(0.5~1.0)。

图3 Bond_SP01钢筋应力-滑移骨架曲线

2.2 数值分析模型

基于OpenSees中的纤维梁柱单元和零长度转动弹簧单元建立数值分析模型，如图4所示。纤维梁柱单元用于模拟桥墩的非线性弯曲变形，将Bond_SP01材料赋予零长度转动弹簧单元，用于模拟底部纵筋拔出变形。纤维梁柱单元与零长度转动弹簧单元基于相同的纤维划分，唯一的区别是非线性梁柱单元截面内的钢筋材料使用steel02，而零长度转动弹簧单元截面内的钢筋材料使用Bond_SP01。

图4 数值分析模型

3 滞回曲线对比

数值模型考虑了弯曲变形和底部纵筋的拔出变形，图5为模拟得到的Unit11试件、定轴力试件、矮墩试件墩顶滞回曲线以及与试验结果的对比情况。

首先分析各试件承载力的对比情况，可以看出，模拟的空心墩极限荷载与试验结果吻合很好。即数值模型在承载力角度对空心墩抗震试验进行了很好的模拟。

然后分析模拟得到的滞回曲线初始刚度、卸载刚度及与试验结果的对比情况。可发现所建模型也很好的模拟了各空心墩的加载和卸载段的刚度。

最后考虑各模型模拟得到的残余位移及与试验结果的对比，可发现Unit11试件、定轴力试件模拟的残余位移与试验结果基本吻合。矮墩试件模拟的滞回曲线残余位移小于试验结果，但总体在可接受范围内。

综上可以看出，本文所建数值模型准确，可对空心墩地震反应进行较为准确的模拟分析。

(a) Unit11试件

(b) 定轴力试件

(c) 矮墩试件

图5 模拟与试验滞回曲线的对比

4 结论

基于OpenSees平台建立了3个考虑弯曲变形和纵筋拔出变形的空心桥墩抗震数值分析模型，并与试验滞回曲线进行了对比。总体来看，模拟滞回曲线与试验结果吻合较好，表明模型建立正确，并具有较高的模拟精度。

参考文献:

[1] 孙治国,王东升,李宏男,等.钢筋混凝土空心桥墩应用及抗震性能研究综述[J].交通运输工程学报,2013,13(3):22-32.

[2] 孙治国,郭迅,王东升,等.钢筋混凝土空心墩延性变形能力分析[J].铁道学报.2012,34(1):91-96.

[3] 孙治国,王东升,郭迅,等.地震作用下RC薄壁空心墩抗剪强度比较研究[J].土木工程学报.2013,46(12):81-89.

[4] 罗征,李建中.低周往复荷载下空心矩形墩抗震性能试验研究[J].振动与冲击,2013,32(8):183-188.

[5] 宗周红,夏坚,徐绰然.桥梁高墩抗震研究现状及展望[J].东南大学学报(自然科学版),2013,43(2):445-452.

[6] 杜修力,陈明琦,韩强.钢筋混凝土空心桥墩抗震性能试验研究[J].振动与冲击,2011,30(11):254-259.

[7] 崔海琴,贺拴海,宋一凡.空心矩形薄壁墩延性抗震性能试验[J].公路交通科技,2010,27(6):58-63.

[8] ZAHN F A. Design of reinforced concrete bridge columns for strength and ductility [D]. Christchurch; University of Canterbury, 1985.

数值分析范文第4篇

【关键词】岩土工程；连续介质力学；数值分析；本构理论；本构模型

1 引 言

本文首先介绍笔者对我国岩土工程数值分析现状的调查结果，然后就岩土工程分析中的关键问题，如何发展岩土本构理论和数值分析在岩土工程分析中的地位这 3 个问题提出粗浅的看法。

2岩土工程分析中的关键问题

岩土工程分析中人们常常将用简化的物理模型去描述复杂的工程问题，再将其转化为数学问题并用数学方法求解。一个很典型的例子是，饱和软黏土地基大面积堆载作用下的沉降问题被简化为Terzaghi 一维固结物理模型，再转化为 Terzaghi 固结方程求解。采用连续介质力学模型求解工程问题一般包括

下述方程：①运动微分方程式（包括动力和静力分析两大类）；②几何方程（包括小应变分析和大应变分析两大类）；③本构方程（即力学本构方程）。对一具体工程问题，根据具体的边界条件和初始条件求解上述方程即可得到解答，对复杂的工程问题，一般需采用数值分析法求解。对不同的工程问题采用连续介质力学模型求解，所用的运动微分方程式和几何方程是相同的，不同的是本构方程、边界条件和初始条件。当材料为线性弹性体，本构方程为广义虎克定律。将岩土材料视为多相体，采用连续介质力学模型分析岩土工程问题一般包括下述方程[2]：①运动微分方程式（包括动力和静力分析两大类）；②总应力= 有效应力+ 孔隙压力（有效应力原理）；③连续方程（总体积变化为各相体积变化之和）；④几何方程，包括小应变分析和大应变分析两大类；⑤本构方程，即力学和渗流本构方程。

将多相体与单相体比较，基本方程多了 2 个，即有效应力原理和连续方程，且本构方程中多了渗流本构方程。对不同的岩土工程问题，基本方程中运动微分方程式、有效应力原理、连续方程和几何方程的表达式是相同的，不同的是本构方程。对一具体岩土工程问题，根据具体的边界条件和初始条件求解上述方程即可得到解答，一般需采用数值分析法求解。从上面分析可知，采用连续介质力学模型分析不同的岩土工程问题时，不同的是本构模型、边界条件和初始条件。对一个具体的岩土工程问题，边界条件和初始条件是容易确定的，而岩土的应力-应变关系十分复杂，采用的本构模型及参数对计算结果影响极大。

采用连续介质力学模型分析岩土工程问题一般需采用数值分析法求解，有限单元法对各种边界条件和初始条件，采用的各类本构方程都有较大的适应性。土的应力-应变关系十分复杂，自 Roscoe 和他的学生建立剑桥模型至今已近半个世纪，理论上已提出数百个本构方程，但得到工程应用认可的极少，或者说还没有。从这个角度讲，采用连续介质力学模型求解岩土工程问题的关键问题是如何建立岩土材料的工程实用本构方程。

3 如何发展岩土本构理论的思考

Janbu 认为，反映作用与效应之间的关系称为本构关系，力学中的虎克定律、电学中的欧姆定律、渗流学中的达西定律等反映的都是最简单的本构关系。岩土是自然、历史的产物，具有下述特性：土体性质区域性强，即使同一场地同一层土，沿深度和水平方向变化也很复杂；岩土体中的初始应力场复杂且难以测定；土是多相体，一般由固相、液相和气相三相组成，土体中的三相有时很难区分，而且处不同状态时，土的三相之间可以相互转化。土中水的状态又十分复杂；土体具有结构性，与土的矿物成分、形成历史、应力历史和环境条件等因素有关，十分复杂；土的强度、变形和渗透特性测定困难。岩土的应力-应变关系与应力路径、加荷速率、应力水平、成分、结构、状态等有关，土还具有剪胀性、各向异性等，因此，岩土体的本构关系十分复杂。至今人们建立的土体的本构模型类别有弹性模型、刚塑性模型、非线性弹性模型、弹塑性模型、黏弹性模型、黏弹塑性模型、边界面模型、内时模型、多重屈服面模型、损伤模型、结构性模型等等。已建立的本构模型多达数百个，但得到工程师认可的极少，或者说还没有。怎么走出困境？这是我们必须面对的难题。笔者认为，对土体本构模型研究应分为两大类，科学型模型的研究和工程实用性模型的研究。科学型模型重在揭示、反映某些特殊规律，如土的剪胀性、主应力轴旋转的影响等。该类模型也不能求全面，一个模型能反映一个或几个特殊规律即为好模型。从事科学型模型研究是少数人，是科学家。工程实用性模型更不能求全面、通用，工程实用性模型应简单、实用，参数少且易测定，能反映主要规律，能抓住主要矛盾，参数少且易测定即为好模型。工程实用性模型重在能够应用于具体工程分析，多数人应从事工程实用性模型研究。研究中应重视工程类别（基坑工程、路堤工程、建筑工程等）、土类（黏性土、砂土和黄土等）和区域性（上海黏土、杭州黏土和湛江黏土等）的特性的影响，如建立适用于基坑工程分析的杭州黏土本构模型，适用于道路工程沉降分析的西黄土本构模型和适用建筑工程沉降分析的上海黏土本构模型等。工程实用性模型研究还要重视地区经验的积累。采用考虑工程类别、土类和区域性特性影响的工程实用本构模型，应用连续介质力学理论，并结合地区经验进行岩土工程数值分析可能是发展方向。

4数值分析在岩土工程分析中的地位

下面从岩土材料特性、岩土工程与结构工程有限元分析误差来源分析比较和岩土工程分析方法三方面来分析数值分析在岩土工程分析中的地位。前面已经提到岩土材料是自然、历史的产物，工程特性区域性强，岩土体中的初始应力场复杂且难以测定，土是多相体，土体中的三相有时很难区分，土中水的状态又十分复杂。岩土的应力-应变关系与应力路径、加荷速率、应力水平、成份、结构、状态等有关，岩土体的本构关系十分复杂。至今尚无工程师普遍认可的工程实用的本构模型，而采用连续介质力学模型求解岩土工程问题的关键问题是

如何建立工程实用的岩土本构方程，这是应面对的现状，也是考虑数值分析在岩土工程分析中的地位时必须重视的现实情况。

5结 论

通过对我国岩土工程数值分析现状的调查研究和上述分析，笔者对岩土工程数值和解析分析的思考意见如下：

（1）基于对岩土工程分析对象――岩土材料特性的分析，并考虑岩土工程初始条件和边界条件的复杂性，岩土工程分析很少能得到解析解，而目前岩土工程数值分析只能用于定性分析。所以，岩土工程设计要重视概念设计，重视岩土工程师的综合判断。岩土工程数值分析结果是岩土工程师在岩土工程分析过程中进行综合判断的重要依据之一。

（2）自 Roscoe 和他的学生建立剑桥模型至今已近半个世纪，各国学者已提出数百个本构方程，但得到工程应用认可的极少，或者说还没有。从这个角度讲采用连续介质力学模型求解岩土工程问题的关键问题是如何建立岩土的工程实用本构方程。

3）岩土工程师在充分掌握分析工程地质资料、了解土的工程性质基础上，采用合理的物理数学模型，通过多种方法进行计算分析，然后结合工程经验进行综合判断，提出设计依据。在岩土工程计算分析中应坚持因地制宜、抓主要矛盾、宜粗不宜细、宜简不宜繁的原则。

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数值分析范文第5篇

关键词地基承载力，塑性力学上限，最优化方法。

1前 言

地基承载力、土压力和边坡稳定是土力学的3个重要领域。这 3个问题都基于共同的极限平衡分析原理 ,可以采用相同的分析方法。但是 ,在长期的实践中 ,这 3个领域各形成了自己的体系。在地基承载力领域 ,目前常用的计算方法仍然是基于 Prandtl解的各种经验修正公式。应用塑性力学上下限原理 ,在建立地基承载力、土压力和边坡稳定分析统一的理论和方法方面作了大量的工作 ,但其有关的研究一直是在变分原理基础上进行的 ,因此 ,难以扩展到具有复杂边界和分层土体的实际工程问题中。曾提出一个基于滑楔破坏模式的分析方法 ,其普遍适用性还有待进一步论证。显然 ,只有开发数值分析的方法 ,方可使大部分实际问题方便地获得解答。

近期 ,笔者在二维领域应用塑性力学上限定理进行边坡稳定的理论研究[4 ,5]。该方法从变形协调出发 ,对于一个设定的滑裂面和斜分条模式 ,建立协调的速度场 ,根据外力功和内能耗散相平衡的原理确定相应的安全系数或加载系数 ,然后应用最优化方法 ,确定对应于最小安全系数的那个临界滑裂面和斜分条模式 (以下简称能量法 )。这一方法在精确地确定边坡稳定安全系数方面获得了成功。由于地基实际上是一个坡度为零的边坡 ,将该成果推广到地基承载力 ,是一个十分具有理论和实用价值的课题。

2极限分析法的理论基础和计算步骤

2.1上限定理的基本命题

在边坡稳定和地基承载力分析领域 ,对上限定理的描述可以用下面的命题表达(图 1):

在塑性区 Ω*,给出一个机动可能的应变场εij* ,并在滑裂面 Γ* 上给出一个相应的速度场 V*,那么,按照下式计算获得的外荷载T* 将比一个包含有真实的塑性区 Ω和真实的滑裂面 Γ的临界荷载 T大或与其相等。

∫Ωσi*jεi*j dΩ +∫vdDs* = WV* + T* V*(1)

上式左边的第一、第二项分别为塑性区内和滑裂面的内能耗散；W为塑性区土体重。因此 ,在诸多协调的位移场中给出最小的 T* 的那个一定最接近真实的临界荷载 T。

在地基承载力问题中 ,通常定义加载系数 η* 为

η* = (T * - T0)/ T0 (2)

其中T0为地基的实际承受的外荷载 ,那么上限图定理的命题具体化为寻找一个使 η* 获得最小值 η的应变场和速度场。

2．2计算内能耗散

如果材料遵守莫尔-库仑破坏准则和相关联的流动法则，则可确认沿滑面的速度V与滑面夹角为摩擦角φ，单位面积内能耗散为（图2）：

d D = (c cosφ u sinφ)v(3)

其中c为凝聚力；u为孔隙压力；V为滑块沿滑面的在单位荷载增量下产生的相对位移 ,通常称变形速率。

2.3计算多块体破坏模式协调的速度场

对某一边坡的塑性区 ,将其用一系列倾斜的线分成若干楔块 ,每一楔块都视为刚体 ,其变形速率为 V。图 3示出 3个块体的系统。 V与滑面夹角为 φ,与右边相邻块体的相对速度为 Vj ,V j与该两块体交界面的夹角为 φj。内能耗散发生于该楔块的底面和楔块间的界面 ,在刚体内为零。

根据位移协调要求 ,可以得到

1 (4)

1 (5)

其中Vl 和 Vr 分别为左侧和右侧条块的速度 ;θj =π/2-δ+ φj, θl=π+αl-φl,θr =π+αr -φr;α为底面与 x轴正向夹角 ;δ为侧面与 y轴正向夹角 ;θ为速度与正 x轴的夹角。如果将条块的宽度取为无限小 (图 4),还可通过积分获得滑面上坐标为 x的条块的绝对速度和相对速度。

V0为左端点（x=x0）的速度。在滑裂面上第k个α或φ 发生突变。上标l和代表该不连续点左和右的物理量。计算从第一个界面开始，到第 n-1个界面终止。这样，对滑面上横坐标为x的任意一点，其条块绝对速度V和条块侧面的相对速度Vj 都可表达为滑面左端点x=x0处的速度V0的函数。将获得各条块的绝对速度和相对速度代入式 (3)再代入式 (1),其中式 (1)左侧第一项可通过将Vj替代式（3）中 V获得。消去左右侧 V0 ,就可求解加载系数 η*如下。

定义

其中d W =土条重量 ;T0x, T0y分别为 T0在 x和 y轴的分量 ;L为土条侧面长度 ;η′为水平地震力系数。式 (10)最后一项计及滑面上 (n -1)个 α或φ的不连续点相应的界面上的内能耗散。由式 (2)定义的加载系数可通过下式计算 :

η* = G/Gb(12)

2.4求解临界滑动模式

陈祖煜和邵长明曾详细介绍了对传统的极限平衡法计算最小安全系数和临界滑裂面的数值分析方法。最优化方法为使用计算机搜索临界滑动模式创造了条件 ,这些研究成果可以方便地推广到本文介绍的极限分析方法中。所不同的是 ,滑动模式和垂直条分法相比 ,增加了一个土条界面倾角 δ。每一条块的 δ也将成为自由度。最优化方法将最终找到相应最小加载系数的滑裂面和斜分条模式。具体计算步骤通过下节 [例 2 ]介绍。

3验证

为了验证上述推导的正确性 ,下面通过两个例题进行分析探讨。

[例 1 ]对具有垂直表面荷载的例题 (图 5),索科洛夫斯基 ( Sokolovski , 1954)给出的临界垂直荷载 q的计算公式如下 :

的 q=c ctgφexp-2x)tgφ-1

其中 χ为边坡斜面相对水平线的夹角。相应的临界滑裂面由三段组成 ,AB , CD为直线 ,分别与边坡线和坡顶线夹角为 μ。

μ=

BC为一对数螺旋线 ,其左右边界线 BO和 CO分别与边坡线和 y轴线夹角为 μ。

当边坡处于极限状态时 ,加载系数 η=0。对 AB ,BC和 CD段分别进行积分 ,按式 (13)确

定的 q将使按式 (10)确定的 G为零。

这一实例说明 ,本文提出的上限定理的命题可通过解析解获得印证。

[例 2 ]某一坡角为 35°的均质边坡 ,其水平顶面上作用一均布荷载 ,荷载方向相对铅直

线夹角为 δ′(图 6)。根据索科洛夫斯基 (1954)提出的滑移线方法 ,此题的理论破坏面由直线 AB , CD和对数螺旋线 BC组成 , CD和 CO分别相对铅直线夹角 μ+ρ和 -(μ+ρ)。其中 μ = 45°-φ/ 2 ;ρ为大主应力相对铅直线的夹角。

主要参数 :c = 720kPa ,φ = 37°,χ = 35°,δ′= 24°,理论解提供的解答是 q =6 . 228 MPa , ρ= 28. 4°。理论的滑裂面和土条侧面示于图 6线 4。滑裂面通过联结 4个点的样条函数形成。对设定的初始滑裂面 1和相应的斜分条模式使用式 (12)求得 η3 =0127。从这个滑裂面开始 ,进行最优化方法计算最终得临界滑裂面和条间界面 (滑裂面 3 ,虚线 ),相应 η=01019。滑裂面 2是优化计算过程中通过随机搜索获得的滑裂面。如果用 5个点来模拟该滑裂面 ,则可得到 η=010028。与理论解相比 ,无论是最小加载系数 ,还是临界滑裂面和临界条间界面均十分接近。

通过 [例 2 ]说明 ,应用最优化方法可以自动找到相应最小加载系数 η的临界滑裂面和相应的斜分条模式。

4能量法在地基极限承载力计算中的推广

4．1传统的承载力计算方法

地基极限承载力的计算包括两个方面，一方面是允许位移的校核 ,另一方面是极限承载力的计算。对于后者， Prandtl于 1920年根据塑性力学理论导出了刚性基础压入无重量土中滑裂面的形状及其相应的极限承载力计算公式。由于数学上的严格解答在大部分的实际问题中是不可能得到的 , Terzaghi ,Meyerhof ,Vesic等众多学者在 Prandtl解的基础上对承载力理论进行了研究和发展 ,最终形成地基极限承载力的近似解答。这一近似解答的一般表达式为

Nγ为一半经验数据 ,可从地基规范承载力表中查取或用半经验公式 (表 1)计算 ;B为基础宽度 ;D为基础埋深 ;γ为土容量 ; qu为地基的极限承载力 ,即 T在单位宽度上的强度。

4.2能量法在地基极限承载力计算中的应用

选取宽度 B = 17m的条形基础进行计算分析 ,相应参数为 :c = 144. 5kPa ,γ=0. 0kN/ m3。这个例子针对土的不同内摩擦角 φ值进行计算。对于具有理论解的实例 ,使用式 (13)获得的 qu应保证使用式 (12)获得的 η的最小值为零。图 7示出 φ =0°和φ = 20°两种情况。使用同样的初始破坏模式如图 7 (a),应用最优化方法获得的临界破坏模式分别如图 7 ( b)和 7 (c)所示 ,η分别为 01004和 01008。计算机在搜索最小 η值时 ,准确地将中部的土条侧面收敛于地基的左侧点 ,由此将滑裂面分为 3个区域 :荷载作用下面的三角形区域 ,对应于理论上的主动 Rankine区 ;条间界面一端收敛于一点所对应的放射形区域 ,对应于理论上的 Prandtl区;放射形区域另一端的另一个三角形区域对应理论上的被动 Rankine区。 φ=0°时 ,滑裂面形状接近于圆弧 ;φ≠0°时 ,滑裂面形状为两段直线接一段对数螺旋线。这就说明 ,采用建立在塑性力学上限 解基础上的地基极限承载力数值分析方法直接获得了理论上严格的地基极限承载力解答。

表 2将一系列φ值的计算成果与理论解对比，可见成果的准确性相当稳定。所得的η值与理论值的误差均在1%左右，而且自动搜索得到的临界滑裂面形状也与理论解一致。

表2 上限数值解和理论解成果对比

注：qn和 qp分别为根据数值解和理论解获得的极限承载力 ;η= ( qn/ qp -1);q的单位为 kN/ m。

表 3比较了容重不为零情况下表 1所列的各种经验方法的准确性 ,并示于图 8。可见 W1F Chen的公式计算结果与采用 Prandtl的经验公式求得的结果最为接近 ,但是在 φ值超过 25°后 ,η值为负 ,意味着高估了地基的承载力。而 Mayerhof以及 Terzaghi的方法则偏于保守。

表 3对 γ≠0情况各种不同的经验公式和数值解成果对比

注 :下标 n,v, m,t,c分别代表数值解、采用VesicMeyerhofTerzaghi 和 W. F. Chen方法的计算成果，q的单位为 kN/ m。，

在有容重且有埋深的条件下 ,式 (15)的经验公式将基础两侧埋置深度以内的土重以连续均匀分布的荷载考虑 ,未能计及这部分土体的抗剪作用 ,因此不可避免地存在着一定的误差。