排列组合例题
前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇排列组合例题范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。
排列组合例题范文第1篇
下面我们给出容斥原理的两种等价形式，即以下的定理1和定理2，其中
表示有限集合A中的元素个数．
当k=3时，A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C．
定理2设A1，A2，A3，…，Ak是集合S的k个子集合，则
由这两个定理，我们可以解决一些需要讨论多次的题目．
用容斥原理来解题时，关键在于能否用集合语言或符号语言将所要解决的问题表示出来．
一、在排列中的应用
先来看一道老题.
某市的4个化工厂，为了降低成本，适应市场变化，合并成一个化工集团公司，公司董事会由7名董事组成.
产生的7名董事全部分到各工厂进行生产管理，每厂至少一名，有几种分法？
解析：方法一 ―― 分情况讨论
最后的分配方式有三种可能，（1）一个工厂4个，其余各1个；（2）一个工厂3个，一个工厂2个，其余各一个；（3）一工厂1个，其余各2个．
可得最后结果为CCA+CCCCA+CCCCC=8 400种．
方法二 ―― 容斥原理
将这四个化工厂命名为A1，A2，A3，A4，设B1表示工厂A1无董事派入，B2表示工厂A2无董事派入，B3表示工厂）=47－4・37+C・27－C・17+C・0=8 400．
由此可知，容斥原理主要用于多个独立条件共同作用的计数问题中．在高中数学中最常见的就是有限制的排列问题，下面，笔者列举数例．
例19个人站成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，其中甲不在第一排左端，乙不在第三排的右端，则有几种排法？（禁位排列）
解析：设A表示甲站在第一排左端，B表示乙站在第三排右端，则有A=B=A，A∩B=A，依题意有，满足条件的排法总=A－2A+A.
与容斥原理相同的思路，我们还可以得到下面几个关系式．
上述公式可以用韦恩图进行验证．
例29个人站成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，其中甲不在第一排左端，乙不在第三排的右端，丙必须站在第三排，问此时有几种排法？
解析：此题用分类讨论的方法可以得到解决，但灵活性较强． 同时此题也可以用上面所给出的公式直接求解．
方法一 ―― 分类讨论
对丙的情况进行讨论，（1）当丙不在第三排右端时，排法先排丙有A种排法，再排剩下8人，按容斥原理（同例1）可得剩下8人的排法总数为A－2A+A，则这种情况的排法总数为A・（A-2A+A）=92 880；（2）当丙排在第三排右端时，分两种情况进行讨论：①当乙排在第一排左端时，有A=5 040种排法，②当乙不在第一排左端时有A・A・A=30 240种排法． 综上，满足条件的排法有92 880+5 040+30 240=128 160种排法．
方法二 ―― 直接套用公式
设A1表示丙在第三排；A2表示甲在第一排左端；A3表示乙在第三排右端． 依题意有
二、在古典概型中的应用
因为古典概型和排列组合是一脉相承的，所以容斥原理也可以应用于概率问题． 对于独立事件来说有如下公式．
设A，B是两相互独立的事件，P（A），P（B）表示A，B发生的概率，A+B表示A或B发生，A・B表示A和B同时发生，则有
P（A+B）=P（A）+P（B）－P（A）・P（B）.
对其进行推广，当A1，A2，A3，…，An为n个相互独立的事件，则有
P（A1＋A2＋A3＋…＋An）=P（Ai）－P（Ai）P（Aj）+P（Ai）・ P（Aj）P（At）+…+（-1）n-1P（A1）P（A2）P（A3）・…・P（An），由数学归纳法可得上述结论．
和计数问题的思路一致，先将满足条件的事件写出，再套用公式即可解答概率问题．
例3甲、乙、丙三人各进行一次射击，如果三人击中目标的概率都是0.6，求
（Ⅰ）三人都击中目标的概率；
（Ⅱ）至少有一人击中目标的概率．
解析：（Ⅰ）P（A・B・C)=P（A）・P（B）・P（C）=0.63=0.216；
（Ⅱ）P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）－P（A）P（B）－P（B）P（C）－P（A）P（C）+P（A）P（B）P（C）=0.6×3－3×0.62+0.63=0.936．
例4如图1所示，电路中五个方框均为保险匣，A，B，C，D，E各个保险丝被烧断的概率分别为，，，，，且通电后保险丝是否烧断是相互独立的，则通电后不断路的概率为多少？
[A][B][C][D][E]
图1
解析：若我们设A′，B′，C′，D′，E′分别表示A，B，C，D，E不被烧断这一事件． 依题意得，P（A′）=，P（B′)=，P（C′）=，P（D′）=，P（E′）=，通电后不断路这一事件可写成（A′・B′＋C′）・（D′＋E′），由A′，B′，C′，D′，E′相互独立，则所求概率为
P［（A′・B′＋C′）・（D′＋E′）］
＝P（A′・B′＋C′）・P（D′＋E′）
=［P（A′・B′）+P（C′）－P（A′・B′・C′）］［P（D′）+P（E′）－P（D′・E′）］
=
对于可以用容斥原理及相关推论解决的题来说，先准确地写出事件，再套用公式可以避免解题中过多的讨论．
参考文献
排列组合例题范文第2篇
1 、把5个不同的小球放入5个不同的盒子（不限制盒子放球数，每盒最多可放5个）有几种不同的放法？
分析：5个小球分5次放（5步），每一个小球有5种放法。
解：有分步计数原理得
评述：本题是利用分步原理求解，模型为n个不同的球放入m个不同的盒子中（每盒可以放n个）有mn
2、把5个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子只能放一个，有几种不同的放法？
分析：本题就是5个不同的元素按一定顺序排列的排列个数，是一个典型全排列问题。
解：
3、把3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子只能放一个，有几种不同的放法？
解： 或
评述：本题是球少盒子多（元素少，位置多），可以理解为从5个不同盒子中先取出3个盒子然后将3个小球一对一的放入每个盒子即为全排列
模型：把m个不同的元素放入n个不同的对象（ ）（每一个对象只能放一个元素）其排列数为 ，其实就是对排列概念的真正理解。
4、把7个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至少放一个，有几种不同的放法？
分析：先把7个小球分成5组，再把5组（5个元素）进行全排列，分组有两类：1、1、1、1、3或1、1、1、2、2各组的组数分别为 ， 因此：N=
评述：本题是球多盒子少（元素多，位置少），且要求每个盒子至少放一个球，因此要先分组（把这些元素分成与位置一样的组）后排列；要注意写出有几类不同的分组，同时分组要注意平均分组和局部平均分组的计算方法。（这里就不展开了）。
5、若5个不同的小球放入编号为1、2、3、4、5的五个盒子，每个盒子放一个，且要求乙球放入的盒子编号要比甲小，丙球放入的盒子编号要比乙球小，有几种不同的放法？
分析：先在5个盒子中选出两个放入另外两个球有 ，剩下的3个盒子中按号从大到小放甲、乙、丙，只有一种方法。因此，N=
评述：本题对3个不同小球限制了条件。看上去有顺序限制，事实上是变成了与顺序无关的组合问题。
6、把红、黄、蓝、白、黑5个小球放入5个不同的盒子中，每个盒子只能放一个：
若要求红黄相邻，有几种不同的放法；
若红、黄不相邻，有几种不同的放法；
红球不在1号盒子，黄球不在5号盒子，有几种不同的放法？
分析：（1）把红黄两个球看作一个整体与另外3个小球进行全排列有 ，又红黄两个小球可以进行全排列 ，故N=
（2）因为另外3个小球能制造4个空档，所以先3个小球的全排列有 ，而红、黄两球的排法有 ，故N=
（3）本题可用间接法
评述：（1）（2）两题是常见的相邻与不相邻问题，分别采用捆绑法和插空法，学生应该比较熟悉。而（3）是常见的对元素（或位置）进行限制的问题。分别对两个元素限制不能排在某两个位置上的排列模型为： 或
7、3个相同的小球放入到5个不同的盒子，每个盒子只能放一个，有几种不同的放法？
分析：先从5个盒子中任取3个盒子有 种，由于放入的是相同的元素，故是无序问题，所以N= 。
评述：本题突出了球相同，说的是把相同的元素放入到不同的位置，是组合问题，是对组合概念的具体化，不过其特点是球少盒子多。（元素少，位置多）
8、把7个相同的小球放入5个不同的盒子，要求每个盒子至少放一个，有几种不同的放法？
分析：法一：先把7个小球分成5组有以下几类：1、1、1、1、3或1、1、1、2、2，元素是相同的，故第一种有 （或 ），第二种有 （或 ）N= + =15
法二：相同元素分配用挡板法，故有 =15种
评述：本题是相同小球m个放入n个不同的盒子（m>n），每个盒子中至少一个元素，用挡板法比较简练，类似的有名额分配问题。
引申：若把12个相同的小球放入5个不同的盒子，要求每个盒子至少放2个，有几种不同的放法？
分析：先在每个盒子上先放上1个小球，再将剩下的7个小球用挡板法分别放入到5个盒子中，有 =15种
排列组合例题范文第3篇
[关键词]分球入箱常规特殊
中图分类号:O29文献标识码:A文章编号:1671-7597(2009)1110003-01
排列组合问题的求解要求具备较强的空间想象能力和对问题内涵的充分理解与认识,因此,从最基础的知识入手,从不同角度对基础问题的解法进行探究,往往能够归纳总结出相应的解题思路与方法,具有较强的理论与应用价值。在排列组合问题中,分球入箱问题对综合素质的要求较高,因此也容易使得这类问题成为难点的重要原因。本文将从最基础的分球入箱题型入手,对其常规与特殊解法进行探究。
例题:将n个相同的球放入m个不同的箱子中,如果不允许有空箱,有多少种不同的方法?若允许有空箱,有多少种不同的方法?
该例题是分球入箱问题中最为基础的问题,常规解法较为抽象,对于第一问,是将n个球排列成一排,再将箱子想象成m-1个隔板,由于箱子中不能存在空箱,因此隔板之间不能存在相邻的情况,即在n个球形成的n-1个空隙中,选取m-1个空隙,将各个隔板分别插入到这些空隙当中,因此得到的结果就是一共有 种方法。而第二问的常规解法更为抽象,原理同第一问相同,但是因为允许有空箱,因此隔板可以出现任意相邻的情况,此时可以将隔板与球等同看待,将二者组成的n+m-1个物体中再插入m-1个与第一文中相同、无法相邻的隔板,从而将其分开,得到的结果是共有 种方法。
可以看到,常规解法较为抽象,直观性不强。考虑到分球入箱问题是较为基础的题型,与其他很多种题型具有较强的共通之处,因此本文认为,可以将这类问题作相应的变形,转化为另外的问题加以研究。
方法举例一:题目转型为黑白球排列问题
这种方法的特点在于,将球和隔板分别看做是不同颜色的小球,各个颜色的小球之间不存在差异,这样,分球入箱问题就转化为了相对较为简单直观的黑白球排列问题。例题中的第一个问题就转化成为有n个白球和m-1个黑球,对这些小球的排列要求不能将黑球相邻排列,且黑球不能排在首末的位置,求其排法,原理与分球入箱的常规解法相同,是将黑球分别排列于n个白球之间的n-1个空隙中,因此排法的总数为 。而第二问就转化为将所有的黑球和白球任意排列的方法总数,而解法就更为直观,即可以想象有n+m-1个空格,将所有小球排列进去,不难发现,只要将白球或黑球先进行排列,则剩余颜色的球的排列方式就将是一定的,因此若先排列白球,则方法的数量为;先排列黑球则方法的数量为,有组合数的对偶原则可以看到,二者是相等的,该题得解。
方法举例二:隔板插入法的变形
常规解法中尽管使用了隔板插入法,但是在对第二问的求解过程当中,两次插入隔板,容易造成解题过程中思路的混乱与概念混淆,因此,将隔板插入法作一个简单的变形,将隔板编号,引入隔板插入的顺序就可以解决这个问题。
该方法对第一问的解法与常规解法大致相同,将m-1个隔板插入到n个小球形成的n-1个空隙当中,但是由于不能有空箱,因此,隔板之间必须有小球而不能相邻。从n-1个空隙中选取m-1个,按照不同的顺序进行摆放,可以看到有 种方法。
而对于问题的第二问,两次插入隔板的方法略微复杂,且其过程不够清楚,对于题目的理解和解法的原理难以准确把握,因此,可以将隔板看作是与小球相同的另外m-1个小球,但是要对这些小球进行标号,因为在该问题中,可以有空箱的存在,因此无论这m-1个小球如何摆放都是可以的。此时将第一个小球插入到原有小球中时,有n+1个空隙可供选择,相应的也就有n+1中插入的方法;将第一个小球插入之后,排列的小球数量变为n+1个,可供第二个小球插入的空隙相应增加到n+2个,以此类推,可以看到,编号的小球插入的方法总数为(n+1)×(n+2)×(n+3)×…×(n+m-1)中,此时应当注意,小球原先是没有编号的,因此对于小球安放的顺序带来的方法总数的增加应当被舍去,因此,实际上得到的方法
方法举例三:分类累加法的一般规律
在分球入箱中给出数字较为具体的例题当中,分类累加法的运用较多,因为通过这种方法能够直观准确的判断各种情况发生的可能与过程,从而对解决分球入箱问题的激励有一个准确的把握。在本文的例题当中,使用n和m两个未知数可以为这类问题提供分类累加法运用的一般规律,从而解决类似的所有问题。
首先来看第一问的解答方法,将所有的小球放置到盒子里并保证每个盒子都不空,如前文所述,得到的组合数为 个,由此可以类推,使得n个球在m-1个箱子里分布且保证箱子不空的方法数有 种。分类累加法的基本原理正是假设空箱子的个数。箱子的总数为m个,因此箱子最多只能有m-1个是空着的,因此,例题第二问的实质就是求当空箱子的个数分别为0,1,2,…,m-1的时候,也就意味着除了这些空箱子之外,其他的箱子保证不空的方法数的总和,为:
根据组合数的性质可以得到,求得的N就是 。
通过本文对分球入箱问题常规与特殊解法的探究可见,这类问题的基础性较强,可以通过很多不同的角度,与很多其他方面的知识相融合进而得到不同类型的解题思路与方法,并且这些方法的侧重点不同,适于针对不同类型的学生群体进行教学,并通过这些方法的学习与掌握,提高对排列组合相关知识的掌握程度。
参考文献:
[1]夏春盛,例谈分球入箱问题的解法[J].中学生数学,2006(3).
[2]周勇俊,排列组合中分球入箱问题的几种解法[J].上海中学数学,2009(4).
作者简介:
排列组合例题范文第4篇
【关键词】排列组合 解题策略
排列组合作为高中代数课本的一个独立分支,因为极具抽象性而成为“教”与“学”难点。有相当一部分题目教者很难用比较清晰简洁的语言讲给学生听,有的即使教者觉得讲清楚了,但是由于学生的认知水平,思维能力在一定程度上受到限制,还不太适应。从而导致学生对题目一知半解,甚至觉得“云里雾里”。针对这一现象,笔者在日常教学过程中经过尝试总结出一些个人的想法跟各位同行交流一下。
笔者认为之所以学生“怕”学排列组合,主要还是因为排列组合的抽象性,那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化,我们不妨将原题进行一下转换,让学生走进题目当中,成为“演员”,成为解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣,活跃了课堂气氛,还充分发挥学生的主体意识和主观能动性,能让学生从具体问题的分析过程中得到启发,逐步适应排列组合题的解题规律,从而做到以不变应万变。当然,在具体的教学过程中一定要注意题目转换的等价性,可操作性。
下面笔者将就教学过程中的两个难点通过两个特例作进一步的说明:
1.占位子问题。例1:将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中,要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同,问有多少种不同的方法?
①仔细审题。在转换题目之前先让学生仔细审题,从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手,清楚这是一个“排列问题”,然后对题目进行等价转换。
②转换题目。在审题的基础上,为了激发学生兴趣进入角色,我将题目转换为:让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上(已准备好放在讲台前),要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同,问有多少种不同的坐法?
③解决问题。这时我在选另一名学生来安排这5位学生坐位子(学生争着上台,积极性已经得到了极大的提高),班上其他同学也都积极思考(充分发挥了学生的主体地位和主观能动性),努力地“出谋划策”,不到两分钟的时间,同学们有了统一的看法:先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学,有C种方法,让他们坐到与自己编号相同的凳子上,然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2种排法,最后根据乘法原理得到结果为2×C=20(种)。这样原题也就得到了解决。
④学生小结。接着我让学生之间互相讨论,根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案。(课堂气氛又一次活跃起来)
⑤老师总结。对于这一类占位子问题,关键是抓住题目中的特殊条件,先从特殊对象或者特殊位子入手,再考虑一般对象,从而最终解决问题。
2.分组问题。例2:从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和2个数组成五位数,问这样的五位数有几个?
(本题我是先让学生计算,有很多同学得出的结论是P×P)
①仔细审题。先由学生审题,明确组成五位数是一个排列问题,但是由于这五个数来自两个不同的组,因此是一个“分组排列问题”,然后对题目进行等价转换。
②转换题目。在学生充分审题后,我让学生自己对题目进行等价转换,有一位同学A将题目转换如下:从班级的第一组(12人)和第二组(10人)中分别选3位和2位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛,问有多少种不同的选法?
③解决问题。接着我就让同学A来提出选人的方案同学A说:先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛,有P×P种选法;再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛有P×P种选法;最后由乘法原理得出结论为(P×P)×(P×P)(种)。(这时同学B表示反对)
同学B说:如果第一组的3个人先选了3门科目,那么第二组的2人就没有选择的余地。所以第二步应该是P×P .(同学们都表示同意,但是同学C说太蘩)
同学C说:可以先分别从两组中把5个人选出来,然后将这5个人在5门学科中排列,他列出的计算式是C×C×P(种)。(再次通过互相讨论,都表示赞赏)
这样原题的解答结果就“浮现”出来C×C×P(种)。
排列组合例题范文第5篇
关键词:兴趣;气氛;积极性
中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1003-2851(2010)08-0206-01
在教学实践过程中,笔者发现排列组合问题一直是影响学生取得高分的难点之一。排列组合作为高中代数课本的一个独立分支,因为极具抽象性而成为“教”与“学”难点。有相当一部分题目教者很难用比较清晰简洁的语言讲给学生听,有的即使教者觉得讲清楚了,但是由于学生的认知水平,思维能力在一定程度上受到限制,还不太适应。从而导致学生对题目一知半解,甚至觉得“云里雾里”,影响了学生学习的兴趣。
笔者认为之所以学生“怕”学排列组合,主要还是因为排列组合的抽象性,那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化,我们不妨将原题进行一下转换,让学生走进题目当中,成为“演员”,成为解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣,活跃了课堂气氛,还充分发挥学生的主体意识和主观能动性,能让学生从具体问题的分析过程中得到启发,逐步适应排列组合题的解题规律,从而做到以不变应万变。当然,在具体的教学过程中一定要注意题目转换的等价性,可操作性。
下面笔者将就教学过程中的两个难点通过两个特例作进一步的说明:1、占位子问题例1:将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中,要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同,问有多少种不同的方法?
①仔细审题:在转换题目之前先让学生仔细审题,从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手,清楚这是一个“排列问题”,然后对题目进行等价转换。
②转换题目:在审题的基础上,为了激发学生兴趣进入角色,我将题目转换为:让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上(已准备好放在讲台前),要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同,问有多少种不同的坐法?
③解决问题:这时我在选另一名学生来安排这5位学生坐位子(学生争着上台,积极性已经得到了极大的提高),班上其他同学也都积极思考(充分发挥了学生的主体地位和主观能动性),努力地“出谋划策”,不到两分钟的时间,同学们有了统一的看法:先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学,有C 种方法,让他们坐到与自己编号相同的凳子上,然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2种排法,最后根据乘法原理得到结果为2×C =20(种)。这样原题也就得到了解决。
④学生小结:接着我让学生之间互相讨论,根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案。(课堂气氛又一次活跃起来)
⑤老师总结:对于这一类占位子问题,关键是抓住题目中的特殊条件,先从特殊对象或者特殊位子入手,再考虑一般对象,从而最终解决问题。
2、分组问题例2:从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和2个数组成五位数,问这样的五位数有几个?
(本题我是先让学生计算,有很多同学得出的结论是P ×P )
①仔细审题:先由学生审题,明确组成五位数是一个排列问题,但是由于这五个数来自两个不同的组,因此是一个“分组排列问题”,然后对题目进行等价转换。
②转换题目:在学生充分审题后,我让学生自己对题目进行等价转换,有一位同学A将题目转换如下:从班级的第一组(12人)和第二组(10人)中分别选3位和2位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛,问有多少种不同的选法?
③解决问题:接着我就让同学A来提出选人的方案同学A说:先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛,有P ×P 种选法;再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛有P ×P 种选法;最后由乘法原理得出结论为(P ×P )×(P ×P )(种)。(这时同学B表示反对)
同学B说:如果第一组的3个人先选了3门科目,那么第二组的2人就没有选择的余地。所以第二步应该是P ×P .(同学们都表示同意,但是同学C说太蘩)
同学C说:可以先分别从两组中把5个人选出来,然后将这5个人在5门学科中排列,他列出的计算式是C ×C ×P (种)。(再次通过互相讨论,都表示赞赏)
这样原题的解答结果就“浮现”出来C ×C ×P (种)。
