已知二次函数

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已知二次函数范文第1篇

例1：在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，若设花园靠墙的一边长为x（m），花园的面积为y（m2）。

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）利用（1）中求得的函数关系式，判断当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？

【简解】（1） y=- x2+20x （0＜x≤15）；

（2）错解一：因为a=－ ＜0，所以当x＝－＝20时，函数y有最大值＝200；

错解二：因为a＝－＜0，所以当x＝20时，函数y有最大值，但a＝20＞15，因此函数y不存在最大值。

【评析】以上两种错误解答，都是对求二次函数最值的认识不全面而造成的。在解答该小题时，忽视了（1）中所求的自变量的取值范围。事实上函数图像的对称轴是直线x＝20，而a=－＜0，所以当x＜20时，函数值y随自变量x的增大而增大。又0＜x≤15＜20，即自变量的取值范围在对称轴的左边，故当x＝15时，函数y有最大值等于187.5。

例2：（2008扬州市）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：

未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1= t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2=- t+40（21≤t≤40且t为整数）。下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：

（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；

（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？

【简解】（1）m=-2t+96；

（2）错解：设前20天的销售利润为P1＝（－2t＋96）（t＋25－20）＝- t2＋14t＋480，因为a＝－＜0，所以当t＝－ ＝14时，函数P1有最大值＝578。

设后20天的销售利润为P2，则P2＝（－2t＋964）（- t+40-20）

＝（t-44）2-16，因为a=1＞0，所以函数P2无最大值，故当t＝14时，即第十四天销售利润最大为578元。

【评析】与例1不同的是，本题属于分段函数，且函数P1、函数P2的自变量取值范围已经给出，需要根据各自自变量的取值范围先分别确定P1、P2的最大值，再通过对P1、P2的比较，最后确定最大日销售利润，即求函数的最大值。事实上，对于函数P1，上述结论是正确的，而对于P2，由于函数P2图像的对称轴是直线t＝44，当t＜44时，函数值P2随自变量的增大而减小，而21≤t≤40＜44，即自变量取值范围在对称轴的左边，所以当t＝21时，函数P2有最大值＝513，通过比较P1、P2的最大值可知当t＝14时，即第十四天销售利润最大为578元。

例3：（2009包头市）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量 （件）与销售单价 （元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45。

（1）求一次函数y=kx+b的表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围。

【简解】（1）y=-x+120；

（2）错解：W=（X-60）y=（x-60）（-x+120）=-x2+180x-7200，

所以，当x=- =90时，W最大值=900；

【评析】该小题与例2的不同之处是自变量的取值范围并没有直接给出，具有一定的隐蔽性。该解法就忽视了题中自变量的限制条件。事实上根据题意可得，所以60≤x≤87。又因为抛物线的开口向下，对称轴是直线x=90，所以当x＜90时，函数值随x的增大而增大，而自变量的取值范围在对称轴的左边，故当x＝87时，W有最大值为891元；

已知二次函数范文第2篇

关键词：高中数学;二次函数;数学思想;运用

1换元思想在二次函数最值问题中的运用分析

换元思想是高中数学学习中重要的思想方法之一，在对二次函数最值解答时，具有较好的应用效果，通过这种数学思想的运用可以对算式进行简化，提高答题的效率。换元思想在数学中又被称之为变量代换法，简单来说就是将数学中较为复杂的等式通过换元思想简化之后，就会变成我们日常学习中遇到的简单函数，最后运用方程式，更加快速和有效的得出函数的范围，求解出函数的最值。如：题目中已知时，对中最小值进行求解这一题目是高中数学二次函数中较为典型的最值求解，在进行解题时可以将换元思想运用到其中，找出解题的思路。首先设，根据，就可以得出，再将看做一个整体，将它的值设置为a，在将a值带入到等式中得出x=，最后在x带入到y=2x—3+中，经过整理之后得到3)1(212a++=y，这一公式中当a≥—1时，难么就表现为函数y值对着a值的增大而增大，并且函数存在最小值，即a=2时，将之带入到公式y=3)1(212a++中，得到最小值，从而完成对该题目的解答［1］。

2对称思想在二次函数求解析式中的运用分析

对高中数学二次函数的学习中，函数图像也是其中的重点内容，通过对函数图像的分析，对二次函数中函数图像的性质和变化规律以及特点进行掌握，同时还能够加深对二次函数的理解。除此之外，将函数图像运用到二次函数的求解中对开阔解题思路，提高解答效率也具有十分重要的作用，可以将抽象化的数学问题运用直观的图像进行转化，促使我们可以透过图像对其中的变化情况准确的了解。在高中数学学习中，对称思想的本质就是一种数行结合的解题思想，这一数学思想的运用主要是针对二次函数解析式问题，可以将题目中有限的条件，转化成为具有重要价值的解题思想，并且将之运用到解题当中，得出正确的答案。如：题目中已知两条抛物线21yy分别位于函数y=3822xx+−图像中，并且与x轴和y轴相互对称，求解21yy抛物线相对应的解析式。通过题目我们了解到其中没有给出与求解函数相关的信息，因此对题目中的已知条件，需要从图形关系中提到的对函数图像对称关系的函数解析式出发，解题的第一步就需要将其中提到的已知条件进行转化，并在求解函数解析式中加以运用，而求解函数解析式就需要确定函数的定点，将函数进行变形，通过整理得出y=3822xx+−=21)2(22x−−，通过顶点式可以得出函数的顶点坐标为（2，—1）。在根据题意进行分析，题目中提到的函数1y与函数y是关于x轴呈对称关系，在借由二次函数的图像可以知道，关于x轴相互对称的函数开口方向、抛物线和定点对称是相同的，因此得出1y、2y的表达式为1y=21)2(22x+−=—22xx−+38，2y=21)2(22x−+=—22xx++38。

3联想思想在二次函数不等式求解中的运用分析

联想思想在二次函数解题中的运用与换元思想和对称思想相比较对运用的要求更高，在实际学习和解题中的运用也更加的广泛。联想思想的运用主要是指在解题相关二次函数问题时，对题目中给出的已知条件，在结合相关二次函数知识，对已知条件与题目求解进行联想。这一方法在实际解题中的运用，需要我们对题目给出的已知条件进行灵活运用，得出题目中隐含的信息。这一思想方法在二次函数中应用较为广泛的是在不等式求解，通过对等式或者是不等式展开联想，实现两者之间的自由转换，提高解题效率。如：题目中已知函数f（x）=a2x+bx+c，其中a≠0，f（x）—x=0，有且只有两个解，即1x和2x，并且这两个值需要满足0<1x<2x<1。证明当x∈（0，1x）时，有x<f（x）<2x。这一题目中给出的已知条件相对较少，需要对其中提到的已知条件进行具体分析的基础上完成解答。首先题目中提到的条件f（x）—x=0，经过转换之后得到f（x）=x，通过转化之后的信息，再结合二次函数图像的特点可以得出这一图像与直线y=x在第一象限中有不同的交点，就可以将函数整理成为f（x）=ax2+(b—1)x+1=0，在结合韦达定理和0<1x<2x<1已知要求，可以得出结论（0）<f（1x），再通过二次函数图像可以证明x∈（0，1x）时，有x<f（x）<2x［2］。

4结语

通过上述内容，我们可以知道在高中数学二次函数学习中可以将换元思想、对称思想和联想思想进行运用，这三种思想也是高中数学学习的基本思想，在二次函数学习中都有不同的效用，可以针对二次函数问题的不同特性，运用与特性相适应的数学思想，可以提高解题的效率和保障解题的正确率，同时还能够培养数学思维和能力。

参考文献：

［1］纪智斌.“换元、对称、联想”思想方法在高中二次函数解题中的运用［J］.考试周刊，2014（43）：80~81.

已知二次函数范文第3篇

（一）一般式法

已知二次函数图像经过三点的坐标，求函数解析式.像这样的题型可以设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，根据抛物线所经过三点的坐标可列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c.这种题型相对比较简单，下面看例题：

例题已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图像如图所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.

分析通过图像可以看出，抛物线经过A（0，2），B（4，0），C（5，-3）三点，我们可以借助二次函数一般式求出其解析式，再转化为顶点式，得出顶点坐标.

点评可以看出这是数形结合的一道题目，通过图像可以看出抛物线所经过的三点坐标，然后设出二次函数的一般解析式，解出a，b，c.需要注意的是：如果这道题是求“图像所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围x≥0.对于二次函数的一般式和顶点式的转化，学生必须要灵活掌握，可以通过配方，也可以通过顶点式.

（二）顶点式法

已知二次函数的图像的顶点坐标（h，k），并且图像上另一点坐标，求函数解析式.对于这样的问题，我们可以设函数的解析式为y=a（x-h）2+k，将另一点坐标代入求出a.

例题已知二次函数的图像经过点（0，3），且顶点坐标为（-1，4）求这个函数解析式.

点评对于这种题型，设顶点式比较简单，但这并不是唯一的方法，也可以设一般式，代入顶点坐标的表达式，再通过代入一点的坐标列出相关等式，解出a，b，c.这种方法计算比较烦琐，不建议用，但要让学生知道一道题往往有多种方法.

（三）交点式法

已知二次函数图像上的一点坐标及x轴交点的坐标（c，0）（b，0），求函数解析式.我们可以设函数解析式为y=a（x-b）（x-c），再将另一点坐标代入求出a.

例题（2005芜湖）已知二次函数图像经过（2，-3），对称轴x=1，抛物线与x轴两交点距离为4，求这个二次函数的解析式.

分析解这类题将点的坐标与线段的长互相转化非常重要，但要注意坐标的符号，会运用抛物线与x轴的两交点坐标与抛物线对称轴的关系这块知识及x轴上两点之间的距离确定抛物线与x轴的交点，再利用交点式法求抛物线的表达式.

已知二次函数范文第4篇

关键词：实际问题 二次函数 教学设计

一、创设问题情境

如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？

分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。

如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：y=ax2（a

因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB=2（cm）；又CO=0.8m，所以点B的坐标为（2，-0.8）。

因为点B在抛物线上，将它的坐标代入（1）得-0.8=a×22，所以a=-0.2。

因此，所求函数关系式是y=-0.2x2。

请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。

二、引申拓展

问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系？

让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点、AB所在的直线为x轴、过点A的x轴的垂线为y轴建立直角坐标系也是可行的。

问题2：若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗？

分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为（0，0），B点坐标为（4，0），OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC=CB，AC=2m，O点坐标为（2；0.8）。即把问题转化为：已知抛物线过（0，0）、（4，0）、（2，0.8）三点，求这个二次函数的关系式。

二次函数的一般形式是y=ax2+bx+c，求这个二次函数的关系式，跟以前学过求一次函数的关系式一样，关键是确定a、b、c。已知三点在抛物线上，所以它的坐标必须适合所求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。

解：设所求的二次函数关系式为y=ax2+bx+c。

因为OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC=CB，AC=2m，拱高OC=0.8m，所以O点坐标为（2，0.8），A点坐标为（0，0），B点坐标为（4，0）。

由已知，函数的图象过（0，0）；可得c=0；又由于其图象过（2，0.8）、（4，0），可得到 解这个方程组得a=-0.2、b=0.8，所以，所求的二次函数的关系式为y=-0.2x2+0.8x。

问题3：根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同？

问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种方式能使解决问题来得更简便？为什么？

（第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易。）

请同学们阅读P18例7。

三、课堂练习

P18练习1.（1）、（3），2。

四、综合运用

例1.如图（略）所示，求二次函数的关系式。

分析：观察图象可知，A点坐标是（8，0），C点坐标为（0，4）。从图中可知对称轴是直线x=3，由于抛物线是轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是（-2，0），问题转化为已知三点求函数关系式。

解：观察图象可知，A、C两点的坐标分别是（8，0）、（0，4），对称轴是直线x=3。因为对称轴是直线x=3，所以B点坐标为（-2，0）。

设所求二次函数为y=ax2+bx+c，由已知，这个图象经过点（0，4），可以得到c=4，又由于其图象过（8，0）、（-2，0）两点，可以得到 ，解这个方程组得a= 、b= ， 所以，所求二次函数的关系式是y=- x2+ x+4。

五、小结

二次函数的关系式有几种形式，y=ax2+bx+c就是其中一种常见的形式。二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a、b、c。由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数。

已知二次函数范文第5篇

考点1：二次函数的对称轴

函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，a、b、c的正负将确定抛物线的开口方向；对称轴位置，对称轴两边函数随自变量的变化情况；顶点坐标及与y轴交点的位置，抛物线在坐标平面内平移与顶点式y=a（x-h）2+k的变化关系。这些函数的性质，不仅要记忆而且要理解和会运用。例1：抛物线y=x2-2x+1的对称轴是（ ）

A.直线x=1 B.直线x=-1

C.直线x=2 D.直线x=-2

另一种方法：可将抛物线配方为y=a（x-h）2+k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=（x-1）2，所以对称轴为x=1，应选A。

图形的性质、判定、函数的性质，在复习时，要做好基础知识的理解，加强记忆、理解和运用，。在具体问题中，会根据条件判断出图形具有什么特征，可以由这些特征确定求对称轴思路。 考点2：二次函数的最值问题

大家知道，对于二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）（其中h为函数图像顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标）来说，当a>0时，顶点（h，k）为图像的最低点，即当x=h时，y的值最小，最小值为k；当a

解：配方得y=x2-2x-3=（x-1）2-4.

顶点坐标为（1，-4）

该二次函数的最小值为-4.

另外，如果二次函数在一个实际问题中求最大最小值，除了考虑顶点坐标外，还要考虑自变量的端点值。

考点3：二次函数的平移问题

例3 若抛物线y=a（x-h）2+k向下平移一个单位后，再向左平移3个单位，所得到新抛物线的顶点坐标为（-2，0），且a+h+k=4.求原抛物线的解析式。

解析：抛物线平移，主要抓住顶点的平移，由于平移中a不变，只要变动顶点就行了.对于这类已知平移后的顶点坐标，求原顶点坐标的问题，采用逆推法更易获解。

原抛物线顶点坐标（h，k）向下平移1个单位后为（h，k-1），再向左平移3个单位后为（h-3，k-1）。依题意，得h-3=-2，k-1=0，所以h=1，k=1.又a+h+k=4，所以a=2。所以y=2（x-1）2+1，即y=2x2-4x+3。

二次函数平移，不改变二次函数的开口方向和大小即二次项系数a不变，只改变顶点的位置，所以先求原抛物线的顶点，通过配方转化为y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，其图象可以由y=ax2（a≠0）经过适当的平移得到。

考点4：求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点

在初中二次函数教学中，数形结合思想方法得到进一步渗透并被广泛运用。学生从类似“一元二次方程ax2+bx+c=0的实根和二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交点的关系”、“二次函数y=ax2+bx+c的图象分布情况与一元二次不等式ax2+bx+c>0（或ax2+bx+c

解：由x=0得y=-3，所以抛物线与y轴交点坐标为（0，-3）。由y=0，得4x2-11x-3=0可以求得所以抛物线与x轴交点坐标。

考点5：用待定系数法求二次函数的解析式

用待定系数法求二次函数的解析式是我们求解析式时最有效的常规方法，常见的有一般式、顶点式、交点式（或两根式）等方法，选用恰当的方法求二次函数解析式，常能简化计算，达到又快又准的效果。学次函数必须掌握二次函数的三种表达形式：一般式y=ax2+bx+c，交点式y=a（x-x1）（x-x2），顶点式y=a（x-h）2+k。在具体问题中要根据问题中条件，结合二次函数的图象与性质及其它综合知识，选择恰当方法，就可能比较容易的解出二次函数的解析式，达到又快又准的效果。

例5：已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于点B（1，0）、C（5，0）两点，求此抛物线的解析式.

思路点拨：由于已知三点，所以本题可以采用一般式求抛物线的解析式.但考虑到已知与x轴交点，所以用交点式更简单.

解：设此抛物线为y=a（x-x1）（x-x2）。（a≠0），则x1=1，x2=5。