函数值域

前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇函数值域范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。

函数值域范文第1篇

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域.

例1求函数y=3+2-3x的值域.

点拨根据算术平方根的性质，先求出2-3x的值域.

解由算术平方根的性质，知2-3x≥0，

故y=3+2-3x≥3.

所以函数的知域为［3,+∞).

点评算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性.

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法.

二、配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例2求函数y=x2+x+2的值域.

点拨将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求.

解由y=-x2+x+2,可知函数的定义域为x∈［－1，2］.

此时-x2+x+2=-(x-12)2+94∈［0,94］.

所以0≤-x2+x+2≤32,函数的值域是［0,32］.

点评求函数的值域不但要重视对应关系的应用,更要注意定义域对值域的制约作用.配方法是数学的一种重要的思想方法.

三、判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域.

例3求函数y=2x2-2x+3x2+x+1的值域.

点拨将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域.

解将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0.（）

当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)(y-3)≥0，

解得2

当y=2时,方程（)无解.所以函数的值域为(2,103］.

点评把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负实数，可求得函数的值域.常适应于形如：y=ax2+bx+cdx2+ex+f及y=ax+b±cx2+dx+e的函数.

四、中间变量法

若函数只含x2项或只含sinx,cosx项，可借助x2≥0,0≤|sinx|≤1（有界性）解决.

例4求函数y=x2+4x2-1的值域.

解由y=x2+4x2-1得x2=y+4y-1.又由x2≥0得y+4y-1≥0，解得y≤-4或y>1.所以函数值域为(-∞,-4］∪(1,+∞).

五、图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域.

例5求函数y=|x+1|+(x-2)2的值域.

点拨根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象.

解原函数化为y=-2x+1

3

2x-1(x≤1),

(-1

(x>2).

作出它的图象（略）.

显然函数值y≥3,所以，函数值域为［3，+∞）.

点评分段函数应注意函数的端点.利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想.是解决问题的重要方法.

求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域.

六、单调性法

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域.

例6求函数y=4x-1-3x(x≤13)的值域.

点拨由已知的函数是复合函数，即g(x)=-1-3x，y=f(x)+g(x),其定义域为x≤13，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域.

解设f(x)=4x,g(x)=-1-3x(x≤13),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-1-3x

在定义域{x|x≤13}上也为增函数，而且y≤f(13)+g(13)=43,因此，所求的函数值域为｛y|y≤43｝.

点评利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域.

七、换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域.

例7求函数y=x-3+2x+1的值域.

点拨通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域.

解设t=2x+1(t≥0),则x=12(t2-1).于是

y=12(t2-1)-3+t=12(t+1)2-4

≥12-4=-72.

所以原函数的值域为［-72,+∞).

函数值域范文第2篇

关键词：三角函数;值域;求法

一、可化为y=asin(ωx+φ)+b(ω>0)型

例1 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的值域.

解： y=1-cos2x2+sin2x+3·1+cos2x2

=sin2x+cos2x+2

=2sin(2x+π4)+2

y∈［2-2,2+2］

二、可化为二次函数

例2 求y=3+cosx-2sin2x的值域

解： y=3+cosx-2sin2x=2cos2x+cosx+1

因为cosx∈［-1,1］,所以y∈［78，4］.

三、反解法

例3 求y=3cosx+42cosx-1的值域

解: 因为2ycosx-2y=3cosx+4

所以（2y-3)cosx=2y+4.

所以cosx=2y+42y-3.

|cosx|=|2y+42y-3|≤1

解得： y∈(-∞,-13］∪［7,+∞)

四、当式子中同时含有sinx±cosx,时，常使用换元法

例4 当x∈［0,π］,求y=sin2x+sinx-cosx的值域.

简解:sinx-cosx=t=2sin(x-π4)∈［-1,2］

所以2sinxcosx=1-t2

所以y=-t2+t+1∈［-1,54］

五、配对法

例5 已知：sinx+siny=1，求cosx+cosy的范围.

cosx+cosy=t (1)

sinx+siny=1(2) 两式平方相加得：

2cos(x-y)=t2-1∈［-2,2］

所以t∈［-3,3］.

六、三角函数也是函数，所以其他一些函数值域的求法对于求三角函数的值域照样适用

如分离常数法：

例6 若cos2x+2msinx-2m-2

简解：整理得：2m>sin2x+1sinx-1，

sinx-1=t∈［-1,0)

所以2m>t+2t+2，因为(t+2t+2)max=-1.

所以m>-12.

巧用“对比法”解题

江苏靖江季南初中(214523)  陈一平

对比法：把两个或两个以上的事物进行比较，找其共同点与不同点的进行解题的方法.对比法是最基本的思维，也是解题方法.它有时会使思维、解题一清二楚，直接明了.

例1 横河九年级物理兴趣小组的同学在研究“沙子和水谁的吸热本领大”时，选用了两只完全相同的酒精灯分别给质量都是200 g的沙子和水加热.他们绘制出沙子与水的温度随加热时间变化的图象如图1所示. 已知酒精的热值是3.0×107 J/kg，水的比热容4.2×103 J/(kg·℃)，加热时酒精灯平均每分钟消耗0.8 g酒精.那么请问：

(1)图中a图和b图哪个是沙子吸热升温的图象?为什么?

(2)请根据图象说出水在受热过程中温度变化的特点.

(3)加热满2 min时,水吸收了多少热量?

(4)给水加热持续了10 min时间,共消耗了多少酒精?这些酒精如果完全燃烧将放出多少热量?

(5)试求出沙子的比热容.

图1解：(1) 图a表示的是沙子吸热升温的过程，因为沙子的比热比水小，吸收相同热量时沙子温度升得多.

(2) 水在受热过程中温度变化呈先快后慢，至沸腾时温度保持不变的特点

(3) Q吸=c·m·Δt=4.2×103 J/(kg·℃)×0.2 kg×(70 ℃－20 ℃)=4.2×104 J

(4) m=0.8 g×10=8 g

Q放=mq=8×10-3 kg×3.0×107 J/kg

=2.4×105 J

分析：其中（1）（2）（3）（4）解题如上，不再多赘.

（5）的解题部分同学解题如下：

取t=2 min，Q沙吸=Q放=mq=1.6×10-3 kg×3.0×107 J/kg=4.8×104 J

C沙=Q沙mΔt=4.8×104 J/0.2 kg×(250 ℃-20 ℃)=1043.5 J/(kg·℃)

理由是：根据图象、题意，取t=2 min，Q放=mq，酒精燃烧放出的热量可以求出，放出的热量是供沙子升温的，且题目没有给出沙子吸收的热量是酒精燃烧放出的热量的百分比，那沙子吸收的热量就等于酒精燃烧放出的热量.所以解题如此.如果我们采用“对比法”，就会正确找到沙子在t=2 min内吸收的热量了.

共同点：①沙子与水的质量都是200 g；②两只完全相同的酒精灯同时加热.

不同点：①加热对象分别是沙子、水； ②图象中可以看出在相同时间内沙子与水升温不同

再根据苏科版物理九年级上P41的信息快递：如果加热方法完全相同，就可以认为单位时间内物质吸收的热量相同.取t=2 min，就很快找到沙子吸收的热量等于水吸收的热量4.2×104 J了，这个热量小于1.6 g酒精燃烧放出的热量4.8×104 J.题目的难点就会突破，解题也就豁然开朗、水落石出了.

函数值域范文第3篇

关键词： 函数 定义域 值域 值域的求解方法

设 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 ，其中 叫做自变量。 的取值范围 叫做函数的定义域；与 的值相对应的 的值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。其中函数的值域是一个较复杂的问题，又是高中数学中的一个难点。总体来讲，求函数的至于要注意以下几点：（1）值域的概念，即与 的值相对应的函数值的集合 ；（2）函数的定义域。当题目中未明确给出函数的定义域时，应先求出函数的定义域，在定义域的范围内求函数的值域；（3）函数的单调性。求函数的值域时，常常借助函数的最值来求解，而求函数的最值时，对函数的单调性的讨论往往是必不可少的；（4）函数的解析式。在求函数的值域时，往往要根据所给函数的解析式的形式，使用相应的方法。具体常用的求函数值域的方法如下：

（1）观察法

对于一些简单的常见的函数，通过观察就可以求出其值域。例如我们熟悉的一次函数的定义域是 ，值域也是 ；反比例函数 的定义域为 ，值域为 。

（2）配方法（或公式法）

（3）换元法

（4）分离常数法

（5）利用函数的单调性求值域

例5. 求函数 的值域

解：由题可知函数的定义域为 ，因为 和 在 上均为增函数，故原函数为 上的增函数.所以 ，故原函数的值域为

（6）利用函数的最值求值域

对于区间上的连续函数，利用求函数最大值和最小值来求函数的值域。

总之，同学们在学习的过程中应多注意积累，善于总结，从而在求解函数值域的问题中，才能迅速找到求解此类问题的比较简单且合适的方法。

函数值域范文第4篇

我们知道，单调性是函数的重要性质，只要了解了一个函数的单调性，就可求出其值域. 同样，了解了一个函数的单调性，即可作出函数的大致图象，由图象法求其值域. 因此，这两种方法均可作为求函数值域的通法. 只是对于单调函数来说，作图已经没有必要，直接由单调性法求值域更为轻松；而对于非单调函数来说，虽然也可由单调性法解决，但图象法往往更为简单. 因此，笔者认为，可将判断函数的单调性作为思维的起点，将作出函数的图象作为思维的终点，而将换元法和导数法作为沟通起点或终点之间的“使者”，以此来构建函数值域问题的思维路线. 具体步骤为：首先判断函数y=f（x）（x∈D）在D（可以是函数的定义域，也可以是定义域的某个子区间）上是否单调，若是，则用函数单调性法求解；若不是，对于基本初等函数或通过换元可转化为基本初等函数的复合函数，用图象法解决，而对于无法通过换元转化为基本初等函数的复合函数，则先用导数判断单调性，然后再由图象法求解. 下面笔者先介绍有关方法，然后举例佐证.

1. 函数单调性法求值域的依据

（1）若函数y=f（x）在区间D=[a，b]（a

（2）若函数y=f（x）在区间D=[a，b]=[a，c]∪[c，b]（a

函数值域范文第5篇

函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误的。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得： 故函数关系式为：．

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：即函数关系式为： （）

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生的思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：

例2：求函数在[－2，2]上的最值．

解：

当时，

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。

其实以上结论只是对二次函数在R上适用，而在指定的定义域区间上，它的最值应分如下情况：

⑴ 当时，在上单调递增函数；

⑵ 当时，在上单调递减函数；

⑶ 当时，在上最值情况是：

，．即最大值是中最大的一个值。

故本题还要继续做下去：

函数在[－2，2]上的最小值是－ 4，最大值是3．

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。

函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，值域也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例3：求函数的值域．

错解：令故所求的函数值域是．

剖析：经换元后，应有，而函数在[0,+∞)上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1．

故所求的函数值域是[1, +∞）．

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。

函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域上进行。如：

例4：指出函数的单调区间．

解：先求定义域： 函数定义域为．令，知在上时，u为减函数，在上时，u为增函数。又函数在上是减函数，在上是增函数。即函数的单调递增区间，单调递减区间是。