数学归纳法
前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇数学归纳法范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。
数学归纳法范文第1篇
1.知识目标
(2)会用数学归纳法证明等式和不等式。
2.能力目标
通过对数学归纳法的复习、应用,培养学生分析问题的能力和严密的逻辑推理能力。
3.情感目标
(1)通过对数学归纳法原理的复习探究,培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难、勇于探索的精神。
(2)让学生通过对数学归纳法原理的理解,感受数学内在美的震憾力,从而使学生喜欢数学。
(3)学生通过质疑与探究,培养学生独立的人格与敢于创新精神。
教学重难点
1.重 点
(1)理解数学归纳法的原理。
(2)明确用数学归纳法证明命题的三个步骤。
(3)会用数学归纳法证明等式和不等式。
2.难 点
(1)对数学归纳法原理的理解,即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。
(2)假设的利用,即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。
教学方法:
通过多媒体师生互动讨论、探究的方法
教学过程:
一、创设情境,启动思维
让学生复习教材,同时探究下面的三道小题,从而达到温故而知新的目的。
二、讨论交流,深化认识
1.用数学归纳法证明“2n>n2+1对n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取 5 。
注意起始值的验证,因为它是递推的基础。
2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”时,下列过程中正确的个数是 ②③ 。
①验证n=1时成立,由“n=k(k为正奇数)时命题成立”推出“n=k+1时命题成立”;
②验证n=1时成立,由“n=k(k为正奇数)时命题成立”推出“n=k+2时命题成立”;
③验证n=1时成立,由“n=2k-1(k为正整数)时命题成立”推出“n=2k+1时命题成立”;
④验证n=3时成立,由“n=2k+1(k为正整数)时命题成立”推出“n=2k+3时命题成立”;
3.对于不等式1,n∈N*),某学生用数学归纳法的证明过程如下:
(1)当n=2时,
(2)假设n=k(k>2,k∈N*)时,不等式成立,即
=
故当n=k+1时,不等式成立.上述证法是否正确,若不正确请指出。
Ⅰ归纳假设不能脱离递推的基础。
Ⅱ一定要运用归纳假设。
Ⅲ注意证明步骤的完整性。
三、典例解析,巩固提高
例1.已知n∈N*,用数学归纳法证明:
1-+-+…+-=++…+.
证明:(1)当n=1时,左边=1-=,右边,等式成立;
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,即有:
1-+-+…+-=++…+.
那么当n=k+1时,
左边=1-+-+…+-+-
=++…++-
=++…+++-
=++…++
=右边;
所以当n=k+1时等式也成立.
综合(1)(2)知对一切n∈N*,等式都成立.
思维点拨:仔细观察欲证等式的结构特征,在第二步证明当n=k+1时向目标式靠拢是关键.
例2.用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数n,不等式(1+)(1+)…(1+)>成立.
证明:(1)当n=2时,左=1+=,右=,左>右,
不等式成立.
(2)假设n=k(k≥2,且k∈N*)时,不等式成立,即
(1+)(1+)…(1+)>
那么当n=k+1时,
(1+)(1+)…(1+)=1+>•
=
=>
==
n=k+1时,不等式也成立.
由(1)(2)知,对一切大于1的自然数n,不等式都成立.
例3.求证:对一切大于1的自然数n,1+
证明:(1)令f(n)=1+++…+,
当n=2时,原不等式成立;
(2)设n=k(k∈N*)时不等式也成立,
即1+≤1+++…+,
则当n=k+1时,
f(k+1)=1+++…+≥1++++…+>1++=1++=1+
即n=k+1时,命题成立
综合(1)(2)可得:原命题n∈N*对原不等式成立。
思维点拨:证明当n=k+1时向目标式靠拢时注意增加的项数,同时要注意需要逐项放缩。
四、反思感悟(师生共同完成)
注意“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”;
从n=k到n=k+1时,变形方法有因式分解、添拆项、配方、放缩等方法。
五、课后练习
1.设f(n)=1+++…+,是否存在关于正整数n的函数g(n),使等式f(1)+ f(2)+…+f(n-1)=g(n)•f(n)-1对于n≥2的一切自然数都成立?证明你的结论。
2.用数学归纳法证明:
++…+
3.思考:例2能不能利用其他方法去证明。
数学归纳法范文第2篇
一、数学归纳法的结构――演义与归纳的辩证统一
如果把特征的命题简记为，则数学归纳法证题的一般步骤是：（1）证明：真；（2）证明：S（k）真?圯S（k+1）真；（3）结论：真。
图示为：S（k）真?圯S（k+1）真
S（1）真?圯S（n）真
纵观全过程，这是一个“个别―特殊―一般”的推理形式，完全合乎归纳推理程序。从这一层面来讲，它是归纳的。
但是，这个“从S（1）真到S（n）真”并不能靠归纳本身完成，否则就会成为“不完全归纳法”。它将经由这样的程序：假设S（k）真（S（1）真为这个假设奠定了基础），然后经过合乎逻辑规则的推理，最后得出S（k+1）真，这正是一个确定的结论的演绎的证明。从这一层面来讲，它又是演绎的。
所以，把这种证题方法叫做数学归纳法，较能体现归纳中有演绎、演绎中有归纳、归纳与演绎辩证统一的关系。而其中起关键作用的是演绎――正是靠了演绎，结论的正确性得到以从自然走向必然。我们认为，数学归纳法的本质是归纳―演绎的，而演绎是其灵魂。数学归纳法是由递推基础“S（1）真”和递推根据“S（k）真?圯S（k+1）真”协同作用实现其证明的美妙而独特的数学方法。
二、教学中应注意的几个问题
1.注重不完全归纳法的地位。
数学归纳法有着不同的侧面。作为纯粹证题方法的“数学归纳法”与作为教学对象的“数学归纳法”，二者并非一回事。一般教法比较失策的一点是：为了引入数学归纳法，不惜牺牲不完全归纳法，只强调不完全归纳法“不可靠”的一面，而忽略它在作出“新发现”中起作用的一面。在教学中我们从不完全归纳法开始，利用“问题―发现”式教学，其程序大致是：
（1）问题：S（n）=1+3+5+…+（2n-1）=?
（2）列表：1=1
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
如果必要尚可多列出一些（或配合以图形）。
（4）证明：用数学归纳法，示范讲解，提出数学归纳法及其解题步骤。
（5）讲练：初步入门就迅速转入练习（包括讲解例题），使学生在教师指导下，通过讲练达到能懂、会用，明白道理。
2.递推关系是数学归纳法的灵魂。
在数学归纳法教学与解题过程中，中心而困难的一个环节是：“证明：S（k）真?圯S（k+1）真。”
问题表现在：
（1）不懂得对于每个具体的题目，如何将S（k）、S（k+1）真具体化。这在学习初期表现突出。对此，要耐心地进行“解疑”和“启蒙教育”。
（2）不懂得经由怎样的中间步骤实现“S（k）真?圯S（k+1）真”。解决这个问题没有一成不变的办法，原则是创造条件，利用归纳假设，针对具体题目（即一凑假设，二凑目的）。有时需要充分利用几何直观和试算猜想，其思维特点是直觉的或者归纳的；有时则需要从结论出发进行逆推。而分析法用于数学归纳法证题，亦有讲究。3.防止思维混乱，避免“假证明”。
数学归纳法证题训练中，学生往往不知不觉地认为：（1）假设S（k）真，不也是假设了S（k+1）真吗？S（k）与S（k+1）只是S（n）中n取k与k+1，它们没有区别，所以关于“S（k）真?圯S（k+1）真”的证明是走形式。（2）假设S（k）真不就是假设S（n）真吗？k与n都代表自然数，只是符号有别，命题S（k）就是命题S（n），假设它真还证什么？如上述种种错误理解，极易引起学生的思维混乱，甚至导致数学归纳法“可靠性”的怀疑。而另有一些同学则喜不自胜，以为数学归纳法全是走过场，作业中便会自觉或不自觉地出现一些“假证明”。为此，在教学开始时应讲清楚数学归纳法的原理，在证题训练中让学生完全理解并规范约束学生的证题思路，使他们由不自觉到自觉，真正领会数学归纳法，会用数学归纳法。
数学归纳法范文第3篇
让我们来做一个游戏，这个游戏曾在中央电视台演播过，不妨称为“摆砖游戏”。我们把很多很多砖块按照“前砖碰倒后砖”的规格来摆放，从教室摆到操场，再摆到公路上，再摆到香港，再摆到外国……，甚至可以没完没了的摆下去。那么，我们只要推倒第一块砖，就能把所有的砖块全部推倒。这个游戏有两个条件：第一，要推倒第一块砖；第二，砖块必须按照“前砖碰倒后砖”的规格来摆放。显然，这两个条件缺一不可。如果缺少第一个条件，就会有砖没有被推倒(至少第一块砖没有推倒)。如果缺少第二个条件，“碰倒过程”就会中断，就会有很多很多砖块没有推倒。
从上面的“思维游戏”启发我们得出一个处理与自然数有关问题的方法：(1)
处理第一个问题(相当于推倒第一块砖)；(2)验证前一号问题与后一号问题有传递关系(相关于前砖碰倒后砖)，这时主角亮相了。数学归纳法是可靠正确的推理方法。介绍了数学归纳法之后，师生共同参与，按以下设问进行教学：
1．第一步骤是递推的基础，第二步骤是递推的依据。若二者缺一将会出现什么问题呢?能举出实例来吗?
2．完成第一步骤后，在第二步骤中，假设n=k时的结论正确，这样的k值是否存在呢?证明N=K+1时结论也正确，是否起着“传递性”的作用?
3．第二步骤中，如果不使用N=K时结论正确这个条件，直接证明N=K+1时结论正确，是否还是数学归纳法呢?或者说比数学归纳法更好呢?
4．第一步骤中，证明N取第一个值结论正确，这第一个值从哪里取起呢?
5．第二步骤中，在使用N=K时结论正确的前提下，可以用哪些方法来突破N=K+I时结论正确这一关呢?(如：演绎法、分析法、反证法等)。
6．数学归纳法是针对n∈N而言的．那么N取非自然数时，是否也可以呢?
针对学生在概念的学习中容易出现的问题：错误理解、认识肤浅、似是而非、掌握不牢等现象，教师要精心创设情景，优化教学手段，以达到对概念的理解、认识到位，对概念的掌握准确、牢固、灵活之目的。同时，行之有效地培养了学生思维的批判性和深刻性。
数学归纳法范文第4篇
常见错误之一：初始值代入出错。
例如：用数学归纳法证明， n边形对角线的条数为■ （n≥3，且n∈N）
证明:（1）当n=1时，一边形不存在，对角线就不能确定为多少条。此时，将n=1代入对角线的条数表达式中有，对角线的条数为■=-1，至此，数学归纳法的第一步无法完成。
（2）假设当n=k时，命题成立 。如图，即k边形 A1A2A3…Ak的对角线的条数是■。
于是当n=k+1时，多边形为（k+10）边形A1A2A3…Ak+1，比k边形多一个顶点Ak+1，图中画出了增加的对角线，分析知，增加的对角线的条数是点Ak+1与点A2 A3…Ak-1 的连线（有k-2条连线）和点A1与点Ak的连线。共增加了[（k-2）+1]条。
（k+1）边形A1A2A3…Ak+1的对角线总条数为■+[（k-2）+1]=■=■。故当n=k+1时，命题成立。
根据数学归纳法原理知命题成立。
以上例题证明的第一步是初始值代入出错应取n=3时进行验证:显然当n=3时，三角形没有对角线，将n=3代入对角线的条数表达式中有■=0，命题成立。再结合证明的第二步，就是此例的完美的数学归纳法的证明。
上述例题说明，利用数学归纳法证题的第一步n0（初始值）取值未必都是1，即它的取值应是结论有意义的最小正整数。因此，证题前要认真审题，确定是n∈N还是 n≥n0（n∈N）。
常见错误之二，不符合数学归纳法证题的原则。
例如，用数学归纳法证明：
3+7+11+……+（4n-1）=n（2n+1） （n∈N）
证明：
（1）当n=1时，左边=3，右边=3，所以当n=1时命题成立.
（2）假设当n=k时命题成立，即
3+7+……+（4k-1）=k（2k+1）
当n=k+1时， 3+7+……+（4k-1）+（4k+3）=■（k+1）（4k+3+3）=（k+1）（2k+3）=（k+1）[2（k+1）+1]
所以当n=k+1时命题成立。
根据（1）、（2）可知，等式对一切n∈N成立。
上述利用数学归纳法证题的第二步没有用到归纳假设，其推理过程不是在归纳假设的基础上实现的，第二步的正确证明方法是：
假设n=k时命题成立，即
3+7+……+（4k-1） = k（2k+1）。
则当n=k+1时，3+7+……+（4k-1）+ （4k+3）=k（2k+1）+4k+3=2k2+5k+3=（k+1）（2k+3）=（k+1）[2（k+1）+1]
即当n=k+1时命题也成立。
这里指出：用数学归纳法证题的两个步骤缺一不可，尽管有的与正整数有关的命题用其他方法也可以觖决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行证明，特别是在第二步证明中对归纳假设“设而不用”，那就不正确。
不符合用数学归纳法证题的原则要求，因而证明不算数学归纳法。
常见错误之三：没有严格的逻辑推证。
例如，用数学归纳法证明：
■+■+……+■=■（n∈N）
证明：（1）当n=1时，左端■=■=右端，等式成立。
（2）假设n=K时，原等式成立，即：■+■+……+■=■，于是当n=k+1时，有■+■+……+■=■，故n=k+1时，原等式成立。
根据数学归纳法原理知等式对一切n∈N均成立。
上述证明从表面上看与数学归纳法相符合。而数学归纳法原理的第2步是保证一系列命题——“传递性”成立的关键，必须给予严格的证明。但此例证明过程中的第2步形式套用数学归纳法原理的第2步，没有给予严格的逻辑推证，因此不符合数学归纳法原理的要求。
常见错误之四：错误理解归纳假设。
例如，已知n个正数a1、a2，……，an且a1·a2，……，an =1，试证：a1+a2+……+an≥n。
证明：（1）n=1时，显然有a1≥1。
（2）假设n=k时，命题成立，则n=k+1时， a1·a2……ak ak+1=1， a1，a2……ak+1中必有一个不小于1，不妨设ak+1≥1，于是 a1+a2+……+ak+ak+1=a1+a2+……+ak+1，由归纳假设 a1+a2+……+ak≥k， a1+a2+……+ak+ak+1≥k+1，故当n= k+1时，命题成立。
根据数学归纳法原理知，对一切n∈N原命题成立。
上述证明过程表面上看起来没有什么问题，但是第2步的证明过程中所用归纳假设的结论a1+a2+……+an≥k是有条件的，必须 a1·a2……ak=1，而 a1·a2……ak ak+1=1及ak+1≥1并不能保证a1·a2……ak=1，从而未必有结果a1+a2+……+an≥k成立，而此题的第2步在推理过程中正应用了这个不可靠的结果，因而证明错误。
常见错误之五：由n= k表达n= k+1时表达式之间关系出错。
例如，用数学归纳法证明：
■+■+■+……+■＞■（n≥2）
在数学归纳法的第2步的证明中，若设f（n）=■+■+■+……+■，则f（k+1） =■+■+■+……+■= f（k）+■，从而正确地证明结论。产生以上错误的原因是未能把握f（n）右式中各项间规律，右式是一个数列若干项的和，每项的分子均为1，分母是以2为首项，1为公差的等差数列。
数学归纳法范文第5篇
关键词： 拉姆塞定理；归纳法公理；演绎法
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2012）02-0160-02
数学归纳法是一种十分重要的数学方法，应用此法可以解决很多难题，下题是图论中著名的拉姆塞定理的特殊情形。
给出平面上n个点，每两点连接一条边，得到C2n 条边；这n个点和C2n条边构成n阶完全图kn，把kn的边染色使得每条边都要染色，而且只能染红色或蓝色，对于如何异于1的自然数p,q,无论kn的边怎样染色，n至少应该多大，才能使染色的结果必有一个全部边都是红色的Kp或者有一个全部边都是蓝色Kq？如果这个最小数存在，就记为R(p,q). R(p,q)叫拉姆塞数。
这个著名定理的证明用的就是数学归纳法。
数学归纳法是一种十分重要的数学方法，它的根据使归纳法公理，若数集N包含1，而且若自然数k∈ N,则必定有k+1∈ N,那么N就是自然数集。数学归纳法的实质是演绎法，而不是归纳法。
应用数学归纳法证明某一命题P，第一步，检验初值，n=1时，P成立。第二步，提出归纳法假设，设对于某个n值，P成立，证明n+1时P亦成立，通过两次证明，就证明了不论n为任何自然数，P成立。
例1：对怎样的自然数n，以下不等式成立:
(A)2n2n+1 (1)
(B)2nn2 (2)
解：（A）若n=1，2
若n=2，4
若n=3，8>7，（1）成立。（初值为3，不是1）
假设有某个整数n≥3，使（1）成立。（归纳法假设，往证2n+1>2(n+1)+1）
2n+1=2×2n=2n+2n>2n=2n+2n+1=2n-2+2(n+1)+1，
当n≥3时，2n-2>0，2n+1>2(n+1)+1
即n+1时，（1）亦成立 （第二步证明）
依数学归纳法，当n≥3时，（1）式成立
（B）令n=1，代入（2）知（2）成立。
分别令n=2,3,4，代入（2）知（2）不成立。
令n=5，代入（2）知（2）成立。（5为初值）
假设有某个整数n≥5，使（2）成立，（归纳法假设，往证2n+1>（n+1）2）
2n+1=2×2n=2n+2n>n2+2n>n2+2n+1 （依（1））
故2n+1>(n+1)2，即n+1时，（2）亦成立，依数学归纳法，n≥5时 ,(2)成立，故知使（2）成立的n值为1和大于或等于5的一切整数值。
数学归纳法的第二步假设有某个命题成立，论证n+1亦使命题成立，这是基本形式。可以把假设改为：有某个n∈ N，使对于一切小于或等于n的自然数，命题成立，如下例：
例2：设S=x+1x ，求证xn+1xn 必可表为S的多项式（n为任何自然数）
证明：若n=1，1x=s，命题成立。
假设有某个n∈ N，使对于≤n的一切自然数，命题成立，（这是归纳假设，即假设1x ，x2+1x2 ,…，xn+1xn 等式都可以表示为S的多项式，论证xn+1+1xn+1 也可以表示为S的多项式）因为，xn+1+1xn+1 =（xn+1xn）（x+1x ）－（xn-1+1xn-1 ）,依归纳法假设，xn+1xn ,x+1x ,xn-1+1xn-1 都可以表示为S的多项式，故 xn+1+1xn+1也可以表示为S的多项式。依数学归纳法，证得不论n为任何自然数，xn+1xn 必可表为S的多项式。上面证法的推导过程可用图表示如下：
1(1 2)(1,23)(1,2,34)(1,2,3,45)… … …
图上显示可以得到任何自然数。
从上例，可见题目求证的公式或有确定的表达形式，应用数学归纳法解决问题的困难不是很大。否则，既要找到表示形式，又要用数学归纳法证明结论，那就困难的多了，而且主要的困难在于前者，即探索结论的表示形式，如下例：
例3：设平面上有n条直线，每2条直线必相交，而且无3条直线共点（简称为在一般位置）分平面为a2(n)个部分，求a2(n)。
探索：若平面上没有直线，只有整个平面a2(0)=1，若平面上有一条直线，分平面为两部分，a2(1)=2，若平面上有两条直线相交，分平面为4个部分，a2(2)=4，若平面上3直线在一般位置，分平面为7部分，a2(3)=7，考虑到7=C03 +C13 +C23 （Crn 表n物取r的组合数，且有补充定义 C03=1，C00 =1，以及 Crn=0，若r>n），而且1,2,4分别表示为：
a2(0)=1=C00 +C10 +C20
a2(1)=2=C01 +C11 +C21
a2(2)=4=C02 +C12 +C22
因而可以猜想，
a2(n)=C0n +C1n +C2n （1）
以下用数学归纳法证明（1）
证：若n=0，（1）成立。
假设有某个非负数n使（1）成立（这是归纳法假设）往证：
a2(n+1)=C0n+1 +C1n+1 +C2n+1 （2）
平面上在一般位置的n条直线分平面为a2(n)个部分，添加第n+1条直线，构成在一般位置的n+1条直线。这条第n+1条直线与原n条直线有n个交点；这第n+1条直线被分为n+1段，每一段把原来n条直线所分出的一部分分为2部分，既增加一个部分，故第n+1条直线使原来a2(n)个部分添加n+1个部分，因此：
a2(n+1)=a2(n)+n+1
因为n+1=1+n=C0n +C1n
且依（1）
a2(n+1)= C0n +C1n + C2n+C0n +C1n
=C0n+(C1n +C0n)+(C2n +C1n )
=C0n+1 +C1n+1+C2n+1
这就是(2)，故依数学归纳法，不论n为任何非负整数，（1）恒成立。
以上两个例子使用第一归纳法证明的；还有一种证明方法叫第二数学归纳法：如果关于自然数n的某个命题P(n)具备如下条件：
(1)P(1)真；
(2)k∈ N,n
在数学归纳法证明中，试验P(1)成立是归纳法的基础，第二步P(k)P(k+1)是前一个命题真得出后继命题真的依据，这两步缺一不可，只有在这两步都完成后，才能根据第一、第二归纳法得出n ∈N，P(n)真的结论。
以上介绍的是数学归纳法在初等数学中的应用，其实数学归纳法作为一种严格的推理方法，也广泛应用于高等数学的证题中。
如引入中有关图论问题的拉姆赛定理的证明。
证明：因为红蓝两色可以对换，故若R(p,q)存在，则必有R（p,q）=R(q,p) （1）
若p=2，k2就是一条边，这就是红k2，否则，如果没有红边，既全部边都是蓝色的，kq就蓝kq，
故R(2,q)=q （2）
图（1）
依(1)可知
R(p,2)=p （3）
考虑p=3，q=3的情况，可以证明k3的边染色，不能保证必有一个红k3（三角形），或者必有一个蓝k3，如图（1）（红边为实边，蓝边为虚边）所示，染色的结果既没有一个红三角形，也没有一个蓝三角形。但可以证明k6的染色，一定会有一个红三角形，或者有一个蓝三角形，如图（2），设P为顶点，P与另外5个顶点连接为5边，染色之后，（A）可能至少有3条红边，即至多有2条蓝边，（B）也可能至少有3条蓝边，即至多有2条红边，对于（A），设PA，PB，PC三边都是红边，若ABC有红边，设为AB，则PAB为红三角形；若ABC无红边，它就是蓝三角形，对于（B）只需把（A）的证明中红蓝两色对换，便得出了必有红三角形或必有蓝三角形的结论。总之不论k6的边怎么染色，必有一个红三角形或必有蓝三角形，故R(3,3)=6。
这是数学归纳法用于图论中的例子。
图（2）
下面再看数学归纳法用于高代的例子。
例4：设V1，V2，V3，…，Vs是线性空间V的s个非平凡的子空间，证明：V中至少有一个向量不属于V1，V2，…，Vs中的任何一个。
证明：对s用数学归纳法。
当s=2时，因为V1是非平凡子空间，故存在α V1，如果α V2，结论成立；如果α ∈V2，则由V2也是非平凡子空间，故存在β V2，若β V1，则结论已成立；若β V1，则
α V1，β∈ V2，α∈ V2，β V2 ①
于是用反证法可证α+β V1，α+β V2，事实上，若α+β∈ V1，又β∈ V1，这与①矛盾，
故α+β V1，同理证明α+β V2。
故当s=2时，结论成立。
假定对s-1个非平凡的子空间结论成立，即在v中存在向量α，使α Vi，i=1，2，…，s-1，对第s个子空间Vs，若α Vs，结论成立；若α ∈Vs，则由于Vs为非平凡子空间，故存在β Vs，于是对任意数k，向量k*α+β Vs（如果kα+β∈ Vs，β=（kα+β）-kα∈ Vs与β V1中s矛盾），且对于不同的数k1，k2，向量k1α+β，k2α+β不属于同一个Vi（1≤i≤s-1）（如果k1α+β，k2α+β属于同一个Vi，则（k1α+β）-（k2α+β）=（k1-k2）α∈ Vi，得α∈ Vi与α Vi矛盾）。
令取s个互不相同的数k1，k2，…，ks，则s个向量
k1α+β，k2α+β，…ki-1α+β，ksα+9β
至少有一个不属于V1，V2，…，Vs-1，这样的向量即满足要求。
综上所述，数学归纳法是十分重要的数学证明方法，仔细体会本文中例题，熟悉数学归纳法的用法和证明技巧。要抓住数学归纳法中关键步骤：（1）验证n=1时结论正确；（2）假设当n=k时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确，两个步骤缺一不可。
参考文献：
[1] 《中学数学研究》华南师大数学系《中学数学研究》编辑部 2001.1.10出版 总第229期
