莫比乌斯带

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莫比乌斯带范文第1篇

说教材

四年级学生对身边的事物有强烈的好奇心和求知欲，并有一定的操作能力。依据学生的心理特点以及认知发展规律，笔者确定如下的教学目标：①学会制作莫比乌斯带，了解莫比乌斯带性质以及在生活中的广泛应用。②初步体验“观察、猜想、验证”解决问题的方法，培养动手操作能力。③开拓学生数学视野，感受数学的神奇与价值，激发对数学学习的兴趣。

教学重点：学会制作莫比乌斯带，了解莫比乌斯带的性质。

教学难点：培养学生空间想象能力。

教学准备：多媒体课件，正反两面颜色不同的长方形纸条，剪刀，双面胶，记录表。

“做数学”的过程

新课标指出：教师是学生学习活动的组织者、引导者与合作者。因此在本节课中，我主要采取设疑诱导法，引导发现法，鼓励学生大胆猜想，动手实践得出结论，并用教育信息技术手段进行辅助教学，使学生更好的了解莫比乌斯带在生活中的应用。

新课程提倡和凸显“自主、合作、探究”学习，鼓励学生在玩中学、做中学、合作中学。在本节课中主要运用动手操作法，自主探究法，让学生独立思考，合作交流“做数学”的过程，从中发现莫比乌斯带奇异的性质。

环节设计

为了有效地实现教学目标，突出教学重点、突破难点，笔者设计了以下环节：

情境引入，激发兴趣 新课开始，笔者出示微视频《聪明的执事官》，询问同学们：这位聪明的执事官是用什么方法让小偷得到惩罚呢？这张小小的纸条里到底隐藏着什么奥秘？这样在短时间内激发了学生学习的兴趣，带着疑问进入本节课的学习，也由此板书课题“莫比乌斯带”。

揭晓谜底，动手操作 在学生思考，说说自己的想法后，笔者现场演示莫比乌斯带的制作过程，并展示结果：“农民应当放掉，小偷因当关押”，让学生初步感受莫比乌斯带的神奇，激发学生进一步探究学习的兴趣。

接着质疑：莫比乌斯带是谁发明的？有什么特性？究竟应该怎样制作？让学生带着问题观看微课视频“莫比乌斯带的由来和制作”。学生观看视频后，组内交流并汇报，教师适时板书。在确保学生都知道如何制作莫比乌斯带基础上，让他们开始动手实践，制作一个莫比乌斯带。在学生自己动手操作时，教师要及时巡视指导，确保每位学生都会做莫比乌斯带，才能顺利进行下面的教学。

接着带着学生一起感受一下莫比乌斯带的特性。让同学们拿出莫比乌斯带，用手沿着它的边走一走，感受莫比乌斯带只有一条边，再让学生拿出笔沿着莫比乌斯带中间的线画一画，感受它只有一个面。

通过这一环节，学生自己动手操作，感受莫比乌斯带的一条边一个面的奇异特性，亲身经历将实际问题抽象为数学模型，并进行解释与应用的过程，让学生从中获得数学学习中的乐趣。

仔细观察，应用生活 笔者先让学生联系生活，找一找在哪里见过莫比乌斯带。学生汇报后，教师用课件展示生活中的莫比乌斯带：一是过山车。不少游乐园里过山车的轮套是莫比乌斯带状的，并且动画演示过山车轮套的运动路径，提醒学生要学会仔细观察生活中的事情。二是莫比乌斯爬梯。这个爬梯也只有一个面，所以我们爬在这个爬梯上会不会不知不觉爬到底，让学生多运动的同时留心观察周围的事情。三是传送带。让学生思考得出把传送带制成莫比乌斯圈形状可以避免普通传送带单面受损的情况，使得其寿命延长了整整一倍。四是垃圾回收标志。引导学生感受标志中莫比乌斯带循环往复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义。

在这一环节，笔者根据小学生年龄特征和认知规律，充分发挥多媒体课件的直观作用，化抽象为具体，呈现了“莫比乌斯带”的内涵美，拓宽了学生数学视野。

小组探究，展示作品 为了继续让学生感受莫比乌斯带的神奇，笔者让学生大胆猜想用剪刀沿着莫比乌斯带的二分之一线、三分之一线或者是四分之一线一直剪下去，会有什么结果？并引导学生动手操作进行验证。此时课件出示探究要求，让学生有序进行合作探究。最后小组汇报并展示作品后，教师引导学生回顾：发现在探究过程中我们往往先是提出猜想，然后通过自己动手进行验证，寻找答案，我们学习过程也是如此。

这一环节，教师引导学生不仅动脑想，还要动手做，在培养学生的空间想象能力的同时，培养学生解决问题的能力，掌握一定的学习方法，使学生更好地理解数学、运用数学，促进学生全面和谐的发展。

莫比乌斯带范文第2篇

2、古希腊哲学家亚里士多德（Aristotle,公元前384-322）认为，无穷大可能是存在的，因为一个有限量是无限可分的，但是无限是不能达到的。

3、12世纪，印度出现了一位伟大的数学家布哈斯克拉（Bhaskara），他的概念比较接近理论化的概念。

4、将8水平置放成∞来表示无穷大符号是在英国人沃利斯（John Wallis,）的论文《算术的无穷大》（1655年出版）一书中首次使用的。

莫比乌斯带范文第3篇

关键词：小学数学；实验教学；教育观念；教学方法

在小学数学课程改革的热潮中，要求我们数学教师时刻以新课程理念为指导，自觉改变教育观念，创造性地使用教材，大力改进教学方法，着力改革学习方式，努力促使学生得到全面、持续、和谐的发展，这是我们每位小学数学教师现行素质教育下的一大使命。下面就结合自己的教学经历谈几点自己的拙见。

一、突出实验教学，促进学生理解

苏霍姆林斯基说：“人的内心深处有一种根深蒂固的需求；希望自己是发现者、研究者、探索者。在儿童的精神世界里，这种需求特别强烈。”在小学数学教学中我们要为学生提供实验教学的探究素材，在数学实验中真正实现“做数学”，并在“做数学”中获得知识、形成能力。如“圆锥体的体积”一课，为了避免学生学习圆锥的体积后，在实际运用公式时容易把圆锥的体积=等底等高圆柱体积的三分之一中的三分之一遗漏。所以，在教学中我更突出了本课的实验教学，把学习的主动权交给了学生，让每个学生都经历“提出猜测―设计实验―动手操作―得出公式”的自主探究学习的过程，课堂上我让学生拿出自己课前准备好的两个等底等高的圆柱和圆锥，深入实践，用自己的学具验证自己的猜想，学生到操场上用圆锥装满沙子，倒入自己的圆柱中，看看几次可以装满。在我适当的引导下，让学生根据自己的设想自由探究等底等高的圆锥体和圆柱体体积之间的关系、圆锥体体积的计算方法。学生在实验教学中加深了对圆锥体和圆柱体等底、等高圆锥体体积才是圆柱体体积的三分之一的理解。

二、注重实验教学，丰富学习经验

充分的活动是生命成长的历程。小学数学教学中，学习比较抽象的问题或者操作性比较强的知识时，要注重实验教学，给学生提供充分的活动、参与的机会，并让学生在实验教学中自主探索、合作交流。如，在“用排水法求不规则物体的体积”的教学中，为了能让学生认识、验证，并应用排水法测量不规则物体的体积，我深知任何一个设想都应该通过亲身的实践去验证才能得到结论，才能加以应用。因此实验教学更是本节课的一大重点，只有学生在实验教学中亲自动手，才能更好地理解“水面上升空间的大小即浸入水中物体体积”，进而感悟“转化”的数学思想，因此在科学实验室中我给学生准备了量杯和西红柿。在教学过程中，我首先要求学生用自己的学具去尝试探究，学生能够用通过观察两次量杯中水的刻度变化得出西红柿的体积，很好理解用放入物体之后的水面刻度减去放入之前的水面刻度，就能得出被测物体的体积。在理解了排水法求不规则物体之后，我还给学生提供一个大的长方体容器，在没有刻度的情况下想办法也求出西红柿的体积。学生对于问题解决更加感兴趣了，小组内展开了讨论，在交流中发现很多学生能够测出长方体容器的长、宽、高，以及量出前后两次水面的高度，最后求出了西红柿的体积。在整个数学实验教学过程中，学生由“想象―观察―实验―再实验”得到更深层次的理解，首脑并用，合作交流，成为数学知识问题解决的探索者。这样的数学学习，使学生不但丰富了生活学习经验，能够使他们的创新意识、实践能力得到更好的培养和发展。

三、强化实验教学，放飞学生心灵

学生的数学学习应注重强化学生主动进行观察、实验、猜测、推理交流等数学活动。现如今的数学学习中，我们不仅要关注学生的学习生活经验，更要通过强化实验教学来丰富学生的经验，帮助学生从形象思维向抽象思维过渡，从而达到再现数学发现过程，给学生足够的时间和空间去实验教学，让学生积极参与到知识技能的建构过程中。如“神奇的莫比乌斯带”一课，这一节数学活动课对于我们来说是比较新奇的，从未接触过，对于学生更是陌生，在教学参考书中更是少有介绍，而在教科书中有一句建议：“让学生了解莫比乌斯带。”很多教师在教学中就布置学生自己回去看，没有重视本课的教学，而我在本课的教学中强化了实验教学，通过设计3个活动环节：（1）做莫比乌斯带，并验证它只有1条边和1个面；（2）沿二分之一线剪开并猜想可以剪成什么形状，再动手验证；

莫比乌斯带范文第4篇

柏拉图 (Plato 427-347 BC.)或者说苏格拉底-柏拉图是西方哲学的一个里程碑，这正象孔子 (551-479 B.C.) 或者说老子-孔子是中国思想（参见论中国思想）的一个里程碑一样，我们虽然不是把一切都归功于他们，但是他们集成性地代表了两种哲学的开端和基础，直至今天我们仍未充分地认识他们的意义。对于西方哲学界来说，柏拉图和亚理士多德 (Aristotle 384—322B.C.)代表了西方哲学的不同的倾向，这和老子与孔子的关系相似，虽然亚理士多德是柏拉图的学生，他们的分歧所暗示的意义也未得到充分的理解，而且人们似乎没有注意到在孔子和柏拉图之间存在同样重要的或许是更深刻的关联，尽管孔子和柏拉图在历史上没有任何联系，但历史却以一种超越时空的方式揭示了这样一种互补性的关联的存在。本文不是从他们各自的学说上具体地讨论他们的异同，而只是把他们作为代表来探讨东西方文化思想在起源上的关联。

1． 理念与形式

柏拉图的“理念” (idea，eidos)具有多重含义，但基本地不是直接地指语言表达的概念，这个工作是由亚理士多德发展的，柏拉图的理念最核心的意义是理想或典范，是指事物的空间形式的存在，所以在他那里理念与形式同义，这由他的著名的床的比喻 (理想国10) 可以清楚地看出，事物的理念就是事物的完美的抽象形式，而不是事物之间的抽象关系，这是理解柏拉图的理念的一个要点。

理念就是绝对的形式，床的理念除了仅仅是完美的形式外，不具有任何物理性质，这种特征正与几何形式的纯粹性一样，比如作为几何元素的平面是没有厚度的，即没有经验的具体性质，因此纯粹的空间形式就是绝对性的理念，但它不是几何画法中的图形，这正如柏拉图所说的画家也只是对具体事物的模仿一样，绝对的几何形式通过几何图形而被表达，理念通过思想而被“回忆”，这就给没有感性性质、不能看到、不可捉摸的理念带来可见的阳光，光的比喻在柏拉图的对话中是重要的，这是他遗留给西方哲学和神学重要的财富之一。具体的事物只是由于“分有”了理念而成为了可以感觉到的真实，工匠只是按照理念而制造具体的床。具体事物是千差万别、经常变化的，而理念是事物完全的、纯粹的、永不发生变化的形式，因此也是绝对的、永恒的，正是在这个意义上，理念具有本体意义，是一种超验的“存在”，柏拉图还没有本体与存在相区别的理解，理念的超验性是不可理解的，它只能存在于灵魂中，正是基于这一点，灵魂因理念而不朽，这就是柏拉图灵魂不朽论的真正基石。永恒而必然的知识的本质就是理念，在这个意义上知识是绝对的，因此作为真理的知识是先于一切经验的超验存在，因此知识就是对理念回忆，学习无非就是回忆，这就是柏拉图的知识回忆理论。柏拉图以理念奠定了西方哲学的基础，而他所遗留的问题即理念作为概念的表达——共相也是西方哲学二千多年来迄今为止消化不了的公案。

2． 形式的流变

柏拉图的形式理念最终没有得到清晰的展开和表达，虽然柏拉图以对话的方式反复辩论，最关键的问题是比喻无法清晰地表达理念与真实的事物之问的过渡——“分有”，事物的理念可以在思想中被想象（回已），但无法用形式自身表达身与现实世界的关系，柏拉图认为，画家和诗人也只是模仿具体的事物，不能表达理念自身。空间形式的表达是由几何学实现的，虽然西方的几何学在古代就有了充分的发展，但那只是静止的几何学（平移变换的欧氏几何），远没有达到对流变的形式的认识。柏拉图虽然可以从其它的希腊先哲中吸取关于事物的变动不居的思想和几何知学的知识，而且也有对几何形式、事物属性的变化和空间之间复杂关系的模糊认识 (蒂迈欧篇) ，但他产生没有形式流变的思想，更说不上有效的形式流变的表达方法，他始终在形式与概念之间徘徊。一直到近代拓扑几何中才有了对形式流变的发现和研究，这首先就是著名的莫比乌斯带 (Mobius strip)，因德国数学家Ferdinand Mobius (1790-1868)而得名。取一根纸带将其两端扭转180度粘接起来就是一个莫比乌斯带：在每一个局部纸带上都有两个面 (阴与阳)，但对于整条纸带来说却只有一个面，它简单而神奇地将阴与阳合二为一！（参见附图）如果用一根可以任意拓扑变形的管子代替纸带，我们仍可以实现这种容器内外(阴阳)面的粘合，但是不能把管子两端用翻转内面的方法粘接起来，那样只能得到一个像轮胎一样的空心环，我们必须把管子的一端从管子从它自身穿入后再将两端粘合，这就是只有一个面的克莱因瓶Klein bottle ，因德国数学家Felix Klein (1849=1925) 而得名。

莫比乌斯带和克莱因瓶只是作为拓扑几何的著名范例而被充分研究，作为几何图形的性质它们是清晰、间单、甚至是优美的，但人们对它的所表达的事物性质却迷惑不解，几乎所有的数学家，哲学家，爱好者都对它的性质着迷，但难于理解这种简单的几何图象所表达的神秘性质：两个面如何是一个面？一个面又如何是两个面？它们是从形式的流变中的揭示了几何学的哲学，用几何学的方法表现了最深刻的哲学原理，这种西方哲学和几何学所未充分了解的秘密却在古代中国思想家中得到了充分的领悟。如果我们把莫比乌斯带和克莱因瓶进一步进行抽象的综合，即去掉它们的空间性质，我们可以得到一个更加抽象的思想图式，它就是中国太极图 (见附图) 。它抽象地表达了存在于一切事物之中的绝对性质——阴与阳和它们的统一，这就是古老的中国理念“道” 和“易”。“知其白，守其黑，为天下式，常德不忒，复归于无极。”(老子：第二十八章) 太极图和老子的这段话的对应性令人惊叹，这不是图形和语言的牵强附会，而是理念的一致。莫比乌斯带和克莱因瓶表现了阴阳的流变统一过程，但却没有产生表达这种思想理念的结果，因为西方哲学中缺少这种理念，中国哲学有这种超越的思想理念，但是没有清晰的表达方法，因为中国古代缺少充分发展的几何学，只能用简单的图式表达最透彻的哲学思想，这不是图式的神秘，而是思想自身所具有的透视性的深邃性。借助于莫比乌斯带和克莱因瓶，太极图所包含的哲学思想可以被更形象地表示出来，而借助于中国思想的理念，几何学的原理可以得到更深刻的认识，比如对一些近代几何的概念如非欧几何、射影几何、变换群等等，都可以有较好的理解，甚至对一些复杂的数学物理思想如物理空间等都可以有助于理解，实际上有一些在现代科学最前沿探索的学者都自觉地从中国思想理念中寻找启示，如浑沌理论，非线性理论等等，或许中国思想将给予我们更深刻的东西。 3. 真、善、美之道

在柏拉图的对话中，理念、美、真理、知识和善相互说明，纠缠难解，但它们的基石是形式，他用美对形式进行抽象和说明，他用美来解释理念 真理、知识之间的关系。理念就是事物的完美的形式，它没有差别，没有局部，因此它才是美的，在这个意义上，美就就是具体事物的完全形式，因此美就是对咸性事物的抽象和超越，绝对的形式就是美。但是事物之间是存在分别的，因此也存在许多理念，这样在理念之上还有一个更高的理念，柏拉图称之为善 (理想国6) “这个给予知识的对象以真理，给予知识的主体以认识能力的东西，就是善的理念。它乃是知识和认识中的真理的原因。真理和知识都是美的，但善的理念比这两者更美，这也就是善的知识。”所以理念还不是最终的存在，理念通过美而被自己超越(更美)，这样借助于美的再一次超越，柏拉图从理念上升到最高形式——善。理念是超验的，它自身没有回归此岸之路，因此它最终只能成为属于神的性质的善，美不能用来说明神，柏拉图也无法再对善有所言说，这样柏拉图的哲学就停留在不可逾越的二元分裂上。

中国的道的思想是自身变易的，表现为一切事物的阴阳相对性质和阴与阳的超越互生上，从克莱因瓶的形象可以看到以阳入阴和阴中生阳的流变过程，从每一个局部看，阴阳是明显对立的，但从全体看，则没有阴阳的分别，而是合一的统一。所以中国思想的理念不是固化的美的形式，而是形式流变的自身，形式流变的的固化就是它的死亡，它是流变的美自身，因此太极图也不是美的形式，虽然从图形上看它也是美的，它蕴含的是变化的美， 流动的美，是思想的美，因此也就是美的自身，在这个意义上美与善是自身的同一。中国的文化精神充满了自身的和谐统一，人与天是世间最综合的阴阳事物，“天人合一”正是这样一种世间所有事物在自身的变易中超越统一的理念。阴阳之道不是绝对对立的，中国思想也不是二元对立的，而是自身生生不息的超越统一。

真理毕竟是以知识表达的，柏拉图的知识学说其实不是关于事物的性质与关系的具体知识，而是关于思想与理念的关系的见解，这是很多人误解他的知识回忆说的原因。柏拉图所说的回忆其实就是指思想，理念是超验的存在，它不能被感觉到，也不能被肉眼看到，只有思想（回忆）才能接近它，因此在他看来，知识就是对理念的回忆，我们完全可以理解工匠在制造一张床的时候是按照他思想中 (回忆) 的理念进行的，这一点也不奇怪。所以理念虽然是超验的，但思想可以接近它，柏拉图的回忆就是这样一个思想接近理念的过程。理念作为真理的知识是无法最终地把握的，苏格拉底的形象是承认自己是无知的辩论者，他的真正的意思是说没有最终的知识，而只有对知识的追求，辩论和对话就是这样一个双方一起探求真知识的过程，因此虽然绝对的知识即理念是达不到的，但在对理念的追求中人们可以分享到理念的阳光，柏拉图著名的洞穴比喻的真意义正是在这里。苏格拉底的辩论和柏拉图的对话也就是这样一个无限接近真理的过程。

在中国哲学中， 道的理念表现在世间事物的全体上，阴和阳就是绝对的事物性质，但不是绝对的事物，因此它不是超验的存在，它实现自己在一切事物上，但唯独没有自己的绝对形式——“大相无形”，在任何具体的，局部的事物上都有阴与阳的对立，但没有绝对的单阴与单阳的存在，它在对立的超越中存在，它因变易而永生，人们在思想中把握它，太极图和八卦图就是思想的路标或思想的范式，这是中国哲学即中国思想最本质的特征。当然作为人类对事物的知识，它有自己的发生、学习、积累的 消化的过程，这是知识在发展和积累中的更新，即知识自身的变易，这才是真正的知识自身——真理，孔子说：“笃信好学，守死善道。”(论语：泰伯) 正是在不断的学习和追求中才能得道和守道。老子强调柔弱、虚静、无争、溪谷等思想，这是指静态中的流变，是“知其雄”而“守其雌”， 是孕育中的新生，克莱因瓶的的主体也是阴包阳的瓶（杯）形，没有阴，阳无从可生，但阳一但产生，阴就不是昔日之阴了，因此形式的流不是反复旧形式的循环，而是无时不在的更新，但是克莱因瓶作为一种固化了的形式表现不了这一种更高的理念，它只是流变形式死亡的躯壳，因此从西方传统思想模式出发无法理解莫经乌斯带简单中的神秘，更不会导至更高层次的的流变中的更新理念，但是更加抽象的太极图却能指导人的思想活化它们，从思想中看到它的流动和更新，这是“大象无形”的变易，是“无为而无不为”把握和再生，是“中庸”的包容、信念、等待与希望，这些伟大的思想都充分反映在中国古老的文化观念中：道的超越，易的永恒，“汤之盘铭：荀日新，日日新，又日新。”（大学）中国思想因自身彻底的超越精神而崇高，这种美常常使人感到内心的颤栗。

莫比乌斯带范文第5篇

【关键词】数学实验；创客理念；课程载体

【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）17-0035-04

【作者简介】汪树林，江苏省如皋市东陈镇丁北小学（江苏如皋，226571）教科室主任，高级教师，南通市骨干教师。

在互联网时代大数据、云计算背景下，以创新为灵魂的创客教育引领着小学数学教育教学改革与实践。作为创客教育的重要载体，数学实验能够有效统整课程资源，实现跨学科、跨领域的知识融合和技能整合，并能帮助儿童摆脱“离身思维”，实现手脑结合，形成“具身认知”。数学实验将成为开启数学创客教育新动力的引擎。

一、从“创客视角”看数学实验的课程价值

美籍匈牙利数学教育家波利亚曾经说过：“数学有两个侧面，一方面是欧几里得式的严谨科学，从这方面看，数学像一门系统的演绎科学；另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学。”从“创客视角”看，数学实验有着独特的课程价值。

1.思想与实践对接。

数学实验是指儿童在数学学习过程中所产生的操作性、印象性、符号性的实验或准实验（虚拟实验），它超越了纯粹的“纸笔数学”，让儿童的数学思想与数学实践实现对接。例如：教学苏教版四下《三角形三边关系》时，笔者向每个学生提供一根长15厘米的小棒，让他们自主创造“结构性素材”――将小棒分成三段。然后，让学生尝试围三角形，并在围三角形的过程中展开自我追问――为什么有的能围成，有的围不成？最后让学生用表格将实验数据进行分类整理，使他们产生对“三角形三边关系”的理性认识。在上述实验中，学生的数学思想和动手操作实现对接，数学思维得到提升。

2.归纳与演绎交融。

数学实验开辟了儿童“用手思考”问题的道路，正是在动手做的过程中，儿童的数学思维得到启迪。在数学实验中，儿童须进行必要的凝聚――抽象和概括，须经历猜想、探究、尝试与论证的过程。例如：教学苏教版三上《两位数除以一位数》时，笔者首先出示63÷3，让学生用手中的小棒进行实验。有的学生先将个位上的3根平均分成3份，还有的学生先将十位上的6捆平均分成3份。接着，笔者出示76÷2，学生依然是两种分法，但已经有学生意识到“先分十位”的方式更合理、方便。笔者接着出示42÷3，这时个位上的2不够分，学生只能从高位开始。学生通过实验理解算理后，笔者让他们列竖式计算，由此演绎生成“两位数除以一位数”的算法。从工具操作到表象归纳再到符号演绎，学生的实践经验上升为数学的理性认知。

3.思维与创造共生。

数学实验是儿童数学创造性思维的孵化器。在数学实验的过程中，儿童主动进行观察、想象、推理等思维过程，主动进行画图、剪拼、测量等动手操作活动。例如：教学综合实践活动课《神奇的“莫比乌斯圈”》时，笔者首先让学生观察、触摸、感知：“莫比乌斯圈”只有一个面、一条边。然后，笔者让学生用剪刀沿“莫比乌斯圈”的中线将其剪开，学生惊奇地发现：剪开后的“莫比乌斯圈”变成一个大纸环。接着让学生进行实验，用剪刀沿着“莫比乌斯圈”的三等分线剪开，在这一过程中，学生萌生出不少创造性想法：“老师，如果把磁带做成‘莫比乌斯圈’，就不用翻面了”；“老师，如果把‘输送带’做成‘莫比乌斯圈’，或许能延长使用寿命呢”……学生创意连连。最后，笔者向学生展示了迷人的“莫比乌斯建筑”和“莫比乌斯凉鞋”，进一步激发儿童的创造性思维。

二、用创客理念反思数学实验教学的问题

在数学实验的过程中，教师应致力于让儿童的抽象思维与形象思维并存，感性观察与理性认知交织，如此，数学学习才能激发儿童的兴趣，数学实验才能成为儿童的研究与探索方式。然而，当我们用创客理念反思数学实验教学时，却发现了诸多问题。

1.数学讲解对实验操作的代替。

在实践中，笔者发现数学实验的开展往往蜻蜓点水般一带而过，有些教师甚至将丰富生动的“做实验”简化为说实验、讲实验、演实验。例如：教学苏教版四上《可能性》时，有的教师为了节约课堂教学时间，将自认为枯燥、烦琐的摸球实验简化或悬置，而代之以数学讲解，让学生猜测摸球结果，然后直接出示数学家为研究“等可能性”进行的抛硬币实验数据。如此，学生体验不到事件的随机性，更谈不上掌握统计方法、感悟概率思想。

2.数学结果对实验过程的僭越。

在数学实验过程中，有的教师为追求实验结果一步到位或实验过程的顺畅而对实验步骤进行提前告知、过度预设，致使学生在数学实验过程中操作简单、思维肤浅。例如：教W苏教版五下《圆的周长》时，一位教师首先出示圆周率近似数――3.14，接着让学生实验验证。于是，学生用“绕线法”或“滚圆法”测量出圆周长，通过计算圆周长和直径的商，他们发现结果并不是3.14。有的学生为了迎合教师篡改或杜撰实验数据，有的甚至直接进行数学计算。充满乐趣的探究实验被教师误导为验证实验，而教师对实验过程又缺乏具体、明确的指导，导致实验结果对实验过程的僭越。

3.实验操作对数学思想的轻视。

在数学“创客活动”中，实验是数学的载体，思想是数学的灵魂，要警惕学生沦为机械的操作工。教师必须引领学生进行深度的数学思考，让他们感悟、体验、应用数学思想。例如：“间隔排列”是数学经典问题，有的教师进行实验教学时缺少对相应学具的分组操作，忽视让学生感悟对应思想，因此学生无法理解“为什么‘两端物体’相同，‘两端物体’比‘中间物体’多1”，从而导致他们在应用时不知所措――“到底是加1、减1还是相等呢？”

三、借创客教育探寻数学实验的“众创路径”

作为一种体验式学习，数学实验可以让儿童在做中学，做中玩，做中研，做中创。在实验过程中，教师要努力充当“创客导师”，营造创想氛围，打造创想空间，激发儿童的创想意识，对儿童的创新实验进行众扶、众筹，让儿童想创、敢创、能创。

1.从束到放，通过“对比实验”引发儿童的主动之意。

在数学实验的过程中，教师要触发学生主动学习的愿望，让他们自主建构。教学苏教版六下《圆锥的体积》时，很多教师直接出示结构性素材――等底等高的圆柱和圆锥，其实，这是一种学生在教师强制下的“被实验”――学生被迫选择圆柱且是等底等高的圆柱。教师教学时可以出示大小、形状不同的立体模型（如长方体、正方体、圆柱体、三棱柱等），让学生自主选择并说明原因。

师：你们为什么选择圆柱？

生：圆柱和圆锥的底面都是圆形，便于比较。

师：这里有多种规格的圆柱和圆锥（等底不等高1组、等高不等底1组、等底等高2组、不等底不等高2组），你们选择那种规格？

生：我选择等底等高的圆柱和圆锥，这样便于比较。

接着，教师可以让学生用上述圆柱和圆锥（装沙子、水）进行对比实验。学生发现有3组实验的结果是“圆柱体积大约是圆锥体积的3倍”，其中两组是等底等高，一组是不等底不等高。然后组织学生讨论，在讨论中，学生认识到：由于沙子之间有空隙，所以用水做实验更科学。他们还感悟到：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积一定是圆锥的3倍；而圆柱的体积是圆锥的3倍，它们可能等底等高，也可能不等底不等高。学生还用“高瘦瘦和矮胖胖”生动地解释了不等底不等高这组的实验结果。学生充分发挥了能动性，真正经历了推理圆锥体积计算公式的全过程，真正成了数学意义上的“创客”。

2.从迷到思，通过“模型实验”彰显儿童的思维之美。

儿童在生活、学习中会产生许多迷思概念（即与科学概念不一致的概念），在教学中，教师可以运用数学实验点化儿童思维，让儿童的思维澄清、敞亮。小学六年级数学试卷有这样一道选择题：一个真分数，如果分子和分母同时加上k（k>0），所得分数（ ）（选填>、

师：老师这儿有一杯糖水，其中糖占糖水的■，如果老师再加入k克糖，糖、糖水、含糖率分别发生了怎样的变化？

生1：糖多了，糖水也多了。

生2：变甜了。

师：变甜了就是什么变化了？

生3：含糖率升高了。

师：现在你知道一个分数的分子和分母同时加上同一个大于0的数，分数变大的道理了吗？

抽象的不等式问题可以用糖水浓度实验来解释，既直观、形象又严密、深刻，学生感受到了数学的美妙与神奇。

3.从低到高，通过“模拟实验”呈现儿童的解放之趣。

数学实验的过程应该成为儿童感受数学力量的过程，应充分彰显儿童的解放之趣。教学苏教版三下《长方形的面积》时，笔者引导学生做贴瓷砖的“模拟实验”。首先给出一张小长方形纸（长、宽均为整厘米数），让学生用面积为1平方厘米的小正方形塑料片进行拼摆，直观感知长方形纸的面积；然后出示一张大长方形纸，先让学生估计长方形纸的面积，再用直尺分别量出长方形纸的长和宽，接着再次让他们用面积为1平方厘米的小正方形塑料片拼摆，学生发现塑料片不够拼摆了。

师：不够拼摆怎么办呢？

生1：可以用笔画出空出的部分，然后数一数。

生2：可以先用小正方形塑料片摆一行，然后画一条横线，再沿着这条横线向上对折。

生3：可以在头脑中想象。

师：一定得画满、折满么？有没有更简单的方法？

生4：只要把小正方形摆在长方形纸的长边和宽边上，然后用长边上的个数乘宽边上的个数。

生5：长方形纸的长边长度就是长边上小正方形的个数，宽边长度就是宽边上小正方形的个数，所以我们只要知道长方形纸的长和宽，就能算出长方形纸的面积。

至此，长方形的面积计算公式产生了。教师故意设置“缺斤短两”的工具，让学生超越实验的工具理性，由自我的实践理性迈向数学的解放理性。

4.从外到内，通过“切片实验”满足儿童的成长之需。

数学实验能让儿童外显的实践操作与内隐的数学思维有机融合，让活动成为外化的思维，让思维成为内化的活动。正是在这个意义上，“用手思考”也可以理解为“用头脑做”“用头脑看”“用头脑听”……如以下习题：小英像图1这样摆正方形，摆1个需要4根小棒，摆2个需要7根小棒，摆3个需要多少根小棒？摆10个呢？摆15个呢？100根小棒能摆多少个正方形？

教学时，笔者让学生做“切片实验”，即用火柴棒摆前几个图形探究规律。在实验过程中，笔者适时介入――“摆1个正方形需要几根火柴棒？”“摆2个正方形需要增加几根火柴棒？”“上下看，增加几根？”“左右看，增加几根？”……学生用表格对操作结果进行整理，形成“实验切片”。当学生操作到第3个正方形时，笔者引导他们观察，并将实验结果用算式进行记录，学生产生了多样化的数学表达：

生1：4，4+3，4+3×2……

生2：1+3，1+2×3，1+3×3……

生3：2+2，4+3，6+4……

生4：1×2+2×1，1×3+2×2，1×4+2×3……

师：还需要接着摆下去吗？

生：不用了，我们找到规律了。

数学实验为数学理解提供了“外源帮助”，数学理解为数学实验提供了“内源支撑”。在数学实验过程中，儿童囊览挡僮鞯墓ぞ咝岳斫庾呦虺越操作的关系性理解、创新性理解，进而实现自我的思维跃迁，数学实验室也成为儿童的“创想空间站”和“数学创客坊”。`

【参考文献】

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[2]武建军.数学实验：小学生实践操作与数学思维的视界融合[J].江苏教育：小学教学，2015（1）：23-25.

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[4]陈蕾.以“圆锥的体积”为例谈小学数学实验的教学[J].江苏教育：小学教学，2009（6）：53-54.