高等数学实际应用

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高等数学实际应用范文第1篇

关键词：柯西不等式；应用；高中数学

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）25-137-02

在自然界中，不等量关系是普遍存在的，是最基本的数学关系，也是数学研究的重要内容，不等式在数学研究和数学应用中起着重要作用。柯西不等式是由19世纪数学家（Cauchy）在研究数学分析中的“留数”问题时发现的，柯西不等式出现中学课本中，是中学生解决一系列疑难问题的法宝。为让学生对柯西不等式有更好的认识、了解，本文从特殊到一般的介绍柯西不等式，对柯西不等式的一般形式做证明，再给出柯西不等式在中学数学中的应用的一些典型案例。

柯西不等式――初等中学的形式

一、二维形式的柯西不等式

1、二维形式的柯西不等式

若 都是实数，则 ，当且仅当 时，等号成立。

2、柯西不等式的向量形式

设 是两个向量，则 ，当且仅当 是零向量时，或存在实数 ，使 时，等号成立。

3、一般形式的柯西不等式

设 都是实数，则 ――（1）

当且仅当 或存在实数 ，使得 时，等号成立。

二、柯西不等式的应用

1、利用用柯西不等式证明恒等式

用柯西不等式取等号的条件或者两边夹逼的方法证明某些恒等式。

例1、已知 ，求证： 。

证明：由柯西不等式

当且仅当 时，等号成立。即 ，得 。

2、利用柯西不等式证明一些不等式

观察欲证不等式的特征，结合已知条件，对照柯西不等式的标准形式，构造柯西不等式的两组数，用柯西不等式来证明不等式，往往可以使复杂问题简单化。

例2、已知 ，且 ，求证

证明：因为

，

利用柯西不等式证明时，关键是构造出柯西不等式的两个适当数组，常用的技巧是“1”和常数的变化转化，体现转化化归思想。

3、利用柯西不等式求某些函数的最值

例3、已知 ，求 的最小值。

解：

由柯西不等式： ，所以 ，

当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 。

例4、求函数 ， 的最大值。

解：因为 ，所以 。由柯西不等式得：

，当且仅当 时，取等号。

4、利用柯西不等式解某些方程

不等式中的等号成立的时候，不等式就成了方程，由此可以利用柯西不等式取等号的充分必要条件解方程。

求方程 的解。

解：方程可变形为： ，当且仅当 时，取等号，解得 。

5、柯西不等式在解析几何方面的应用

例6、直线 与椭圆 相切，求切点坐标 。

解：因为 所以，由柯西不等式得：

。

当且仅当 即 ，代入 ，解得 ，所以 。

6、利用柯西不等式解三角和几何问题

例7、在半径为 的圆内，求周长最大的内接长方形。

解析：假设出变量表示长方形的周长，得出目标函数，在利用柯西不等式求解。

解：设内接长方形 的长 、宽为 ，于是长方形 的周长 ，由柯西不等式得：

。当且仅当 ，即 时，取等号。此时宽为 即内接长方形 为正方形时，周长最大为 。

7、利用柯西不等式求参数的取值范围

例8、已知正数 满足 ，且不等式 恒成立，求 的取值范围。

解析：利用柯西不等式求出最值，也即求出 的取值范围。

解：因为

，所以 的取值范围 。

柯西不等式在中学阶段，虽然只是选讲内容，但在高考中经常出现，引起了教师教学的重视。柯西不等式不仅应用于证明代数不等式，它在实数大小比较、解方程、确定参数的取值范围、求最值及几何不等式的证明等方面都有广泛的应用。

运用柯西不等式的过程中，要求我们要以敏锐的思维，细致的观察，构造出适合柯西不等式的两组数，以便可以使用柯西不等式。这是学生拓宽知识，打开思维的钥匙，是解决一系列问题的法宝。

参考文献：

[1] 刘绍学.高中数学选修4―5.北京：人民教育出版社，2012.12.

高等数学实际应用范文第2篇

【关键词】因子分析法 评价过程

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）02-0168-02

应用型人才在当今的社会发展的体系中尤为重要。若是要培养当今社会所需求的应用型人才，我们必须要改变现有的高等数学的教学理念，改革教学的内容、方式以及相应的课程评价的方式，旨在培养出学生活用数学去解决现实生活的实际问题的能力。

如何作出合理的课程评价体系或模型是解决课程的实施情况问题的重要条件。在该类问题的评价过程中，通过数据的调查、整合、合理化的数据分析，从多个方面分析数据，检验数据，从而使数据具有一定的可靠性。通过分析某高校在一段时间内在课程改革方面的调查数据，包括在这段期间内所投入的人力物力，以及着这段期间内该种课程所获得的成效，建立出一个合理的课程评价模型，在得出模型后再对此进行深入准确的分析，最终通过得出的数据给出相应的答案。

课程评价体系模型的建立：

1.对原始数据进行处理分析

主要成分分析的课程变量有n个，y1，y2，L，yn共有m个评价对象，但由于各指标没有统一的量纲，所以需对这些原始数据进行归一化的处理，得到指标yij。首先需要对判断矩阵进行归一化处理，即：

终语

通过该模型的建立，可以提高人们对该课程的认识深度，可是使应用型人才的教程在社会中更好的普及使用。在模型建立分析中，提高学生的自主学习能力，在此过程中使学生对其产生兴趣，从而对知识有了更加深刻地认识，再次所得到的能力可以更好的适用于社会，应用于社会。面对模型存在的缺点，我们要多多进行数据的整理分析，尽可能减少人为性误差的影响，使模型在应用中具有一定的说服力，高效完成适应高等应用型人才培养《高等数学》课程的评价体系。

参考文献：

高等数学实际应用范文第3篇

关键词：高等数学；教学改革；分层次教学；实验教学

     高等数学是工科最重要的一门基础课程。随着现代科技的飞速发展，以及知识经济时代的到来，数学的重要性已逐渐被人们所认识。社会的发展对人才的需求越来越多，对人才的要求也越来越高。高等数学的学习可以提高学生的分析问题与解决问题的能力，还可以培养学生的创新能力等，总之，学习高等数学有助于学生综合素质的提高。因此，如何提高学生高学生学习数学的兴趣，培养学生的创新能力，提高高等数学课程的教学质量，已经是我们迫切需要解决的问题了。为此，分析目前高等数学教学过程中存在的问题与不足，对高等数学教学进行改革势在必行。

一．高等数学教学过程中存在的问题与不足。

数学在科学技术中有着不可替代的作用。而高等数学教学在工科教学中的地位不断下降则与数学在科学技术中的地位的不断提高形成鲜明对比，这些仅从学校对此课程的重视程度及课时量等方面都有所体现。这种状况必然会成为为社会培养大批高质量的高素质的人才的障碍。高等数学教学的需求与有限的学时数存在着矛盾。数学的发展是迅速的，数学的应用领域越来越广，传统教学方式很难在有限的教学课时内做到面面俱到。现代科技的高速发展与教学手段落后形成矛盾。现代科技的发展为教学提供了多媒体等先进的教学手段，但如何准确、有效地运用先进的信息技术手段进行教学，才能达到最好的教学效果，是目前我们需要思考的一个问题。另外，知识的传授与能力的培养存在着矛盾。传统的教学方式注重于书本知识的传授，重视的是学生对定义、定理的理解及解题能力与解题技巧的掌握。而学生自学能力、创新能力、实践能力的培养往往被忽视，而这些能力都是学生毕业后能否尽早地适应社会所必备的。

二．高等数学教学改革的具体措施。

1．改革传统的教学模式，实行分层次教学。依据素质教育的要求，实行分层次教学，按专业、学生、教材、考核方式等方面进行分层次。分层次教学是教师因材施教的具体体现，这种教学法可以调动学生学习数学的积极性，提高学生学习高等数学的兴趣，可以使不同层次的学生在学习数学时都能学有所得。分层次教学法的正确运用，可使学生明确学习目的，增加学习兴趣，更可以培养学生的创新能力。高等数学的学习，不仅是掌握数学知识，重要的是让学生真正掌握数学思想，数学思维，以及数学素养。在分层次教学中有几点需要注意：首先，在分层次教学中，教师要特别注意给学生创造一个良好的学习氛围，积极主动地调动学生的学习积极性与主动性，提高学生学习高等数学的兴趣。其次，在分层次教学过程中，要注意提高教师自身的教学水平，注重教学方法的使用，教师应注意依据教学大纲及学生的特点，来制定授课方案，必需改变传统教学中的重理论，轻应用的思想，特别要注意培养学生实际应用能力。第三，分层次教学法加大了教师的工作量，要求教师精心准备每一节课，在教学过程中要注重强化数学知识的直观性及应用性，以使学生对数学知识有更全面的理解和掌握。

2. 改革教学内容，增加实验教学内容。

工科高等数学教学所培养出来的学生可能成为未来的科学家和工程师，他们必须具有良好的数学素养和数学基础。因此，在数学教学中向学生渗透与学生专业有关的工程背景，及数学知识在相关专业的实际应用，对于培养工科学生的实际应用能力和创新能力有着非常重要的作用。改革教学内容，在高等数学课程中增加数学建模课和数学实验内容。从实际问题出发， 以计算机为辅助工具， 由学生自己动手进行分析、设计、解决问题， 从实验中去探索和发现数学规律，从而完成了学习的内容。通过实验课，既能使学生掌握所学的数学知识，又能亲自体会其实际应用。

3. 改革教学手段，适当引用现代信息技术手段。

由于高等数学课程的很多内容既抽象又复杂，并且高校中高等数学教学正面临着学时数逐渐减少而教学内容反而增加的实际困难。所以改革传统的教学方法和手段，在高等数学教学中适当引入多媒体等先进的信息技术手段，使之既能加大课堂信息量又能加强创造性思维能力的培养，推进高等数学教学方法与手段的改革。是当前工科高等数学教学改革的一个非常值得研究的重要课题。学习高等数学不仅要求学生在理解的基础上掌握数学知识，更要求学生掌握探索和解决问题的方法。先进的现代信息技术可以在发现问题和提出问题等方面模拟数学问题的活动，有助于学生运用所学数学知识来解决问题，从而提高学生分析和解决问题的能力。教师可以通过先进的现代信息技术手段创设问题教学情境，动态地展现数学问题。

总之，时代的发展、社会的进步，及工科高校高等数学教学中存在的问题使得工科高等数学教学改革势在必行。高校数学教师要不断学习，提高自身素质，坚持在教学过程中探索适应时代和社会的发展需求，且符合学生实际的教学方法与手段，提高学生学习数学的兴趣，提高学生应用数学解决实际问题的能力，使得工科高等数学的教学适应现代工程科学的发展，这是一个值得长期研究与探索的问题。

参考文献：

[1]刘玉良、时立文.高校数学课程教学改革存在的问题与对策[J].中国成人教育,2007,7

高等数学实际应用范文第4篇

（1）讲授好第一节数学课程至关重要

我们大学生刚刚走进大学校园，还不清楚何为高等数学，并且有大部分学生认为经过十几年的寒窗苦读，好不容易考上大学，本可以好好放松放松。这时候讲师应该告诫学生千万不能放松，并向学生强调大学学习在人生的成长过程中的重要性。讲师们要在第一节课把如何有效的学习高等数学的方法、以及课程中比较困难的内容和基础易懂的内容简单的介绍给学生，从而使学生对高等数学有比较清晰的认识，增强其对掌握好高等数学的自信心。

（2）重视基本概念、基本理论、基本方法

数学的基本概念、基本理论、基本方法是基础，是解决数学问题的出发点和依据。但是却有很多刚刚进入大学的大学生在接触到高等数学时，单纯的思考着数学本质上就是解题证明，而看轻对基础知识的学习，从而他们在遇到实际难题时会觉得头脑不清晰，方法不合适等困惑，这就要求学生们在大学里改变这一思维习惯。

2注重数学的实际应用，突出数学建模思想，培养学生独立创新能力

（1）在日常学习中树立数学建模的意识

高等数学是大学课程的核心课程，而在其教学过程中，多数讲师只是已课堂教授为主，课堂模式单一、死板、无新意。高等数学的教学，其最终意图就是让学生掌握更多学习数学的方法性和技巧性，培养起学生对数学的应用实践思想。增强学生用数学探讨、分析、表达和处理实际问题的能力，使学生从数学的学习中增强自己的主观能动性。而数学建模就是从复杂难懂的实际问题出发通过合理假定、抽象，应用所学数学知识对实际问题进行合理的分析、思考和计算，从而得到解决问题的最佳模型及问题最优解的一门学科。因此数学建模的产生为广大学生建立了一个由理论数学到实际生活中的数学的平台，是充分发挥学生的数学理论知识与应用创新能力双丰收的最佳方式。

（2）在日常教学中对学生传达数学建模思想

当今的高等数学的学习就是要增强学生应用数学的能力，通过高等数学在生活中的实际应用，从而使学生培养起数学建模的思想，体会到数学其实是一种解决生活实际问题的手段。此外，在高等数学的教学中着重体现数学建模的思想，有利于开发学生的应用潜力。据了解，全国许多高校都开设有了"数学建模"选修课，但仅仅作为选修课学习对与增强学生学习能力所起到的作用是非常渺小的，其一数学建模课在解决生活难题与数学问题当中的起着嫁接的作用，对于不同的问题，解决的方法又不尽相同，要做到得心应手简直难上加难。其二数学建模的教育从本质上来讲是一种能力与道德的培养，需要经历漫长的实践才能到达所需的高度，仅仅靠学习一门选修课的投入还远远达不到要求。所以，为了解决这一问题，最为有效的方法就是在高等数学的日常教学中给学生传达数学建模的思想，这样对学生数学能力的培养和逻辑思维的提高才更加有利。

3注重学生未来的持续发展,培养应用型人才

高等数学实际应用范文第5篇

关键词：高等数学；数学模型；教学改革

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）19-0060-03

一、课程简述

高等数学是理、工科院校一门重要的基础学科，也是非数学专业理工科专业学生的必修数学课，也是其它某些专业的必修课。高等数学有着高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性[1]。高等数学在电子计算机、物理、生物学等方面有着广泛的应用，数学不仅为科技发展提供着有力的支持和强大的动力，同时也渗透到了经济学、心理学等社会科学的各个领域。通过学习这门课程，学生们能够获得包括微积分、向量代数与空间解析几何等基本理论知识以及常用的解题方法和运算技巧。学好这门可曾，不仅够培养学生的运算能力，还能够锻炼学生的抽象思维、逻辑推理及空间想象能力，是学生不仅学会分析问题，还能够学会如何正确有效地解决问题，为不同专业的学生学习本专业的后继课程奠定必要的数学基础。因此，熟练掌握高等数学的基本理论和技能对学生们来说相当重要。随着教学方法的改革，学生的听课虽然质量有所提高，但是由于教师侧重于概念、定义的介绍，而忽略定理的证明、计算推导[2]等原因，使得高等数学教学质量还有待提高。

二、高等数学教学过程存在的问题

第一，在教学方法方面：教师主要采用传统的写板书的教学方法来给学生讲解课程内容。在教学过程中，采用统一的教学时间和上课进度，没有顾虑到学生是否理解所加工的内容。在对学生进行考察的时候，也仅仅是统一的课程考试，很少考虑学生平时的作业情况和表现，单看学生的考试成绩来评价一个学生的好与坏，不能充分的挖掘学生的潜能。课堂讲授的内容往往都是数学本身的基础知识，却没有与所教学生的专业相结合，过于注重数学思想和运算技巧训练，忽视了对学生实际应用能力的培养，这样很容易埋没学生的潜在能力，无法很好地达到培养人才的目的。第二，学生素质方面。目前的高等教育随着近年来高校的大量扩招，已非昔日的精英式教育模式了，而是进入到了大众化教育阶段。高校学生个人素质正在下降，具体体现在学生的数学基础、接受新知识的能力、自主学习的能力、逻辑思维能力等等，这给高等数学的教学工作增加了难度，使得以往只需简短讲解的知识点需要教师通过大量的习题来让学生理解接受，重点和难点之处更需耗费大量时间，影响教学进度。第三，考核体系方面。高等数学教学的目的应是注重对学生在数学应用方面的培养，但是传统考核体系通常只是针对于学生的数学理论和计算技巧的评定，以一张试卷作为评定学生学习好坏、教师工作效果的唯一标准，这样往往有失偏颇。不仅很好地反映学生的学习情况和教师的教学效果等问题，同时还容易打消教师与学生的教与学的积极性，一味地注重理论和技巧，完全忽略了实际应用。因此，对考核体系进行适当的调整是非常重要的[2，3]。

三、高等数学教学改革的措施

针对上述存在的问题，为了使学生具备更好的数学素养，本文提出了四点对高等数学教学改革的措施。

第一，教学内容要侧重在本专业的应用。高等数学课程是高校中很多专业必不可少的基础课，但专业不同，对学生数学能力的要求也有所不同。因此，要打破高等数学传统的教学方式，教师在备课前，应充分了解所教学生的专业的具体需求，多与专业教师沟通，进行与专业相结合。一方面，使学生真正掌握本专业应当具备的数学知识，另一方面增加一些与本专业相关的数学模型的讲解和训练，使学生具备一定的解决实际问题的能力，会做事、能做事。可以将高等数学分为两类人学习两类，一类是对于专攻数学专业的人士，一类是对于涉及高等数学某个领域的人。第二、充分学生的主体作用。在教学过程中，教师要多多鼓励学生参与解决问题，正确引导学生充分发挥主体性，使学生能够发现问题并积极寻找解决办法。第三，运用灵活多样的教学手段。数学的理论知识一般都很抽象，这对学生的逻辑思维和抽象思维能力是极大的挑战。如果使用多媒体课件，将教学内容形象化，学生就会更加容易理解，教学效果会更好。利用多媒体课件，不仅能够呈现事物的时间顺序、空间结构，做得好的课件还能体现事物的运动过程，简化学生对事物的认知过程。第四，从多方面进行考核。对学生学习效果要采取多种方式来综合评定，学习情况只是一个方面，更重要的是检测学生的数学应用能力。如增加对学生数学能力的考察，定期做一些对数学认识的答辩，一些关于数学的竞赛。

四、在高等数学教学中引入数学模型的作用和意义

将数学方法应用的实际问题中的最行之有效的办法就是通过建立数学模型，把实际问题的内在规律用数字、图表或者公式、符号表示出来，利用数学的手段进行分析解决，得到定量的结果，最后再通过所得结果分析实际问题。在高等数学教学中引入数学模型有以下三点作用：

第一，加深了专业知识的学习和了解。将高等数学与相关的专业相结合，比如除了基础部分如一元函数的微积分等是必须要掌握的基本理论，对于机械类专业的学生，还应掌握常微分方程、多元函数的微积分学、傅氏级数与积分变换等内容；计算机专业的学生还应熟练掌握向量代数、空间解析几何等重要的高等数学的知识。同时还应将所学的数学知识与具体的数学模型相结合，使学生们更易理解学校中遇到的一些概念，避免死记硬背。例如，在“河水污染”模型中，应用高等数学中学习的差分方程，将“河水污染”这么有趣的问题同差分方程结合起来，使学生对枯燥的理论感兴趣。“河水污染”问题看似是和数学毫无关系的问题，就这样通过数学建模的手段转化为一个简单的数学问题。但是被当堂所讲的知识轻而易举地解决了。相信学生们肯定对数学有了一个全新的认识。第二，培养了学生的数学建模能力。在高等数学教学中引入数学模型，一方面要在数学教学过程中帮助学生理解数学公式和定义，将抽象的概念实例化。另一方面，要让学生能自主思考，分析问题并寻找解决问题的方法，自行运用建模的方法解决实际问题。在建立和解决数学模型的过程中，不断培养学生的分析、推理和计算的能力，培养和发展学生的实际应用能力，使学生更好地运用数学手段解决实际问题。第三，改进了传统的教学体系。在教学内容的选取上，通过引进实例，以数学建模的思想分析导入，加强了数学应用针对性的教学；增加了数学软件的教学，开设了数学实验；普遍采取实例教学和课堂讨论，丰富了数学教学的形式和方法。改变过去单一的理论教学模式，极大地激发了学生对数学课程的学习兴趣，提高了学生的学习效率[4]。第四，锻炼了教师队伍，提高了青年教师的业务能力。要在高等数学教学中引入数学模型，这就要求教师具有多方面的知识。在过去，一个教师只要专业知识强就可以了，所以，对教师培养这方面并不是很重视，对于教师关于其他专业的知识的培养几乎没有，导致教师的水平受限。教师只有知道数学建模方面的知识才能将现实应用与具体理论相结合，才能更好的将学生教好。

五、结束语

针对高等数学教学过程中存在的问题，本文给出了将数学模型引入到高等数学教学中的几点作用和相应的意义。尽管将数学模型引入到高等数学教学中能有助于提高学生的学习能力，培养学生对数学这门理论居多的学科的兴趣。但是要逐步提高数学系学生的解题能力和综合数学素养，单靠教师把课讲好是远远不够的。学生们应该花费一些时间努力学习，不断探索数学，同时又对老师提出更高的要求，使教学方法和手段更适合当代的大学生。我们应该认识到高等数学课程教学改革是一项长期而系统的工程，不能一蹴而就，需要在教学内容，教学方法，教学手段，教材编写等方面不断进行探索，最终经过不断尝试找到一条真正符合学生学习特点，培养学生数学能力的改革之路。

参考文献：

[1]赵世玉.对高等数学中数学结构及数学理解的分析[J].黑龙江科技信息，2002，（16）.

[2]闵啸.高等数学教学中数学模型案例运用初探[J].嘉兴学院学报，2002，S1（14）：211-213.