等腰三角形有几条对称轴

前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇等腰三角形有几条对称轴范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。

等腰三角形有几条对称轴范文第1篇

（一）对基础知识的掌握一定要牢固，在这个基础上我们才能谈如何学好的问题。例如我们在证明相似的时候，如果利用两边对应成比例及其夹角相等的方法时，必须注意所找的角是两边的夹角，而不能是其它角。在回答圆的对称轴时不能说是它的直径，而必须说是直径所在的直线。像这样的细节我们必须在平时就要引起足够的重视并且牢固掌握，只有这样才是学好几何的基础。

（二）善于归纳总结，熟悉常见的特征图形。举个例子，如图，已知A，B，C三点共线，分别以AB，BC为边向外作等边ABD和等边BCE，如果再没有其他附加条件，那么你能从这个图形中找到哪些结论？

如果我们通过很多习题能够总结出：一般情况下题目中如果有两个有公共顶点的等边三角形就必然会出现一对旋转式的全等三角形的结论，这样我们很容易得出ABE≌DBC，在这对全等三角形的基础上我们还会得出EMB≌CNB，MBN是等边三角形，MN∥AC等主要结论，这些结论也会成为解决其它问题的桥梁。在几何的学习中这样典型的图形很多，要善于总结。

（三）熟悉解题的常见着眼点，常用辅助线作法，把大问题细化成各个小问题，从而各个击破，解决问题。

在我们对一个问题还没有切实的解决方法时，要善于捕捉可能会帮助你解决问题的着眼点。例如，在一个非直角三角形中出现了特殊的角，那你应该马上想到作垂直构造直角三角形。因为特殊角只有在特殊形中才会发挥作用。再比如，在圆中出现了直径，马上就应该想到连出90°的圆周角。遇到梯形的计算或者证明问题时，首先我们心里必须清楚遇到梯形问题都有哪些辅助线可作，然后再具体问题具体分析。举个例子说，如果题目中说到梯形的腰的中点，你想到了什么？你必须想到以下几条，第一你必须想到梯形的中位线定理。第二你必须想到可以过一腰的中点平移另一腰。第三你必须想到可以连接一个顶点和腰的中点然后延长去构造全等三角形。只有这几种可能用到的辅助线烂熟于心，我们才能很好的解决问题。其实很多时候我们只要抓住这些常见的着眼点，试着去作了，那么问题也就迎刃而解了。另外只要我们想到了，一定要肯于去尝试，只有你去做了才可能成功。

等腰三角形有几条对称轴范文第2篇

【关键词】 初中数学 课堂教学 留白艺术

【中图分类号】 G421 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962（2013）02（b）-0142-02

留白是中国画的一种重要的技法，是一种“超然象外”的艺术形象。比如齐白石画虾时，只是用笔稍作点化，纸上初看只是几点小墨，而整体观察起来，一只只栩栩如生的虾早已跃然纸上。日常生活中，我们去一个陌生地方，不论网上地图怎么详细，打听的时候别人说得再仔细，心里总是没底，只有自己亲身去过一次，这条路在脑子里就有清晰的概念了。

“数学是训练思维的体操”，以学生为主体的学习过程就是亲身前往的过程，边走边思考，印象深刻，因为有自已的思维体验在里面。几何教学中较多的思维论证过程，光靠教师的灌输是难以实现理想的效果的，我们的课堂训练要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等活动，实现以静制动，以看似平静的课堂气氛营造积极思考的训练实效，从而实现“此时无声胜有声”的效果。

1 情境导入设留白，实现思维的启航

笔者发现，近几年来，我们的教师总是习惯于用一大堆问题来让学生讨论，过去的满堂灌逐渐被现在的满堂问所替代，究其实，还是没有抓住学生的主体探究。拿图形的对称性这一知识点来说，由于小学已经有过这方面的学习，初中生学习这块内容并不难，但我们的老师还是不断提一些关于对称的问题，最终还是把学生的学习热情消耗在教师的提问之下。其实这块内容的学习只要让学生在小学的基础上加深印象并掌握一些基本技能即可，也并没有必要让学生来回答。

苏联著名的教育家苏霍姆林斯基曾经说过：“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不讲的东西，就好比学生思维的引爆器，马上使学生在思维中出现问题，而思维的碰撞会使学生思维翱翔在更高更远的数学殿堂上。”课堂留白艺术在这方面就起到了独特的作用。

案例1

在学习对称图形的时候，教师出示如下任务：

首先同学们在生活中寻找圆形的物品，想办法描出一个圆形的轮廓；第二，引导同学们把自己画出的圆形裁剪下来；第三，同学们动手把自己的圆折叠，要求重合；第四，画出重合的折叠线――对称轴；第五，同学们思考，这条对称轴是唯一的吗，还能不能再画几条；第六，所有的对称轴的共同特征；最后，通过题目总结圆对称的特点。

评析：上述教学导入，没有华丽的情景，也不用繁琐的提问，有的只是学生的自主探究与交流，教师只在学生中间“闲庭信步”。把机会让给学生，自然可以引发学生向数学知识更深更广的时间、空间范围内做探究。

2 巩固知识用留白，引发经验的激活

著名的数学家阿基米德说过：“给我一个支点，我可以把整个地球撬起。”数学教师在课堂教学中的知识讲解与适当留白，就是为学生提供一个展示自我的支点。留白就是为学生枯燥的数学学习中留出展示自我的机会，学生在这其中爆发出的创造能力与智慧火花定会让人惊喜，因为学生的数学学习潜力是无限的。

案例2 教学三角形这块知识时，为了让学生能巩固下旧知识，一教师布置如下任务：

（1）绘制锐角三角形与钝角三角形，总结三角形的一般特征；（2）画出并裁剪特殊三角形：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、直角等腰三角形；（3）通过折叠研究三角形的角平分线、高，以及特殊三角形的对称性与其他基本特征。

评析：三角形的知识点多，很多都是小学学过的基础知识，如果都由教师一一讲解，也许条理会更清楚，学生听起来也比较轻松。但是很可能印象不深，听过就忘。而采取诱导方式，一步步给学生留出充足的琢磨时间与空间，也许所花时间较多，却既能促使学生主动探索，又能激发学生的学习兴趣。很多三角形的知识点都是在学生动手摸索、自我总结的过程中慢慢得出，层层消化，与学生原有的知识结构内化为一体，而不是由教师讲解所得。这样步步深入、处处留白，给学生一种追随挖掘的欲望，使学生的思维在数学课堂上始终处于活跃状态，思路开阔主动参与。在层层深入的过程中，由浅到深、由易到难，逐渐进入新课程内容的学习。

3 讲解题例有留白，享受创新的乐趣

数学知识点的掌握总是通过题例的演练来落实的。例题一般是教师在备课时就已经选择好，演算步骤也是早已一步步安排得当。但是学生是一个能动性很强的主体，在例题演算的过程中不同思维方式会碰撞出火花，这是我们可以采用教师中规中矩的步骤作为讲解的主轴，而学生的其他解题方式作为题例解题思路的留白，留与学生进一步的讨论空间，激发他们的独立思维。

案例3 四边形ABCD为平行四边形，延长BA至E，延长DC至F，使BE=DF，AF交BC于H，CE交AD于G。求证：∠E=∠F

题目中四边形ABCD为平行四边形，再加上延长的BE=DF，同学们的一般解题思路多为从证明三角形EBC与三角形ADF全等入手来证明∠E=∠F。这样解题的思路是比较清晰的，也充分利用了平行四边形的知识点。当同学们都做好题目之后，教师可以提出：还有没有其他的解题思路呢？

不一样的解题方法如下：

证明：四边形ABCD是平行四边形 AB∥CD，AB=CD

又BE=DF AE=CF

又AE∥CF，四边形AFCE是平行四边形。

∠E=∠F

分 析：引导学生从另一个角度看图形――四边形AFCE有没有可能是一个平行四边形？这样引导学生学会从不同的角度思考问题，开拓视野，活跃思维，增加兴趣，享受成功的喜悦。

4 课后小结置留白，促进引申与反思

课后小结可以对一堂课的主要内容进行回顾总结，使新的知识点能够在学生的知识结构中清晰定位，理清思路。它是一堂新课的重要环节。可是很多初中的学生不很习惯进行小结，觉得是浪费时间：老师你不是刚刚都讲过了吗，又重复什么呢。于是很多的同学在课堂小结时就不认真听讲，觉得是炒冷饭。这时教师就可以在对本堂课教学内容回顾的同时，抛出几个引申问题，使课堂小结真正起到提纲挈领、承前启后的作用

例4：在总结图形的对称轴时候，教师可以留下问题：除了学到的几种多边形，其他多边形的对称是不是也是如此，还是会有什么不同？

分析：这样留下一定的悬疑，激发学生的好奇心，促进他们对所学知识的反思，同时也为下一步的课程内容学习埋下伏笔。另外数学习题练习尤其要讲究做题的效益，即做题后有多大收获，这就需要在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过，把它们联系起来，就会得到更多的经验和教训，更重要的是养成善于思考的好习惯，这将大大有利于今后的学习。

5 订正错题亦留白，在创新中优化思维

人总是在错误中学习与进步。我们小时候学习走路，学习骑自行车，都是摔倒了爬起来，爬起来再摔倒，在这个循序渐进的过程中，我们学会了健步如飞，我们学会了单车快行。这些技术伴随我们终身，就算很长时间不骑车，也不会忘记。很多初中的学生怕数学课，女生尤其如此。其实他们不是怕学习的困难，而是怕学习中的犯错。因此正确对待习题中的错误也是非常重要的环节。正是因为对学生错误悦纳和欣赏，才使学生的好奇心和创造力在出错中发出异常的光彩。

例5.如图2，梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD 的中点，且AEBE，试证明：AB=BC+AD。

这个题目很多同学做错。从图形看，很容易纠缠于证明三角形ABE与三角形BCE的关系之中。对已知条件中的E为DC中点不知如何利用，整个题目让人感觉无从下手。直角三角形的斜边与梯形的底边之间关系的转换，很难联系在一起。订正错误时，教师启发：是不是可以添加辅助线对图像进行转换，而有的学生死命地在图中间打辅助线，还是没有结果，教师又引导道：当我们找不到问题出路的时候怎么办呢？有个学生就接：山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村。过了三分钟，有学生说可以想办法把梯形的两条底边，变成一条边。再来证明两条边相等，这样思路更清晰一些。

又过了一分钟，有同学尝试把AD平移到BC，即延长BC到F，使CF=AD，这样只要证明AB=BF就可以了。同学们想到要证明两条边相等，就要证明他们是一个等腰三角形，或者证明两个全等三角形，于是想到了把EF链接，形成一个新的三角形BEF，这样一来，要证明三角形ABE与三角形BEF全等就可以了。如图：

教师在面对教学中的错误资源时，不简单的予以否定，可作适当留白，反而会给课堂注入新的生力，使课堂呈现出峰回路转、柳暗花明的面貌。因此，数学教师可以在错题批改与指导订正的时候，把学生的错误看成机遇。因为学生会做错，是因为她在解题的思路出现了偏差，思维的通道暂时没有打通、知识点掌握不够明确所致。这时候教师通过指导学生订正错题，可以纠正偏差，同时提供相似的情景以检验学生的知识点的掌握程度，同时也引导学生举一反三，进一步熟练解题方法，体验创新思维的乐趣。这样看来，从错误的体验到正确思路的形成就是在教学留白之际悄然产生的，留白之妙处可见一斑。

《数学课程标准》指出，动手实践、自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式。这就要求教师在课堂上要留足时间和空间，启发学生、组织学生探究讨论，训练学生思维，培养学生的自学能力、与人合作交流能力，全面提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。课堂“留白”，不是空白，它是动静的和谐，是张弛的结合，可以呈现虚实相映、形神兼备的艺术境界，创造出此“于无风处觅鱼踪”、“于无声中听惊雷”的作用。

参考文献

[1] 颜林忠，陈丽芬.数学教学留白不空白[J].教学与管理.2011（5）.

等腰三角形有几条对称轴范文第3篇

一、以问引趣，激发思维

兴趣激发灵感，兴趣是发现的先导。数学课不可避免地存在一些缺乏趣味性的内容，教师要善于提一些新颖、富有吸引力、与学生已有知识经验相联系而又暂时无法解答的问题，使学生一开始就对新问题产生浓厚的兴趣，创设诱人的学习情境。如在讲解“平面与平面垂直的判定定理”时，教师设置悬念问：“教室的门不管开到哪一个位置，为什么总是与地面垂直？”学生兴趣盎然，都来琢磨和研究这个问题，求知的欲望自然而生。

二、以问启发，觅求思路

富有启发性的问题能不断地激发学生的学习积极性，集中学生的注意力，发展学生的智力。孔子说：“不愤不启，不悱不发”。教师上课就要设法创造条件，使学生处于“愤悱”境地。例如：在复习三角形全等时，教师可设计下列几种证题思路加以提问：

1、如果有两边相等，还应寻找什么条件？学生答：寻找它们的夹角或者第三边对应相等。

2、如果有一个角和一条边对应相等，还应寻找什么条件？学生答：还应寻找它们的一个角或相等角的另一边。

3、如果有两个角对应相等，还应寻找什么条件？学生答：还应寻找一条边相对应相等。

到此时，教师可以提问，那么证明两个三角形全等有哪些方法？ 学生就能归纳出三角形全等的解法。同时教师要强调的是：有三个角对应相等的二个三角形不一定全等；有两边中其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等。

又例如：直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径为多少？

老师提问：题目中有没有明确指出哪条边是斜边？

通过老师这一点拨，同学们积极开动脑筋，对这题的讨论，解决了问题。通过教师提出的问题，使学生树立一些“路标”，启发学生循着“路标”前进，找到解题途径。

三、以问过渡，突破难点

在讲授新知识之前，教师可提问本课所用到的旧知识作为过渡，以旧引新，以旧促新，促使学生积极参加教学双边活动，突破难点，以达到顺利完成本课教学任务的目的。

例如：在讲授新课：“不在同一直线上的三点确定一个圆”。教师首先提问：

1、过一点可画多少个圆？为什么？

2、过两点可画多少个圆？圆心的位置有什么规律？为什么？

这些问题一一解决后，教师不失时机地进一步问：

3、过不在同一直线上三点A、B、C画圆，这样的圆要经过A、B，圆心在哪里？这样的圆又要过B、C，圆心在哪里？若同时经过A、B、C，圆心又在哪里？

4、这样的圆可画多少个？

就这样教师提问，学生动脑、动手，把自己作为“研究者”，步步深入，将已有的知识、思维方法迁移到新知识中去，学得轻松，记得也牢。

四、以问点拨，触类旁通

具有点拨性的提问，能引导学生纵横联系所学知识，沟通不同部分的数学知识和方法，开拓知识面，培养学生的发散思维能力。

例如：已知ABC的两边，AB、AC的长是关于X的方程X2－（2K+3）X+K2+3K+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5。

（1）K为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形。

一般来说，学生解决这个问题是不困难的。利用直角三角形的勾股定理，并结合韦达定理进行求解。

（2）K为何值时，ABC是等腰三角形，并求ABC的周长。

在解决这个问题时，就要认真分析题意，因为题目中没有告诉哪条边是腰，哪条边是底，因此，要进行分类讨论。

又例如：试确定y=x2－2x－3与函数y=－x2+2x+3的顶点，对称轴方程及与x轴的交点坐标。要解决这题教师可提出下列问题让学生思考：

思考1：在上述题中，两个函数的a、b、c三者之间有什么关系？

思考2：与系数之间的关系相比较，你发现这两个函数的顶点、对称轴以及与x轴的交点坐标这些量之间存在什么关系呢？函数y=ax2+bx+c与函数y=－ax2－bx－c两个图象的顶点之间关系如何呢？

思考3： 如果y=ax2+bx+c的图象与y=k(ax2+bx+c)(k≠0)的图象中，对称轴发生变化了吗？与x轴的交点坐标呢？

思考4： 如果知道了函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点是（－1，0），（4，0），与y轴的交点坐标是（0，2），你又如何确定a、b、c的值呢？

通过逐步精心设问，使知识纵向串联，横向并联，使学生思维活跃，思路开阔，达到融会贯通的目的，真是“一花引来万花开，一题问出万题来”。

五、以问检验，及时反馈

为了上好每节课，教师必须了解学生对这节课内容的掌握程度。常在授完课后对所学知识提出一些问题，让学生回答。一方面巩固所学知识，同时了解数学效果，以便及时调整方案。但提问要有新意，例如检查学生对于数学定义概念、定理的掌握弄不好会导致机械记忆。例如：在讲完《圆与圆的位置关系》时，我提了几个问题让学生思考：

（1）如果两个圆相离，则有几条公切线？

（2）如果两个圆有三条公切线，则两个圆的位置关系如何？

（3）如果两圆的半径分别为5cm和3cm，圆心距为4cm，则两圆的关系如何？

这样的提问，使学生有新鲜感，收到出人意料的教学效果。

等腰三角形有几条对称轴范文第4篇

一、 在识图认形时重视思维深刻性的培养

思维的深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平，它集中表现在善于深入地思考问题，能从复杂的表面现象中，发现和抓住事物的规律和本质。如在教学《长方体的认识》一课时，教师运用电教手段出示一个长方形和一个长方体的示意图，然后启发学生质疑。有学生提出疑问："长方体和长方形究竟有什么不同？"这时，教师不急于给学生解答，而是引导学生仔细观察屏幕上的长方体和长方形，分析比较他们的不同之处，再进行热烈的讨论。讨论中，有位同学对此问题提出了自己的看法，他说："我在纸板上画一个对边相等、四个角都是直角的图形是长方形，它只有长和宽，没有高。当我把这个长方形剪下来时它就有了高，尽管它的高不容易看出，但它却是一个长方体。"然后全班再进行了交流，理解了长方形是一个平面图形，长方体是一个立体图形。从而建立科学正确的表象，发展了空间观念，思维的深刻性得到了培养。此外，教学过程中，教师还应注意数学知识中的有些概念与学生日常生活实践经验不一致的地方，如学生往往会误认为等腰三角形的"顶角"总是在上面，"底角"总是在下面。垂线与铅垂线的区别，片面地认为只有水平线与铅垂线才叫互相垂直等。有经验的教师在几何初步知识教学中，不但善于利用学生已有的生活经验来帮助学生理解所学知识，而且善于帮助学生注意数学概念与生活实践经验中不一致的地方，这样才能使学生形成正确的表象，有益思维深刻性的培养。

二、 在操作实践中注重思维灵活性的养成

思维的灵活性指的是善于从不同角度和不同方面进行分析思考，学生解题的思路广、方法多、解法好就是思维灵活的表现。在教学几何形体时，指导学生用铁丝、编织条等材料，围成几种常见的框架形体，让学生用他们的小手去触摸、感知，加深理解，建立丰富的表象，提高空间的想象力。如用两个圆圈和3根等长的铁丝制成框架式的形体，展开后经过观察与讨论，学生思路打开，想象丰富。他们把这个框架式的形体既可看作有底有盖的油桶，又可看作有底无盖的水桶，还可以看作无底无盖的烟囱，还可以看作是一个与圆柱体等底等高的圆锥体。学生的想象空间得到充分的扩展，有助于思维灵活性的养成。课堂教学时为了帮助学生理解较为抽象的几何知识，动手操作是较为理想的可行办法。例如：在教学平面图形的对称性时，理解"对称"较为抽象，教师可以先向学生展示准备好的剪纸（对称图形：花边、五角星……）让学生发现这些剪纸的美丽和奇特。猜测老师怎么会剪出来的，跃跃欲试的学生可以自己尝试着剪。允许他们率性而为，允许他们失败，甚至允许他们犯错误。教师尽量多给他们动手操作的机会。学生通过动手实践，合作交流，理解"对称"的意义。并不断尝试着得出对称花纹的正确剪法（其实就是对对称的实际应用）。通过观察这些图形的共同特征，理解折痕就是"对称轴"。然后出示一组平面图形：正方形、长方形、三角形（一般的和等腰的）、平行四边形等，判断它们的对称性和各有几条对称轴。学生可以讨论，可以求助，也可以自己想办法解决。通过了上面的动手操作之后，学生大部分还是喜欢自己动手，剪一剪、折一折。马上可以得到验证，并及时得到反馈。在这样的教学过程中抓住时机，让学生动手操作，有效地促进了学生对几何形体知识的感受、领悟和欣赏，有助于学生促进学生思维的灵活。

三、 在图形求积时注重思维敏捷性的强化

思维的敏捷性是指思维活动的速度。表现在数学学习中，能善于抓住问题的本质，正确、合理、巧妙地运用概念、法则、性质、公式等基本知识，简缩运算环节和推理过程，使运算既准又快。例如：已知平行四边形相邻的两条边分别长8厘米和5厘米，一条边上的高是6厘米，求这个平行四边形的面积。学生已经掌握了平行四边形面积=底×高，但此题需要学生先迅速正确地判断平行四边形相对应的底和高，排除多余条件才能正确的求出面积。而不是随便用条件来直接求。这样的训练有助于思维的敏捷性培养，提高学生解题的正确率。再例如：学生通过实践，得知了圆锥和圆柱的体积关系后，安排这样的练习：（1）将一个圆柱形木料加工成一个最大的圆锥体，它的体积是12立方厘米，原来的圆柱的体积是多少？削去的体积是多少？（2）把圆柱形容器中的满杯水，倒入圆锥形容器中3次正好倒完吗？这样的练习既强化了圆锥和圆柱体积之间本质关系，尤其第2题强化了"等底等高"，又使学生思维的敏捷性得到了较好的训练。有益于学生以后圆锥体积的正确计算。

四、 在实际应用中培养思维的独创性

等腰三角形有几条对称轴范文第5篇

一、课堂实录

1.明确概念：

充分利用几何画板上的图形可运动变化的功能，以复习提问的方式先回顾矩形的形成过程，然后顺势过渡到邻边相等的特殊情况，直接明确“菱形”的概念。

2.鼓励学生列举几个生活中菱形的实例，拉近与新知的心理距离，激起对其进一步探究的兴趣。

3.出示本节课学习目标：

①理解菱形的概念，明确菱形与平行四边形的联系与区别;

②探究并证明菱形的性质，能灵活地利用菱形的性质进行相关的计算;

③在合作学习过程中，学习阐述自己观点的方法。

4.问题：菱形是特殊的平行四边形，那么它是不是像矩形一样，除具备平行四边形的一切性质以外，还具有一些属于自己特有的性质呢？

铺垫：在探究性质之前，先观察几何画板中动态变化的菱形，BD不变，拉长或缩短AC;AC不变，再拉长或缩短BD。B、D由在点O处重合再慢慢分开。演示几次后，先独立寻找3分钟，然后小组内交流，成果分享，再次提升，本环节时间共用时6分钟。

5.成果汇报（代表的是学习小组），组际之间相互补充，教师板书（有意排列顺序）。7名学生汇报，经整理所得结果如下：

（1）菱形的四条边相等;

（2）菱形的对角线相互垂直;

（3）菱形的每一条对角线平分一组对角;（原结论：对角线平分内角）

（4）菱形被对角线分成四个全等的直角三角形;（一组看出全等，另一组补充直角）

（5）菱形是以对角线所在的直线为对称轴的轴对称图形。（一组说对称，另一组说对称轴是对角线，教师追问后，又一名学生补充完整）

6.结论证明：

完全放手，以自愿抢答的方式到黑板前，借助于黑板上的图形讲解性质1的证明思路，写出证明过程。待大家都认可后，教师明确这是菱形性质定理1。

接下来在课前发放的答题卡上证明归纳出来第2条和第3条性质。完成方式是，先独立完成，时间3分钟，然后相互交流（没思路的可向他人请教，已完成的同学间相互比对一下思路及证明过程，相互借鉴，修正，尽量使自己完成得更完美），交流时间3分钟。然后，采取自愿抢答式到黑板前向大家汇报自己的证明思路，并用实物展台展示自己的证明过程。

第一名学生是证明ABO≌ADO的方法;

第二名学生反驳，证明得太唆，可以直接利用等腰三角形三线合一的性质，AB=AD，BO=DO，所以ACBD，∠BAC=∠DAC。

第一名学生一拍脑门，哦，我忘了这条性质。师追问：还有没有其他证明方法呢？沉寂了好一会，没有结果。师：如果你有兴趣，课下继续去研究，相信你一定还会找到其他方法。

第2条、第3条反应的都是对角线的性质，所以合二为一，明确这是菱形的性质定理2。

有了对性质定理2的证明，第4条、第5条的结论证明一带而过，采取抢答的方式到黑板前讲解思路即可。教师明确，这两条结论虽然成立，但不属于菱形的性质定理。

7.性质定理的应用：

如图2，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，求菱形ABCD的周长和面积。

解决的办法还是放手，让学生先独立思考解答，时间3分钟。时间到了之后直接汇报。第一步求周长，没问题。第二步，求面积，意见出现了分歧：

第一名学生是先求一个小直角三角形的面积，再乘以4。

第二名学生认为先求ABD的面积更为简洁。

两个方法代表着两种思路，结合着本题的已知条件，一番辩论，在辩论的过程中，有一个学生发现了技巧：用BD的长乘以AO的长直接就是菱形的面积。

我赶紧追问为什么？这名学生走到前面，结合着式子清楚地解释了一番，班级都静了。我表示惊讶，本节课小组评价的创新分出现了，直接为这名同学所在的小组加上5分。顺势追问，如果把菱形的两条对角线的长加以改变，谁能快速地回答出这个菱形的面积？列举三例，都顺利解答。于是给出了菱形又一个面积公式S菱形ABCD= AC・BD。

8.巩固提升1：

如图3，在菱形ABCD中，∠BAC=30°，BC=6。

求：（1）∠BCD和∠ABC的度数。

（2）对角线AC、BD的长。

（3）菱形ABCD的面积。

解决办法还是独立思考解答3分钟，然后直接汇报。

（1）求∠BCD，第一名学生是：AB=BC，所以∠BCA=∠BAC=30°，所以∠BCD=2∠BCA=60°。

第二名学生：因为AB∥CD，所以∠DCA=∠BAC=30°， 所以∠BCD=2 ∠DCA=60°。

第三名学生是：因为∠BAD=2 ∠BAC=60°，所以∠BCD= ∠BAD=60°。

（2）求∠ABC，第一名学生的解法竟然是：∠BAC=∠BCD=60°，又因为四边形内角和等于360°，所以∠ABC+∠ADC=360°-2×60°=240°，所以∠ABC=240°÷2=120°。

第二名学生不同意第一名同学的解法，认为太麻烦，他的解法是：在RtAOB中，求出∠ABO再乘以2，奇怪的是全班学生都同意。当我追问∠BCD与∠ABC是不是应该存在着某种关系时，很多学生才恍然大悟，可以根据两直线平行，同旁内角互补，直接由∠ABC=180°-∠BCD求得。

第2问、第3问，完成得都很顺利。

9.巩固提升2：

在第8题的任何已知条件都不变，试求AB边上的高DH的长，如图4。利用几何画板，显示出菱形ABCD边AB上的高DH。独立思考解答2分钟。

成果汇报：

第一名学生：因为∠BAD=60°，AB=AD，所以ABD是等边三角形，所以 ，在RtBDH中， 。其他学生无疑问，我追问：既然ABD是等边三角形，那么AB边的高DH与BD边上的高AO是不是应该相等呀，AO的长我们已经求得了，还用再这样求吗？学生恍然大悟，然后笑了。我的话题一转，ABD是等边三角形是特殊情况，如果是等边三角形这种方法就不再适用了，那还可以怎样求呢？

第二名学生：由第8题的 ，所以 ，所以

。其他学生感觉到很巧妙，无异议。我追问，这位同学是巧妙地利用三角形面积公式建立关于DH的方程解答的本题。同学们再想：由边AB和它上的高DH仅仅就能表示出ABD的面积吗？静了一会后有学生举手了，又等了一会，更多的学生眼睛亮了，还按捺不住的向周边的同学解释起来。教师总结，本节课我们是得到了一个新的菱形面积公式，但平行四边形的面积公式仍然适用于它，因为它还是平行四边形。

二、各环节设计意图

第一环节属于概念教学。不适合让学生自己摸索，耗时量太大，还很难抓住关键，恰当的利用教具让他们感觉到出现的顺畅自然，又能建立起清晰的概念即可，这属于“收”。

第三个环节，明确学习目标。顺畅的出示学习目标，更容易激起学生迎难而进的欲望，有的放矢总比盲目跟从的效率要高。但学习目标绝不等同于教学目标，它只是明确本节课需要挑战的各项任务，要回避结论性的东西。例如本节课的学习目标2，明确本节课的主要任务就是找到并证明菱形的性质，还要能用这些性质进行相关的计算，至于究竟性质是什么？有几条？都是未知的。开放课堂，大把的时间放手交给了学生，如果他们只有到下课时才知道本节课的目的是什么，那整个过程一定是低效的。

第四个环节是性质的探究。如果开头就放，任务泛泛，留给学生的空间过大，在有限的时间内，收获可能要有限。所以我在学生探究前，利用几何画板的特有功能，让图形动起来，让学生在动态变化的图形中去发现那些固定不变的特征。为了防止无的放矢，在放手之前，我还设计了一道判断题：“在菱形的变化过程中，我发现AO=CO始终成立，你认为这是我们要找的菱形性质吗？”意图是先用一个实例，提醒学生要找的是那些菱形特有的，而一般平行四边形不具有的性质。这是一个“收”的过程。但收也绝不能过头，如果用菱形卡纸折叠演示，一定会使性质的发现变得更为顺畅，但却使学习缺少了挑战性。完成没有挑战性的任务是乏味和无聊的，情趣和能力培养当然也就要大打折扣。

第六个环节是性质的应用。性质的应用与性质的证明一样，都是尽量放手，给学生足够的时间与空间，充分地信任他们的能力，允许他们走弯路，甚至于犯错。事实也正是如此，性质定理2的证明;第7题求面积;第8题求角度;第9小题，知道菱形边长及面积，求一边上的高等等，这些烦琐的解题方法，如果是教师掌控的课堂，是不可能出现的。但是这些恰恰是孩子们真真正正的最本真的思考。接受新知原本就是使新知与自己已有知识基础重构的过程，是不能替代的。放手了，学生前行得虽然磕磕绊绊，但是方法的掌握、能力的培养、情趣的激发、合作意识的建立等等却全在其中。表面上看，我们的“放”也许多耗掉了一些时间，但在这个过程中学生的思维是活的、精神是专注的、心情是愉悦的。也可以说，这才是真正意义上的学习，而不是嚼蜡似的接受。本节课所有新的知识点挖掘和应用基本上都是由学生完成的。本节课到黑板前讲解的有7人，原座位站起回答、质疑或补充的有21人，且很少让一人多次回答。