二次函数
前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇二次函数范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。
二次函数范文第1篇
在初中阶段，学生已经接触了二次函数，也作了较详细的学习、研究，由于初中学生理解能力较弱，知识系统的不完善，关于二次函数的内容的学习比较机械的，仅仅掌握了二次函数的图像及二次函数几种形式，但没有从本质去理解它。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。
一、进一步深入理解函数概念。学生在初中阶段已经学习了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，然后用映射观点来理解函数，这时就可以用学生对函数就有了本质的把握。特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射?：AB，使得集合B中的元素 与集合A的元素X对应，记为 ）这里 表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识。
二、二次函数的单调性与图象。在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数 在区间 及 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学次函数有关的一些函数单调性。如：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。如： 等，这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。或者利用让学生利用图像的对称变化、平移变化来画出其图像，对于图像问题要强调，江西省自2005年高考数学自主命题以来，每年都会考查至少一道图像题目。
三、二次函数的值域。对于二次函数值域的练习要分为不含参数、含参数两种，而不含参数的二次函数值域练习又要分为全定义域和限制型定义域两种。如： 在R上、在区间 、 、 、 上的值域。尤其要注意分析第三、五两种，让学生认识到单调性对解决函数值域的重要性，为利用导数方法解决函数值域问题打下伏笔。 在区间 上的值域，在教学实际中还可以将参数的位置进行调换，比如 ，对学生展开充分的训练，加强他们的运算能力及对二次函数值域求法的理解。
四、二次函数与一元二次不等式、一元二次方程的关系。通过利用图像的讲解让学生掌握三者之间的关系，尤其是一元二次不等式的解法，通过利用二次函数图象能让学生形象直观的得到结论。关于这部分知识的题目难度就比较高，要求学生有很好的分析能力。如：已知函数 ， 为方程 的两根，且 ，给出下列不等式，其中成立的是（ ）
① ② ③ ④
A.①④ B.③④ C.①② D.②④
二次函数范文第2篇
一、“二次”的应用
函数、方程、不等式三者，在一定条件下可以相互联系. 函数是研究y与x之间的对应关系，而方程则是求x取何值时，函数值恰好为零；不等式就是考察x的值在什么范围变化时，函数值为正或负. 当a ≠ 0时，方程ax2 + bx + c = 0的解就是二次函数y = ax2 + bx + c的图像与x轴交点的横坐标；不等式ax2 + bx + c > 0（或ax2 + bx + c < 0）的解集就是二次函数y = ax2 + bx + c的图像中位于x轴上方（或下方）部分的点的横坐标x的取值范围，所以说函数、方程、不等式是一个问题的三个方面，它们又统一在函数之中.
1. 在解方程和不等式中的应用
例1 （2007贵州省贵阳）二次函数y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c（a ≠ 0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题：
（1）写出方程ax2 + bx + c = 0的两个根．
（2）写出不等式ax2 + bx + c > 0的解集．
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围.
（4）若方程ax2 + bx + c = k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
答案 （1）x1 = 1，x2 = 3.（2）1 < x < 3.（3）x > 2.（4）k < 2.
例2 （2008年安徽省）如图为二次函数y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c的图像，在下列说法中：
① ac ＜ 0；
②方程ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0的根是
x1 ＝ －1，x2 ＝ 3
③ a ＋ b ＋ c ＞ 0
④当x ＞ 1时，y随x的增大而增大.
正确的说法有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （把正确的答案的序号都填在横线上）
答案 正确的说法有：①②④.
2. 在解方程组的应用
例3 （2007甘肃陇南）如图，抛物线y = ■x2 + mx + n交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点P是它的顶点，点A的横坐标是-3，点B的横坐标是1．
（1）求m，n的值；
（2）求直线PC的解析式；
解 （1）由已知条件可知： 抛物线y = ■x2 + mx + n经过A（－3，0）、B（1，0）两点．
0 ＝ ■ － 3m ＋ n，0 ＝ ■ ＋ m ＋ n．，解得m ＝ 1，n ＝ -■．
（2） y = ■x2 + x - ■， P（－1，－2），C0，－■．
设直线PC的解析式是y ＝ kx ＋ b，则－2 ＝ －k ＋ b，b ＝ －■．
解得k ＝■，b ＝ －■．
直线PC的解析式是y = ■x - ■．
从以上解题可以看出，求两个图像的交点坐标，一般方法是把两函数的解析式联立成方程组，求出方程组的解，就是它们的交点坐标；反之，图像交点的坐标，也就是方程组的解. 因此，在研究二次函数的问题时，必须让学生熟练掌握方程组的解法，明确函数、方程（组）的密切联系．
二、联系实际，综合运用
新课程标准，对学生能力的培养提出了较高要求，特别强调学生运用所学数学知识，解决现代社会实际问题的能力. 为了考查学生的能力，许多地方近几年的中考数学试题，解法灵活，思路开阔，不拘泥于旧的框框套套，能很好地考查学生综合运用知识的能力．
1． 在实际生活中的应用
例4 （2007兰州市）某农场计划建一个养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙（墙足够长），另外的部分用30米的竹篱笆围成，现有两种方案：①围成一个矩形（如上左图）；②围成一个半圆形（如上右图）．设矩形的面积为S1平方米，宽为x米，半圆形的面积为S2平方米，半径为r米，请你通过计算帮助农场主选择一个围成区域面积最大的方案（π ≈ 3）．
解 S1 ＝ x（30 － 2x） ＝ －2x2 ＋ 30x ＝ －2x － ■2 ＋ ■.
当x ＝ ■米时，S1取最大值■平方米.
由30 ＝ πr得r ＝ 10米.
S2 ＝ ■πr2 ＝ ■ × 3 × 100 ＝ 150平方米.
■ ＜ 150， S1 ＜ S2，
应选择方案②.
从以上可以看出，把实际问题归结为二次函数问题，关键是从实际生活中获取必要的信息，将内在的本质联系挖掘出来，抽象处理有关信息，建立函数模型，利用函数知识来解决问题. 特别注意，利用函数解决实际问题时，自变量的取值范围必须要明确．
2． 与几何有关的应用
例5 （2009兰州市）如图①，正方形 ABCD中，点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿ABCD匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为t秒．
（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图像如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）在（1）中当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；
（4）如果点P，Q保持原速度不变，当点P沿ABCD匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
解 （1）Q（1，0），点P运动速度每秒钟1个单位长度.
（2） 过点B作BFy轴于点F，BEx轴于点E，则BF ＝ 8，OF = BE = 4．
AF = 10 - 4 = 6，在RtAFB中，AB = ■ = 10 过点C作CGx轴于点G，与FB的延长线交于点H．
∠ABC = 90°，AB = BC，
ABF ≌ BCH．
BH = AF = 6，CH = BF = 8．
OG ＝ FH ＝ 8 ＋ 6 ＝ 14，CG ＝ 8 ＋ 4 ＝ 12．
所求C点的坐标为（14，12）．
（3）过点P作PMy轴于点M，PNx轴于点N，
则APM∽ABF．
■ = ■ = ■． ■ = ■ = ■．
AM = ■t，PM = ■t.
PN = OM = 10 -■t，ON = PM = ■t ．
设OPQ的面积为S（平方单位）.
S ＝ ■ × 10 － ■t（1 ＋ t） = 5 + ■t - ■t2（0 ≤ t ≤ 10）.
a = -■ ＜ 0，
当t = -■ = ■时， OPQ的面积最大．
此时P的坐标为 ■，■ ．
（4）当t = ■或t = ■时， OP与PQ相等．
二次函数范文第3篇
一、进一步深入理解函数概念
初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f:AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为f(x)= ax2+bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
类型I：已知f(x)= 2x2+x+2，求f(x+1)
这里不能把f(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
类型Ⅱ：设f(x+1)=x2－4x+1,求f(x)
这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。
一般有两种方法：
(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。
f(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得f(x)=x2－6x+6
(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
令t=x+1，则x=t-1(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6从而f(x)= x2－6x+6
二、二次函数的单调性，最值与图象。
在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，-]及[－，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学次函数有关的一些函数单调性。
类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
（1）y=x2+2|x－1|－1
（2）y=|x2－1|
（3）y=x2+2|x|－1
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。
类型Ⅳ设f(x)=x2－2x－1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。
求：g(t)并画出y=g(t)的图象
解：f(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1时取最小值－2
当1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2
当t＞1时，g(t)=f(t)=t2－2t－1
当t＜0时，g(t)=f(t+1)=t2－2
t2－2, (t
g(t)=-2，(0≤t≤1)
t2－2t－1, (t>1)
首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。
如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域。
三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：
类型Ⅴ：设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)方程f(x)－x=0的两个根x1，x2满足0
(Ⅰ)当X∈(0,x1)时，证明X
(Ⅱ)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明x0
解题思路：
本题要证明的是x
(Ⅰ)先证明x
因为0
根据韦达定理,有x1x2= 0＜x1＜x2
(Ⅱ) f(x)=ax2+bx+c=a（x+）2+(c－),（a>0）
函数f(x)的图象的对称轴为直线x=－,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=－，因为x1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=－ ，x2－
二次函数范文第4篇
关键词:中考 二次函数 方法
在近几年中考中有如下二次函数题,这道题目考查的知识点多,综合性较强,解题灵活多变。考生在做这样的题时,认为难度较大,其实这样的题也有一定的方法,只要掌握方法,也能灵活解决。
例题:(2009年陕西中考题)如下图:在平面直角坐标系中,OBOA且OB=2OA,点A的坐标是(-1,2).
(1)求点B的坐标;
(2)求过A、O、B的抛物线的解析式;
(3)连接AB,在(2)中的抛物线上求出点P,使得SABP=SABO.
■
在解本题的问题时,我们应从以下几方面入手:
1.找出适当的切入点:在找切入点时,应加强条件的分析和挖掘。本题有三个条件:(1)A(-1,2);(2)OBOA;(3)OB=2OA。这个题又是一道解答题,所以A的坐标就是一个切入点,通过做辅助线AEx轴,就可得:AE=2,OE=1,这样一来RtAEO的三边就成为已知条件。
2.找出关系,灵活运用:题目中的OBOA,OB=2OA。当过B点作BFx轴于点F时,RtOFB与RtAEO就相似了。运用OB=2OA和相似三角形的性质就可以得出B点的坐标,即B(4,2)。
3.本题分析到这一步,下面的问题就容易解决了。第(2)问中求过A、O、B的抛物线的解析式。A、O、B的坐标都已知,可以用待定系数法求解:y=■x2-■x
4.在(2)中的抛物线上求出点P,使得SABP=SABO,这是一个存在性问题,讨论问题要全面,不能多解,也不能漏解。三角形面积要相等,必须是同底(等底)同高(等高)的面积相等,而ABO的面积为定值,底AB=5且AB∥x轴,AB边上的高为2,这样可做AB的平行线且到AB的距离等于2。这样的平行线有两条,与抛物线就有4个交点,而交点的纵坐标值为已知的是0和4。实际解两个一元二次方程就可以得出点P的横坐标,即:P1(0,0);P2(3,0);P3(■,4);P4(■,4)。
近几年的中考都有类似上述二次函数的综合性题目。对学生来说,做这样的题,既有分析问题上的难度,又有综合运用上的难度。这两个难度产生的原因有三点:①数形结合应用不到位;②对于图形和函数的性质理解不到位;③综合分析问题能力不到位。要解决这几个不到位的问题,老师在引导学生复习时,要做好以下几个方面:
第一,加强数形结合的思想。数形结合的问题,许多是在平面直角坐标系中讨论问题。数与形的结合点,由坐标可以推断线段的长,反过来,由线段的长度可以确定点的坐标。在这个确定过程中可能用到解直角三角形的知识和相似三角形的知识。我们运用这知识把线段的长度和点的坐标有机地结合起来,数形结合的问题就达到理解和运用了。
例如在平面直角坐标系中,图形的变化与坐标的关系。这里的图形变换包括对称变换、平移变换、旋转变换。即关于x轴对称两个图形中的对应点的坐标关系是横坐标不变,纵坐标互为相反数;关于y轴对称的两个图形的对应点的坐标关系是横坐标互为相反数,纵坐标不变;关于坐标原点对称的两个图形的对应点的坐标关系是横坐标纵坐标均互为相反数。平移变换,包括沿x轴正反方向平移,图形的坐标关系为:正向横坐标加,反向横坐标减,纵坐标不变;沿y轴正反方向平移,坐标关系为横坐标不变,纵坐标正向加,反向减。而对于旋转特殊角:30°,45°,60°后的图形的坐标可以计算。图形与坐标是数与型结合的一个基本知识点,这部分内容也是我们建立数与形结合的一个模型。另外,在平面直角坐标系中,对多边形的面积计算,常用方法是对多边形进行分割,根据点的坐标的定义把它分为直角三角形和直角梯形进行计算,这也是数与形结合的一种运用。
第二,做好基础知识的理解。图形的性质、判定、函数的性质,在复习时,要加强记忆、理解和运用,要能熟练地说出某个图形函数的性质。在具体问题中,会根据条件判断出图形具有什么特征,可以由这些特征确定解题方法和思路。
如函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,a、b、c的正负将确定抛物线的开口方向;对称轴位置,对称轴两边函数随自变量的变化情况;顶点坐标及与y轴交点的位置,抛物线在坐标平面内平移与顶点式y=a(x-h)2+k的变化关系。这些函数的性质,不仅要记忆而且要理解和会运用。另外像直角三角形、等腰三角形、等边三角形、全等三角形、相似三角形的性质,也是解这部分题的基础。所以学生在数学学习过程中,要加强基础知识的理解和运用。
第三,培养学生的综合运用能力。多题一解,对学过的题型归类和解决问题方法归类,对学过的知识条理化、系统化;一题多解,增强学生思考、解决问题的灵活性、多样性。要精讲精练,选择例题时要具有代表性、一般性和普遍性。练习要精心设计,达到复习、巩固、提高的目的。
总之,学生在考试中解这类题时,加强审题,由条件推断函数具有何种特性,图形具有什么特征。利用这些特性和特征结合图像和图形,综合分析,确定出合理的解题方法。
二次函数范文第5篇
一、 对中考二次函数试题的分析
例1（2011哈尔滨市中考）在抛物线y=-x+1 上的一个点是（）
A. （1，0） B. （0，0）
C. （0，-1) D. （1，1)
考点二次函数的图像与性质.
分析本题属于基础题，由于二次函数图像上的点的坐标满足二次函数的关系式，反之，满足二次函数的关系式的点的坐标，这个点一定在二次函数图像上，所以可以利用代入法进行验证，故选（A）.
例2（2011上海市中考）抛物线y＝－（x＋2）－3的顶点坐标是（）
A. （2，－3） B. （－2，3）
C. （2，3） D. （－2，－3）
考点二次函数的图像与性质、顶点的坐标.
分析本题属于基础题，由于题目直接给出了抛物线的顶点形式，可以从关系式中直接写出抛物线的顶点坐标（－2，－3），故选（D）.
例3（2011年烟台市中考）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（）
A. m＝n，k＞h B. m＝n，k＜h ?摇
C. m＞n，k＝h D. m＜n，k＝h
考点二次函数的图象与性质.
分析本题考查学生的理解、运用二次函数图像与性质的情况，属于能力题.从图像上看，两条抛物线有相同的对称轴，那么m＝n，k＞h，故选（A）.
例4（2011年河北省中考）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h=-5（t-1）+6，则小球距离地面的最大高度是（）
A. 1米 B. 5米
C. 6米 D. 7米
考点二次函数的应用.
分析首先要理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h=-5（t-1）+6的顶点坐标即可．当t=1时，小球距离地面高度最大，h=-5×（1-1）+6=6（米），故选（C）．
方法解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果，二次函数y=ax+bx+c的顶点坐标是（-，），当x=-时，y的最大值（或最小值）是．
例5（2011常州市中考）已知二次函数y=-x+x-，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取m-1、m+1时对应的函数值为y，y，则y，y必须满足（）
A. y＞0，y＞0 B. y＜0，y＜0
C. y＜0，y＞0 D. y＞0，y＜0
考点抛物线与x轴的交点；二次函数图像上点的坐标特征.
分析本题是有关二次函数的计算题，属于能力题。根据函数的解析式求得函数与x轴的交点坐标，利用自变量x取m时对应的值大于0，确定m-1、m+1的位置，进而确定函数值为y，y．令y=-x+x-=0，解得：x=，由于当自变量x取m时对应的值大于0，＜m＜，m-1＜，m+1＞，可以知道：y＜0，y＜0．故选（B）．
例6（2011南京市中考）已知函数y=mx－6x＋1（m是常数）．
（1） 求证：不论m为何值，该函数的图像都经过y轴上的一个定点；
（2）若该函数的图像与x轴只有一个交点，求m的值．
考点一次函数、二次函数、一元二次方程.
分析本题是二次函数与其他知识的综合题，属于能力题.
（1） 由于二次函数的常数项为1, 故x=0时，y=1得证.
（2） 考虑两种情况，当m=0函数为一次函数, 与X轴有一个交点；当m≠0函数为二次函数, 由函数y=f（x） 与X轴有一个交点的要求, 对应的一元二次方程f（x）=0有两个相等的实数根, 即根的判别式等于0, 从而求解。另外也可以考虑二次函数顶点的纵坐标为0求解, 即=0?圯m=9.
例7（2011盐城市中考）已知二次函数y =?摇-x- x +.
（1） 在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图像；
（2） 根据图像，写出当y＜ 0时，x的取值范围；
（3） 若将此图像沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图像所对应的函数关系式．
考点二次函数的图像与性质、平移.
分析本题是考查学生的二次函数图像与性质的理解、掌握情况，属于能力题.
（1） 因为y=-x- x +=-（x+1）+2；y=0，x=-2，1。所以这个函数的图像顶点在（-1，2），对称轴是x=-1，与x轴的两个交点是（-2，0），（1，0）.据此可画出这个函数的图像.
（2） 根据图象，y＜ 0时图像在x轴下方，此时对应的x的取值范围是x＜-3或x＞1.
（3） 若将此图像沿x轴向右平移3个单位，只要考虑图像顶点（-1，2）向右平移3个单位得到（3，2），从而由y=-（x+1）+2变为y=-（x-2）+2.
例8（2011泰州市中考）已知二次函数y=x+bx－3的图像经过点P（－2，5）
（1） 求b的值并写出当1＜x≤3时y的取值范围；
（2） 设P（m，y），P（m+1，y），P（m+2，y）在这个二次函数的图像上，
① 当m=4时，y，y，y能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
② 当m取不小于5的任意实数时，y，y，y一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由.
考点二次函数的增减性、 构成三角形的条件.
分析（1） 把点P的坐标代入y=x+bx－3即可得到b的值. 根据二次函数的增减性知当x≥1时y随x增大而增大,所以只要求x=1 .3时y的值即可得解.
?摇（2） 根据根据两边之和大于第三边的三角形构成的条件可得证.
例9（2010苏州市中考）如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B.已知A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4）.
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 设M（m，n）是抛物线上的一点（m、n为正整数），且它位于对称轴的右侧.若以M，B，O，A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；
（3） 在（2）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是否总成立？请说明理由.
考点二次函数的图像与性质、四边形的性质.
分析本题考查学生“数形结合”的思想，属于拓展题.
（1） 设y=ax－3，把B0，4代入，得a=.
那么y=x－3.为所求的抛物线的解析式.
（2） 由于m，n为正整数，n=m－3，有m－3应该是9的倍数.而m是3的倍数.且m>3，则m=6，9，12，…当m=6时，n=4，此时，MA=5，MB=6.四边形OAMB的四边长为3，4，5，6.当m?叟9时，MB>6，所以四边形OAMB的四边长不能是四个连续的正整数.故点M的坐标只有一种可能（6，4）.
（3） 设P3，t，MB与对称轴交点为D.则PA=t，PD=4－t.
PM=PB=4－t+9，
有PA+PB+PM=t+24－t?摇+9
=3t－16t+50=3t－+.
当t=时，PA+PB+PM有最小值，所以PA+PB+PM>28总是成立.
二、 谈二次函数的复习
1. “兴趣是最好的老师”.在复次函数的时候，教师要想方设法激发学生的学习兴趣.在初学的时候，可能有部分学生就已经感到二次函数很难、不容易理解、掌握、应用，丧失了信心，感觉越学越枯燥、泛味、抽象，有些内容如听天书，问题越来越多，在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，而老师可能由于赶教学的进度，也没有好好地“磨”，这些学生更容易进入函数学习的“冰冻期”，动摇了学好二次函数的信心，甚至失去了学次函数的兴趣.因此教师在引导学生复次函数的时候，要着力于继续培养和调动学生学次函数的浓厚的学习兴趣.教师可以从二次函数的广泛应用，来激发学生学好函数的热情，可以通过介绍函数在自然科学和社会科学研究中，尤其是在工农业生产、军事、生活等方面的巨大作用，来诱发学生对二次函数的兴趣；可以通过挖掘二次函数中的美育因素，使学生受到美的熏陶.此外，教师在复习的过程中，可以有目的地选择往年的中考二次函数题作为教学的内容，选用生动活泼、贴近学生生活的教学方式、方法引起学生的兴趣，使学生产生强烈的求知欲；可以通过运用形象生动、贴近学生、幽默风趣的语言来感染学生；可以通过安排既严谨又活泼的教学结构，形成和谐、合作交流的氛围，使学生积极主动、心情愉快地学习，体会探究二次函数知识与技能、过程与方法的乐趣，从而学有所获、学有成效.
2. 要引导学生通过梳理几个特殊型二次函数的关系式，形成知识网络、体系.在进行复习教学时，教师一定要指导学生对比整理学过的几个特殊的二次函数的关系式：（1）y=ax 其图像顶点为原点对称轴是y轴，开口由a性质符号确定；（2） y= ax+k其图像顶点（0，k）对称轴是y轴；（3） y=a(x-h)其图像顶点（h，0）对称轴是直线x=h；（4） y=a（x-h）+k其图像顶点（h，k），对称轴是直线x=h；（5） y=ax+bx+c其图像顶点（-，），对称轴是直线x=-. 如果学生对这些基本知识了如指掌，教师就可以精选往年的典型中考试题让学生进行尝试练习，通过反馈的情况来调整复习的方向、进度.
