分式方程的解法
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分式方程的解法范文第1篇
关键词 常微分方程 二阶微分方程 一阶隐式方程 通解
中图分类号：O175.1 文献标识码：A
Several Solutions of Second-order Ordinary Differential Equations
LI Ziping
（Lincang Teachers' College， Lincang， Yunnan 677000）
Abstract The paper discusses the Solution for some class of two order implicit ordinary differential equations that cannot be obtained from the （，，，） = 0.
Key words ordinary differential equation； two order differential equation； first order implicit equation； the general solution
对于高阶常微分方程，一般没有固定的实际解法。在二阶常微分方程 （，，，）中，若能解出，则可用降阶法求原方程得的通解（见文[1]），但有些方程却不能解出。本文就四类解不出的二阶隐式常微分方程进行求解。
1 形如 = （，）（a）的隐式常微分方程
令 = ，则 = = ，
从而，方程（）可化为
= （ ） （1）
两边对求导，得：
= （ ） + （ ）
或[（ ）] + （ ） = 0 （2）
为以为自变量，为未知函数的一阶微分方程，解得（2）的通解为 = （，）或 = （，）或 （，，） = 0。
下面对这三种情况，求出原方程的通解。
（i）、若（2）的通解为 = （，），
代入（1）得： = = （，（，））
积分得： = （，（，）） + （，为任意常数）
即为原方程（a）的通解。
（ii）、若（2）的通解为 = （，），
代入方程（1）得（1）的参数形式通解为：
，其中为参数
则
= = （（， ），） = （（， ）， ）（， ）
则积分得：
= （（， ），）（， ） + = （，，）（，为任意常数） 即为原方程（a）的参数形式通解。
（iii）、若（2）的通解为 （，，） = 0，
则（1）的通解为，
= = ，
= = （）
积分得： = （） +
因此，（为参数；，为任意常数）
即为原方程（a）的参数形式通解。
2 形如 = （， ）（b）的隐式常微分方程
令 = ，则 = = ，
于是方程（b）化为：
= （， ） （3）
两边对求导得：
= （， ） + （， ） （4）
或[ （， ）] + （， ） = 0
为以为自变量，为未知函数的一阶微分方程，其通解为
= （，）或 = （，）或 （，，） = 0。
下面分别在三种情形下，求原方程（b）的通解。
（i）、若（4）的通解为 = （，），
则方程（3）的通解为：
= （，（，））
即 = （，（，）（，）） （5）
（a）若能从（5） 中解出， = （，）
则 =（，） + ，
即为原方程（b）的通解。
（b）若从（5）中不能解出，则令 = = ，
则 = （，）
两边对求导，得：
1 = （，） = （，）
或 （，） = 0
其通解为
= （，，）或 = （，，）或（，，，） = 0。
于是原方程（b）的通解为： = （（，，））
或 或 （为参数；，为任意常数）
（ii）若（4）的通解为 = （，），
则方程（3）的通解为：
即
=
= （，） = （，）（，）
积分得： =（，）（，） +
因此，原方程（b）的参数形式通解为：
（为参数；，为任意常数）
（iii）、若（4）的通解为， （，，） = 0
则方程（3）的通解为：
（为参数；为任意常数）
即为原方程（b）的参数形式通解。
3 形如 （， ） = 0（c）的隐式常微分方程
若方程（c）可写成参数形式：（为参数）
则由 = ，
得： = = （）（）
积分得： = （）（） + = （，）
又 = ，
则 = = （，）（）
积分得， = （，）（） + = （，，）
因此，原方程（c）的通解为：
（为参数；，为任意常数）
4 形如 （ ，） = 0（d） 的隐式常微分方程
若方程（d）可写成参数形式（为参数）
则由 = 得： = =
积分得： = + = （，）
又 = ，
则 = = （）（，）
积分得： = （）（，） + = （，，）
则原方程（d）的通解为
（为参数；，为任意常数）
例：求解微分方程 = 0
解：原方程即为， =
用文中类型（b）的方法
令 = ，则 = =
方程化为： = （*）
方程两边对求导，得： = +
即[] =
为以为自变量，为未知函数的一阶微分方程，
为便于运算，设 = ， =
则有（） =
=
两边积分得： =
即： =
由此得（*）的参数形式通解：
= = =
=
=
= [] + []
= + +
+ +
= ∣1+∣+ ∣1∣ + +
由此，原方程的通解为
（为参数；， 为任意常数）
参考文献
[1] 王高雄，周之铭.常微分方程（第二版）[M].高教出版社，1983.
分式方程的解法范文第2篇
人教版九年义务教育数学教材中，解分式方程安排在八年级下期系统学习了分式的四则运算之后，专用一小节学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用，另外在九年级上期一元二次方程一章学习了一元二次方程的解法之后涉及了可化为一元二次方程的分式方程的解法。
分式方程的教学是初中阶段代数方程教学中的重要内容。在分式方程的教学中，要让学生体会分式方程是一种有效描述现实世界的数学模型，解分式方程的基本方法是去分母法，通过这种解法的教学渗透一种重要的数学思想，即转化思想。
通过探究，我们总结出了分式方程教学的基本模式：创设问题情境——列出分式方程——归纳得出概念——自主探究解法——合作交流疑点——剖析增根原因——总结验根方法——练习巩固提高。
在教学可化为一元一次方程的分式方程时，我们进行了如下教学设计：
1 确立导学目标
知识技能：了解分式方程定义，理解分式方程的一般解法和分式方程可能产生增根的原因，掌握解分式方程验根的方法。
过程方法：通过经历实际问题列分式方程探究解分式方程的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的数学模型，发展学生分析和解决实际问题的能力，培养应用意识，渗透转化思想。
情感态度：强化用数学的意识，增进同学之间的配合，增强在数学活动中运用知识解决问题的成功体验，树立学好数学的自信心。
2 确定导学重难点
导学重点：解分式方程的基本思路和方法。
导学难点：理解分式方程可能产生增根的原因。
3 导学过程设计
3.1 创设问题情境，引导列出方程。
数学来源于生活，数学教学应走进生活，生活也应走进数学，数学与生活的结合，会使问题变得具体、生动，学生就会产生亲近感、探究欲，从而诱发内在学习潜能，主动动手、动口、动脑。因此，在教学中，我们应自觉地把生活作为课堂，让数学回归生活，服务生活。培养学生的动手能力和创新能力，丰富和发展学生的数学活动经历，并使学生充分体会到数学之趣、数学之用、数学之美。为此，我们设置了两个问题情境：
情境一：在一次信息技术课上，老师对同学们进行打字速度测试。在相同时间内，吴龙同学录入了80个字，罗静同学录入了60个字，已知吴龙每分钟比罗静多录入5个字，求罗静同学每分钟录入多少个字？
情境二：暑假期间，乐乐一家从烟台乘船到大连旅游。在船上，乐乐的爸爸给她出了这样一道题：我们这艘船在静水中的最大航速为20千米∕时，它以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间是相等的。乐乐，你能计算出海水的流速是多少吗？看到乐乐眉头紧锁的样子，妈妈给了她一点提示：我们可以考虑用方程的思想来解决这个问题。同学们，你能帮助乐乐列出方程吗？
老师启发学生设适当的未知数，根据题意列出方程。同学们经过思考，不难列出方程。在情境一中，设罗静同学每分钟录入x个字，可列方程为：80x+5=60x；在情境二中，设海水的流速为x千米/时，可列方程为：10020+x=6020-x。
老师启发学生观察方程的特点，引导学生归纳得出分式方程的概念，并让学生领会分式方程与以前学过的整式方程的区别。
3.2 自主探究解法，合作交流疑点。
现代认知学习理论认为：数学学习的过程是学生在教师的引导下，能动的构建数学认知结构，并使自己得到全面发展的过程。所以在课堂中教师不应单纯地讲解知识，应引导学生主动探究。在分式方程教学中，教师要有意识地引导学生主动参与学习，鼓励学生进行自主探索和反思并与同学、老师共同合作交流。在新知识的学习过程中引导学生去体会数学思想，使学生对解分式方程的基本思想方法的认识理解能随着学习内容的扩充而不断深化。让学生主动的获得知识，而且在学习过程中产生积极的学习体验和兴趣，同时提高对新知识与已熟悉知识之间联系的认识。
对于刚才列出的分式方程，启发学生通过与含有分母的一元一次方程的解法进行类比，自主探究其解法。部分学生通过类比，得出了通过去分母转化为整式方程求解的基本方法。教师引导学生反思探究过程，归纳出解分式方程的一般方法，让学生体验到转化这一重要的数学思想，解分式方程的基本思想就是要通过去分母把
分式方程转化为整式方程再求解。这也体现了数学上常常要化新知为旧知的基本思路。
此时，教师给出一个会产生增根的分式方程让学生求解，并要求学生验根。例如：解分式方程3x-3=18x2-9。
学生在解出后进行验根，却发现原方程的分母为0。由此产生疑问，这是怎么回事呢，难道解错了吗？学生合作交流，反思解题过程，未发现错误。教师适时介入，介绍增根的概念。
3.3 剖析增根原因，总结验根方法。
教师引导学生剖析解分式方程有可能产生增根的原因，是因为在分式方程的两边都乘以一个含有未知数的整式时，这个整式有可能为零，在把分式方程转化为整式方程后，未知数的取值范围就扩大到了全体实数，因而有可能产生使原方程分母为零的根，这就是增根。因为解分式方程有可能产生不适合原方程的增根，因此必须检验。学生由此明确了增根产生的原因，并理解了解分式方程验根的必要性，教师适时强调解分式方程必须检验。那么如何验根呢？教师引导学生归纳出验根的基本方法。
3.4 例题示范小结，练习巩固提高。
教师给出例题示范，并由学生小结解分式方程的一般步骤和注意事项。通过课堂练习巩固，布置课后作业。
分式方程的解法范文第3篇
教师作为数学教学主导，在设计数学活动时要遵循以下原则：
一、根据学生的年龄特征和认知特点组织教学。
二、重视培养学生的应用意识和实践能力。
1、让学生在现实情境和已有的生活和知识经验中体验和理解数学。
2、培养学生应用数学的意识和提高解决问题的能力。
三、重视引导学生自主探索，培养学生的创新精神。
1、引导学生动手实践、自主探索和合作交流。
2、鼓励学生解决问题策略的多样化。
四、教师对教学目标，难点，重点把握要恰当、具体。
数的计算非常重要，计算是帮助我们解决问题的工具，只有在具体的情境中才能让学生真正认识计算的作用。首先应当让学生理解的是面对具体的情境，确定是否需要计算，然后再确定需要什么样的计算方法。口算、笔算、估算、计算器和计算机都是供学生选择的方式，都可以达到算出结果的目的。
一、设计思想：初中数学说课稿
数学来源于生活，数学教学应走进生活，生活也应走进数学，数学与生活的结合，会使问题变得具体、生动，学生就会产生亲近感、探究欲，从而诱发内在学习潜能，主动动手、动口、动脑。因此，在教学中，我们应自觉地把生活作为课堂，让数学回归生活，服务生活。培养学生的动手能力和创新能力，丰富和发展学生的数学活动经历，并使学生充分体会到数学之趣、数学之用、数学之美。
处理好教与学的关系。教师既要做到精讲精练，又要敢于放手引导学生参与尝试和讨论，展开思维活动 。
根据新教材留给学生一定的思维空间的特点，教师要鼓励学生自己动脑参与探索，让学生有发表意见的机会，绝对不能包办代替，使学生不仅能学会，而且能会学。充分发挥网络在课堂教学中的优势，力争促进学生学习方式的转变，由被动听讲式学习转变为积极主动的探索发现式学习。数学问题生活化，主导主体相结合，发挥媒体技术优势，探究练习相结合，符合《课标》精神。
网络环境下代数课的教学模式：设置情境-提出问题-自主探究-合作交流-反思评价-巩固练习-总结提高
二、背景分析：
（一）学情分析：
内容是义务教育课程标准实验教科书（人民教育出版社）数学八年级下册第十六章：《分式》
学生是本校初二实验班的学生，参加北师大“基础教育跨越式发展”课题实验一年半，学生基础知识较扎实，具有一定探索解决问题的能力，电脑使用水平较熟练，对于网络环境下的学习模式已适应。
本节课实施网络环境下教学，采用自学导读式教学模式。学生喜欢上网络数学课，学习数学的兴趣较浓。
（二）内容分析：
本节内容是在学生掌握了一元一次方程的解法和分式四则运算的基础上进行的，为后面学习可化为一元二次方程的分式方程打下基础。
通过经历实际问题列分式方程探究解分式方程的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，发展学生分析问题解决问题的能力，培养应用意
识，渗透类比转化思想。
（三）教学方式：自学导读—同伴互助—精讲精练
（四）教学媒体：Midea---Class纯软多媒体教学网 几何画板
三、教学目标：初中数学说课稿
知识技能：了解分式方程定义，理解解分式方程的一般解法和分式方程可能产生增根的原因，掌握解分式方程验根的方法。
过程方法：通过经历实际问题列分式方程探究解分式方程的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，发展学生分析问题解决问题的能力，培养应用意识，渗透转化思想。
情感态度：强化用数学的意识，增进同学之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成功体验，树立学好数学的自信心。
教学重点：解分式方程的基本思路和解法。
教学难点：理解分式方程可能产生增根的原因。
设计说明：情感、态度、价值观目标不应该是一节课或一学期的教学目标，它应该贯穿于初中数学教学的每一堂课，它应该与具体的数学知识联系在一起，才能让教师好把握，学生好掌握，否则就是空中楼阁，雾里看花，水中望月。
四、板书设计：
a不是分式方程的解
（二）学习方法：类比与转化
教学思考：伴随教学过程的进行，不失时机的，恰到好处的书写板书，要比用多媒体呈现出来效果好，绝不能用媒体技术替代应有的板书，现代教育技术与传统教育技术完美的结合才是提高课堂教学效率的有效途径之一。
五、教学过程：
活动1：创设情境，列出方程
设计说明：教师不失时机的对学生进行思想教育，激励学生，寓德于教。体现了教学评价之美-激励启迪。
设计说明：通过经历实际问题列分式方程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，发展学生分析问题解决问题的能力，培养应用意识，激发学生的探究欲与学习热情，为探索分式方程的解法做准备。
活动2：总结定义，探究解法初中数学说课稿
使学生能从整体上把握数、式、方程及它们之间的联系与区别；通过合作探究分式方程的解法，培养学生的探究能力，增强利用类比转化思想解决实际问题的能力及合作的意识。
教学思考：再一次体现了对全章进行整体设计的好处，在学习16.1分式和16.2分式的运算时，几乎每一节课都运用类比的思想-分式与分数类比和进行算法多样化训练，所以才出现了这样好的效果。在利用媒体技术拓展学习内容时要遵循以下原则：一、拓展内容要与所学内容有有机联系。二、拓展内容要符合学生实际认知水平，不要任意拔高。三、拓展内容要适量，不要信息过载。
分式方程的解法范文第4篇
【关键词】问题分析 道路施工 相关措施 造价控制
前言：道路施工项目成本的管理是指在道路施工过程中运用一定的技术和管理手段对生产经营所消耗的人力、物力和费用进行组织、实施、控制、跟踪、分析和考核，及时纠正将要发生和已经发生的偏差，把各项施工费用控制在目标成本范围内，以保证成本目标实现的一个系统过程。在道路施工管理工作中，成本管理具有相当重要的战略地位。
一 道路工程施工特点下的造价控制
1 工程项目的多样性和不确定性。在道路工程项目在施工的进行中，通常会遇到很多的问题，而且这些问题的出现并不是十分的确定，施工地点、施工自然环境以及施工的标准都会存在着很多的不确定性，因此，在对施工成本进行控制也存在着方式的差别。不同的工程项目在施工过程中面临的侧重点也会不同，对工程项目的功能以及施工条件要求也存在着不同。不同的工程项目在要求方面也存在着差别，道路的等级不同对材料的质量以及级别要求都会存在着一定的差异。在市场中，不同的材料在价格以及质量方面存在着很大的差异，因此，在成本控制方面就会出现很多的问题，选择质量好价格比较低廉的材料是成本控制的主要措施。
2 项目施工的数量大和时间长。道路施工项目在形状方面为线性构造物，其在施工方面形体比较庞大，因此，施工过程中需要的人工数量以及材料数量比较大，项目工程在施工时间方面也比较长，这样就导致其在长时间范围内要占用很多的人工以及资金。结合这两个方面对成本进行控制对不同的道路工程项目就要采取不同的方法。
3 施工项目的固定及生产线的移动性。道路施工项目在建设完成以后是在一个固定的地点不能移动，因此，施工过程中会出现人员和施工机械设备不断的移动的情况，对施工现场的施工特点进行考虑，能够满足施工项目的产品整体要求，同时，在施工过程中一些项目在施工完成以后不能随意的拆除，这样在施工过程中就要做到非常的灵活，避免出现施工形式比较固定的情况，在施工过程中对固定的对象进行立体和平行的施工，能够缩短施工的时间，在施工进度方面也能进行提高，保证整个项目顺利进行，在施工成本方面实现良好的控制。
二 道路工程关键因素下的造价控制
1 施工方案。施工方案和预算成本之间是相互依赖和相互制约的关系，施工方案能够对施工技术水平进行很好的反应，同时，施工方案是优越性也能对施工进度进行影响，对施工成本控制进行影响。在施工方案制定方面一定要进行全方面的分析，保证施工顺序的合理性，同时，对施工作业的面、空间、时间等方面都要进行很好的利用，对同一施工对象可以进行
立体和平行施工交叉进行，在缩短施工时间的基础上也能对施工成本进行节约。在施工过程中对机械设备进行选择也非常必要，要能够发挥施工机械的最佳施工效率，同时，对机械的使用费用也要进行很好的控制。道路工程施工过程中人员的工作效率进行很好的控制，能够减少人员的使用数量，同时，在人员支出方面也能进行好的控制。
2 施工现场。道路施工现场管理水平和施工预算成本之间也具有直接的影响，施工现场的统一指挥能够做到科学的管理，在节约道路成本预算方面具有很好的效果。在施工成本预算控制方面对人工费用、材料费用以及机械使用费用进行控制非常必要，很多的施工在进行过程中要进行临时房屋的建设，同时，要将用水和用电进行结合，在这个过程中就可以将其
和道路永久性施工设施进行结合，对预算成本进行节约，同时，在施工过程中也可以对已有的资源进行利用，加快整个工程项目的施工进度，并且对施工成本进行控制。
3 自然条件。在道路工程施工过程中，自然条件的影响对施工进度和施工成本都会产生很大的影响，很多的工程要在自然环境比较恶劣的地方来进行施工，天气情况以及海拔高度都是影响比较大的因素，为了能够对施工成本进行控制，对自然条件导致的人工以及机械设备的使用增加的情况要进行很好的控制。
三 道路工程造价控制的具体措施
1 编制施工方案和进度计划。对施工进度进行加快，采取不同的施工方案对工程造价进行节约，这样能够在人力、机械以及工具方面都发生很大的不同，因此，施工成本也会出现不同。选择合理以及科学的施工方案是节约施工成本的重要途径，对施工方案进行编制，要对道路工程的线型特征进行考虑，同时，对施工长度以及工作面等问题进行考虑，从科学以及合理的角度进行分析，编制节约工程项目成本的施工方案。
2 提高投标人员素质。对投标人员的综合素质也要进行提高，因为其对投标的质量具有直接的影响，这是一项专业性非常强的工作，在投标过程中也要解决很多的问题。对工程量清单进行很好的计算，同时，对投标的过程进行科学的组织和管理，能够在工程造价方面进行改善。
3活用激励机制。在任何建设项目中都应该活用激励机制，通过奖优惩劣，调动管理者和职工的积极性，从而有效地控制项目建设成本。在城市道路建设工程项目中，将目标成本和项目部包干工资总额结合起来，以目标成本的高低来调控包干工资，从而将职工的切身利益与成本控制联系起来，激发职工的积极性。
4 控制施工材料的采购。在道路工程项目中要耗费的材料数量非常巨大，因此材料采购在工程预算中占据的地位非常重要，对材料采购进行控制是成本控制的重要环节。对材料市场进行调查，掌握可靠的信息，将项目的采购计划建立在详细的调查基础上。施工阶段的信息和招投标阶段的信息也存在着很大的差异，因此，在制定施工阶段的材料采购计划时，要提前对市场进行调查，保证施工方案的经济合理性，对施工组织设计进行优化。
5 加强对设备费的管理。（l）提高机械设备的利用率，就是有效地利用施工机械运输设备，充分发挥现有机械设备效能，从而减少单位工程成本中的折旧费和其他机械使用费。要提高机械设备利用率，首先要将自由设备和租赁设备区别开来。（2）对自由设备要建立机械维修保养制度，由专人负责对机械设备的保养和维修，对机械设备要严格执行合理的操作规程，避免不规范操作的现象，使机械设备经常处于良好的状态，增加机械设备的使用寿命。
6 加强索赔工作。在索赔方面要保证能够保证企业的权利得到充分的体现，保证自己的合法权益，在出现重大的变革的情况下，能够对工期和费用进行索赔。对施工单位来说，合同索赔是重点和最终目标，经常会出现业主和承包商之间的费用纠纷，一般都在合同条款上出现不同的理解。在实际工作中经常会出现业主不履行合同规定义务的情况，这样就会导致施工方受到不必要的损失，因此，提出索赔非常的必要，这样能够对企业的利益进行维护。
四 结 语
综上所述，道路工程施工项目成本的控制的意义在于合理使用人力、物力、财力，只有这样，才能在保障工程的施工质量的同时，合理的控制预算成本，保证在进行施工控制的过程中获得最佳的经济效益及社会效益，增加企业的竞争力。
参考文献：
[1] 苟明志.道路施工项目成本控制及应用研究 [D]. 华北电力大学，2013.
分式方程的解法范文第5篇
要：本文先用实例说明什么是常规思维和创造性思维以及它们之间的关系；其次，论述了用创造性思维解测量井深与绳长的“古代问题”，并引出互逆思维的创造性思维方法；最后，用“鸡兔同笼”问题的创造性思维来说明创造想象在创造性思维中的特殊、重要的作用.
关键词：常规思维；创造性思维；互逆思维；联想；想象
波利亚说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练.” 本文提出的是要加强解应用题的思维训练.
■常规解与创造性思维解的比较
例1 甲、乙两地相距36千米，某人骑自行车去时是一段上坡路与另一段坡度相同的下坡路，去时用2小时40分钟，回来时只用了2小时20分钟，并知走下坡路比走上坡路每小时快6千米，问上坡路每小时多少千米？
笔者把小黑板的例1往上一放，全班学生正拿草稿纸作，小芳与小华在黑板两边也开始板书.
小华用的是常规思维的解法：设上坡路每小时x千米， 下坡路y千米， 则依题意有下列分式方程组
■+■=2■，（1）■+■=2■，（2）
教师：你这个分式方程组是怎么来的？你的方程组如何以语言信息的形式来表达呢？
小华：第一个分式方程是去时一段上坡路某人骑自行车去时所花的时间加上他下坡路所走的时间和是2小时40分钟；第二个分式方程是他下坡路所花时间加上他上坡路所走的时间和是2小时20分钟.
小芳用创造性思维的解法：设上坡路速度为每小时x千米， 并把一去一回视为一个整体. 一去一回上坡与下坡路程都是36千米，依题意得分式方程■+■=5，（3）
教师：你这个分式方程是怎么来的？用语言叙述方程组是如何转化而来的？
小芳：把一去一回视为一个整体. 去时的上坡路与回来时的上坡路之和是36千米，所用时间是■；回来时的下坡路与去时的下坡路之和也是36千米， 所用时间是路程除以速度得下坡路所用时间是■，一去一回的总时间是2小时40分钟，加2小时20分钟，刚好是5小时.
教师（问全班学生）：如何解分式方程组呢？小华与小芳分别列出的分式方方程组、分式方程有什么联系呢？
小慧：（1）+（2）？圯（3），换句话说， 只要解出（3）来，分式方程组不就解出来了吗？
这几句“言简意赅”的话迎得一阵热烈的撑声.
教师（总结）：什么是创造性思维呢？是新颖的、独特的、有价值的（智力价值、理论价值、经济价值）的思维. 对学生来说，一般不是对某种新东西的发现、发明与创造的成就， 而只是对已知东西的再发现，如上面的小芳的解题方法是创造性思维.
创造性思维是思维活动的一种，它对问题的思考不是直接从头脑中已有的思维形式和思维方法去找答案，而是从问题的本身去进行分析，进行一系列探索性思维活动，将已有的思维形式和思维方法大跨度地迁移，从可供选择的途径中筛选出解决问题的新办法. 小慧“一针见血”地指出了常规思维的解法与创造性思维解法的内在与外在的联系.
如何解（3）的分式方程呢？只要把分式方程转化为整式方程，但要注意增根与减根即可.
例2
2000年入夏以后，湖北地区旱情严重，为缓解甲、乙两地旱情，某水库计划向甲、乙两地送水，甲地需水量为180万立方米，乙地需水量为120万立方米，现已两次送水，往甲地送水3天，往乙地送水2天，共送水84万立方米；往甲地送水2天，往乙地送水3天，共送水81万立方米；问完成向甲、乙两地送水任务还各需多少天？
为了让学生自主探索、自主思维、自主寻找思路、自主总结经验，摆脱“教师讲，学生听”的传统讲解模式，笔者让学生通过自己的思维来学习数学.
设完成往甲地送水任务还需x天， 完成往乙地送水任务还需y天. 用代数式表示每天往甲地运水，已运送5天如何表示？■. 用代数式表示每天往乙地运水，已运送5天如何表示？■. 这时有两种列方程组的方案：
以小芳为首的学生列出方程组
■×3+■×2=84，（1）■×2+■×3=81，（2）
以小慧为首的学生用换元法列出方程组3t+2z=84，2t+3z=81 ？圯5t+5z=165，2t+3z=81？圯t+z=33，2t+3z=81？圯z=15，t=18.
当小芳还在列完分式方程组， 正考虑如何解时， 小慧已经完成第一次解方程组， 而正要代入求另一方程组的解：■=18，■=15？圯18x+18×5=180，15y+15×5=120？圯x=5，y=3.
小华又在小慧的解答基础上改进成了如下更先进、简洁、漂亮的好方法：
3t+2z=84，（3）2t+3z=81，（4）？圯5t+5z=165，2t+3z=81？圯t+z=33，（5）2t+3z=81，（6）？圯（6）-（5），t+2z=48，（7）t+z=33，（8）？圯z=15，t=18.
笔者善于通过“对比”来评价两种解应用题方法的优劣：小慧的创新之处在于她观察到（3）与（4）的系数与常数项系数之和的特殊性——它们都能被5整除，从而巧妙地得出（5）式，小华在小慧的解答基础上改进了什么呢？（当全班学生看到（7）、（8）式时，不由得引起一阵热烈的撑声）小芳是常规思维的解法，小慧与小华是属于创造性思维的解法.
笔者又说：“众里寻他千百度， 蓦然回首，那人却在灯火阑珊处.” （又迎来一阵热烈的掌声）
最后笔者用波利亚的话来引导出换元法：“原来的问题是我们要达到的目的，而辅助问题只是我们试图达到的目的的手段. 一只飞虫企图穿过窗户玻璃逃出去，它在同一扇窗户上试了又试，而不去试试附近打开的窗户，而那扇窗户就是它进来的那扇. 人能够或者至少能够行动得更聪明些. 人的高明之处就在于当他碰到一个不能直接克服的障碍时，他会绕过去；当原来的问题看起来似乎不好解时，就想出一个合适的辅助问题. 构造一个辅助问题是一项重要的思维活动. 举出一个有助于另一问题的清晰的新问题，能够清楚地把达到另一目标的手段设想成一个新目标，这都是运用智慧的卓越成就.”
这段话是用变量替换作手段来解方程（方程组）的. 当然变量替换还可以分解因式，如将x2y2－5x2y－3xy2+15xy－14x2+5y2+57x－25y－70分解因式. 初看起来“杂乱无章”，“理不出头绪”和无法下手；若用创造性思维，并先用“分解与重新组合”的方法，再视为关于y的二次三项式，则看起来井然有序，条理清楚，主次分明.
（x2－3x+5）y2－5（x2－3x+5）y－14（x2－3x+5）=（x2－3x+5）（y2－5y－14）=（x2－3x+5）·（y+2）（y－7）.
要培养学生创造性思维的解法，必须分三歩走：扎实的基础知识是创造性思维的解法的基础，分式方程式解法的基础知识是转化成整式方程，区分増根，要学会验根；其次是了解整式方程的代入消元法与加减消元法，以及将二者结合起来的“既加再除”的新颖方法. 第二，敏锐的观察力是训练创造性思维的前提，如例1的（1）+（2）（3）就需要敏锐的观察力. 第三，丰富的想象力是创造性思维的设计师，在例1中，把一去一回视为一个整体就是发挥丰富的想象力，并将去的上坡路与回的上坡路视为36里，又将回的下坡路与去的下坡路也视为36里，都是发挥丰富的想象力. 爱因斯坦说：“提出新问题，新的可能性，从新的角度看旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步”. 第四，发散思维是培养创造性思维的源泉.
■古代问题的创造性思维的解法
数学教师从讲故亊开始，引出互逆思维. 逆向思维是创造性思维的一种，举个有趣的生活中有发现意义的实例：你们吃猕猴桃是如何剥皮呢？
吃猕猴桃要剥皮是众所周知的事，如何剥皮呢？从外往里剥皮既脏又不卫生，若想到逆向思维， 从里面往外去剥皮——即用金属勺子在“一刀切断”的猕猴桃中从里边往外一勺一勺地挖猕猴桃肉，这种采用逆向思维的方法，既卫生又高质量完成任务. 这个方法对解“古代问题”是有启发的.
例3 “用绳子测量井深，把绳子三折来量，井外余4尺，把绳子四折来量，井外余1尺，求井深与绳长各几何？”
能用互为逆向思维的创造性方法来解答吗？
在笔者的启发下，小慧和小华分别得出了创造性思维解法1与创造性思维解法2.
解法1：（进的方法）把绳子三折来量，井外余4尺，4×3=12，这时可想象把井外的12尺再量井深，那么根据第二个条件， 把绳子四折来量，井外余1尺，12-4=8，可知井深为8尺.绳长为36尺.
解法2：（退的方法）把绳子四折来量，井外余1尺，这时，若想象出用井内的一折到井外来量，根据把绳子三折来量，井外余4尺，（4-1）·3-1=8，可知井深还为8尺. 绳长为36尺.
可见，互为逆向思维的方法是创造性思维的一种.
创造性思维解法1与创造性思维解法2的共同点是创设情境，使两种用绳子测量井深的方法既产生联系，又产生思维碰撞，既要引出新旧亊物之间的联系，又要引出新旧亊物之间的矛盾，新旧亊物之间的联系是启发学生思维的基础；新旧亊物之间的矛盾是启发学生思维的核心.
■鸡兔同笼问题的创造性思维解法
例4
今有鸡兔若干，它们共有50个头和140只脚，问鸡兔各有若干只？
解法1：发挥丰富的想象，假设出现下面奇特的现象，所有的鸡都抬起一只脚，所有的兔子都抬起两只脚，只用两只后腳站立，这时鸡的头数与脚数相等，而兔的脚数是头数的2倍，脚的总数是原来脚的总数的一半，故脚的总数70减去50所得的差20，即为兔的数目，进而易得鸡为30只.
解法2：发挥丰富的想象，假设出现下面奇特的现象，所有的鸡都没有抬起一只脚，所有的兔子都抬起两只脚，只用两只后腳站立，这时，头数还是50个，鸡与兔子的总腿数是总头数的2倍，即为100，原来的总腿数140减去现在的总腿数100刚好是兔数的2倍，40÷2=20刚好是兔数，鸡数为50-20=30只.
