函数思想
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函数思想范文第1篇
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkx.2017.04.052
An Analysis of the Thought of Mathematical Function in Middle School
ZHAO Sheng
（Zhanyi Area No.3 Middle School， Qujing， Yunnan 655331）
Abstract Function thought is one of the most basic mathematical ideas， function is the core content of middle school mathematics， it runs through the entire secondary school. Understanding and mastering the function thought can help the learners to understand the true meaning of mathematics， enhance the enthusiasm of the students to learn mathematics， and help mathematics learning. This paper analyzes the importance of the function of thought， from the application and function thought in mathematics teaching in high school mathematics teaching how to penetrate the function of thought were discussed， so as to achieve the function of ideological understanding in middle school mathematics.
Key words middle school mathematics； function； function thought
函邓枷胧窃谑学的发展史中形成的，它是人们对函数知识的本质性认识，来源于函数的基础知识，它在中学数学教学中起着重要的作用，是教材体系的灵魂。在中学数学函数教学中，加强函数思想教学可以帮助学生更好地理解函数知识、形成正确的教学观念和优秀的数学精神；它是落实素质教育的有效途径和重要手段；还可以提高教学质量与教学水平；有利于培养学生的辩证唯物主义能力与函数应用能力。随着数学教育的改革与发展，中学数学函数思想日趋凸显，从事数学教育以及一些数学学习者越来越认识到函数思想的重要性。函数是支撑中学数学的骨架，是中学数学最重要的内容之一，贯穿整个中学阶段。从历年中考、高考的情况来看，以函数为核心编制的题目立意新颖，知识覆盖面广，灵活性较强，有比较理想的选拔功能。所以函数思想有极高的研究价值。作为数学教育工作者了解函数思想的产生、发展和特点，掌握函数运动的发展规律，形成正确的教学观，从而提高对数学知识的驾驭能力。本文通过对中学数学函数思想的研究来指导教育工作者更加有效地进行教学，同时也为新课改提供有力依据，给学生的学习指引正确的方向。
1 函数思想在中学数学中的应用
函数是数集之间的特殊映射，反映事物的内部联系，纵观整个中学阶段，函数将大部分数学知识紧扣在一起，形成一个以函数为中心向四周扩散的知识网络，而函数思想则是形成这个知识网络的灵魂。函数思想的应用就是对于一些实际问题、数学问题构建一个函数模型，应用函数的基本性质更快更好地解决问题，而构造函数模型是函数思想的重要体现。接下来笔者将从以下几个方面阐述函数思想在中学数学中的应用。
1.1 函数思想在中学数学中的宏观应用
函数思想的宏观应用也就是函数性质的直接应用，即应用初等函数的基本性质（定义域、值领、单调性、奇偶性、周期性、有界性、连续性、对称性、图像等）求解有关的值、讨论参数的取值等问题，只要掌握函数的基本概念与性质，直接对其加以简单应用就行，直观明了，同样也是函数思想的简单体现。
例1 函数 （） = + 3 + 有极值，又在其曲线上极大和极小的点分别为、，若线段（不含端点）与曲线交于点（1，0），求的值。
分析：首先弄清已知条件，已知①一个含参数的三次函数；②函数有极值；③有极大和极小点，；④线段（不含端点）与曲线交于点（1，0）。解题目标是求的值。
由 '（） = 3 + 6 = 0得 = 0， = 。
（0，），（， + ）
再由点（1，0）在曲线上以及三点共线，解得
这个结果是否正确？还是要注意题目的条件，即条件④中有一点容易被忽略，这就是点应在线段的内部，因此应满足0
1.2 函数思想在中学数学中的微观应用
函数与方程、不等式、角、数列等均有不同程度的内在联系，将一些非函数问题转化成函数问题、构建函数模型就是函数思想的微观应用，也就是函数的间接应用，此类题型可以锻炼学习者的发散思维和逻辑推理能力。接下来将以几个实例加以说明。
1.2.1 活跃在方程、不等式中的函数思想
函数与方程、不等式有着千丝万缕的关系，绝大多数方程与不等式的研究需要依靠函数来实现，而函数性质的研究则又需要依赖方程与不等式来完成，所以他们是相辅相成的。比若说求定义域、函数单调性证明都需要借助不等式来完成；而解方程又是求函数的零点。所以在解关于方程与不等式这类题的过程中应该考虑以函数为工具，加强函数、方程、不等式的综合应用能力，系统掌握数学各个模块的知识。
例2 证明不等式0）。
分析：证明不等式有很多种方法，可以通过作差、作商、反证、放缩、构造等不同方法来实现，根据不同题目选择合理方法可以达到事半功倍的效果。通过观察，本题通过构造函数的方法来证明，再根据函数单调性来实现不等式大小，既方便又快捷。
证明：要证0），即证
令 = ，（>0）
当>0时， = 1 / （1 + ）即
= 在（0，）上为单调递减函数
那么就有0）
即 =
小结：本题通过构造函数证明该不等式，是应用函数单调性求解问题的典型例题，通过导函数来确定函数的单调性，进而证明不等式，思路清楚，方法简单易懂。
1.2.2 三角函数思想的呈现
例3 已知为锐角，且，求的值。
分析：由的构成特点，本题的化简变形，不宜按常规对的三角函数都采用降次的作法，而需把已知表达式中的含的三角函数升次，含的三角函数降次，即凑出和的表达式出来。
解：由（1），得3 = 2 （3）
由（2），得3 = 2 （4）
（3）鳎？），得 = （） = 0，
因为为锐角，所以0
1.2.3 实际问题中的函数模型
在数学学习中，我们会遇到很多抽象的数学问题，如果直接求解会非常困难或者是直接解不出来，这是我们应该充分应用所学知识，试着应用函数的思想去考虑，试着建立函数关系式，让抽象、复杂的实际问题转化为简单的函数问题，再应用函数的基本性质将它求解出来，这就是应用函数思想求解数学实际问题的基本套路。
例4 （2012浙江省嘉兴市）某汽车租赁公司拥有20辆汽车。据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元。设公司每日租出辆车时，日收益为元。（日收益=日租金收入平均每日各项支出）
（1）公司每日租出辆车时，每辆车的日租金为_______元（用含的代数式表示）；
分析：本题为综合性题目，主要考查二次函数实际问题，怎样建立函数关系式与找等量关系，函数关系建立好之后结合实际函数图像做出解答。
解析：单辆车日租金为：50（20）+400 = 140050
2 中学数学教学中渗透函数思想的途径
中W数学函数教学最重要的目的就是打开学生的函数思维，提升学生们的函数素养，新一轮课程改革中，将函数思想作为必须掌握的教学要求，所以函数教学过程中不再一味地让学生吸收理论知识与概念性内容，而是让学生独立思考，老师引导，建立一定的函数思想基础，从根本上提升自己的函数应用能力。教学过程中渗透函数思想的途径很多，接下来介绍三种渗透方式。
2.1 应用函数思想探究数学知识
新的教育背景下，数学教学过程中应该注重对学生培养知识形成的过程，在数学知识的探索过程中（比如说一些公式、定理、性质的推导过程）就是数学思想方法的最佳体现时刻，因此教师在教学中，要重视公式、定理、性质的推导过程，尽量凸显其相关的数学思想，让学生掌握基本知识的同时，领悟数学真谛。下面我们以函数思想为实例，演示探究数学知识的过程中渗透函数思想。
2.2 在数学解题中渗透函数思想
在数学教学过程中，经常出现课堂上学生听懂了，但是课后做同类型的题目是就无从下手，其原因就是在教学过程中，教师就题论题，拿到题目就草率地解答出来，遇到此类题时照葫芦画瓢，机械操作，学生感到厌烦，学生没有真正认识到题目的出处，没有领略到数学思想方法。在数学解题过程中渗透函数思想也就是在数学解题过程中应用函数的思想方法去求解繁琐的数学问题，比如说用函数的单调性、奇偶性、最值等等基本性质将其复杂问题简单化。
例5 设不等式 + 2 + >0的解集为全体实数，求的取值范围。
分析：题设不等式的系数比较复杂，可通过另设变元的方法，使此题解题过程简化。
解：设 = ，则 = ， = ，
而原不等式化成（） + 2>0
由题意知，
解得
函数思想范文第2篇
一、在等比数列中建立恰当的目标函数
在等比数列求和中，通过建立目标函数利用待定系数法使解题过程更加简便，同时避开了繁琐的计算过程.
例1：在等比数列中，前n项和为Sn，已知S2=3，S4=15，求Sn.
思路分析：本题的常规解法是用等比数列求和公式Sn=■列出关于a1和q的方程组，解出a1和q，但计算繁琐.若考虑到等比数列的前n项和Sn= ■=■-■.qn，设A=-■，则可以考虑建立目标函数 Sn=Aqn-A（A为待定系数），从而优化了解题过程.
解：设 Sn=Aqn-A，则S2=Aq2-2，Aqn-A=3 （1）
S4=Aq4-A， Aq4-A=15 （2）
列方程组解（1）（2）得，A=1，q=±2
Sn=2n-1或Sn=（-2）n-1
评述：此题如果注意到等比数列前n项和Sn可写成Sn=Aqn-A（A为待定系数）的形式，解题方法显得巧妙一些.通过对这道题的仔细讲解让学生理解函数思想在数列中的应用，在今后解数列题时要巧妙的使用函数方法.
函数的观点解决数列问题，不仅是解决数列问题的重要途径，也是提高数学解题能力的重要一环.用函数思想解数列问题时，不仅要用到函数的形式，更重要的是应用函数的思想方法通过构造函数，借助与函数性质及图像来解决问题，会有事半功倍的效果.
二、利用函数的性质解决等比数列问题
利用函数的单调性解决数列中的问题，会使得一道难题变得更简单.利用函数的一些性质解答数列题中同样如此.所以在解数列题时要思维活跃，多鼓励学生一题多解，不断的去探索数列与函数的异同点.
例2：已知数列a■的通项a■=（n+1）・ （■）■（n∈N*），试问该数列a■有没有最大项？若有求出最大项的项数，若没有说明理由.
解题思路：由于该数列不是直接与等比数列相关的数列，形式看起来比较复杂，但若从函数角度，可利用函数单调性来研究.
解：a■n+1-a■=（n+2）（■）■-（n+1）（■）■=（■）■・■
当n0，即a■n+1>a■
当n=9时，a■n+1-a■=0，即a■n+1=a■
当n>9时，a■n+1-a■
故a1a11>a12>…这说明数列a■中存在最大项，为第9项或第10项.
函数思想范文第3篇
关键词：函数模型法；微分思想；数学模型
中图分类号：G632.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）33-0077-02
构造函数模型是一种富有创造性的方法，它很好地体现了数学中发散、类比、化归的思想，也渗透着猜想、试验、探索、概括、特殊化的思想。在近年高考中有不少精彩的题目，而且有些是压轴题中经常考查的，是高考考查的重要思想方法之一。而导数方法与构造函数模型思想一旦结合起来，问题的设计便更加广阔，解决问题的方法就更为简便。本文期望利用构造函数模型的思想，以导数为工具探讨中学数学解题的方法技巧，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。
一、导数工具有助于学生把握函数性质
在高中阶段，学生主要通过学习函数的定义域、值域等性质，来理解函数.函数的这些性质都可通过图像表示，因而，通过函数的图像，函数的性态也容易掌握了。但是，对于非初等函数，不易作出图像，学生就可以利用函数的导数判定单调区间、极值点、最值点，再结合描点法，就能大概作出函数的图像.在直观上提高学生对函数性质的掌握。
二、微分方法与函数模型法相结合的作用
通过数学模型建立函数关系，然后用导数作为工具，可以解决数学上用初等数学方法不能解决的许多问题，充分发挥微分思想在中学数学解题中的作用，从而提高解决问题的能力.以导数作为工具，结合函数模型法思想，在不等式的证明、数列的求和问题，以及实际问题等方面有非常重要的作用。
1.利用结合思想可以证明不等式。在新课程的高考中，与不等式的证明等相关的问题，包含的信息量较大.利用微分思想来证明，可以先构造一个辅助函数，使函数和不等式建立联系.然后对函数求导，得到单调性，使所解决问题转化为比较函数值大小的问题。
例1.证明：若x>0，则有ln（1+x）>x-■x2.
证明：构造函数f（x）=ln（1+x）-（x-■x2），可求得其定义域为（-1，+∞），可以计算得f'（x）≥0，即f（x）在（-1，+∞）上是单调递增。所以当x>0时，f（x）>f（0）=0，故不等式成立。
2.利用结合思想可以求实常量的取值范围。求实常量的取值范围是数学中的一个重要内容，求实常量取值范围的很多问题依靠常规的方法很难处理，利用结合思想，处理起来非常方便，下面通过例子来具体说明。
例2.若对？坌x∈R，不等式x4-4x3>2-m恒成立，求出实数m的取值范围。
分析：将含参数的不等式问题转化为函数问题，利用导数求得函数最小值，方可确定出参数的范围。
解：构造辅助函数f（x）=x4-4x3，再设f'（x）=0，可求得x=0或x=3.
当x
注：构造多项式函数是解决本题的关键。
3.利用结合思想可以解决数列问题。通过数学模型建立函数关系，然后用导数作为工具，可以解决学生难以掌握的、有时技巧性很高或者计算十分烦琐的数列的和的问题。
例3.求和：S■=C■■+2C■■+3C■■+…nC■■（n∈N*）.
解：因（1+x）n=C■■+C■■x+C■■x2+…+C■■xn，则该式两边都是关于x的函数，两边都对x求导得：n（1+x）n-1=C■■+2C■■x+3C■■x2+…+nC■■xn-1，令x=1，即得Sn=n・2n-1
4.利用结合思想可以研究方程根的情况。通过数学模型建立函数关系，然后用微分思想可以很容易确定方程根的问题，具体方法为：观察函数的图形变化，得出函数的图像与x轴的交点个数，最后得出所求范围内方程解的个数。
例5.若a>3，则方程x3-ax2+1=0在[0，2]上有多少个根？
解：设f（x）=x3-ax2+1，求导可得：当a>0，x∈（0，2）时，f（x）在（0，2）上单调递减，且f（0）・f（2）
5.利用结合思想近似计算。由导数的定义知，当Δx充分小时，f（x0+Δx）≈f（x0）+f'（x0）・Δx.
例6.不查表，求sin46°的值。
解：令y=sinx，取x0=45°，x=45°+1°，代入上式即可得结论。
6.利用结合思想是学好理科其他课程的前提。微分学发展初始，就与物理、化学、生物、天文、工程以及地质学等学科密不可分。只要涉及到变化问题，就可以利用导数讨论该过程的变化情况。所以，无论物理还是化学问题都可以通过微积分的思想来解决了。
7.利用结合思想解决立体几何中的问题。
例7.设A，B是球面上的两点，弧AmB是过A、B两点的大圆的劣弧，弧AnB是过A、B两点的任意小圆的弧。设小圆的半径为r，圆心为o'；大圆的半径为R，圆心为o，大圆面与小圆面交于A、B。求证：弧AmB
证明：记∠AOB=α，∠AO'B=β，则有AB=2Rsin■及AB=2rsin■.
因为R>r，由题意sin■
现在只要证明Rα
故只需证明■
为此构造函数f（x）=■，x∈（0，π）.
因为f'（x）
8.建立微分模型是解决实际问题的关键。“学以致用”，只有懂得数学如何去应用，才是提高学生对数学感兴趣的关键。万事万物都在变化，大多数实际问题都可通过建立微分模型来解决。具体为：翻译实际问题，建立微分模型，通过求导运算，得到问题的解决。新课程实行以来，逐渐加大了对实际问题的考查力度，比如优化问题、路线问题等，通过建立微分模型来解决非常方便。
例8.用PVC材料制作一个立方体容器，其长为12m，要求容器的底面长、宽差1m，当高为多少时，容积最大？并求出Vmax.
解：设容器长为xm，则宽为（x+1）m，高为（2-2x）m.
设容器的容积为Vm3，则有V=-2x3+2x2，（0
因此，当x=■时，Vmax=■，这时高为■，故高为■m时容器的容积最大，最大容积为■m3.
参考文献：
[1]北京师范大学数力系.数学分析（上册）[M].第三版.北京：高等教育出版社，1998.
函数思想范文第4篇
一、在已知图形中搜集信息
二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，1）;点F（0，1）在y轴上，直线y=1与y轴交于点H。
（1）求二次函数的解析式;
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=1交于点M，求证：FM平分∠OFP。
解析：二次函数的解析式可以顺利解决，对于（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=1交于点M，求证：FM平分∠OFP;我们要挖掘图象蕴含的信息，PM平行于y轴，可得∠OFM =∠PMF，接下来探究∠PMF是否等于∠PFM，因为P在二次函数的图象上，可以设出P点的坐标，那么由P向y轴作垂线段PB，构造直角三角形，利用勾股定理表达出PF的长度，依据P的坐标可以表示PM的长度，那么可以证明PF= PM，于是可以得到∠PMF=∠PFM，所以∠OFM=∠PFM，结论得到证明。本题的解决依赖于通过“数”：PM、PF的长度的表达式证明二者相等，数相等，线段长相等，通过“形”的状态得到“数”的性质，又通过“数”的性质演绎出“形”的状态。
二、画图象并搜集信息
有些二次函数问题需要自己动手画出相应的图象，然后整理所画图象中蕴含的信息，从而使问题得到解决，看下面的问题：
例如：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
解析：首先探究怎样根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，当ax2+bx+c≥0，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴上方，此时y=|ax2+bx+c|=ax2+bx+c，y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方部分的图象，当ax2+bx+c<0时，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴下方，此时y=|ax2+bx+c|=-（ax2+bx+c），因此y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象。
已知y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点纵坐标是-2，所以函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是2，所以画出y=|ax2+bx+c|的图象如图：
因为k≠0时，函数图象在直线y=2的上方时，纵坐标相同的点有两个;函数图象在直线y=2上时，纵坐标相同的点有三个;函数图象在直线y=2的下方时，纵坐标相同的点有四个。
所以若|ax2+bx+c|=k有两个不相等的实数根，则函数图象应该在y=2的上边，可得出|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根时，k的取值范围是 k>2。
函数思想范文第5篇
我们知道，函数知识揭示了在运动与变化过程中，量与量之间存在的一般性规律，研究函数的性质与图象，即是探寻用运动、变化的观点来观察、分析问题的方法.因此，如果我们能够运用函数的观点、方法去考虑分析问题，根据问题的条件及所给数量关系，构造函数关系式，使原问题在函数关系中实现转化，再借助函数的图象与性质，就能化难为易，实现问题的解决.
例1 某学校广场有一段25m长的旧围栏（如图中用线段AB来表示）.现打算利用该围栏的一部分，围造一块面积为100m2的长方形草坪（即图中的CDEF，CD
（1）求出y与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）若计划修建费为150元，则应利用旧围栏多少米？
（3）若计划修建费只有120元，则能否完成该草坪围栏的修建任务？请说明理由.
图1
解：（1）由题意，得y=1.75x+4.5x+4.5×2×100x=6.25x+900x（10
（2）由题意，得150=6.25x+900x.
整理，得x2-24x+144=0，即（x-12）2=0.
x1=x2=12（m），即应利用旧围栏12m.
（3）假设总费用为120元，能完成围建任务.则
120=6.25x+900x.
整理，得x2-19.2x+144=0.
=19.22-4×144
120元不能完成围建任务.
点评：本例是运用函数思想及方程知识对校园工程建设作出正确的预算，具有重要的现实意义.
图2
例2 如图2，ABC中，AB=AC=5，BC=6，矩形DEFG的顶点D在AB上，E、F在BC上，G在AC上.
（1）设BE=x，S四边形DEFG=y，求y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）连接EG，当x取何值时，EG∥AB？并求出此时矩形DEFG的面积.
图3
解：（1）如图3，作AHBC于H，BE=FC=x，且BC=6，得BH=3，AH=4.由DEAH=BEBH，得DE=43x，EF=6-2x.
y=DE·EF=43x·（6-2x），y=-83x2+8x （0
（2）DE∥AH，
BDAB=BEBH，即BD5=x3，得BD=53x，
又可证BD=GC，
AG=AD=5-53x.
由EG∥AB，得BEBC=AGAC，即x6=5-53x5，解此方程，得x=2.
当x=2时，EG∥AB.把x=2代入（1）中的解析式，得y=-83x2+8x2=163.
