概率论

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概率论范文第1篇

关键词：概率论；微课；案例教学

基金项目：本文系石河子大学教育教学改革项目（编号KG-2013-13）

O211

Abstract：Probability theory and mathematical statistics is a mathematical subject with strong application. It has been widely used in many fields. This paper summarizes the author accumulated in the work on the teaching of probability theory and mathematical statistics teaching experience， including with micro class to strengthen the students' autonomous learning awareness， improve the efficiency of the classroom examples close to student's life to improve the students' learning interest， probability theory and science and the statistics of mathematical culture to strengthen the students to understand the course described.

概率与数理统计是一门理论性、应用性较强的数学公共基础课，它在众多领域都有广泛的应用。如何在有限学时内开设该门课程，如何使学生领略其理论精髓、夯实基础知识， 如何让学生学会用所学概率统计知识解决实际问题， 教学中如何促进教学效率的提高和学生概率统计素质的优化等问题， 已经成为摆在高校讲授概率论与数理统计课程的教师面前急需解决的一系列问题，是值得深入探索的问题。

通过这几年本人讲授概率统计这门课的情况来看，如果只采用一般传统的教学方法，发现教学效果并不是很好，一是对于所要讲授的内容课时有些不够用，二是教学效果也不是很理想，大多数学生只记得公式、定理，至于怎样运用不能灵活掌握。因此，要使学生能学好概率统计课程，提高学生对概率统计在生活实践中的重要性的认识，必须采取有效的教学手段和方法。

一、在概率论与数理统计教学中灵活的运用微课

微课是指为使学习者自主学习获得最佳效果，经过精心的信息化教学设计，以媒体形式展示的围绕某个知识点或教学环节开展的简短、完整的教学活动。微课讲授的知识内容呈点状，具有碎片化的特征。微课内容不仅可以在计算机上展示，还可以在多种移动终端设备播放。对于现今几乎人人手握一部智能手机的学生来说，这有利于学生随时随地的自主学习。对教师来说，微课可以作为一种新的教学模式来利用，突破传统的课堂教学模式。

由于教改的实施，在中学学生已经接触过一部分概率与统计知识。具体的大学本科阶段《概率论与数理统计》课程与普通高中阶段“概率与统计”教学板块的知识点及内容要求对比可参看参考文献3。对于这部分内容，教师就可以事先做一些小微课，通过高中课本的一些典型例题，唤起学生对高中知识的记忆，进而给出一些概念的形式化描述，并提醒学生注意大学概率论与数理统计课程的抽象性与普通高中阶段统计与概率教学直观性的不同。这样既可以使学生快速掌握大学阶段的知识点，又可以避免重复讲解，从而节约课时。

这里我们以概率论与数理统计中古典概型的讲解为例分析微课教学内容与设计过程。

1.给出一个学生既熟悉又易理解的例子作为引入：设有3个房间，分给3个不同的人。每人都以 的概率进入每一个房间，而且每间房里的人数无限制。试求下列事件的概率：（1） ={不出现空房}；（2） ={恰好出现一间空房}；（3） ={恰好出现两间空房}。

2.对问题进行分析，唤起学生对古典概型知识点的记忆，激发学生的学习兴趣，促进学习的积极性，求解得到结果：3个房间分给3个不同的人共有 种不同的分法，

（1）不出现空房等价于每个房间都有一人，因此共有 种不同的分法，于是 ；

（2）恰好出现一间空房，即3个房间中的某一间是空的，另外两间房中有一间房恰有两人，剩余1间房为1人，故有 种分法，从而 ；

（3）恰好出现两间空房，即3个人恰好住同一间房，故有3种分法，从而 .这种数字比较简单的古典概型是学生中学比较熟悉的，他们可以很快的给出答案，学习的情绪会比较高。

3.对该问题进行深化，将例题中的数字增大或换成字母代替，设有 个房间，分给 个不同的人。每人都以 的概率进入每一个房间，而且每间房里的人数无限制。再依次计算1中事件A，B，C所发生的概率。这时对于有些同学会感到运算吃力，因为他们在中学学习时习惯于一个一个的数样本空间和随机事件当中样本点的个数，对此我们要引导学生用排列组合的知识去找样本空间和随机事件中的样本点的个数来计算古典概型。

4.留习题作为思考题，通过思考题，让学生加强和巩固新学的古典概型的知识点，并引导学生将古典概型的题型分成两大类，对其进行归纳总结，另外，通过做题让他们知道在生活中有更多的问题可用古典概型来解决。将留下的习题分析全过程再做成微课资源发给学生，对学生来说，就能更好的满足个性化学习，这是传统课堂学习的一种重要补充，也为课堂教学减少了工作量，更加有利于学生课后的自主学习。

微课具体设计主要是教师讲解及PPT配合，微课只能作为一种辅助教学手段，不能为了省事或为了形式而使用微课。在概率论与数理统计教学中使用微课，是为学生自主学习提供有效支持，让学生按自身的学习进度和节奏学习课程内容。

当然，微课不仅可以在课堂上使用，也可以在课前预习和课后复习中使用，这样能更好的让学生及时掌握所学知识，

二、教学案例要贴近实际生活与学生专业

概率统计来源于生活，日常生活中随处可见它的身影，反过来，概率统计也应用于生产、生活及科学技术的各个领域。因此，概率统计的教学要注重紧密联系实际，从实际生活中多寻找素材，展示概率统计的活力与魅力。在教学中尽可能多的选择与学生身边的生活相联系的概率模型，对于经济类的学生也可以多选择一些与经济有关的例题，这样更有利于激发学生的学习兴趣。比如我们在讲伯努利概型时，可借助于买彩票的事例来讲解，针对于一次实验，事件发生的概率是微乎其微的，但当多次重复实验时，独立的小概率事件和也会变成大概率事件，由此也可以同时教育学生不以善小而不为，不以恶小而为之。这样既讲授了知识，又提高了学生的意识水平。

三、教师要更新教育理念

在课堂教学结构上，始终坚持以学生为主体， 以教师为主导的教学原则。要让学生成为学习的主人， 让他们积极主动地去参与教学，融入课堂。作为大学概率论与数理统计课程教学活动的组织者， 教师的任务是点拨、启发、调控， 而这些都应以学生为中心。当然，这种方式要看学生的学习情况，对于学生整体自主学习比较好的班级，可以较多的让学生来参与，自主性较差的班级还是需要老师多花些时间和精力去讲授知识。

除了要更新上述观念外，还要更新固有的传统教学模式，在网络和多媒体技术飞速发展的今天，要注重科学技术与概率论与数理统计教学过程相结合， 尽量提供大量的形象化电子版的概率统计例子，比如我们第一部分提到的微课，这不仅可以提高课堂教学效率，还可以让那些没能当堂掌握所学内容的同学能够在课下更好的去查缺补漏。还有，在课堂上也可以制作一些比较美观实用的课件，这样可以减少抄题时间，而且对于一些动画演示也比较直观，是同学可以更好的接受所学内容。

四、概率统计教学中数学文化的渗透

数学是充满人文精神的科学。数学文化对人的思想、人的精神世界、人文素质有着巨大的影响。在概率统计教学中融入一些人文化、生活化的知识点，则会让概率统计的学习难度性达到降低。而概率统计学本身就与人们的生活存在紧密的联系，同时也间接体现出人们对于世界的思想认知，从而通过自身所学的概率知识去解读世界一些奇妙的问题。

了解简单的发展史既可以增加学生的知识面，扩大学生的视野，还可以从这些历史中，了解相关知识点与方法的产生背景，体会其中的思想、方法，增加学习兴趣。由于课时时数的限制，这些内容学生虽然喜欢听，但也不能用过多的时间去讲，只需要简单的点到为止，可以让学生自学，他们在自学这些历史的时候就自然会学到与历史相关的数理统计知识点。

以上只是本人的教W经验及与同事的讨论结果，至于具体的教学方式，还是要根据学生情况来定。概率论与数理统计这门课学习的目的是为了培养学生的概率统计思维的能力，从而达到能够利用概率统计的知识去解决实际问题，能够用其观点解释常见的生活现象，因此我们在教学过程中要不断的积累经验掌握有效的教学方法，使学生学有所得。

参考文献：

[1]刘国庆，王勇.探索概率统计教学的最佳模式[J].大学数学.2003，6

[2]宋伟才，吴艳霞，艾国平.大学概率统计课堂教学模式的探讨与实践[J].教育教学论坛.2012，2

[3]冯丽萍.大学概率统计课程与普通高中（新课标）统计概率内容的衔接[J].赤峰学院学报（自然科学版）.2012，7

[4]于志华，吕效国.概率统计的学习现状及对策分析[J].统计教育.2007，9

[5]李建军，刘力维.概率统计教学中渗透数学文化的思考[J].曲阜师范大学学报（自然科学版）.2013，4

[6]余长安.概率论与数理统计[M].武汉大学出版社.2007

概率论范文第2篇

一是课时设置较少，而老师为了完成教学任务，不得不加快速度，知识点没办法讲细，势必会造成学生“贪多嚼不烂”;且课程内容较多，如果老师本身的知识结构沉淀不够，只是“照本宣科”，简单介绍概念、定义、理论和方法，缺少对实际的概率统计背景知识及发展现状的介绍，忽视对学生实践和应用能力的培养，导致所教知识、方法不能被学生接受、及时掌握。二是在应试教育的影响下，学生思维固定，缺乏学习的主动性。许多学生学习的目的是为了考试过关，对于考试涉及不到的课程知识，就只是简单了解或干脆不学，所以在整个学习过程中，不注重课程思想方法的领悟，只是忙于做题，把学习的目标仅仅定位于能看懂例题，会做课后习题，只关心具体解题的步骤，从而去模仿解题，而不是领会课程知识所呈现的方法。三是教师忽略与相关学科间的关系，只进行单一教材的课堂教学，没有适当穿插一些相关学科的知识，教学资源不能得到优化配置;教材比较陈旧，理论联系实际的应用实例较少，即使有一些联系实际的实例，也不涉及到当今科技信息，导致了学习与实践的脱节;教师在教学中解决实际问题的能力不够，理论与实际联系少之又少，即使有，表现的应用背景也被形式化的演绎一带而过，学生“雾里看花”，难以琢磨、难以理会，畏惧心理滋生。同时，教材中都是一些联系很紧凑的理论，以及简化了过程的证明和计算，学生感觉不到学习乐趣，意义就更谈不上了，这也是造成很多学生放弃对这门课程的学习，只背重点、记忆模仿解题应付考试的重要原因。

2问题的解决方案

2．1从整体内容上把握教材

根据《概率论与数理统计》教材，该课程整体上是讲述三个大的问题:一是概率论部分，介绍必要的理论基础;二是数理统计部分，主要讲述参数估计和假设检验，并介绍了方差分析和回归分析的方法;三是随机过程部分，在讲清基本知识的基础上主要讨论了平稳随机过程，是随机变量的集合，能完全揭示概率的本质。课本上的很多问题都是围绕这三个问题来讲述的，因此，要打破“重理论，轻应用”“重概率，轻统计”的教学思想，且从整体上完整地对这三个问题进行讲授。由于概率论与数理统计的知识点多而零散，初学者对知识点不容易全面系统地把握，所以老师在教学中要经常引导学生进行简单复习回顾，从而使学生能够高效而快速地理解所学知识，系统掌握这有机结合的三部分内容。

2．2在讲授中要有其客观背景

很多学生虽然在中学接触过概率知识，但那只是皮毛，大学更注重的是思想的培养，而且本课程从内容到方法与其它数学课程都有本质的区别。因此，老师在讲解基本概念时，一定要把来龙去脉讲清楚。比如在评价棉花的质量时，“既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大，偏离较小，质量较好”，这些常识性知识容易理解，学生也有兴趣听，然后就此引入概念———这是由随机变量的分布所确定的，能刻画随机变量某一方面的特征的常数统称为数字特征，它在理论和实际应用中都很重要。由此就很自然地引出了数字特征、数学期望、方差、相关系数和矩，这样学生就很好地理解了概念的实际背景。也就是说，在概念定理的教学中，首先应该在概念、定理产生的背景上下功夫，找出每个概念的实例，用大量事实来说明提出这些概念定理的客观依据是什么，它在实际应用中有什么意义。比如，一个随机变量由大量的相互独立的随机因素综合影响而形成，而且其中每一个个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的，这种随机变量往往近似服从正态分布，那么这种现象正是中心极限定理的客观背景;再如，在介绍随机过程时，不妨从随机过程实例出发，如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化等等。如果忽视了概念与定理产生的实际背景，离开实际去讲概念和定理，学生会觉得学习内容枯燥，而且也很难理解，更不会应用于解决实际问题，这样就降低了学习的积极性，也没有发挥该课程的功能。

2．3在教学过程中使用案例教学

案例教学的主角是学生，通过学生之间对概念、定义、定理、标注、例题积极主动的讨论，以达到更深入理解和掌握的目的。在教学中引入的案例，要能够激发学生的学习兴趣、学习积极性和参与讨论的主动性。如何选取案例，就要求教师在备课当中多花时间找资料、思考，在教学案例中尽可能选取社会热点、先进的科技信息为案例素材，尤其财经类院校应尽可能编写一些涉及财经信息方面的案例。比如，讲到随机变量内容部分，定要在金融经济学中编写涉及到的随机变量的案例;讲到中心极限定理部分，投资学中期权定价理论就是一个很好的案例;讲到参数估计和评价时，保险精算中对平均寿命函数的估计和评价则是很好的案例;随机过程部分，分数布朗运动投资组合的风险度量都是很好的案例等等。如此教学，才能激发学生的学习兴趣，在讨论中逐步体会基本概念、定义、定理的来龙去脉，实现了有效学习，培养了学生解决实际问题的能力和抽象概括、推理论证的能力。

2．4重视引导学生主动思考问题

培养创新思维“在教学过程中提出一些思考性和启发性都很强的问题，让学生分析、研究和讨论，引导学生去发现问题，分析问题，然后解决问题。”学生的学习要自觉要靠自己，不是由教师牵着走，而是由教师引导走，“授人与鱼，只供一日之炊;授人与渔，使人受益终身”，所以教师应多引导、鼓励学生主动思考问题。比如，教师在每次课结束前5分钟进行下堂课新知识的介绍时，对本堂课学的知识点和前面学过的知识做个串联，最好能随手画出知识点“网络状”图，引导学生积极思考，引出下次课要讲的内容，勾起学生的预习兴趣。再如，在讲课时，教师可以针对本节课的内容设计一系列“问题链”，用“问题链”带动和完成课堂教学，可很好地引导学生主动思考、创造性思维，引导学生思考、发现问题，讨论、做出结论，从而逐步地使教学由“灌输式教育”向“创新型教育”转变，教学互动，教学相长。同时，教师一定要想方设法改变“学生被动接受知识”为自主、有兴趣地去学习知识，引导和组织学生展开讨论，鼓励学生提出大胆的猜想，及时解决学生提出的问题，激发学生的求知欲，注重教学方法的灵活运用，鼓励学生动手探究和创新，这样教学效果才会明显。

3结语

概率论范文第3篇

笔者阐述了概率论与数理统计课程的重要性，针对目前该课程教学中存在的主要问题以及该课程的任务、内容及目标，从概率论与数理统计课程教学方式和教学方法入手，探讨了该课程改革的目的方法和思路，总结了实践效果．

关键词:

概率论与数理统计;课程改革;实践探索

1概率论与数理统计课程改革教学中存在的问题

实施教育改革是形势所趋，事在必行．教学改革对培养学生的思维和创造能力具有重要意义．大学的学习生活应适应社会对大学生的职业要求，而工科数学考查课所传授的基础知识和思维方法对学生而言，是今后工作和再学习所必需的．学好数学，就像掌握了一种现代科学语言，学到了一种理性的思维方式方法，具备了一定的创新能力，具有演绎、推理和数学建模的能力．因此，正确、适时地开展工科数学的教学改革对于人才培养大有裨益．在该课程的具体教学过程中，由于其思维方式与以往传统数学课程不同，学生在学习掌握这门课程的过程中普遍感到概念抽象，思维难以开展，问题难以入手，方法难以掌握．传统教学方式难以引起学生兴趣，课堂上师生间缺乏互动，学生思维不活跃，部分学生逃课，还有少部分学生即使来上课也是睡觉、玩手机、看课外书，个别学生上课说话等现象也普遍存在，严重干扰课堂纪律．因此，为充分调动学生学习热情和积极性，该课程教学改革势在必行．

2概率论与数理统计课程教学方法改革及其实施

概率论与数理统计为数学系中的一门必修课，采用的是从理论到实践再回到理论的授课方式，虽然课程单调难懂，但也要从学生兴趣入手，从而达到学生积极主动学习的目的．首先，课程改革要确立学生在学习中的地位，力求改变在教学中学生被动接受的状态，调动学生学习的积极性，培养学生的独立性和自主性;其次，课程改革中不能忽视心理教育．如果学生从开始学习到获得成果的过程太长，就会对学习失去信心和兴趣，因此，要了解学生心理，在有限的时间里，提高授课效果．相比于以往的传统教学方法，我们的教学方法和执行手段也进行了改革，主要体现在以下几个方面［1－2］:

(1)转变观念，实行启发式教学．启发式的授课方法既能体现教师的主导作用，又能最大限度地调动学生学习的积极性，收到举一反三的效果;

(2)讲求实效，提高课堂效率．以往教学中，存在着靠加重学生课业负担来完成教学任务的现象．针对这种情况，我们在实施教学改革过程中讲求实效，注意提高课堂效率，随讲随考，把作业留在课堂内完成，减轻学生课业负担，以提高学生听课效率;同时也加强了学生对本课程的重视程度，这也是改革教学方法中需要重视的一个环节;

(3)在课堂上，采取“按班级”排座位，一周一轮换形式．概率论与数理统计课是合理授课，这种创新的排座方式，打破了以往“大帮哄”和“群座”的形式．通过这种排座位方式，授课教师可一目了解各班的出勤情况，可最大限度地避免逃课行为，节省了上课时间，提高授课效率，并且对全勤班级的学生给予加分奖励，激发了学生学习的积极性和主动性;

(4)定期检查笔记、抽考笔记内容和每堂课的随堂小考也是改革的新形式．每堂课尽可能地进行一次随堂测验，检验学生的听课质量;平时测验成绩，听课笔记记录的好都是作为评定考查课成绩指标之一．积极组织学生参加数学建模竞赛，成绩优异的、论文撰写优秀及在课堂上表现较好的学生的成绩，可直接推荐评优;

(5)以“学生为主体”鼓励学生走向讲台，师生互换角色，让学生畅谈自己对知识的理解和想法，培养学生逻辑思维和语言表达能力;

(6)逐步完善考试制度是教学改革中极其重要的环节．抓考风，促学纪，使考试既能公平、公正反映学生的成绩，又能反映教师的教学水平，以达到显著提高教学质量的目的．倡导平时检测与期末考试相结合，笔试、口试与实践技能相结合，开卷与闭卷相结合，提高考试命题水平，综合检验学生掌握的知识含量、素质与能力．考试方法的改革可以采用开卷、半开卷、闭卷、论文等形式．多种考试模式一方面可以减少学生的负担，另一方面能够培养学生的总结能力，从根本上考察学生的真实水平．这样改变了传统“一卷定成绩”的考试模式［3］，以达到提高该课程教学质量的目的．

3结语

通过概率论和数理统计课程的教学改革实践，学生的学习热情和积极性有了明显提高．在课堂听课更加专注，出勤率几乎达到了百分之百，班级整体的学习氛围也有了较大的提升．在课间休息时学生会自觉地讨论本节课教学的相关内容，整理听课笔记，做老师课上布置的习题，学习热情很高．通过实践教学明显感到，让一个人带动班级的氛围也许会有一些难度，但是改革教学方式方法之后，激发了学生的学习兴趣和学习热情，大多数学生都在勤奋学习，努力向上，形成了良好的学习氛围．

参考文献

［1］高萍．概率论与数理统计课程教学改革探讨［J］．现代商贸工业，2008(2):194－196．

［2］李金枝．概率统计教学中对学生应用能力的培养［J］．边疆经济与文化，2008(5):95－96．

概率论范文第4篇

【关键词】概率论；疾病确诊率；人寿保险；产品质量责任追究；运用

中图分类号：O10文献标识码：A文章编号：1006-0278（2016）01-179-02

一、引言

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学。随着社会的不断发展，概率论与数理统计的知识越来越重要。概率论是研究随机现象和事件不确定性的一门数学分支，它既古老又年轻.概率论的起源与赌博问题有关，赌博游戏在人类社会已经存在了几千年，概率思想早在几千年前就有了萌芽.说它年轻，是因为在数学界一致认为直到1654年法国数学家帕斯卡和费马之间的七封通信才开始了概率论的研究.随着18世纪、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展.在当代，随着概率论和各学科之间的交叉融合，概率论成为一门应用非常广泛的学科，在日常生活中，周围的许多事物都和概率有着千丝万缕的联系.正如英国逻辑学家和经济学家杰文斯（ Jevons，1835-1882）所说：概率论是生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，人们就寸步难行，无所作为.下面从日常生活中的三个实际问题阐述概率论的运用.

二、概率论在日常生活中的若干运用

（一）概率论在疾病确诊率方面的运用

问题一：某疾病能被诊断出来的概率是0.95，无该病而误诊有该病的概率是0.002，如果该地区患该病的比例为0.001，现随机的抽取该地区一人，诊断患有该病，求该人确实患有该病的概率。

解析：为了叙述的方便，设B=该人患有该病，A=该人诊断患有该病，则所求概率为：P（B|A），贝叶斯公式得：

所以，P（B|A）=0.3225

在诊断患有该病的情况下，确实患有该病的概率很小，还不到三分之一。

（二）概率论在人寿保险方面的运用

问题二：有2500人参加某保险公司的人寿保险，据以前统计资料，一年内每个人死亡的概率为0.0001，每个参加保险的人1年付给保险公司120元保险费，而在死亡时其家属从保险公司获得20000元赔偿费，求下列事件的概率：

A=保险公司亏本，B=保险公司一年获利不少于十万元。

分析：假设这2500人当中有k个人死亡。则保险公司亏本当且仅当2500k>2500×120，即k>15。又由二项分布公式知，1年中有k个人死亡的概率为：

由此可见，保险公司1年获利十万元几乎是必的，

（三）概率论在产品质量责任追究方面的运用

问题三：某工厂4个车间生产同一种产品，其产量分别占总产量的0.15，0.2，0.3，0.35，各车间的次品率分别为0.05，0.04，0.03，0.02，有一用户买了该厂1件产品，经检查是次品，用户把规定进行索赔。厂长要追究生产车间的责任，但是该产品是哪个车间生产的标志已经脱落，请你给厂长建议，怎么追究生产车间的责任？

分析：由于不知道该产品是哪个车间生产的，因此每个车间都要负责任，各车间所负责任的大小应该正比于该产品是各车间生产的概率对的大小。

设Aj=该产品是j车间生产的，j=1，2，3，4；B=从该厂产品中任取一件恰好取到次品。

则第j个车间所负责任大小（比例）为条件概率：

即第1，2，3，4车间所负责任比例为0.238，0.254，0.286，0.222.

三、总结

在我们日常生活中存在着大量的随机现象，都可以用概率论来解释与说明.概率与人们的生活息息相关，小到每天出行的天气预报，大到国防建设中的东风导弹的命中率、核电站可靠性评估，蛟龙号的下潜深度的估算等，概率论必将越来越显示其强大的力量.只要我们善于思考、善于挖掘、善于用概率的思维来思考问题，就能使概率论科学的指导我们的生产生活。

参考文献：

[1]缪铨生.概率论与数理统计[M].华东师范大学出版社，1997.

[2]段学新.实际问题的概率分析[J].吉林师范大学学报（自然科学版），2005（4）.

概率论范文第5篇

1选例贴近生活，将生活中的问题模型化

让学生对生活中的现象进行观察，以获取感性认识，以这一认识为背景，由问题出发引入新的概念、定理、公式。这样教师能很好地利用学生已有的知识或者较易理解的知识进行新的知识教学，同时学生也能较容易地通过已有的知识去理解并掌握新的知识。俗话说，兴趣是学习最好的老师，学生对课程学习兴趣的养成，是学生主动学习和老师有效开展教学活动的保证。这一过程不仅让学生掌握了新的知识，同时通过生活中的实例激发了学生学习的兴趣，培养了学生的应用意识。譬如，可以从以下的“摸彩问题”引出“全概率公式”。例：设在n张彩票中仅有一张奖券，约定每位彩民只能从中抽取一张彩票，试求第二位彩民摸到奖券的概率。在该例中通过对第一人与第二人中奖概率的大小的讨论，寻求第二人中奖概率的计算方法，从而由该问题的解决办法引出全概率公式。又如，可以从历史上著名的“分赌注问题”引出“数学期望”，用“赤壁之战”引出“小概率事件”等等。

2启发式授课

启发式授课要求教师在教学过程中根据教学任务和学习的客观规律，从学生的实际出发，采用多种方式，以启发学生的思维为核心，调动学生的学习主动性和积极性，促使他们生动活泼地学习。教师要充分发挥主导作用，根据每章节学生需要掌握的知识，特别是可能存在的难点和疑点，有线索、有重点地进行启发式的授课，使学生不仅能在课堂上接收到生动的知识教育，又能得到启发举一反三，进行后续的自学和知识的应用。譬如在讲到古典概率模型的时候，不放回抽样问题既可以用排列的计算方式来计算其中的概率，也可以使用组合的计算方式来计算，而放回抽样中只能用排列的计算方式来计算，可让学生思考排列、组合与抽取样本的具体操作过程之间有什么联系？对于二维连续型随机变量的联合概率密度和边缘概率密度，学生感觉其中的变量范围的划分很难，这时可以有意识地引导学生探索解决该问题的方法。比如给出下面的例题：设二维连续型随机变量的联合概率密度函数为f（x,y）=6x0荞x荞y荞10其荞他，求边缘概率密度函数fX（x），fY（y）。在讲解的过程中提醒学生利用公式fX（x）=+∞+∞乙f（x，y）dy，fY（y）=+∞+∞乙f（x，y）dx计算得到的函数的定义域为R，而被积函数的非零值由x，y的取值共同决定。同时这个是一种积分，相当于沿着一条平行于Y轴或者X轴的直线积分，当这条直线处在不同的位置时，直线上点对应的f（x,y）的取值也不同，或者为零，或者非零，而积分只考虑被积函数非零的区间。学生通过积极的思考和教师的引导最终掌握此类题型的解决办法。又如，在讲到数理统计内容的时候，样本方差的定义为s2=1n-1ni=1Σ（xi-x）2，此时可以启发学生考虑用1nni=1Σ（xi-x）2或者1n-1ni=1Σxi-x軃作为样本方差的定义，让学生思考为什么最后选择了用s2=1n-1ni=1Σ（xi-x）2作为样本方差的定义。要启发学生认识到这些问题，不能僵化地照本宣科，教师要发挥在启发式授课中的主导作用，从学生的知识水平、能力水平的实际出发，风趣讲解，设疑引思，将学生现实的疑惑和原有的见闻、知识、体验、认识沟通起来，最后水到渠成地解决，使每一位学生在原有的知识上得到应有的进步和提高。

3引导下的自学与讨论

对概率论课程中的很多典型问题如抽签问题、生日问题等等，学生往往自己分析不清楚，会犯各种各样的错误，因此学生在掌握了各个章节的基本知识后还应结合有关参考书进行有的放矢的自学，这是学生依靠自己的思维来获得知识和更新知识的过程。自学采用集中形式进行，以提高学习效果和便于教师辅导。在此过程中教师还可以举例并通过对实例的讨论纠正学生的一些错误思想，形成正确的思想方法，同时了解学生的难点和疑点，作为以后进行该课程教学工作的参考。此外，在教学的过程中向学生提出问题，引导学生课后积极翻阅资料积极思考，比如，在讲解大数定理和中心极限定理时，向学生提出问题：三个大数定理之间有什么样的联系和区别？两个中心极限定理之间的区别和联系是什么？学生通过课后积极地思考，从外在形式的不同和内在的统一找到答案。通过这种方式可以有效地培养学生发现问题和解决问题的能力。

4拓展性的课外作业