排列与组合

前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇排列与组合范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。

排列与组合范文第1篇

【关键词】排列组合 问题 解题方法

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）07-0146-02

排列组合问题和实际生活密切相关，排列组合知识又是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学好概率的基础，因此排列组合问题成了近几年高考的必考内容之一。很多高中生对这部分知识的学习感到吃力，碰到此类问题常无从下手，是学习中的一个棘手问题。解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确问题是属于排列问题还是组合问题；其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答；同时还要注意讲究一些方法和技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。现笔者根据多年来教学教研中积累的一些解题思路与方法，结合实例介绍几种常用的解题方法与技巧供大家参考。

1.合理分类与准确分步法

解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，作到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

例1:安排5名同学担任5种不同的班干部 ，如果甲同学不担任班长，乙同学不担任学习委员，那么共有多少种不同的安排方法？

分析:由题意可先安排甲同学，并按其分类讨论：（1）如果甲同学担任学习委员时有A■■种安排方法；（2）如果甲同学不担任学习委员时，则有A■■A■■A■■ 种安排方法，由分类计数原理，安排方法共有A■■+ A■■A■■A■■=78种。

2.特殊位置（或元素）“优先安排法”

对于带有特殊位置（或元素）的排列组合问题，一般应先考虑特殊位置（或元素），再考虑其它位置（或元素）。

例2： 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）

A. 300种 B. 240种 C. 144种 D. 96种

分析 ：因为甲、乙不去巴黎，故从其余4人中选1人去巴黎有C■■种方法，再从剩余5人中选3人去其余3市，有A■■ 种方法，所以共有方案C■■A■■=240（种），故选B。

3.总体淘汰法

对于含有否定字眼的问题，可以从总体中把不符合要求的除去，此时需注意不能多减，也不能少减。

例3：从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（ ）

A． 108种 B． 186种 C． 216种 D． 270种

分析：此题虽然没有否定词语，然而选出的3人中至少有1名女生，说明不能全是男生。因此选出3人有C■■种，其中都是男生的有C■■种不合题意，因此共有（C■■-C■■）A■■=186，故选B。

4. 相邻问题“捆绑法”

对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个大元素与其他元素一起排列，然后再对相邻元素内部之间进行排列。

例4：书架上有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，全部竖起排成一排，如果不使同类的书分开，一共有多少种排法？

分析：由于同类书不分开，即把4本数学书，5本物理书，3本化学书分别捆成一捆，看作3个大元素进行排列有A■■种，每捆内部的排列分别有A■■种，A■■种，A■■种，由分步计数原理共有排法：A■■A■■A■■A■■=103680（种）。

5．不相邻问题“插空法”

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙中插入即可。

例5:一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,若舞蹈不能挨着,则节目顺序有多少种不同的排法？

分析:先排2个相声和3个独唱，有A■■种排法，再在这些节目之间及两端的6个“空”中选4 个让舞蹈插入，有A■■ 种排法，这样共有 A■■A■■=43200种不同排法。

6.顺序固定问题用“除法”

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。

例6:5男3女列成一队，若女的顺序一定，则共有多少种不同的排法？

分析：因8人的全排列数为A■■种，3女的全排列为A■■，而3女顺序一定，则所求排列数为■=6720种。

7.分排问题“直排法”

把几个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其它的特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理。

例 7 某班48 位同学坐在8排座位上，每排坐6人，则不同的坐法有多少种？

分析 48位同学可以在8排座位上随意就坐，再无其它条件，故8排可看作一排来处理，不同的坐法共有A■■种。

8.正难反易“转化法”

对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难的问题，从正面入手情况较多，不易解决，这时可从反面入手，将其转化为一个简单问题来处理。

例8：用1～6这六个数字，可组成比200000大且百位数不是3的无重复数字的六位数多少个?

分析：乍读起来，比较乱，但细想起来，比200000大其实就是最高位不是1就可以了，因此，把问题想成“1”不在最高位，“3”不在百位，念着念着，你便恍然大悟。这不和例1甲同学不担任班长，乙同学不担任学习委员一样吗? 因此可转化成例l方法来解决，共有A■■+A■■A■■A■■ = 504个。

9．混合应用问题“先选后排法”

对于排列与组合的混合问题，可采用先选出元素后排列的办法。

例9：某学习小组有5名男生3名女生，要从中选取2名男生1名女生参加数学、物理、化学三科竞赛，要求每科均有一人参加，共有多少种不同的选法？

分析 （1）选：从5名男生中选2名有C■■种选法，从3名女生中选1名有C■■种选法；（2）排：3名学生分别参加三科竞赛，即进行全排列有A■■种，故所求选法有C■■C■■A■■=180种。

10.构造模型 “隔板法”

对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来帮助解决问题。

例10：高中二年级8个班，组织一个12人年级学生分会，每班至少1人，名额分配有多少种不同方法？

排列与组合范文第2篇

关键词：排列组合　分堆分配　解决方法

排列、组合中的分堆与分配问题是近几年高考中的一个热点问题，同时也是学生学习中的一个难点，本文就从被分的元素和分给的对象两端这两个方面来探讨一下此类问题的解决方法。

在将某些元素进行分配的问题中，我们按分给的对象是否相同（即有无差别）分为分堆问题与分配问题。

一、分堆问题

分堆是研究将元素所分给的对象相同（即无差别）但被分的元素不相同的一类问题。当各堆（或部分堆）分得的元素数相同时，称为平均分堆；当每堆分得的元素数各不相同时，称为非平均分堆。

1.非平均分堆

例：将6名运动员分成三组，其中有一组1人的，一组2人的，一组3人的，有多少种不同的分法？

解：本题中由于分给的对象无差别，并且每组的人数各不相同，所以这是一个非平均分堆问题，按题设要求逐堆随机拿开即可。

二、分配问题

将元素所分给的对象不相同（即有差别）时的问题叫做分配问题。分配问题按被分的元素是否相同又分为被分的元素相同（无差别）的分配问题与被分的元素不相同（即有差别）的分配问题两类：

（一）被分的元素相同（无差别）的分配问题

此类分配问题中，由于被分的元素无差别，因此在分配中，若将若干个元素平均分给几个对象，则只有一种分法；若几个对象所得元素数各不相同，则存在不同的分法。

例2．要从7个班中选10人参加数学竞赛，每个班至少出1人，共有多少种不同的选法？

分析：本例其实就是将10个参加数学竞赛的名额分给7个班的分配问题，被分的名额是无差别的，但分给的对象即7个班是不同的。 注：1.插板法与插入法不同，要注意区分。深刻理解插板法的思想，能快速、简捷的处理一部分题目。

2.插板法只适用于每个分给的对象至少分得一个无差别元素的分配问题，如果无此条件则此方法不再适用。

（二）被分的元素不相同（即有差别）的分配问题

排列与组合范文第3篇

【关键词】高考 排列组合 解题技巧

排列组合、概率、统计既是高中数学的重要内容，又是衔接初等数学与高等数学的纽带，它具有内涵丰富、涉及面宽、技巧性强、运算量大、应用广泛等特点，因而成为历年高考命题的重点和热点，在选择题或填空题等客观题中必考。明确高考中排列组合与概率统计问题的命题特点，掌握其解题策略，对于在高考数学中取得优异成绩显得尤为重要。排列组合问题，虽然在高考中所占比重不大，但试题都具有一定的灵活性和综合性，由于有些问题比较抽象，且题型繁多，解法独特，再加上限制条件，容易产生错误。本文就排列组合问题的常见题型的求解方法进行探讨。

一、间接法

即部分符合条件排除法，采用正难则反，等价转换的策略。为求完成某件事的方法种数，如果我们分步考虑时，会出现某一步的方法种数不确定或计数有重复，就要考虑用分类法，分类法是解决复杂问题的有效手段，而当正面分类情况种数较多时，则就考虑用间接法计数。

例1：从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同的选法？

A.240 B.310 C.720 D.1080 正确答案：B

解析：此题从正面考虑的话情况比较多，如果采用间接法，男女至少各一人的反面就是分别只选男生或者女生，这样就可以变化成C（11，4）-C（6，4）-C（5，4）=310。

二、特殊优先法

特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其他元素和位置。

例2：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）

A. 280种 B. 96种 C. 180种 D. 240种 正确答案：D

解析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C（4，1）=4种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A（5，3）=10种不同的选法，所以不同的选派方案共有 C（4，1）×A（5，3）=240种，所以选D。

三、捆绑法

所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间的顺序。注意：其首要特点是相邻，其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。

例3：5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？

A.240 B.320 C.450 D.480 正确答案：B

解析：采用捆绑法，把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有 A（6，6）=6×5×4×3×2种，然后3个女生内部再进行排列，有A（3，3）=6种，两次是分步完成的，应采用乘法，所以排法共有：A（6，6） ×A（3，3） =320（种）。

四、插空法

所谓插空法，指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其他元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。注意：a.首要特点是不邻，其次是插空法，一般应用在排序问题中；b.将要求不相邻元素插入排好元素时，要注释是否能够插入两端位置；c.对于捆绑法和插空法的区别，可简单记为“相邻问题捆绑法，不邻问题插空法”。

例4：若有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队，要求甲和乙两个人必须不站在一起，且甲和乙不能站在两端，则有多少种排队方法？

A.9 B. 15 C. 12 D.20 正确答案：C

解析：先排好丙、丁、戊三个人，然后将甲、乙插到丙、丁、戊所形成的两个空中，因为甲、乙不站两端，所以只有两个空可选，方法总数为A（3，3）×A（2，2）=12种。

五、插板法

所谓插板法，指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比所需分组数目少的板插入元素之间形成分组的解题策略。需要注意的是其首要特点是元素相同，其次是每组至少含有一个元素，一般用于组合问题中。

例5：将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？

A. 28 B. 24 C.32 D.48 正确答案：A

排列与组合范文第4篇

一、排列组合知识特征及其活学活用的意义

排列组合是高中数学课本里相对独立的一个章节。内容理论相对抽象，并且实际解答应用富于技巧的变化，因此很多学生对排列组合的学习感到很吃力。其对锻炼高中生的抽象思维与灵活运用能力有很大的帮助。排列组合这一章的两个最基本的原理是加法原理与乘法原理，也是排列组合的基础内容，是解决排列组合问题的基础理论。在具体的学习中，学生往往对排列组合问题感到无从下手，不知道该用什么方式解答题目，其中主要原因就是因为学生没有真正地“消化”这两个基本原理，导致无法理顺解题的思路。并且，学生另一个存在的问题就是无法对排列组合知识进行灵活地应用。排列组合的理论知识点并不是很多，注重的是方法的灵活掌握，因此教师在具体的教学中，要注意对学生的灵活运用能力的培养，不仅要会学知识，更要会用知识。排列组合知识并不仅仅是书本上的知识，其在生活中都是有很多用处的。下面就具体谈谈在学生的日常生活中，排列组合知识无处不在的应用。

二、排列组合知识在现实中的活学活用

1.排列组合知识在现实中的具体应用。数学本身是一门实用性很强的学科，在生活中，数学的应用时无处不在的。排列组合作为计数的一种数学工具，其活学活用的范围是很广泛的。例如，中学生喜欢玩拼图或者魔方玩具，其实拼图与魔方也包含着排列组合知识的应用，拼图在排同一种花色时所用的图片并没有一定的规则，并且可以重复，这就利用到了组合知识。排列组合知识在生活中的实际应用不胜枚举，这里所说的只是冰山一角。教师在具体的教学中，要让学生感受到排列组合应用的广泛性，以及其重要的意义。

2.排列组合知识在现实中活学活用的好处。教师需要让学生知道，学习掌握排列组合知识，不是为了在试卷中的排列组合题目中拿到分数，更重要的是要学会活学活用，理解其作为一种数学工具给实际生活所带来的便利。例如，学生在生活中会玩扑克牌，玩扑克牌的过程当中不可能每盘都能起到好牌，有时候拿到不理想的牌数，就需要对其进行巧妙的“排列组合”，有时候巧妙的“排列”就能取得“反败为胜”，把劣势变为优势。排列组合能够解决很多实际中的问题，这也是其带来的好处。

三、提高学生排列组合知识活学活用能力的策略

1.使学生灵活掌握各种排列组合方法。排列组合知识的应用是很灵活的，方法各种各样，学生要做到灵活运用。其具体有捆绑法、插空法、邮箱法、反客为主法等等。就拿捆绑法来说，捆绑法是指把必须相邻的元素单独取出并捆绑起来，合成一个整体，再与其余的元素排列组合。例如16个人坐一排照相，甲和乙必须相邻，有多少种排法。具体则可把甲乙二人排列，有A（2，2）种方法，再与其余的四人结合，即有A（2，2）×A（5，5）种排法，即一共有240种不同的排法。排列组合的计算手段丰富多样，因此，首先要让学生扎实地掌握各种方法的基础理论，了解其依据来源，然后再针对不同的问题进行不同方法的灵活运用，灵活解决。

2.注重实例启发，运用实例教学。排列组合的知识点丰富，运用的方法也很多，若单独靠理论的讲解，不仅学生的接受知识的效率低，教师自己也会产生疲惫。生活中运用排列组合的例子实在太多，教师针对每一个排列组合方法的应用，都有必要进行实际的案例的分析解决，这样不仅能够使学生更熟练地掌握各种排列组合的解决方法，并且长久下来，培养了学生自身的一种活学活用的理念，使其更能够认清排列组合知识的内涵。例如，让学生掌握排列组合的解决办法，可设置一个与生活相贴近的问题，比如，有篮球队员5人，乒乓球队员3人、排球队员4人，让其排成一排照相，并不使本队的人分开，有多少种排法，具体算法是把各队都当做一个整体排列，则有P（3，3）种排法，同时每个队内部也有排列，篮球队P（5，5），乒乓球队P（3，3），排球队P（4，4）。所以一共四者相乘，就有103680种排法。教师在教学中需注重类似的实例教学，合理地设计例子，让学生对理论应用有一个更清晰的概念。长此以往，能够让其产生知识运用的良好习惯，并锻炼了应用的能力。

排列与组合范文第5篇

关键词：高中数学；排列组合；解题方法

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）16-100-01

高中数学教学大纲将排列组合加入到高中数学教材中，该部分内容与学生的生活有紧密的联系，且具有较强的抽象性与灵活性，这也是学生学习起来比较难以掌握的地方。排列组合概念十分简单，而运用到实际解题中学生却容易出错。随着近几年高考题着重考察学生的抽象思维能力的变化，排列组合越来越受到高考题的青睐，往往会在选择、填空、应用题中出现，学生们往往一看见排列组合的题，就会心生畏惧，对解题形成了很大的心理障碍，以致于在这方面失分。这就要求教师在平时的教学中应教给学生解题策略，使学生掌握解题技巧，从而能够无所畏惧地进行解题。现结合多年的教学经验，对高中数学中排列组合的解题方法浅谈以下几点：

一、认真区分排列与组合，提高解题正确率

乍一看排列与组合的概念十分相似，许多同学对于这两个概念根本没弄清楚。因此，在平时的教学中教师就应该向学生讲解排列与组合概念的区别，让学生明白排列是有顺序的排列，而组合是无顺序的组合。让学生不仅对概念有更深层次的了解，在解题的过程中也能够充分运用好。若在解题过程中忽视了排列与组合的区别，容易得出错误的结果。如：将完全相同的4个红帽子和6个黑帽子排成一排，共有多少种不同的排法？在解这道题时有的同学没有认真读题，错误地认为是将10个相同的帽子进行排列，所以得出了 种排列方法。得出这样结果的同学在读题中未注意到完全相同的4个红帽子和6个相同的黑帽子，颜色相同的帽子即使发生了位置的变化，排法也是同一种。因此，应这样分析：10个帽子对应着10个位置，在10个位置中选择4个红帽子的位置，剩下的位置留给黑帽子，又因为4个红帽子是完全相同的，所以属于是组合的问题，因此得出的排法应该是 种。

在平时的教学中教师应指导学生多进行练习，并能够举一反三，让学生再次遇到类似的问题能够轻而易举地得出答案。

二、引导学生掌握常用的基本解题方法

1、插空法。

插空法在排列组合题目中较为常用，是指题目中要求某些元素不相邻，使用其他元素隔开，先将其他元素进行排列，再将题目中要求不相邻的元素插入到其他元素的空隙及两端。这一方法在“男女生座位”中更为多用。如：班级座位的一个纵列有7名女生和4名男生，要想将4名男生分开，任何2名男生不能前后相邻，问有多少种排法？通过分析可知7名女生不同排法有 种，7名女生中间的空隙及两端共有8个位置将4名男生去，共有A84种，因此，任何2名男生不得前后相邻共有 种排法。在平时的学习中应向学生灌输该方法的优点，让学生活学活用。

2、特殊优先法。

特殊优先法就是在解题过程中优先考虑有限制条件的元素，该方法在“小球排列”中较为多用。如：共有12个小球，其中1个白球，5个红球，6个蓝球，要求相同颜色的小球必须排在一起，且不能将白球放在两边，问共有多少种排法？在解这类题目时应将三种颜色的球看作一个整体，而白球受到了限制不能放在两边，所以应该优先考虑，其他两种颜色的球又各自全排列，因此，得到的结果是 种。

3、捆绑法。

指的是在解决要求某几个元素相邻问题时，可将相邻元素整体考虑。如：将7把椅子排成一列，其中a、b两把椅子必须排在一起，问共有多少种排法？类似于这样的题目可以使用捆绑法解决，将a、b两把椅子看成一个整体，与其余的5把椅子进行全排列共有 ，而a、b两把椅子的排列有 种，因此可得出共有 种排法。

在实际的教学中教师应指导学生以上以上三种常见的方法相结合，并能灵活运用。

三、引导学生进行实际操作，激发学生学习排列组合的兴趣

在排列组合的教学中教师若只是枯燥地讲解，或是留给学生大量的练习题，而并不是结合学生的实际进行操作，一来学生提不起学习的兴趣，二来不能提高做题效率。因此，在教学中教师应从实际出发，寻找与学生贴近的题目，如颜色球的排列、帽子的排列、油画的排列、占位子等等很多有趣的题目。教师可以利用这些题目让学生进行实际的操作，这样不仅激发了学生的学习兴趣，也间接提高了学生们的动手能力。例：占位子的问题，有五个从1-5编好号的同学，有5把同样编号的椅子，要求，只有两名同学坐在与其编号相同的椅子上，有多少种不同的方法？这样具有现实意义的题型，教师完全可以让学生亲自来体验，将五名同学和五把椅子编号，让学生在教师指导下，自己完成多种座位的方法，这样不仅调动了学生们学习的积极性，又活跃了课堂气氛，对学生们排列组合的学习是有极大益处的。

总之，在高中数学教学中，教师应注重排列组合的教学，多结合生活实际进行讲解，使学生根据不同类型的题目掌握不同的解题方法，以为后面概率的学习打下坚实的基础。而排列组合的解题方法不止上文提到的三种，在具体的教学中教师还应根据题目要求，选择合适的解题方法，有时候不同的解题方法间可结合运用，最终以学生掌握解题技巧为目的。

参考文献：

[1] 赵家林.排列组合在数学解题中的技巧探讨[J].数学学习与研究，2014（03）