参数方程

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参数方程范文第1篇

参数方程最初起源于力学及物理学，例如运动方程大都采用参数方程，其中参数t往往表示时间这一变量.高中数学中解析几何的核心思想是“用代数的方法研究几何问题”.在具体的问题解决中，“方程”的地位十分重要，运用代数方法通常是以“方程”为载体，“方程”架起了“代数”与“几何”之间的桥梁，从而使得解析几何变得如此丰富多彩.同学们在学习解析几何时，一定要认真理解每个曲线不同形式的方程，这是研究它们几何性质的基础.在直角坐标系下，曲线方程通常分为两大类：参数方程与普通方程.参数方程与普通方程是曲线方程的两种不同的表达方式，它们在形式上、用途上、方法上各具特点又互相补充，研究它们之间的关系、实现它们之间的互化，有利于发挥它们彼此的长处，从而简化问题解决的过程.本文拟从互化的视角，以具体问题为例，介绍常见曲线的参数方程与普通方程的互化及其运用.

一、 两类方程互化的必然性及其策略

对于具体问题，有时我们要选择将一种曲线方程化为另一种曲线方程，简称“互化”.例如当点在曲线上任意运动时，我们常选择将普通方程化为参数方程来解决，这也是我们学习参数方程的主要目的，下文将重点阐述.而实际生活很多问题提炼的数学模型往往是参数方程的形式，例如物理学中的平抛运动，我们得到的是水平方向的位移、竖直方向的位移用时间表示的参数方程，如果要进一步研究其曲线时，我们就要将之化为普通方程.也有一些数学问题是由参数方程给出的，直接解决比较繁琐，必须将之转化为普通方程解决.例如：由参数方程x=cos θ+3,

y=sin θ(θ为参数）给出的曲线，很难发现其表示的曲线类型，但如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，则比较简单.由参数方程可得：cos θ=x－3,

sin θ=y.因为sin2θ+cos2θ=1，所以x－32+y2=1，即表示的曲线是圆心（3，0），半径为1的圆.

将“参数方程”化为“普通方程”的过程本质上是“消参”，常见方法有三种：1．代入消参法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；2．三角消参法：利用三角恒等式消去参数；3．整体消参法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去参数.特别强调的是：“消参”仅仅是对代数式进行了简化，没有涉及到所消参数的范围，而两类方程中的变量x,y的范围必须相同，所以消参的同时一定要关注消参引起的“范围”变化.

例1

将下列参数方程化为普通方程：

（1）

x=t+1,

y=1－2t(t为参数）；（2）x=sin θ+cos θ,

y=1+sin 2θ(θ为参数）.

思

考通过两个例子，我们能体会到参数方程化为普通方程的注意点是哪些吗？

解

析

（1）因为x=t+1≥1，所以化为普通方程是y=－2x+3(x≥1).

这是以（1,1）为端点的一条射线（包括端点）.

（2）因为x=sin θ+cos θ=2sin(θ+π4)，所以x∈［－2,2］.

化为普通方程是x2=y,x∈［－2,2］.

评

注

上述例题我们很容易在转化过程中忽略变量的范围，如（1）中x=t+1≥1，(2)中x∈［－2,2］，因此在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.

例2

选择适当的参数，将下列普通方程化为参数方程：

（1）xy=9；（2）y2=x.

思

考选取的参数不同，同样的曲线方程写出来的参数方程是否一样呢？

解

析

（1）x=t,

y=9tt为参数;（2）x=t2,

y=tt为参数.

评

注

对于（1）的参数方程也可写成x=9t,

y=tt为参数，因此同一曲线的参数方程的形式可以不同，但（2）如果写成x=t,

y=tt为参数，则和原来的不等价，因为y≥0，只是y2=x的一部分.

因此，关于参数有几点说明：

① 参数是联系变数x,y的“桥梁”；

② 参数方程中参数可以是有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义；

③ 同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样；

④ 在实际问题中要确定参数的取值范围.

二、 参数方程的具体运用

1． 椭圆参数方程运用

若椭圆标准方程是x2a2+y2b2=1，其参数方程可设为：x=acos θ,

y=bsin θ(θ为参数），其中参数θ称为离心角.当点在椭圆上运动时，设点的坐标为(acos θ,bsin θ)，可以用一个变量θ表示点的两个坐标，体现了使用参数方程的优越性.

例3

已知A,B是椭圆x29+y24=1与坐标轴正半轴的两个交点，在椭圆第一象限的部分求一点P，使四边形OAPB的面积最大.

图1

解

析

设点P(3cos α,2sin α)，SAOB面积一定，只需求SABP的最大值即可，即求点P到直线AB的距离最大值.

d=|6cos α+6sin α－6|22+32

=6132sin(π4+α)-1.

当α=π4时，d有最大值，此时面积最大，P坐标为(322,2).

评

注

如果不设参数方程，则必须设P点坐标，再利用点到直线的距离公式，这样处理比较困难.可以看出，关于点到直线距离的最值问题，借助椭圆参数方程，将椭圆上任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决，比用普通方程解决要方便一些.

2. 圆参数方程的运用

若圆的方程是x－a2+y－b2=r2，则其参数方程通常设为：x=a+rcos θ,

y=b+rsin θ(θ为参数），利用参数方程处理动点轨迹问题往往比较简单.

例4

如图2，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12,0），当点P在圆上运动时，线段PA中点M的轨迹是什么？

图2

解

析

设M(x,y)，圆x2+y2=16的参数方程为x=4cos θ,

y=4sin θ.

所以可设P(4cos θ,4sin θ)，由中点公式得M点轨迹方程为x=6+2cos θ,

y=2sin θ,再转化为普通方程得到：点M轨迹是以（6,0）为圆心，2为半径的圆.

评

注

也可利用普通方程解答：设M(x,y)，则P(2x－12,2y)，因为点P在圆x2+y2=16上，所以2x－122+2y2=16，即点M的轨迹方程为x－62+y2=4.

所以M的轨迹是以（6,0）为圆心，2为半径的圆.求轨迹方程时，参数方程也能展现出它的优越性，只需把动点的坐标分别用第三个量来表示即可.当然，如果想知道具体是怎样的曲线，还需化为普通方程来观察.

例5

已知点px,y是圆x2+y2－6x－4y+12=0上的点，求x+y的最值.

解

析

对于此题，我们可以通过两种方法的解答加以对比，从而体会参数方程的运用.

圆x2+y2－6x－4y+12=0，即x－32+y－22=1.

方法一：圆参数方程为x=3+cos θ,

y=2+sin θ,由于P点在圆上，可设P3+cos θ,2+cos θ.

x+y=3+cos θ+2+sin θ=5+2sinθ+π4，所以x+y最大值为5+2，最小值为5－2.

方法二：令x+y=z，因为圆x－32+y－22=1与直线x+y－z=0相切时，1=5－z2，所以z=5±2. 所以zmax=5+2 ，zmin=5－2.

故x+y最大值为5+2，最小值为5－2.

评

注

相比较而言，有关圆的问题，既可用参数方程，也可用普通方程解决，但对于椭圆，用参数方程解决要比较简单一点.

3. 直线参数方程的应用

如果直线经过点M0x0,y0，倾斜角为α的直线l的参数方程为 x=x0+tcos α,

y=y0+tsin α（t为参数），直线的参数方程中，它的形式、变量、常量要分清楚.

例如：x=3+tsin 20°,

y=tcos 20°（t为参数）倾斜角为70°.

又如：直线x+y－1=0的一个参数方程为x=1－22t,

y=22t（t为参数）.

直线的普通方程可以有若干个参数方程.

例6

已知直线l：x+y－1=0与抛物线y=x2交于A，B两点，求线段AB的长和点M－1,2到A，B的两点的距离之和.

思

考在学习直线的参数方程之前，我们会如何解决上述问题？

解

析

因直线l过点M－1,2,l的倾斜角为3π4，

所以它的参数方程为

x=－1+tcos3π4,

y=2+tsin3π4（t为参数），即x=－1－22t,

y=2+22t（t为参数） ①=1\*GB3.

把①=1\*GB3代入抛物线方程y=x2得t2+2t－2=0， 解得t1=－2+102，t2=－2－102.

由参数t的几何意义可得：AB=t1－t2=10， MA・MB=t1t2=2.

评

注

在学习直线的参数方程之前，我们会用如下方法解答：

由x+y－1=0,

y=x2得x2+x－1=0，解得x1=－1+52,

参数方程范文第2篇

一、探求几何最值问题

有时在求多元函数的几何最值有困难，我们不妨采用参数方程进行转化，化为求三角函数的最值问题来处理。

例1（1984年考题）　在ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a、b、c，且c=10，，P为ABC的内切圆的动点，求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值和最小值。

解　由，运用正弦定理，可得：

sinA·cosA=sinB·cosB

sin2A=sin2B

由A≠B，可得2A=π-2B。

A+B=，则ABC为直角三角形。

又C=10，，可得：

a=6，b=8，r=2

如图建立坐标系，则内切圆的参数方程为

所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα，2+2sinα)，从而=80-8cosα

因0≤α＜2π，所以

例2　过抛物线　（t为参数，p＞0）的焦点作倾角为θ的直线交抛物线于A、B两点，设0＜θ＜π，当θ取什么值时，｜AB｜取最小值。

解　抛物线　（t为参数）

的普通方程为=2px，其焦点为。

设直线l的参数方程为：

（θ为参数）

代入抛物线方程＝2px得：

又0＜θ＜π

当θ=时，｜AB｜取最小值2p。

二、解析几何中证明型问题

运用直线和圆的标准形式的参数方程中参数的几何意义，能简捷地解决有关与过定点的直线上的动点到定点的距离有关的问题。

例3　在双曲线中，右准线与x轴交于A，过A作直线与双曲线交于B、C两点，过右焦点F作AC的平行线，与双曲线交于M、N两点，求证：｜FM｜·｜FN｜=·｜AB｜·｜AC｜（e为离心率）。

证明　设F点坐标为(c，0)，

A点坐标为(，0)。

又，设AC的倾角为α，则直线AC与MN的参数方程依次为：

将①、②代入双曲线方程，化简得：

同理，将③、④代入双曲线方程整理得：

｜FM｜·｜FN｜=

｜FM｜·｜FN｜=｜AB｜·｜AC｜。

双曲线的一条准线与实轴交于P点，过P点引一直线和双曲线交于A、B两点，又过一焦点F引直线垂直于AB和双曲线交于C、D两点，求证：｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。

证明　由已知可得。设直线AB的倾角为α，则直线AB

的参数方程为

（t为参数）

代入，可得：

据题设得直线CD方程为　（t为参数）

代入，得：，从而得，

即得｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。

三、探求解析几何定值型问题

在解析几何中点的坐标为(x，y)，有二个变元，若用参数方程则只有一个变元，则对于有定值和最值时，参数法显然比较简单。

例5　从椭圆上任一点向短轴的两端点分别引直线，求这两条直线在x轴上截距的乘积。

解　化方程为参数方程：

（θ为参数）

设P为椭圆上任一点，则P(3cosθ，2sinθ)。

于是，直线BP的方程为：

直线的方程为：

令y=0代入BP，的方程，分别得它们在x轴上的截距为和。

故截距之积为：（）·（）=9。

四、探求参数的互相制约条件型问题

例6　如果椭圆与抛物线=6(x-n)有公共点，试求m、n满足

的条件。

分析　如果本题采用常规的代入消元法，将其转化为关于x的一元二次方程来解，极易导致错误，而且很难发现其错误产生的原因。若运用参数方程来解，则可“轻车熟路”，直达解题终点。

解　设椭圆的参数方程为

抛物线的参数方程为

（t为参数）

因它们相交，从而有：

由②得：

代入①得：

配方得：。即

1≤≤9　-2≤n-m≤2

参数方程范文第3篇

做一做

1． 在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为x+t=3,y+3t=3（t为参数）；在以O点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos θ，A点为C2上的动点，B点满足OB=2OA，设点B的轨迹为曲线C3．

（1） 求曲线C3的普通方程；

（2） 直线C1与曲线C2异于极点的交点为M，与曲线C3异于极点的交点为N，求线段MN的长；

（3） 若P点的直角坐标为(-1,0)，且AP=5，求直线AP的普通方程．

2． 已知点P在曲线C：x=acos θ,y=bsin θ （其中a,b为实常数，θ为参数）上.

（1） 当a=5，b=12且0≤θ≤π时，若直线OP（其中O为坐标原点）的倾斜角为3π4，求P点的直角坐标．

（2） 当a=b=2且0≤θ≤π时，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为(2,0)，曲线C上的弧AP的长度为2,求点P的极坐标,并求直线AP的参数方程．

（3） 当a=b=r>0时，试判断直线l：xcos θ+ysin θ=r（其中θ为参数）与曲线C的位置关系．

看一看

1． （1） 先把曲线C2的极坐标方程化为普通方程，设点B的直角坐标为(x,y)，由条件“OB=2OA”，我们可用B点坐标表示A点坐标，再代入A点所在曲线C2的普通方程中，化简即可求得曲线C3的普通方程．

（2） 思路1：先求出直线C1的极坐标方程，因为在极坐标系中直线C1恰好过极点O，所以我们有MN=|ρ2-ρ1|；思路2：先将直线C1的参数方程、曲线C2的极坐标方程都化成普通方程，然后在平面直角坐标系中处理此问题．

（3） 先将曲线C2的极坐标方程化成普通方程，再设A点坐标为(x0,y0)，据AP=5，得方程①，又A点在曲线C2上，又得方程②，将①②联立，可求出A点坐标，进而可求出直线AP的普通方程．

2． （1） 先设点P对应的参数为θ0∈［0,π］，由斜率公式kOP=yP-0xP-0得到关于θ0的方程，联系cos2θ0+sin2 θ0=1及θ0∈［0,π］，解出cos θ0，sin θ0的值，进而可求出P点坐标．

（2） 先求出点P的极坐标，再将点P和点A的极坐标化成直角坐标，最后写出直线AP的参数方程．

（3） 先把圆C的参数方程化成普通方程，再求出圆C的圆心到直线l的距离d，最后根据d与r的大小，判断圆C和直线l的位置关系．

对一对

1. 解：（1） 曲线C2的普通方程为x2-2x+y2=0，设B点坐标为(x,y)，则由条件OB=2OA，得A点坐标为x2,y2．

因为A点在C2上，即有x2A-2xA+y2A=0，所以x22-2・x2+y22=0，即x2-4x+y2=0．

所以曲线C3的普通方程为x2-4x+y2=0．

（2） 直线C1的普通方程为y=3x，对应的极坐标方程为θ=π3．

曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos θ，曲线C3的极坐标方程为ρ=4cos θ．

直线C1与曲线C2交点M的极径为ρ1=2cosπ3；

直线C1与曲线C3交点N的极径为ρ2=4cosπ3．

所以MN=|ρ2-ρ1|=1．

（3） 设A(x0,y0)，则AP2=x0+12+y20=5 ①．

又点A(x0,y0)在曲线C2上，而曲线C2的普通方程为x2-2x+y2=0，

所以x20-2x0+y20=0 ②．

由①，②消去y0整理得x0=1，故x0=1,y0=1或x0=1,y0=-1．

所以直线l的斜率为k=12或k=-12，直线l的方程为x-2y+1=0或x+2y+1=0．

2． 解：（1） 设点P对应的参数为θ0∈［0,π］，kOP=tan3π4=-1=yP-0xP-0=12sin θ05cos θ0．

由cos2θ0+sin2 θ0=1及θ0∈［0,π］，解得cos θ0=-1213，sin θ0=513．故点P-6013 ,6013．

（2） 由已知得点P的极角为1，极径为2，所以点P的极坐标为(2,1)，点P的直角坐标为(2cos 1,2sin 1)．

又点A的直角坐标仍为(2,0)，

所以直线AP的参数方程为x=2+(2cos 1-2)t,y=2sin 1・t（t为参数）．

（3） 当a=b=r时，曲线C的轨迹是一个圆，该圆的普通方程为x2+y2=r2，圆心为(0,0)．

因为圆C的圆心(0,0)到直线l的距离为d=0+0-rcos2θ+sin2 θ=r，所以直线l与曲线C相切．

想一想

1． （1） 求解此问的思路是平面直角坐标系下的相关点法求轨迹．有些读者，可能会这样想，既然是在极坐标系下，那不妨设B点的极坐标为(ρ, θ)，由OB=2OA，可得A点的极坐标为ρ2,θ2，从而曲线C3的极坐标方程为ρ2=2cosθ2，这就产生了错误，这个错误是由知识点的错误迁移引起的．实际上，我们印象中的由OB=2OA，得xB=2xA,yB=2yA,是在平面直角坐标系中得到的；而在极坐标系中并没有此结论．虽然在极坐标系中没有此结论，但有这个想法也是好的，这个想法也为我们提供了一个解题思路：注意到O点恰好是极点，由OB=2OA，在限定极径ρ≥0且极角θ∈［0,2π)的前提下，我们有ρB=2ρA,θB=θA,从而由A点所在曲线的极坐标方程为ρ=2cos θ，很快就能得到B点轨迹的极坐标方程为ρ=4cos θ．

（2） 大多数情况下，我们都是先把相关曲线的参数方程或者极坐标方程化成普通方程，然后转移到平面直角坐标系中去处理相关问题；但有时我们灵活运用极坐标方程中的极径和极角的几何意义或者参数方程中的参数的几何意义（如果有的话）去处理相关问题也会很简单．此外，把参数方程化成普通方程要注意以下几点：一是先弄清楚哪个字母是参数；二是把表示参数的字母消去，就得到了我们想要的普通方程；三是研究参数对变量x,y的取值范围的限制，最后标明x,y的取值范围．

（3） 解决此问的关键是求出点A的直角坐标，进而我们就能写出直线AP的普通方程．处理思路很常规，先把问题转移到平面直角坐标系下，寻求关于A点坐标的关系式，建立关于A点坐标的方程组，最后解出点A坐标；这种用方程组法求解的类似的问题很多，我们会经常碰到．

2． （1） 此问的出错率较高，出错的主要原因是把曲线C参数方程中的参数θ和直线的倾斜角混淆，我们要注意区分．例如，求直线x=3-tsin 20°,y=1+tcos 20°的倾斜角．此问中的20°并不是所求直线的倾斜角．由k=y-1x-3=tcos 20°-tsin 20°=-1tan 20°=-tan 70°=tan 110°，得所求直线的倾斜角为110°．

参数方程范文第4篇

关键词 联立方程；参数估计；间接岭估计；岭参数

中图分类号O212文献标识码A

1引言

联立方程模型的参数估计问题是理论计量经济学的重要内容，Engle 和 Kroner [1]1995年提出在不考虑异方差扰动的条件下，用二阶段最小二乘（2SLS）和三阶段最小二乘（3SLS）估计模型的参数；Chuanming Gao和Kajal Lahiri [2]于2001年又提出了双-k类估计； Emma M. Iglesias 和Garry D.A. Phillips[3] 2005年对2SLS、有限信息最大似然估计（LIML ）和 3SLS 估计进行了理论和模拟研究；还有完全信息最大似然估计（FIML）和间接最小二乘估计（ILS）[4].在结构方程恰好识别时，间接最小二乘法（ILS估计）是估计结构方程参数的重要方法.但是当外生变量的设计矩阵出现复共线时，用间接最小二乘法估计的参数性质变得很差.本文提出一种参数的修正间接岭估计方法，首先推导出参数的估计公式，然后对它进行了修正，使其修正后的估计值具有良好的统计性质，并证明了这些性质.最后给出了在修正的岭估计均方误差最小意义下的一种岭参数的选择方法.

2模型概述与符号表示

联立方程模型的结构方程的矩阵形式为

证毕

综合定理1，定理2，和参数间接最小二乘估计相比，修正的间接岭估计使估计参数的各分量缩小，并且使其均方误差缩小.

5岭参数的选择

考虑在估计参数的均方误差最小意义下来选择岭参数k，而这个均方误差是联立方程中所有方程的估计参数的均方误差，记作F（k）.由定理2可知

要在F（k）最小的意义直接推导出岭参数k是比较困难的，为此，可以考虑利用均方误差F（k）的曲线[5]（以岭参数k为横坐标，均方误差F（k）为纵坐标），通过观察均方误差曲线，选择使F（k）最小的岭参数k（一般选择使F（k）取得极小值的最小的k或者使F（k）稳定的最小的k）.不过在上式的F（k）中还含有未知的Var（Yi）=σ2iIn和各个方程的系数真值Qi，这可以用各方程系数的最小二乘估计il来代替Qi，再把计算出的il代入第i个方程求出2i 来代替σ2i.这样，上式F（k）的右边只有一个变量k了，就可以根据均方误差曲线按前面所说的方法来选择岭参数k.若il与Qi差异很大，可以考虑用参数的第一次岭估计（1）iak代入F（k），用上述方法再次选择k，进行第二次岭估计，这样迭代下去，直到连续两次岭估计的差异很小，停止迭代，得到参数的岭估计.

6数值模拟

构建恰好识别的联立方程模型

用（12）对Y1，Y2进行估计，估计值如表1所示，从图1可以看出用间接最小二乘估计的模型拟合效果很好，拟合线几乎完全重合.

下面用修正的间接岭估计公式（7）重新对模型（11）进行估计首先利用模型参数的均方误差曲线F（k）选择岭参数k， 从图2的均方误差曲线F（k）可以看出，从k=0.1开始，F（k）下降的趋势平缓，参数的均方误差很小。不妨取岭参数k=0.1，用修正的间接岭估计方法（7）估计模型（11），得模型中的参数分别为

从图3上观察第一个模型的拟合效果没有模型（12）的第一个模型拟合效果好难道修正的间接岭估计方法没有间接最小二乘估计方法优越吗？肯定不是，如果把模型（12）和模型（13）的参数与模型参数的真值进行比较就会发现，用修正的间接岭估计

的模型参数比用间接最小二乘估计估计的模型参数更接近模型参数的真实值，这一点在图2中也能清楚看到，参数间接最小二乘估计的均方误差远大于参数修正间接岭估计的均方误差.可见当联立方程模型外生变量的设计矩阵复共线时，参数的修正的间接岭估计优于参数间接最小二乘估计.

6结束语

从以上分析可以看出，文章对外生变量设计矩阵X复共线的联立方程模型在方程恰好识别时提出一种参数的修正间接岭估计方法，推导出了估计公式，并且这种参数估计是间接最小二乘估计的一种压缩估计，其均方误差也比间接最小二乘估计的均方误差小，通过数值模拟也验证了上述结论，参数估计效果优于间接最小二乘估计.

参考文献

[1]Robert F ENGLE ， Kenneth F KRONER. Multivariate simultaneous generalised ARCH[J]. Econometric Theory，1995， 11（1）：122-150.

[2]Chuanming GAO， Kajal LAHIRI. A note on the double kclass estimator in simultaneous equations[J]. Journal of Econometrics， 2001， 108 （1）：101-111.

[3]Garry D A PHILLIPS， Emma M IGLESIAS. Simultaneous equations and the validity of instrumental variables under conditionally heteroscedastic disturbances[M]. London ：ESWC ， 2005.

参数方程范文第5篇

坐标系与参数方程命题的重点是两种形式方程的转化以及直线和圆、直线与椭圆的位置关系，这主要包括特殊曲线的极坐标方程的求解以及极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化等，这也是高考命题的主要热点.

二、知识整理

1.极坐标

（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，从O点引出一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了一极坐标系.设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ，有序数对（ρ，θ）叫做点M的极坐标，记作M（ρ，θ）.

（2）极坐标与直角坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标为（ρ，θ），则它们之间的关系为x=ρcosθ，y=ρsinθ，又可得到关系式：ρ2=x2+y2，tanθ=yx.

2.直线的极坐标方程

（1）若直线过点M（ρ0，θ0），且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：

ρsin（θ-α）=ρ0sin（θ0-α）.

（2）几个特殊位置的直线的极坐标方程

θ=α（ρ∈R）表示过极点且与极轴成α角的直线（如图①）;ρcosθ=a表示过（a，0）且垂直于极轴的直线（如图②）;ρsinθ=b表示过（b，π2）且平行于极轴的直线（如图③）.

3.圆的极坐标方程

（1）若圆心为M（ρ0，θ0），半径为r的圆方程为ρ2-2ρ0ρcos（θ-θ0）+ρ20-r2=0.

（2）几个特殊位置的圆的极坐标方程

ρ=r表示圆心在极点，半径为r的圆（如图④）.

ρ=2rcosθ表示圆心在（r，0），半径为r的圆（如图⑤）.ρ=2rsinθ表示圆心在（r，π2），半径为r的圆（如图⑥）.

4.曲线的参数方程

在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点坐标x，y都是某个变量t的函数x=f（t）

y=g（t）并且对于t的每一个允许值，上式所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t称为参数.

5.一些常见曲线的参数方程

（1）过点P0（x0，y0），且倾斜角为α的直线的参数方程为x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（t为参数），设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P的数量.

（2）圆的方程（x-a）2+（y-b）2=r2的参数方程为x=a+rcosθ

y=b+rsinθ（θ为参数）.

（3）椭圆方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）的参数方程为x=acosθ

y=bsinθ（θ为参数）.

（4）抛物线方程y2=2px（p>0）的参数方程为x=2pt2

y=2pt（t为参数）.

二、复习指导

（1）准确把握一个区别：极坐标系与直角坐标系是两种不同的坐标系，不能把直角坐标系中的公式直接应用到极坐标中，如直角坐标系中的两点间距离公式就不能在极坐系中使用.

（2）熟练掌握两个转化：一是参数方程向普通方程转化的基本方法就是消参数法，但要注意参数的取值范围对普通方程中变量的限制;二是极坐标与直角坐标的转化，要准确记忆相应公式，这是转化的基础.

（3）灵活应用一个性质，即在解决直线和圆的位置关系时，要注意灵活利用几何性质――即平面几何中有关圆的结论来求解，减少运算量，提高解题的速度和准确度.

三、典例全解

1.求解参数方程相关问题的简便方法

例1 将参数方程x=3t-5

y=-2t+1（t为参数），化成普通方程，并判断它是什么曲线？

分析：参数方程中的两个方程都是关于t的一次方程，由其中任意一个都可以解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程即可，也可以将两个方程分别乘上某个数，把t的系数化成相同，然后两式相减即可.

解析：法一：由x=3t-5，得t=x+53，把t=x+53代入y=-2t+1，得y=-2・x+53+1，整理得2x+3y+7=0，即所求曲线的普通方程为2x+3y+7=0，它是一条直线.

法二：参数方程可变形为2x=6t-10

-3y=6t-3，消去t，得2x+3y+7=0，即所求曲线的普通方程为2x+3y+7=0，它是一条直线.

点评：代入消参法与加减消参法是解决参数方程化为普通方程最常用的两种方法，本例的解法一就是代入消参法，从参数方程中选出x=3t-5，解出参数t=x+53，然后把参数t的表达式代入y=-2t+1，消去参数t，即可把已知参数方程化为普通方程;解法二采用的是加减消参法，将参数方程中的两个方程分别乘上某个常数，把t的系数化相同，然后两式相减即可.注意：不是所有的参数方程都可以化成普通方程，化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，这种消参的过程不能增加或减少曲线上的点，即要求参数方程和普通方程是等价的，因此在消参时要注意以下两个方面：（1）根据参数条件，明确x，y的取值范围;（2）消去参数后，普通方程要与原参数方程的取值范围保持一致，为了防止转化过程中出现范围的变化，也可以先由参数方程讨论出x，y的变化范围，再对方程进行转化.

2.参数方程与极坐标方程的综合问题

例2 已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l的参数方程是x=-35t+2

y=45t（t为参数），（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;（2）设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值.

分析：第（1）问利用极坐标公式x2+y2=ρ2，y=ρsinθ把曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程;第（2）问的方法比较多，可以利用数形结合法求解，可以通过圆的参数方程求解，也可以利用参数法、极坐标法或整体代换法求解.

解析：（1）曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ，又x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.

（2）法一（几何法）将直线l的参数方程转化为普通方程，得y=-43（x-2），令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0），又由（1），知曲线C为圆，圆心C的坐标为（0，1），半径r=1，所以|MC|=5，利用数形结合，可知|MN|≤|MC|+r=5+1，即|MN|的最大值为5+1.

法二（参数法）由（1）知曲线C即圆x2+y2-2y=0的标准方程为x2+（y-1）2=1，圆的参数方程为x=cosα

y=1+sinα（α为参数），N为曲线C上一动点，设N（cosα，1+sinα），由直线l的参数方程是

x=-35t+2

y=45t，知直线l过点M（2，0），所以

|MN|=（cosα-2）2+（1+sinα）2

=6+2（sinα-2cosα）=6+25sin（α-φ）

≤6+25=5+1，

即|MN|的最大值为5+1.

法三（极坐标法）由直线l的参数方程是

x=-35t+2

y=45t，知直线l过点M（2，0），在极坐标系中，M（2，0），N（ρ，θ）且ρ=2sinθ，由余弦定理可得

|MN|2=ρ2+4-2×2ρcosθ=（2sinθ）2+4-4×2sinθcosθ=4sin2θ+4-4sin2θ=2-2cos2θ-4sin2θ+4=6-2（2sin2θ+cos2θ）=6-25sin（2θ+φ）≤6+25=（5+1）2，（其中tanφ=12），所以|MN|的最大值为5+1.

点评：圆上的动点到定点距离的最值问题可用代数法或几何法求解，代数法就是设圆上动点的坐标，利用圆的方程以及距离公式建立目标函数，转化为函数的最值问题求解，如本例第（2）问中的解法二就是利用圆的参数方程，将其转化为求解三角函数的最值问题;而解法三直接利用圆的极坐标方程和余弦定理建立关于极角的目标函数求解最值.几何法就是利用圆的性质直接判断最值，如本例中第（2）问中的解法一直接利用圆心到定点的距离和圆的半径表示最值，显然利用几何法求解更为简捷直观.

3.巧选“定点” 妙用参数方程的典例赏析

过定点P0（x0，y0），倾斜角为α的直线的参数方程x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（t为参数）有着广泛的应用，深刻理解参数t的几何意义，恰当选择方程中的“定点”，是灵活运用直线参数方程解题的关键，下面例说巧妙选择定点的几种常见路径.

（1）选已知点为定点

如果直线或直线系经过已知点，那么可尝试以该已知点为方程中的“定点”.

例3 如图，已知焦点在x轴上的椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=42，过椭圆焦点F1作一直线交椭圆于两点M、N，设∠MF1F2=α（0≤α<π），当α为何值时，|MN|等于椭圆短轴的长？

解析：建立如图所示的坐标系，则椭圆方程为

x29+y2=1，F1（-22，0），设MN：x=-22+tcosα

y=tsinα

（t为参数），将其代入椭圆方程得：

（cos2α+9sin2α）t2-42tcosα-1=0，

由|MN|=（y2-y1）2+（x2-x1）2=|t1-t2|=（t1+t2）2-4t1・t2=61+8sin2α及|MN|=2，得sinα=±12，α∈[0，π），α=π6或α=5π6.

（2）选动弦的中点为“定点”

如果以动弦的中点为方程中的“定点”，那么由参数t的几何意义可得t1+t2=0，用好这一关系式常可使求解大为简化.

例4 已知椭圆C：x24+y23=1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x+m，C上有不同两点关于l对称.

解析：设两对称点为A、B，线段AB的中点为M（x0，4x0+m），则AB：x=x0+tcosα

y=4x0+m+tsinα（t为参数），将其代入x24+y23=1，得（3cos2α+4sin2α）t2+2[3x0cosα+4（4x0+m）sinα]t+3x20+4（4x0+m）2-12=0，tA+tB=0，3x0cosα+4（4x0+m）sinα=0，又ABl，tanα=-14，代入上式得3x0+4（4x0+m）（-14）=0，即x0=-m ①，由tA・tB<03x20+4（4x0+m）2-12<0，将①代入上式，得3m2+4・9m2-12<0，解得m∈（-21313，21313）.

（3）选弦的定比分点为“定点”

如果以弦AB的定比分点P（λ=APPB）为方程中的“定点”，那么由t的几何意义可将定比条件转化为相应参数间的关系式tAtB=λ.

例5 已知椭圆C：x24+y23=1，若过C的右焦点F的直线l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2），（其中y1>y2），且|AF||BF|=2，求直线l的方程.

解析：F（1，0），设l的方程为x=1+tcosα

y=tsinα（t为参数，α为钝角），将其代入C的方程，得（3cos2α+4sin2α）t2+6tcosα-9=0，设A、B对应参数为t1，t2，则

t1+t2=-6cosα3cos2α+4sin2α ①，

t1・t2=-93cos2α+4sin2α<0 ②，

又|AF||BF|=|t1t2|=-t1t2=2，即t1=-2t2 ③，

将③分别代入①、②，得t2=6cosα3cos2α+4sin2α，2t22=93cos2α+4sin2α，8cos2α=3cos2α+4sin2αtanα=±52，由y1>y2，得tanα<0，

故l的方程为y=-52（x-1）.

（4）选所求点为“定点”

如果选取所求点为方程中的“定点”，那么可将该点所满足的几何性质直接用相应的参数t去刻划.

例6 已知直线y=x+m与曲线x2+2y2+4y-1=0交于A、B两点，P是这条直线上的点，且|PA|・|PB|=2，求当m变化时，点P的轨迹方程.

解析：设P（x0，y0），直线y=x+m的参数方程为x=x0+22t

y=y0+22t（t为参数），代入曲线方程，得32t2+2（x0+2y0+2）t+x20+2y20+4y0-1=0（），

由|PA|・|PB|=|t1t2|=2，得

2（x20+2y20+4y0-1）3=2，

或2（x20+2y20+4y0-1）3=-2.

即x206+（y0+1）23=1，或x0=0，y0=-1.

又方程（）中Δ≥02（x0-y0）2+4（y0-x0）-7≤0，由y0=x0+m，代入上式得2m2+4m-7≤0，

即-322-1≤m≤322-1，

故P点的轨迹是椭圆x26+（y+1）23=1界于两条直线y=x-1+322与y=x-1-322之间的部分及点（0，-1）.