四则运算法则

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四则运算法则范文第1篇

关键词：德育课程;四则运算;课程资源;课程作用;课程任务

作者简介：孔祥渊，北京师范大学教育学部，博士研究生

当前，德育课程存在着实效性低下、利用开发不足等问题。探究起来，我们未能全面、灵活地处理德育课程，肯定是重要原因之一。本文借用四则运算的形式，试对德育课程恰当处理加以探讨。

一、加法：课程要素的不断完善

德育课程中的加法，顾名思义，是指我们需要向德育课程中添加一些要素。社会始终处于不断发展变化过程中，作为社会子系统的教育以及作为社会“法定文化”的课程，必然需要对社会的发展做出反应。对德育课程而言，我们需要让学生了解一些新的道德知识与道德观念。这意味着在德育课程中，我们首先要添加的是一些知识性的内容。例如，我们需将不断产生的新的道德知识加入到已有课程之中，或者发展、建构一门崭新的德育课程。当前，我们在这个方面已经取得了一定的成绩。但需要注意的是，加法不仅仅意味着知识性内容的添加，还意味着价值性与专业性的增强，而后者是更为根本、更为重要的。

德育课程需要受到价值性考量。对学生进行价值性引导是德育课程的重要任务之一。完成这一任务的重要前提就是德育课程本身的价值性。首先，是知识的选择方面。“不仅所有的知识都是受着价值引导的，而且所有知识本身是体现一定的价值要求的。”[1]对知识进行选择，指的是我们需要保证德育课程中所呈现的知识是符合社会基本价值取向的、积极向上的。其次，是课程的应用价值方面。在这个方面，我们需要考量的是课程的情境价值。课程有无价值，在一定程度上是由其所应用的领域决定的。例如，对于官员而言，廉政课程具有一定的价值。但是，当我们把廉政课程放到学校中，对学生进行廉政教育时，这一课程的价值就会变弱。对课程的应用价值进行考量，目的是保证学生在固定的时间里得到最适合的德育内容。最后，是课程的实施方面。当前，德育课程较为强调活动性、娱乐性等因素。这么做，在产生许多积极影响的同时也可能带来一些消极的后果。正如檀传宝老师指出的那样：如果处理不慎，“一个可怕的结果必然是，孩子什么都学到了，就是没有学到本该学到的最重要的东西――‘德’”[2]。因而，我们需要增强德育课程的价值性，通过价值性的考量保证德育内容及其应用、实施方面的价值性。

德育课程还需要得到专业性审视。德育课程具有自身的专业性，因而其不能仅仅受到价值性考量，还需要得到专业性审视。根据檀传宝老师《再论“教师德育专业化”》所说，一般情况下，德育课程的专业性可以分为两个方面：一是德育学科的专业性，一是教育学的专业性。相应地，我们对德育课程的专业性审视也应分为两个方面：在德育学科的专业性方面，我们需要审视构成德育课程的知识是否符合相关学科的专业性要求以及实施德育课程的教师是否具有相关学科的专业知识;在教育学的专业性方面，我们需要了解课程知识的组织与呈现是否符合教育学、心理学相关理论的要求，同时，作为课程实施者的教师，是否具有相应的教育学、心理学知识与技能。

总而言之，德育课程的加法，指的是我们需要不断地向德育课程中增加各种相关知识、价值性与专业性。

二、减法：课程资源的优化处理

德育课程中的减法，主要目的是使德育课程得到精简。之所以要在德育课程中做减法，其原因有二：第一，单纯的加法会给德育甚至教育带来诸多消极影响。当前，许多教育内容都以“德育”的名义进入校园，成为学生的学习内容。在这种情况下，德育成为装各种东西的“筐”。一方面，它影响了德育的专业性与边界，让人们对德育质疑，造成了德育的低效甚至无效;另一方面，它在压缩真正德育时间的同时，也不断侵占着整个教育教学的时间，影响了正常的教育教学。第二，从长远来看，德育课程中的加法不可能一直持续下去。众所周知，教育中的时间是有限的。因此，德育内容必须保持在一定的限度之内。否则，单纯的加法不仅会影响德育的开展，甚至还会对整个教育造成颠覆性的破坏。基于上述两点考虑，笔者认为，德育课程中的加法是必要的，减法也是不可或缺的。

在德育课程中做减法，简单地说，就是将现有的课程资源进行优化处理。根据课程的边界，德育课程资源的优化处理可以分为两个方面：一是德育课程内部资源的优化处理，二是各个课程中德育资源的优化处理。

优化处理德育课程内部的资源，指的是对现有的德育课程进行精简与综合。这主要有两种方式：第一，精简甚至是删减一些课程内容。随着社会的发展变化，一些课程内容逐渐不符合社会现实状况。对于这部分内容，我们需要对其进行重新梳理，根据社会的发展状况对其进行精简甚至是删减。第二，整合德育课程内容。一般情况下，德育课程的编写会考虑知识的系统性、结构性以及整个课程的逻辑性。在这种情况下，德育课程的部分内容有时会陷入繁杂与冗余之中。这就需要我们对课程内容进行整合。例如，在上课的过程中，我们可以在一定程度上打破教材前后顺序以及逻辑结构的束缚，以问题为出发点，将课程内容进行分析与综合，从而实现课程内部资源的整合。

优化各个课程中的德育资源，则意味着我们要注意到各个课程之间的联系性，并且充分利用各个课程的优势，吸取各课程中有益的资源开展德育工作。在这个方面，我们可以采取专题德育或者主题德育的形式，综合利用各个课程中的德育资源。例如，当我们对学生进行诚信教育时，我们不仅可以利用德育课中的相关诚信知识，还可以利用历史课中的诚信故事、语文课中有关诚信的诗词文章，甚至物理、化学课中一些科学家诚信的事例搭建一个综合的教育体系，对学生进行诚信方面的教育与指导。

由上面的论述可知，德育课程中的减法，实质上就在于通过精简、删减或者整合课程资源，减少特定教学内容所需要的教学时间，从而达到节省整个教育教学时间以及师生精力的目的。

三、乘法：课程作用的多种发掘

众所周知，乘法是加法的一种变形，其在一定程度上方便了计算。在德育课程中做的乘法，在某种程度上也是加法的变形。只不过，这种变形并不是简单的添加，而是对于课程作用的多种挖掘。换言之，我们需要充分开发课程的多重作用与道德意蕴。在这个方面，主要有两种方式：一是运用多种教育方式，充分发挥课程内容的德育作用;二是深入开发课程，充分挖掘课程内容的德育内涵。

课程作用的发挥，不仅仅受制于自身，在很大程度上还受到教育方式的影响。换言之，对于一种课程内容，我们运用的教育方式愈多，其可能发挥的作用也就愈多。“孔融让梨”的故事就是一个明显的例子。一般情况下，我们给学生讲解这个故事时，主要让学生了解“谦让”。换言之，在讲述故事的过程中，我们给予学生的基本上是有关“谦让”的知识。之所以如此，与我们仅仅使用讲述法密切相关。当我们增加教育方法，例如，使用讨论法、角色扮演法时，我们就可以充分挖掘学生的道德情感，巩固其正确的道德情感。并且，在这一过程中，促进学生道德行为的发展。由此可以看出，通过运用多种教育方式，我们可以发挥课程内容的多重德育作用，促进学生道德知、情、意、行多个方面的发展。

在德育课程中做乘法，除了使用多种方式发挥课程的多重作用之外，我们还可以通过挖掘课程内容的多重意义予以实现。一般情况下，一个课程内容具有多重教育意义，可是我们经常习惯于使用其常规含义，而忽略其他较为丰富的意义。例如，我们在讲解“狼来了”故事时，一般以故事中放羊的孩子为重点，告诫学生们“诚实”的重要性。这种思维有着悠久的历史，以至于当我们讲起这个故事的时候，习惯性地认为这个故事仅仅是告诉我们“诚实”的有关道理。可是，当我们将视角转换一下，把故事中的主人公换成那些前来帮助的人时，我们会发现这个故事也传达了另外一种道德品质：助人为乐。因此，我们在对学生讲解这个故事的时候，不仅要告诉他们“诚实”的重要性，还要让他们知道“助人为乐”的价值观念。

综上可见，一个看似简单的课程实质上有着多重德育作用与意蕴。因而，我们需要秉持“一课多用”的思想观念，促使课程内容产生叠加效应。

四、除法：课程任务的多元分配

在德育课程中做除法，我们的目的并不是将德育任务平均的分为多个部分，而是将德育任务进行多元分配，充分调动各个方面的积极性开展德育工作。正如许多研究者指出的那样：德育并不仅仅是某一个特定机构（如德育处）或者一个特定群体（如班主任）的事情，而是需要发挥学校所有人员的积极性。与此类似，承担德育任务的课程不仅限于德育课程，而是涉及诸多课程。具体言之，从课程的专属性上看，除专门的德育课程外，其他学科课程也负有对学生进行德育的任务。从课程的类型上看，在学科课程之外，学校里的其他课程形式（如活动课程）也具有一定的德育意义与功能。对于专门德育课程的任务，人们一般都易于了解。因此，我们主要从一般学科课程与活动课程出发，对德育课程中的除法进行分析。

第一，我们需要将德育任务分配到各个学科之中。这么做，并不是让各个学科的教师都对学生耳提面命，开展德育工作;而是让学科教师充分利用学科课程中的隐性课程，影响学生的道德发展。所谓隐性课程，一般指课程计划上没有明确规定却又对学生发挥着影响、未被人（有时特指学生）意识到的课程。隐性课程在发挥作用时具有“润物细无声”的特征，容易为学生所接受。学科教师在教育学生时，应该挖掘学科中的德育资源，并做到引而不发。例如，在物理、化学等课上，教师除了传授学科知识外，还可以介绍一些科学家，并对其赋予“勤奋”“踏实”“诚信”等特征，但是不对学生进行这个方面的直接教育，而是将这些品质在无形中传递给学生。

实际上，德育任务的学科分配，最为重要的就是分配给各位学科教师，充分调动其积极性。在某种程度上，教师自身可以说是学校中最大的隐性课程资源。从范围上讲，教师基本上贯穿于学生学校生活的整个过程。从效果上看，“教师的身教是一种自然而然的身教，对学生的品德可以起到潜移默化的作用”[3]，因此是较为有效的。

由上可知，将德育任务分配给学科教师，就是充分发挥学科课程与教师自身作为隐性课程的作用。

第二，我们需要赋予活动课程一定的德育任务。活动课程着眼于学生的活动与直接经验。因此，活动课程在德育方面最大的优势就是将德育知识“活化”，促进个体道德行为的出现与训练。基于此，我们分配德育任务时，应该将一些道德行为型、活动型任务分配到活动课程中，促进学生道德行为的成长。

德育课程中的四则运算，实质上是全面、灵活课程观念的一种反映。全面性是指课程本身、课程内容的作用与意蕴、课程的分布是较为全面的、整体的，灵活性则意味着课程作用的发挥因环境、时间、作用方式而异。因此，我们要因时制宜、因地制宜，充分发挥课程的作用。另外，在课程中做四则运算时，我们也需全面、灵活发挥德育课程的相关作用。因此，我们要了解并学会德育课程中的四则运算。

参考文献：

[1]石中英.知识转型与教育改革[M].北京：教育科学出版社，2001：157.

四则运算法则范文第2篇

〔中图分类号〕 G633.6　〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2012）14—0086—02

极限作为一种数学思想，其发展经历了思想萌芽、理论发展和理论完善这三个过程，它的形成为人类认识无限提供了强有力的工具，是近现代数学的一种重要思想方法.极限在高中数学里已有所涉及，是学习的难点之一，而求解极限是学习极限问题的基础，因此掌握求解极限的各种方法显得非常重要.本文就极限的各种求解方法进行了总结和分析.

1. 几种常用的极限求解方法

（1）利用四则运算法则求极限

对和、差、积、商形式的函数求极限，经常使用四则运算法则：

（an±bn）=an±bn；(an×bn )=an×bn；=（bn≠0）.

但在使用此法则时，往往需要对函数进行恒等变形（常见的变形有：约分、通分、分式的分解、分子和分母有理化、三角函数的恒等变换等）.

（2）利用等价无穷小求极限

等价量代换是求解极限问题常用方法之一，解题时要注意使用无穷小量进行替换.在具体求极限过程中，要遵循以下等价无穷小替换原则：对函数的因子可进行等价无穷小替换，该因子首先必须是无穷小量.下面列出几个常用的无穷小量等价替换：

当x0时，sinx～x；tanx～x；1-cosx～x2；ex-1～x；ln（1+x）～x；-1～x

（3）利用两个重要极限求极限

两个重要极限分别是①=1；②(1+)x=e.

其中第一个重要极限=1可理解为==1，第二个极限(1+)x=e可以理解为

(1+）y=e或者（1+y）=e.这两个重要极限是求极限的一种重要手段，要根据题目中给出的条件灵活选择适当的形式，使运算更加简洁.

（4）利用洛比达法则求极限

假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和ɡ(x)满足：

i) f(x)和ɡ(x)的极限都是0或都是无穷大

ii) f(x)和ɡ(x)都可导，且ɡ(x)导数不为0

iii) 存在（或是无穷大）

则极限也一定存在，且有=，此称为洛必达法则.

洛必达法则是处理()型或()型的未定式极限的重要方法，在具体求解中，如果利用洛必达法则处理的结果还是()型或()型的，则可继续利用洛必达法则去化简，直到化为最简为止.

（5） 利用函数的连续性求极限

由函数f(x)在x0点连续的定义知f(x)=f(x0)，由于初等函数在定义区间内处处连续，所以求初等函数在定义区间内任意点处的极限值，实质上就是求函数在该点处的函数值，因此利用函数的连续性求极限就是代入f(x)=f(x0)进行计算.

2. 几种特殊的极限求解方法

（1）变“无限多个”为“有限多个”求极限

利用极限的四则运算法则求极限，不仅要求每个函数的极限存在，而且只能是有限多个函数的和、差、积.若是求“无限多个”函数极限，用恒等变换将“无限多个”函数的和、差、积变为“有限多个”函数的和、差、积后，再利用四则运算法则求出极限.

例1　求(1+a+a2+a3+……+an)(0

分析: 本题为“无限多个”函数之和的极限，它们构成等比数列，用等比数列求和公式便可将“无限多个”函数之和变为“有限多个”函数，再用四则运算法则便可求得结果.

解：原式==（其中an+1=0，0

（2）利用泰勒展开式求极限

利用泰勒公式求极限一般是用麦克劳林公式的形式，并采用皮亚诺型余项.当函数为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，再通过比较求出极限.

例2　求.

解：由cosx=1- ++o(x5)，=1-++o(x5)，则cosx-=-+o(x5)，

四则运算法则范文第3篇

[关键词]小学数学 四则运算 常见错误 解题方法

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）32-062

一、运算顺序错误

学生都能记住运算法则，但在实际运用时却会受到理解能力的影响，导致出错率较高。

又如，计算“8+3×（9.5-0.5×5）”时，很多学生会写成“8+3×（9×5）”，得到错误的结果。对于这个题目，教师要尽力帮助学生避免定式思维，不让他们随意凑整数而颠倒了运算的顺序。

为此，教师在平时的教学中，应该经常提醒学生：题目中有哪些类型的运算？根据运算法则应该先算什么，再算什么？从而提高学生计算的正确率。

二、乱用运算律

对于加法交换律和结合律，乘法交换律、结合律和分配律等，应避免学生滥用和错用。

教师应该让学生明确四则运算的运算律只有所学过的这几种，不能随意编造，还要鼓励学生养成验算的好习惯，提高运算结果的准确度。

三、点错小数点

在列竖式的四则运算中，学生因为点错小数点而导致的错误较多，严重影响了计算的正确率。

例如，对于题目“4.8×9.6-34.5÷4.6”，学生会写错成：

4.8×9.6-34.5÷4.6

=460.8-0.75

=460.05

正确的计算过程为

4.8×9.6-34.5÷4.6

=46.08-7.5

=38.58

不难发现，由于计算“4.8×9.6”时小数点点错了，导致结果扩大了十倍，而在计算“34.5÷4.6”时，把4.6扩大十倍变成了46，而没有把被除数34.5进行相应的转化，所以得出的商也是错误的。

为避免类似错误的再次出现，教师应该加强小数乘法中小数点位数和除法计算时小数与整数之间的转化的教学。

四、漏抄漏算某数

学生注意力不集中、思维不活跃等，也容易导致他们在计算时漏抄漏算，最终计算错误。

例如，计算“18÷2+12-9”时，有的学生虽然得出了正确的答案，但是计算过程存在问题，即“18÷2+12-9=9+12=21-9=12”，有遗漏的情况。而在面对计算题“0.6×0.83+0.6×0.17+0.6”时，很多学生受到自身思维的限制，在计算的过程中会出现顾此失彼的情况，即“0.6×0.83+0.6×0.17+0.6=0.6×（0.83+0.17）=0.6”，忽略了0.6本身是0.6与1的乘积。

为此，教师应该根据不同学生出现的不同问题辨证施治，对于解题步骤存在问题的学生，鼓励他们多看课本上的例题，每一字每一步都按照课本上的范例操作；对于思维固化的学生，则培养他们的发散性思维，引导他们把题目看全面，可安排小组合作探究式学习；对于经常看错题目的学生，教师则应从培养学生的耐心和细心程度入手。

四则运算法则范文第4篇

关键词：数学分析；函数极限；计算

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）33-0097-03

极限是数学分析课程中最重要、最基本的概念之一.极限思想贯穿数学分析课程内容的始终，极限计算是数学分析课程中的一个重要内容.极限计算的方法分布在数学分析课程的不同章节，学生不能很好地系统地掌握极限计算的方法。对此笔者根据自己多年的教学在这方面进行一些总结，对数学分析中的极限计算方法进行系统的分析探讨，让学生掌握极限计算的各种方法，开拓学生视野，培养学生的综合解题能力。

一、极限计算的基本方法

1.利用极限的四则运算法则计算极限。利用极限的四则运算法则求极限是最基本、最直接的方法，但必需注意适用的条件极限.有时可以直接利用极限的四则运算法则即能计算，有时可能无法直接利用极限的四则运算法则进行计算，这就要求我们对所给的对象进行化简、变形处理，然后再利用四则运算法来计算。

2.利用两边夹定理计算极限。利用两边夹定理可将考虑的对象进行适当缩小和放大，从而得到原对象的极限。

3.利用单调有界准则计算极限。这种方法适用于求数列的极限，应用单调有界准则计算数列的极限时，首先可用数学归纳法或不等式的放缩法来讨论数列{xn}的单调性和有界性，然后再令■xn=a，然后解关于a的方程，从而求得出■xn=a.

4.利用两个重要极限计算极限。利用两个重要极限计算极限关键在于将考虑对象化成满足重要极限条件的形式.

5.利用洛必达法则计算极限。这种方法适用求未定式■型和■型的极限计算，其他的未定式极限都需先化为■型或■型后再求极限，但要注意这种方法只适用于导数存在的形式。

6.利用函数的连续性计算极限。因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的，所以如果f（x）是初等函数，且x0是f（x）的定义区间内的点，则■f（x）=f（x0），从而计算极限就等于计算该点处的函数值。以上方法是计算极限的基本方法，作为大学数学专业的学生是必须熟练掌握的。

二、极限计算的一些特殊方法

1.利用左右极限计算极限。函数f（x）在x0处极限存在的充要条件是在该点处它的左极限及右极限都存在且相等，且■f（x）=■f（x）=■f（x）.这种方法对分段函数求极限问题应用尤为重要，它是计算分段函数求极限问题的有力工具。

例1.已知f（x）=2xx＞00 x=01+x2x＜0，求■f（x）.分析：由于f（x）是分阶函数，计算f（x）在分阶点处的极限只能通过计算该点处它的左极限及右极限得到■f（x）.而■f（x）=■2x=1，■f（x）=■（1+x2）=1，于是■f（x）=1.

2.利用无穷小的性质计算极限。

例2.求■（x2+y2）sin■=0.分析：由于x2+y2在（x，y）（0，0）时是无穷小，sin■≤1是有界量，于是得到 ■（x2+y2）sin■=0.

3.利用等价无穷小计算极限。利用等价无穷小代换求函数的极限时，一般只在以乘除形式出现时使用，同时还应该熟悉一些常用的等价无穷小。

例3.计算■■.分析：由于■-1：■（x0），1-cosx：■（x0），于是■■=■■=1.

4.利用导数定义计算极限。由于f'（x）=■■，从而可以利用导数定义计算极限。

例4.证明：若f'（x0）存在，则■■=2f'（x0）.分析：将题中极限表达式变形为导数定义中的极限形式表示即可证明。

5.利用定积分定义求极限。由于■f（x）dx=■■f（ξi）Δxi，因而可把黎曼和■f（ξi）Δxi的极限转化为定积分■f（x）dx，转化过程掌握好两个关键：一是由f（ξi）确定被积函数f（x），二是由Δxi确定积分区间［a，b］.当在定积分存在的前提下，我们选取区间［a，b］某种特殊的分割T和区间［a，b］一个特殊的点集{ξi}，可以得到一类特殊的和式的极限，从而可以利用定积分解决此类函数极限的求值，即当所求极限的表达式或经过变换后的表达式是一个 n项和的形式时，可以考虑用定积分定义来计算， 其关键在于把和式写成积分和的形式。

例5.求■■sin■+sin■+…+sin■π.分析： 对所求极限进行变形：■■sin■+sin■+…+sin■π=■■■sin=■g■.其中的和式是f（x）=sinx在［0，π］区间上的一个积分和.这里所取的是等分分割。Δxi=■，ξi=■为小区间 ［xi-1，xi］=■，■的左端点，i=1，2，…，n.于是■■sin■+sin■+…+sin■π=■■sinxdx=■（-cosx）π0=■.

6.利用级数收敛的必要条件计算极限。利用级数收敛的必要条件：若■un收敛，则■un=0.运用这个方法首先判定级数收敛，然后求出它的通项的极限。

例6.求■■.分析：设un=■，由比值判别法知■un收敛，这样就得到了■■=0.

7.利用微分中值定理或积分中值定理计算极限。

例7.求■■sinnxdx.分析：由于sinnx在0，■满足积分中值定理的条件，从而在0，■至少存在一点ξ使得■sinnxdx=sinnξ■-0=■sinnξ，于是■■sinnxdx=■■sinnξ=0.

8.利用麦克劳林展开式或泰勒展开式计算极限。设函数f（x）在x=0的某个邻域内有定义且f（n）（0）存在，则f（x）的具有皮亚诺余项的麦克劳林展展开式为f（x）=f（0）+f'（0）x+■x2+…+■xn+0（xn），对某些较复杂的求极限问题，可以利用基本初等函数带皮亚诺型余项的泰勒公式来求极限。

例8.计算■■.分析：利用基本初等函数带皮亚诺型余项的泰勒公式得到cosx=1-■+■+0（x4），e■=1+-■+■+0（x4）.于是将上两式代入所求极限即得■■=-■.

9.利用级数的和函数计算极限。计算此类极限时常可以辅的构造一个函数项级数使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。

例9.计算■■（-1）n■x2n+1.分析：设S（x）■（-1）n■x2n+1，从而只要计算出S（x）即能计算所求的极限。利用函数项级数和函的分析性质容易计算出S（x）=arctanx，x∈［-1，1］，于是得到：■■（-1）n■x2n+1=■arctanx=■.

以上归纳了数学分析课程中计算极限的一些方法，当然还有一些其他的计算方法.在讲授完数学分析的课程之后，教师如果能系统地对极限计算方法进行总结，并适当布置一定的数量的课外习题让学生去做，要求学生根据题目的不同灵活选择适当的方法，一定起到事半功倍的效果，那么学生对有关极限的计算就比较容易解决了，从而培养提高学生分析和解决问题的能力。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上、下册）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]钱吉林.数学分析题解精粹[M].湖北：崇文书局，2003.

[3]常敏慧，杨建雅.新建本科院校数学分析习题课教学模式探讨[J].运城学院学报，2010，28（2）.

[4]杨泽恒.数学分析课程极限理论教学的一些实践与思考[J].大理学院学报，2007，（6）.

基金项目：本文由国家自然科学基金项目（11161018）和广西教育厅科研项目（201010LX463、201106LX589）资助

四则运算法则范文第5篇

关键词：原函数；不定积分；第一类换元；第二类换元；三角代换；根式代换；分部积分

中图分类号：G642.4 文献标志码：B 文章编号：1674-9324（2015）13-0178-02

在高等数学课程中，不定积分是较难的部分，它作为微分的逆运算，比求极限、判断连续、求微分（或求导）要难很多。首先，求极限、判断连续、求微分（或求导）部分都有相应的四则运算法则、复合函数的法则，对基本初等函数都有很明确的结论，甚至对高等数学课程的主要研究对象――初等函数都有一套明确的处理套路，主要依据就是相应部分的四则运算法则、复合函数的法则和对基本初等函数的明确结论。但对不定积分，我们仅有四则运算法则的一部分，即加减部分：代数和的积分等于积分的代数和。没有对应的乘积和商的积分性质，也没有复合函数的积分性质。即便对基本初等函数，我们也不能简单地推出它们的积分公式。除了常函数、幂函数、指数函数和一部分三角函数（包括正余弦函数）以外，剩下的基本初等函数的积分公式均是通过凑微分和分部积分的高等积分技巧推出的。对于一般的初等函数，相对统一的结论主要有两个：（1）连续函数都存在原函数，即初等函数在定义区间内存在原函数，（2）基本初等函数、有理函数、三角有理函数以及所有能转化成上述函数的初等函数一定可以积出来。至于如何求一般的初等函数的原函数或不定积分，则没有统一的套路。只能总结出几类典型的形式积分法，主要包括：第一类换元、第二类换元法、分部积分法、有理函数的积分。这些技巧适用于不同类的被积函数，学生学习时面对不同的被积函数，如何正确选择适当的积分法是关键，也是难点。因此，教师在教学和考试中，选择恰当的例子是十分关键的。例子要具有典型的特点，尽量可以一题多解，启发学生的发散思维。

下面，本文来介绍一个例子，这个例子有多种解法，这些解法中融合了第一类换元法（也称凑微分法）、第二类换元法（包括三角代换、根式代换和非典型代换）、分部积分等典型的形式积分法，充分体现了这些积分法的综合应用，是一个很具有启发性的例子。

例 dx.

法一：此法利用了第一类换元法。

解：原式=- dx+ dx

=- d（2x-x ）+ dx

=- +arcsin（x-1）+C

法二：此法利用了第二类换元法中的根式代换。

解：设 =t则x=1+ ，dx= dt，（x=1- 时类似，略）此时

dx=- dt=- dt- 1dt=-arcsint-t+C=-arcsin - +C

法三：此法利用了第二类换元法中的根式代换。

解：设2x-x =t，则x=1+ ，dx=- dt，（x=1- 时类似，略）

dx=- dt

=- dt- dt

=- d（ ）- =-arcsin - +C

=-arcsin - +C

法四：此法综合利用了第二类换元法中的根式代换和三角代换的思想。

解： dx= dx

设 = sint，t∈[0， ），则x=2sin t，dx=4sin t cos t dt，此时

dx=4 sin t dt =2 1-cos 2t dt=2（t- sin 2t）+C=2t-2sin t cos t+C=2arcsin - +C（利用sin t= ，cos t= 回代得）

法五：此法利用了第二类换元法中的根式代换和分部积分法的循环型。

解： dx= dx

设 =t，则x=t ，dx=2t dt ，此时

dx= dt

=-2 dt+4 dt

=-2 dt+4arcsin

对上式中第一项利用分部积分，得

dt=t - td（ ）

=t + dt

=t - dt+2 dt

=t - dt+2 dt

= t + dt

= t +arcsin +C

回到原题，有

dx= dx

=-2（ t +arcsin +C）+4arcsin

=-t +2arcsin +C

=- +2arcsin +C

法六：此法利用了第二类换元法中的根式代换和三角代换。

解：注意到法五中第一步作了根式代换后出现的积分 dt也可以用三角代换来解决，其余部分与法五同，略。

对于积分 dt，作三角代换t= sinu，u∈[- ， ]，则dt= cosudu，此时

dt= 2cos u du= 1+cos 2u du

=u+ sin 2u+C=u+sin u cos u+C

=arcsin + t +C？摇？摇 （利用sinu= ，cosu= 回代得）

回到原题，有

dx=- +2arcsin +C

法七：此法使用了第二类换元的根式代换和分部积分或三角代换，但是根式代换的具体形式不同。

解： dx= dx

设 =t，则x=2-t ，dx=-2t dt，此时上式右端 dx=-2 dt

接下来，对于右端积分或者同法五利用分部积分，或者同法六利用第二类换元法中的三角代换，得

原式= dx=-2 dt

=-2[arcsin + ]+C

=-2arcsin - +C

致谢：本文作者受到“北京高等学校青年英才计划项目（Beijing Higher Education Young Elite Teacher Project）”（No. YETP1593）资助。

参考文献：