周期函数
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周期函数范文第1篇
关键词：可微；原函数；导函数；周期性
命题：可微分的周期函数，其导函数仍为具有相同周期的周期函数。
我们讨论的周期相同，是指二者周期的集合相同（原函数的周期一定是导函数的周期；反之，导函数的周期一定是原函数的周期），或者二者最小正周期相同。
文献1中给出的“证明”，是由f（x+T）=f（x）得f'（x+T）=f'（x）[1]，这只能说明原函数的最小正周期T是导函数的一个周期，即对导函数的最小正周期T '而言，有T=KT '（K为正整数）.至于T是否为导函数的一个周期，即：是否T=T '，并未得证，尚需证T '一定也是原函数f（x）的一个周期：f（x+T '）=f（x），才有T=T '.许多书上的证明多是如此。
本文将指出：可微周期函数与其导函数最小正周期并非一定相同；同时，给出一个周期相同的一个充分条件。
1 现举一反例
我们约定J表示整数集合，R表示实数集合，E（x）表示不超过x的最大整数。
例1 设 ，考察定义在D上的函数f（x）=x-E（x） .
与正切函数类似，虽然f（x）在R上有可列间断点，但f（x）在其定义域D中每点连续可微.
首先，1/2不会是f（x）的周期，这只要取x0=k+1/4，有x0∈D，f（x0）=1/4；
x0+1/2=k+3/4∈D，f（x0+1/2）=3/4，便有f（x0+1/2）≠f（x0）.
f（x）的导函数f '（x）=1，1/2是f '（x）的一个周期.因为，对任意x∈D，x+1/2∈D，f'（x）= f '（x+1/2）=1.
这样，我们已经得到f（x）与f '（x）周期集合不同，自然，最小正周期就不会相同.当然，我们也可以分别证明，f（x）最小正周期为1，f '（x）最小正周期为1/2.
通过f（x）与f '（x）的图像来对比，结论也是非常明显的（如图1）
图1
例2设D={x|x∈R-J}.考察定义在D中的函数
同样，f（x）的导函数f '（x）=2[x-E（x）],x∈D
可以例1一样，验证1是f '（x）的周期而不是f（x）的周期，从而二者周期不同.不过，现在我们采用另外的办法，证明f（x）的最小正周期为2，而f '（x）的一个周期为1，则f '（x）的最小正周期T '≤1，便有T '≤1≤2=T，即T '=T.
对任意x∈D，有x+2∈D，且
可知，2是f（x）的一个周期.再证任何一个小于2的正整数ε不会是f（x）的周期.
若ε=1，对任意x∈D，也有x+1∈D，但
若ε≠1,0
故f（x）的最小正周期T=2.
再看导函数f '（x）=2[x-E（x）] .
对任意x∈D，有x+1∈D，且
于是，若T '为f '（x）的最小正周期，有
T '≤1≤2=T.
图2
类似的例子还可举出很多。总之，在定义域内每点可微的周期函数与其导函数的最小正周期并非总是相同。至于周期相同的例子则处处可见，本文不再例举，现只给出周期相同的一个充分条件。
2 周期相同的一个充分条件
反例给我们提示，在整个R中可微的周期函数与其导函数很可能周期必然相同.
引理1 任意一个非常值连续周期函数必有最小正周期[2].
引理2 对具有最小正周期T 的周期函数f（x），若T '也是f（x）的一个正周期，则T '=KT（K为正整数）[3].
定理 非常值周期函数f（x）在R上有定义且在每点存在连续导函数f '（x）.则f '（x）也为周期函数，并且f（x）与f '（x）周期相同[4].
证明 可微必连续，由引理1，f（x）就有最小正周期，设为T，即对任意x∈R，有
f（x+T）= f（x）
求导
f '（x+T）= f '（x） （1）
可见，f '（x）也是R上的周期函数，又f '（x）已知连续，再由引理1，f '（x）也必有最小正周期T '.由（1）式，T是f '（x）的一个周期，据引理2，T=KT '（K为正整数）.
下面，要证K=1.
因f '（x）连续，对任意x0∈R，据牛顿-来卜尼兹公式，得
由积分域可加性，有
（2）
运用积分替换t=u+（i-1）T '，并由T '是f '（x）的周期，得：
（2）式变为：
再由牛顿-来卜尼兹公式，
知T '是f（x）的一个周期，由引理2，
T '=mT,T '=m（KT '） （m为正整数）
故mK=1，但m,K均为正整数，故
m=K=1 即得T=T '
f（x）与f '（x）最小正周期相同或周期的集合相等，即f（x）与f '（x）周期相同.
3 结束语
通过以上讨论可知可微的周期函数与导函数的周期不尽相同，以后我们研究这方面的问题，不能简单地对二者周期进行互换。如果直接解决问题有麻烦，就需要换个角度寻求满足互换的特定条件，问题得以解决。
参考文献：
[1] 黄定晖，周学圣.数学分析习题集题解[M].山东科学技术出版社.
[2] 于先金.关于原函数与其导函数对称性的联系.中学数学研究.
周期函数范文第2篇
【关键词】抽象函数；周期函数；递推式；对称性；奇偶性
抽象函数是相对于具体函数而言的，它没有给出具体的函数解析式，只给出了一些体现函数特征或性质的式子的一类函数.因为抽象，难以理解，它是高中数学函数部分的难点，所以解抽象函数的题目需要有严谨的逻辑推理能力、抽象思维能力以及函数基本知识灵活运用的能力.
近几年高考中也常出现涉及抽象函数的题目，大多考查的是函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性.而在实际教学中学生对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难，所以本文尝试归结抽象函数的周期性问题的几个常见的结论并给予简单的证明，并通过几个例题说明简单的应用，供大家参考.
一、三个结论
结论1 （递推式与周期关系结论）
（1）若f（x+a）=f（x+b），则T=|a-b|；{f[x+（a-b）]=f[（x-b）+a]=f[（x-b）+b]=f（x）}
（2）若f（x+a）=-1f（x），则T=2|a|；{f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-1f（x+a）=f（x）}
（3）若f（x+a）=-f（x），则T=2|a|；{f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-f（x+a）=f（x）}
（4）若f（x+a）=1+f（x）1-f（x），则T=4|a|.
{f（x+2a）=f[（x+a）+a]=1+f（x+a）1-f（x+a）=1+1+f（x）1-f（x）1-1+f（x）1-f（x）=1-f（x）+1+f（x）1-f（x）-1-f（x）=2-2f（x）=-1f（x），
f（x+4a）=f[（x+2a）+2a]=-1f（x+2a）=f（x）}
结论2 （对称性与周期关系结论）
（1）若f（x）关于x=a及x=b对称，则T=2|b-a|；
证明：f（x）关于直线x=a和x=b对称，
f（x）=f（2a-x），x∈R，f（x）=f（2b-x），x∈R，f（2a-x）=f（2b-x），x∈R，
将上式的-x以x代换得f（2a+x）=f（2b+x），x∈R，
f[x+2（b-a）]=f[（x-2a）+2b]=f[（x-2a）+2a]=f（x），x∈R.
f（x）是R上的周期函数，且2a-b是它的一个周期.
（2）f（x）关于x=b及Ma，0对称，则T=4|b-a|；
证明：f（x）关于点M（a，0）对称，f（2a-x）=-f（x），x∈R，
f（x）关于直线x=b对称，f（x）=f（2b-x），x∈R，
f（2b-x）=-f（2a-x），x∈R，
将上式中的-x以x代换，得f（2b+x）=-f（2a+x），x∈R，
f[x+4（b-a）]=f[2b+（x+2b-4a）]=-f[2a+（x+2b-4a）]=-f[2b+（x-2a）]=f[2a+（x-2a）]=f（x），x∈R.
f（x）是R上的周期函数且4b-a是它的一个周期.
（3）f（x）关于点Ma，0和Nb，0对称，则T=2|b-a|.
证明：f（x）关于M（a，0），N（b，0）对称，
f（2a-x）=-f（x），x∈R；且f（2b-x）=-f（x），x∈R.
f（2a-x）=f（2b-x），x∈R，
将上式中的-x以x代换，得f（2a+x）=f（2b+x），x∈R，
f[x+2（b-a）]=f[2b+（x-2a）]=f[2a+（x-2a）]=f（x），x∈R.
f（x）是周期函数且2b-a是它的一个周期.
结论3 （奇偶性与周期关系结论）
（1）f（x）是偶函数且关于直线x=a对称，则T=2|a|；
证明 ：f（x）是偶函数，故f（x）关于x=0对称，又关于x=a对称，
由结论2中的（1）可知周期为T=2a-0=2a.
（2）f（x）是奇函数且关于直线x=a对称，则T=4|a|；
证明：f（x）是奇函数，
f（x）关于点（0，0）对称，又f（x）关于x=a对称，
由结论2中的（2）可知周期为T=4a-0=4a.
二、应用举例
例1 （2001年高考数学（文科）第22题）设f（x）是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称.对任意x1，x2∈[0，12]都有f（x1+x2）=f（x1）・f（x2）.
（Ⅰ）设f（1）=2，求f12，f14；
（Ⅱ）证明f（x）是周期函数.
分析 f（x）是偶函数的实质是f（x）的图像关于直线x=0对称，又f（x）的图像关于x=1对称，由结论2中的（1）可得f（x）是周期函数.
解析 （Ⅰ）解略.
（Ⅱ）证明：依题设y=f（x）关于直线x=1对称，故f（x）=f（2-x），x∈R，
又由f（x）是偶函数知f（-x）=f（x）.
f（-x）=f（2-x），x∈R.
将上式中-x以x代换，得f（x）=f（x+2），x∈R.
这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期.
例2 （求值）（1）已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），f（1）=2008，求f（2009）的值.
（2）已知函数f（x）=f（x+2）+f（x-2）对于x∈R恒成立，且f（1）=5，求f（2005）的值.
解析 （1）由题可知f（x）≠1，则有f（x+2）=1+f（x）1-f（x），由结论1（4）得T=2×4=8，
f（2009）=f（8×251+1）=f（1）=2008.
（2）由f（x）=f（x+2）+f（x-2）①
得f（x+2）=f（x+4）+f（x）②
由①+②得f（x+4）=-f（x-2）.即f（x+6）=-f（x）.
由结论1（3）知T=12，故有f（2005）=f（1+12×167）=f（1）=5.
例3 （判断奇偶性）若函数f（x）对于x∈R满足f（x+1004）=-1f（x），f（1004+x）=f（1004-x），则f（x）（ ）.
A.是奇函数而不是偶函数B.是偶函数而不是奇函数
C.是奇函数又是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数
解析 由f（x+1004）=-1f（x），结合结论1（2）知f（x）是周期函数且T=2008，
f（x）=f（2008+x）=f[1004+（1004+x）]=f[1004-（1004+x）]=f（-x）.
即f（-x）=f（x），又显然f（x）≠0，y=f（x）是偶函数，故选B.
例4 （求解析式）已知偶函数f（x）的图像关于直线x=1对称，且x∈[3，4]时f（x）=2x-1，求当x∈[14，15]时，f（x）的解析式.
解析 由条件及结论3（1），知f（x）是周期函数且T=2，由f（x）是偶函数，知f（-x）=f（x）.
设14≤x≤15，则-15≤-x≤-14，即3≤18-x≤4.
有f（x）=f（-x）=f（-x+9×2）=f（18-x）=2×（18-x）-1=-2x+35.
即当x∈[14，15]时，f（x）=-2x+35.
例5 已知定义在R上的函数f（x），对任意实数x，y，有f（x+y）+f（x-y）=
2f（x）f（y），若存在实数c>0，使fc2=0.
（1）求证：对任意x∈R，有f（x+c）=-f（x）成立.
（2）试问函数f（x）是不是周期函数，如果是，找出它的一个周期；如果不是，请说明理由.
解析 （1）证明：分别用x+c2，c2代替x，y，有
f（x+c）+f（x）=2fx+c2fc2.
fc2=0，
f（x+c）=-f（x）.
（2）解：由f（x+c）=-f（x），得f（x+2c）=f[（x+c）+c]=-f（x+c）=f（x），
即f（x+2c）=f（x）.
f（x）是周期函数，2c是它的一个周期.
从以上例题可以发现，抽象函数周期性的考查往往与函数的奇偶性、对称性等联系在一起，范围较广，能力要求较高.但只要对函数基本性质熟练，并掌握上述有关的结论和类型题目的相应解法，则会得心应手，事半功倍.
【参考文献】
[1]祁正红.抽象函数的周期[J].中学数学教学，2005（05）.
周期函数范文第3篇
1.f(x)=f(x+T)型
若f（x+a）=f(x+T)，则f(x)的周期为T。若对于x取定义域内的任意一个值，都有f(x)=f(x+T)，则f(x)是周期函数，T为函数f(x)的周期。这是函数具有周期性的定义。
2.f(x+a)=－f(x)型
若f（x+a）=-f（x），则f(x)为周期函数，且周期为2a。证明：f(x+2a)=f［(x+a)+a］=－f(x+a)=－［－f(x)］=f(x)。
3.f(x+a)=f(x+b)型
若f（x+a）=f（x+b），则f(x)为周期函数，且周期为|b－a|。证明：f(x)=f［(x－a)+a］=f［(x－a)+b］=f［x+(b－a)］。
4、f(x+a)=－1f(x)型
若f(x+a)=－1f(x)，则 f(x)为周期函数，且周期为2a。证明：f(x+2a)=f［(x+a)+a］=－1f(x+a)
=－1－1f(x)=f(x)。
5.f(x+a)=1f(x)型
若f(x+a)=1f(x)，则f(x)为周期函数，且周期为2a。
证明：f(x+2a)=f［(x+a)+a］=1f(x+a)
=11f(x)=f(x)。
6.f(x+a)=1+f(x)1－f(x)型
若f(x+a)=1+f(x)1－f(x)，则f(x)的周期为4a。
证明：f(x+2a)=f［(x+a)+a］=1+f(x+a)1－f(x+a)
=1+1+f(x)1－f(x)1－1+f(x)1－f(x)=－1f(x)，
f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］=－1f(x+2a)
=－1－1f(x)=f(x)。
7.关于两线对称型
若函数f(x)关于直线x=a,x=b对称，则函数f(x)为周期函数，且周期是2|a－b|。
证明：由f(x)关于x=a对称，则f(2a－x)=f(x),由f(x)关于x=b对称，则f(2b－x)=f(x),
f(x)=f(2a－x)=f［2b－(2a－x)］=f［(2b－2a)+x］。
8.关于一点一线对称型
若函数f(x)关于直线x=a及点(b,0)对称，则函数f(x)为周期函数，且周期是4|a－b|。
证明：由f(x)关于x=a对称，则f(2a－x)=f(x),由f(x)关于点(b，0）对称，则f(2b－x)=－f(x),
f(x)=f(2a－x)=－f［2b－(2a－x)］,
即f［(2b－2a)+x］=－f(x)。
由f(x+a)=－f(x)型的证明过程可知，函数f(x)的周期是4|a－b|。
9.关于两点对称型
若函数f(x)关于点(a,0)及点(b,0)对称，则函数f(x)为周期函数，且周期是2|a－b|。
证明：由f(x)关于点(a，0）对称，
则f(2a－x)=－f(x),
由f(x)关于点(b，0）对称，
则f(2b－x)=－f(x),
周期函数范文第4篇
一、函数图象的对称性
函数图象的对称性的本质仍然是点与点之间的对称关系，包括点与点关于电对称，点与点关于直线对称。函数的奇偶性只不过是对称性的特例而已。函数的对称性有以下结论：
结论1：函数f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是f（x）=f（2a-x）或者函数f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是f（a+x）=f（a-x）
一般的，若函数f（x）满足f（a+x）=f（b-x），则f（x）关于直线对称
结论2：函数f（x）的图像关于直线x=0对称的充要条件是f（x）=f（-x）
即函数f（x）为偶函数充要条件是f（x）=f（-x）
结论3：函数f（x）的图像关于点（a，b）对称的充要条件是f（x）=2b-f（2a-x）
结论4：函数f（x）的图像关于点（0，0）对称的充要条件是f（x）=-f（-x）
即函数f（x）为奇函数的充要条件是f（x）=-f（-x）
结论5：函数y=f（x）与函数y=f（2a-x）关于直线x=a对称
结论6：函数y=f（a+x）与函数y=f（a-x）关于y轴对称
结论7：函数y=f（x）与函数y=f（-x）关于y轴对称
结论8：函数y=f（x）与函数y=-f（-x）关于原点对称
结论9：函数y=f（x）与函数y=2b-f（2a-x）关于点（a，b）对称
其中结论1，2，3，4反映一个函数自身的对称性，结论5，6，7，8，9反映两个函数图象的对称性
二、函数的周期性
如果函数f（x）对于定义域内的每一个x，存在一个非零的常数T，都有f（x）=f（x+T）成立，就称函数f（x）是一个周期函数，其中T叫做周期函数的一个周期。如果在函数f（x）的所有周期中，存在一个最小的正数，就称之为函数f（x）的最小正周期.对函数的周期性定义解读如下：
（1）周期函数的定义域是一个无限区间
（2）f（x）=f（x+T）是一个恒等式，对于定义域内的每一个x恒成立
（3）若T是函数f（x）的一个周期，则kT（k∈Z，k≠0）也是函数的周期
（4）周期函数未必就一定有最小正周期
（5）函数的周期性不是三角函数所专有的特殊性质。有些函数通过递推关系也能够推导出周期性。比如f（x+1）=-f（x）可以得出f（x）是周期为2的周期函数。
三、对称性与周期性之间的关系
具有对称性的函数往往具有周期性，有以下结论成立：
结论1：如果函数f（x）关于两条直线x=a，x=b对称，则函数f（x）是周期函数，周期T=2（b-a）
f（x）关于直线x=a对称，f（x）=f（2a-x）
f（x）关于直线x=b对称，f（x）=f（2a-x）
f[2（b-a）+x]=f[2b-（2a-x）]=f（2a-x）=f（x）
结论2：偶函数f（x）关于直线x=a（a≠0）对称，那么f（x）是周期为2a的周期函数.（这就是结论1中b=0时的特例）
结论3：函数f（x）关于点（a，0）对称，且函数f（x）关于直线x=b（b≠a）对称，那么f（x）是周期为4（b-a）的周期函数；
证明：f（x）关于点（a，0）对称，f（x）=-f（2a-x）
又f（x）关于直线x=b对称，f（x）=f（2b-x）
f[4（b-a）+x]=f[2b-（4a-2b-x）]=f（4a-2b-x）
=f[2a-（2b+x-2a）]=-f（2b+x-2a）=-f[2b-（2a-x）]
=-f（2a-x）=f（x）
结论4：奇函数f（x）关于直线x=b对称，那么f（x）是周期为4b的周期函数；（这就是结论3中a=0的特殊情况）
结论5：若函数f（x）关于两点（a，0），（b，0）对称，那么f（x）就是周期为2（b-a）的周期函数
f（x）关于点（a，0）对称，f（x）=-f（2a-x）
又f（x）关于点（b，0）对称，f（x）=-f（2a-x）
H！f[2（b-a）+x]=f[2b-（2a-x）]=-f（2a-x）=f（x）
从而结论得证
结论6：奇函数f（x）关于点（a，0），（a≠0）对称，那么f（x）就是周期为2a的周期函数。（这就是结论5中b=0的特殊情况）
结论7：偶函数若具有周期性，则必有与y轴平行的对称轴.
略证：f（x）是偶函数，且周期为T
H！f（x）=f（-x），f（x+T）=f（x）H！f（x+T）=f（x）=f（-x）
H！f（x）关于x=对称。
结论8：奇函数若具有对称性，则不一定有对称轴。比如函数y=tanx
结论9具有周期性和x=a（a≠0）对称轴的函数，不一定具有奇偶性。
例如函数y=sin（x+）。就不具有奇偶性
四、应用举例
例1：设f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）= ；
解：f（x+2）=-f（x）H！f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x）
H！f（x）是周期为4的周期函数
f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5
例2：已知定义域为R的函数f（x）是奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1
（1）求f（x）在[-1，0]上的解析式；
（2）求f（log24）
解：（1）设x[-1，0]。则-x∈[0，1]
f（x）是上的奇函数，
f（x）=-f（-x）=-（2-x-1）=1-2-x，x∈[-1，0]
（2）由f（x+2）=-f（x）
H！f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x）
即f（x）是周期为4的周期函数。
周期函数范文第5篇
关键字：余弦函数 倍周期分支 混沌
中图分类号：O174 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）11（c）-0188-01
从任何初始值出发迭代时，一般有个暂态过程，但当迭代次数很大，即当n∞时，演化会导致一个确定的终态。终态可取无穷多种值，对初值极为敏感，成为不可预测，开始出现混沌现象。在此前终态都是周期的、可预测的，并与初值无关。
混沌（Chaos）是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动。一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌是非线性系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。混沌运动的动力学特性已经被证明在描述和量化大量的复杂现象中非常有用，但是，由于混沌系统所固有的系统输出对状态初值的敏感性以及混沌系统和混沌现象的复杂性和奇异性，使得混沌控制理论的研究更具有挑战性。
这里我们主要考虑一类关于余弦函数迭代映射的模型
（1）
的倍周期分支问题，其中，均为参数。首先作变换，则可有：。（2）
1 倍周期分支
倍周期分支是指在某个特定的参数值的一侧有稳定的不动点，但当参数经过这个特定的参数值变化到另一侧时，稳定的不动点变成不稳定的，并同时产生了周期2轨道。在给出我们的倍周期分支结果之前，我们先给出关于倍周期分支存在的判别法：
引理：[1]设是充分光滑的函数，记，如果下列条件成立：（1）；（2）；
（3）；
（4）；那么在处发生倍周期分支。更为详细的是，在附近存在一个不动的曲线，在一边是稳定的不动点，而过了以后成为不稳定的不动点；并且存在一条光滑的曲线在点与直线相切，而是关于的函数的图像。当时，新生成的周期2轨道是稳定的，反之则是不稳定的。
引理给出了函数关于参数在特定参数值处发生倍周期分支的充分条件。下面讨论模型（1）也就是模型（2）关于参数发生倍周期分支的条件。
定理1：若模型（2）的固定参数满足，参数是变化的，则在区间上，一定存在参数，模型的不动点在处存在倍周期分支，而且产生的周期2轨道是稳定的。
证明：定义函数，则有
.当时，由于，从而，所以在区间上是严格单调递增函数。又对任意的，都有
所以存在唯一的，满足。于是对于每一个，都有唯一一个零点与之对应，且关于是连续的。这是因为对于任何，一定有。如果不然，则存在，也就有
。
于是我们根据倍周期分支引理，我们可以知道模型（2）在参数经过时发生了倍周期分支，而且由可知所产生的周期2轨道是稳定的。
若固定参数，，，不变，模型（2）对参数也会发生倍周期分支。
定理2：若模型（2）的固定参数满足，参数是变化的，则在区间上，一定存在参数，模型的不动点在处存在倍周期分支，而且产生的周期2轨道是稳定的。
证明：定义函数.
因为
所以存在，满足。定义一个关于k的函数.由于从而有，所以至少存在一个，使得，得出于是我们根据鞍-结点分支引理，我们可以知道模型在参数经过时发生了倍周期分支，而且由可知所产生的周期2轨道是稳定的。
2 结论
根据倍周期分支的判别法，该文分别给出了一类余弦函数迭代映射后关于参数和关于参数发生倍周期分支的充分条件，深刻讨论了一类简单的余弦函数发生倍周期分支的这种复杂动力学行为。而倍周期分支是典型的一条通过混沌道路的途径。这说明这类余弦函数经过迭代也必然会发生复杂的混沌动力学行为。混沌是非线性科学中十分活跃、应用前景极为广阔的领域。混沌是比有序（此处指经典意义下的有序━━对称、周期性）更为普遍的现象。它向我们揭示出一个形态和结构的崭新世界。这个看似简单但又充满神秘，激励人们不断地去探究。
参考文献
