圆周运动习题

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圆周运动习题范文第1篇

关键词：竖直平面；圆周运动；临界条件；平衡位置

中图分类号：G632.0 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）04-179-01

物理试题中常常遇到不明确提出临界值而必须通过运用知识去分析临界条件，挖掘临界值，这对多数学生比较困难的。学生处理这类问题往往具有“似曾相识又无从下手”的通病，本文以竖直平面圆周运动为背景材料进行归类分析如下：

例1：如图所示，长L的不可伸长的细绳连接质量为M的小球后绕O点在竖直平面内做圆周运动。阻力不计，要保证小球做完整圆周运动，则小球在最低点速度至少多大？（假设绳能承受足够大的拉力）

解析：要保证小球做圆周运动，则小球一直不脱轨。小球脱轨的原因是受重力作用。由于绳子拉力作用，小球在水平线BC以下各点均不脱轨，而在最高点小球速度最小，所需向心力最小，而重力沿半径分量最大，所以最高点是小球最易脱轨的位置。因此保证作圆周运动考虑的临界位置是圆周运动中最难达到的位置，即为运动速度最小位置。

小球在最高点受力分析如图所示，

由牛顿第二定律得 当 v= (式中v指最高点最小速度)从最低点至最高点小球机械能守恒，则有 mv02=mg×2l+ mv2

v0= 因此v0至少为

例2：例题1中，将细绳改成轻杆，则小球做完整的圆周运动时，小球在最低点速度至少多少？

解析：小球做圆周运动时上升过程中由于重力做负功，动能减小，最高点速度最小因此保证做完整的圆周运动的临界位置为最高点。

由于轻杆在最高点既能产生拉力，又能产生拉力，当轻杆对小球竖直向上的支持力其大小等于小球的重力时，合外力最小F合＝0，因此最高点最小速度v=0。从最低点到最高点小球机械能守恒，则有 mv02=mg×2l+0 v0=2 ，因此v0至少为2

例3：例题1中小球改成沿半径为R光滑的圆形内轨道运动，则小球做完整的圆周运动时在最低点速度至少多大？

解析：小球做完整圆周运动速度最小位置是最高点，因此保证做完整的圆周运动的临界位置为最高点。

小球在最高点受力分析如图，由牛顿第二定律得N＋mg=m ，因N≥0小球通过最高点v至少等

同理由机械能守恒可得，小球在最低点速度v0至少为

由例1和例3可知：小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点没有物体支撑时，速度最小为v= （R指圆周运动半径）

例4：例题1中，小球沿着半径为R光滑环形管道运动，保证小球做完整圆周运动，则小球在最低点速度至少多大？

解析：小球做完整圆周运动速度最小位置是最高点，因此保证作完整的圆周运动的临界位置为最高点。在最高点小球受重力和内外轨弹力作用，当内轨对小球向上支持力其大小等于小球重力时，F合 ＝0，因此小球在最高点的最小速度v＝0。从最低点到最高点小球机械能守恒，则有 mv02=mg×2R+0， ，因此 至少为

由例2和例4可知，小球在竖直平面内做圆周运动时，在最高点有物体支撑时，速度最小为v＝0。

由以上例子可发现竖直平面内圆周运动“临界位置”与物

体静止时“平衡位置”关于圆心对称。

例5：小球沿着半径为R光滑环形管道运动，如果在空间加一向右的匀强电场，小球带电量为q，且Eq＝mg,则小球能做完整的圆周运动时，它在最低点速度至少多大？

解析：小球在电场中静止时平衡位置为C点，该点受力分析如图：

由物体的平衡条件可得：

由以上结论可得：C点关于圆心O对称点D点即为小球作圆周运动临界位置。

对D点由牛顿第二定律可得： ， （式中v指D点的最小速度）从最低点A至D点由动能定理

因此v0至少为

圆周运动习题范文第2篇

一、考虑重力作用，利用牛顿第二定律和功能关系求解带电粒子在匀强电场中的圆周运动

带电粒子在匀强电场和重力场共同作用的场中做圆周运动的问题，是一类重要而典型的题型。在考虑重力作用的情况下，对于带电粒子在匀强电场中的圆周运动的处理通常是利用牛顿第二定律与功能关系。与不考虑重力的情况相比，主要是注意重力对解题的影响。

例1

如图1所示，在E=1×l03V/m的水平向左的匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道竖直放置，轨道与一水平绝缘轨道MN连接，半圆轨道所在竖直平面与电场线平行，其半径R=40cm，一带正电荷量q=l×10-4C的小滑块的质量m=40g，与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s2，求：

（1）要使小滑块能运动到半圆形轨道的最高点L，小滑块应在水平轨道上离N点多远处释放？

（2）这样释放的小滑块通过P点时对轨道的压力是多大？（P为半圆形轨道的中点）

解析：（1）小滑块刚能通过轨道最高点的条件是 ，解得 。小滑块由释放点到最高点的过程中，由动能定理得 ，解得

（2）小滑块在从P点到最高点的过程中，由动能定理得 ，小滑块运动到P点时，由牛顿第二定律得 ，解得N=l.5N。

点评：轨道模型的特点是轨道对物体的作用力参与提供物体做圆周运动的向心力，但不参与做功。

二、考虑重力作用，带电粒子在匀强电场中做圆周运动的等效处理

（一）带电粒子在竖直面内的圆周运动

带电粒子在匀强电场和重力场共同作用的场中做圆周运动时，分析在竖直面内的运动时常常会涉及一些能否会做完整的圆周运动问题，对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大，若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简洁。“等效法”的具体内容是先求出重力与静电力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将 视为“等效重力加速度”。再将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解即可。

1.静电力与重力方向垂直，处理等效最高点问题。

例2 如图2所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角θ=30。的斜面，AC部分为竖直平面内半径为R的圆弧轨道，斜面与圆弧

图2轨道相切，整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中。现有一个质量为m的小球，带正电荷量 ，要使小球能安全通过圆弧轨道，在O点的初速度应满足什么条件？

解析：小球先在斜面上运动，受重力、静电力、支持力作用，然后在圆弧轨道上运动，受重力、静电力、轨道作用力作用，如图3所示，类比重力场，将静电力与重力的合力视为等效重力mg'，其大小为 即a=30°，等效重力的方向与斜面垂直指向右下方，小球在斜面上做匀速运动。要使小球能安全通过圆弧轨道，在圆弧轨道的等效“最高点”（设为D点）满足等效重力刚好提供向心力，即 ，因为a=30°与斜面的倾角相等，由几何关系知AD=2R，令小球以最小初速度u0运动，由动能定理得 解得 。因此要使小球安全通过圆轨道，初速度应满足

点评：要使小球能做完整的圆周运动，就要使小球能安全地通过最高点，在重力场与匀强电场共同作用的场中，就要分析等效最高点，这与只有重力场时的最高点是不相同的，所以解决此类问题最好的方法是分析等效重力加速度。

2.静电力与重力方向垂直，处理等效最低点问题。

例3 如图4所示，一条长为L的细线上端固定在0点，下端系一个质量为m的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为E，方向水平向右，已知小球在B点时平衡，细线与竖直方向间的夹角为a。求：当细线与竖直方向间的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球的速度恰好为零？

解析：（1）运动特点。小球在重力、静电力两个恒力与不做功的细线拉力作用下的运动。

（2）等效分析。对小球在B点时进行受力分析，如图5所示，将重力与静电力等效为一个恒力，将其称为等效重力得 ，小球做只受等效重力mg'与细线拉力的运动，可等效为单摆运动。

（3）规律应用。如图6所示，根据单摆的对称运动规律可得，B点为振动的平衡位置，竖直位置对应小球速度为零，是小球做单摆运动的最大位移处，另一最大位移处在小球释放的位置。根据对称性可得，当细线与竖直方向间的夹角满足p=2a时，则小球从这一位置由静止释放后至细线到竖直位置时，小球的速度恰好为零。

3.静电力与重力在同一条直线上。

例4 如图7所示，绳长为L，一端固定在0点，另一端拴一个带电荷量为+q的小球，已知qE= 3mg，要使小球能在竖直面内做圆周运动，小球在A点的最小速度应是多少7

解析：小球在A点受到重力mg和静电力qE作用，其合力为2mg，方向向上，用此合力代替重力场中的重力，则B点等效于小球只在重力场中运动时的“最高点”。要使小球恰能做圆周运动，则需小球在等效“最高点”B时，有 （此时TB=0），在小球从B点运动到A点的过程中，应用动能定理得 ，解得 。因此要想让小球在竖直面内做圆周运动，小球在A点的最小速度应为 。

点评：在应用等效法处理圆周运动时，要注意等效最高点（最低点）与实际最高点（最低点）的区分，有些情况下等效最高点（最低点）与实际最高点（最低点）重合，有些情况下等效最高点（最低点）与实际最高点（最低点）则不重合。

（二）带电粒子在水平面内的圆周运动

带电粒子在水平面内做圆周运动时，由于重力会与支持力相互抵消，从而造成静电力等效代替重力的作用。

例5 如图8所示，在光滑水平面上的O点系一长为l的绝缘细线，细线的另一端系一质量为m、带电荷量为q的小球，当沿细线方向加上场强为E的匀强电场后，小球处于平衡状态。现给小球一垂直于细线的初速度v0，使小球在水平面上开始运动，若v0很小，则小球第一次回到平衡位置所需时间为多长？

圆周运动习题范文第3篇

【关键词】类比法 电场 磁场 叠加场 重力场

类比法，就是人们根据两个对象之间在某些方面的相同或相似，推论出它们在其他方面也可能相同或相似的一种认识事物的思维方法。 将类比法应用于中学物理教学中，则可把学生所熟悉的知识与陌生的知识相比较，为认识新事物提供线索和方向，以加强知识间的横向联系与沟通，从而达到举一反三的目的。

学生觉得物理难学，尤其是电磁学部分，更是觉得概念抽象，习题也很难理解。我们在这部分内容的教学中应用类比法去讲解概念、规律，求解习题及进行复习，不仅易于教学，而且可扩展学生的视野、提高分析的综合迁移能力。

一、电场与重力场

在讲授电势时，将电场和重力场进行类比，找出共同点――电场力和重力做功都与路径无关。为此，首先引入重力势能的概念，把一个质量为m1的物体放在高度为h的地方，它具有重力势能m1gh，把质量为m2、m3……的物体放在高度为h的地方，它们分别具有重力势能m2gh、m3gh……其势能值各不相同，但m1gh/m1=m2gh/m2=m3gh/ m3……=gh是一个恒量，我们可以把gh叫做重力势。其值只决定于重力场中的位置和零点的选择，与放入重力场中的物体的质量无关。由于学生对重力场知识了解较多，对重力势容易接受，再用类比法引入电势的概念，分析它的性质和区别于重力场的特点，这就化“抽象”为“具体”，使学生对新知识有似曾相识的亲近感，深化了教学内容。

二、叠加场与重力场

轻杆与球、轻绳与球两种模型在重力作用下在竖直平面内做完整圆周运动的条件建立后，学生在学习到带电小球在电场别是叠加场中的圆周运动问题时，往往不能透彻分析。此时，教师如能帮助学生通过等效重力场的角度去思考即将电场和重力场叠加后成为一合力的叠加场G’，则学生的思维就不存在障碍了。

例如.如右图所示，轻绳系一带正电、重G的小球悬挂在竖直向上的匀强电场中，使小球以悬点O为圆心在竖直平面内作圆周运动，则（）：

A.小球可能作匀速圆周运动B.小球只能作变速圆周运动C.小球经最低点A时，绳子拉力可能最小

D.在小球经最高点B时，绳子拉力一定最小

解析：球受重力G、向上的电场力F及绳的拉力T。将G与F合成为一等效的重力场G’后，只需分析球在重力场G’中的运动就行了。G’可能有三种情况：

①F=G，G’=0，球受绳拉力T作用而在竖直平面内做匀速圆周运动，此时T=mv2/L不变。

②F

③F>G，G’向上，转换一下思维角度，球仍作变速圆周运动，在最高点B（G’中的“最低点”），速度最大，T最大；最低点A（G’中的“最高点”），速度最小，T也最小。

故选A、C。

三、电场与磁场

电场与磁场统称电磁场，它们间存在着紧密的联系，在一定的条件下可以相互转化。在教学中若采用图表类比，知识结构、研究方法与教材的理论构思将一目了然。

圆周运动习题范文第4篇

人造卫星的运行速度即卫星相对于地球的速度似乎是一个简单的问题，在中学物理教学中，我们总是假定卫星是围绕地球做匀速圆周运动，我们在卫星的环绕速度问题上，在理论上已有定论，根据万有引力和动力学知识不难得到，v=GMr，轨道半径越大其速度越小.但在解决一些具体问题上，有些问题还需深入讨论.如下是我们教学中的常见习题：

题目某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变.每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动，某次测量卫星的轨道半径为r1,后来变为r2，r1>r2,以Ek1、Ek2表示恒星在这两个轨道上的动能，T1和T2表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期

A.Ek2

B.Ek2T1

C.Ek2>Ek1、T2>T1

D.Ek2>Ek1、T2>T1

答案C.

我们的通常解释是：人造卫星做近似的圆周运动，根据上述的绕行速度与轨道半径的关系，不难得到如上的结果.(该解释最早见于人教版参考书)上述问题可以成功解释在高空有阻力情况下的卫星的运行速度越来越大，周期越来越小的现象.作为一种近似绕行速度计算是没有问题的.然而正是我们的教学工作坚持圆周运动模型给造成了很多尴尬与困惑，也让我们产生许多错误的理解，甚至推出很荒谬的结论.

2卫星阻尼运行速度增大探微

学生的最大疑惑之一是：卫星做圆周运动在切线方向受到阻力的作用为什么速度增大.如果坚持卫星做圆周运动，这是一个极其荒谬的悖论，即一个减速的原因产生一个加速的结果.

通常教师从能量的角度来分析.认为由于阻力的存在使物体做向心运动，重力势能逐渐转化为动能.所以物体的速度增大.这一解释速度增大时是合理.但这一解释有两个缺点：一个是没有回答速度增大的真正原因，即答非所问；另一个是卫星的运动过程.教师坚持卫星做圆周运动，自然建立的卫星在阻尼下的运动是高轨道向底轨道的逐步跃迁式运动模式.教师不能用一个描述性定律来解释学生心目中的疑惑.教师应该明晰物理过程，和动力学的因果关系.

如图1所示，理想的在真空的状况下，卫星B的环绕速度垂直于地心O与卫星的连线，但是在有阻力的情况下则是另一种情况，如图2所示.

速度方向不再与卫星与地心的连线垂直，而与BO1垂直，可以认为卫星的圆周运动不再围绕地心O2点，而应看作围绕O1点圆周运动，O1是卫星该时刻做曲线运动的瞬时曲率中心，卫星转动一周O1就相应在O2点附近变动，其曲率半径也会发生一些变化，由于地球的引力作用.引力在以O1点在切线方向上的引力的分力大于阻力(沿切线方向，为使图象清晰，图中没有图示力.)其速度是增加的.由于O2点和O1点极其接近.所以我们说卫星的环绕速度越来越大可以说得通.但是真实的卫星应该是环绕O1点瞬时曲率中心.在理论上我们能否假定卫星绕其地心在作圆周运动呢？由于引力是指向地心的，但阻力方向与速度方向的相反，所以引力与沿引力相反方向的阻力(可称为法向阻力fr)的合力指向地心，使卫星在指向地心方向速度增大.也就是说卫星的运动是围绕着地球做螺线运动，其证明在此从略.

从运动学的角度我们也可以进行如下的分析.在极坐标系中，卫星的横向、轴向微分方程为：

虽然横向存在着的空气阻力，但我们不能说其横向的加速度一定是负，也可能是加速，如果径向速度为负并且与角速度乘积较大.即：

这里清楚地表明，在横向有阻力的情况下，可以产生横向的加速运动，但其前提是径向的速度必须是负值并满足上述关系.可见，不光我们从动力学角度还是从运动学角度，我们都不能以圆周运动模型解释速度增加的问题.

3卫星阻尼对接的断想

在我们的教学中，空间站对接问题是中学物理教学中的经典问题.问题是这样的：空间站A和飞船B在同一轨道上运动，A在前而B在后，如何使A、B进行成功对接呢？我们通常从轨道跃迁来解释：使B减速进入较低轨道，而使其绕行速度增大，后加速达到较高轨道，追上A空间

站达到平稳对接.这种解释过于粗糙，学生理解为什么卫星阻尼反而速度增大，物理过程也极其模糊.其物理过程在理论上说应该是这样的：如图3所示，圆形轨道Ⅰ的中心为地球，如果B在E点减速，可进入椭圆轨道Ⅱ，到达D点.改变运行速度方向可进入轨道Ⅲ，在C点与轨道Ⅰ交于C点，再加速可达到与空间站A进行平稳对接.可以简单证明B变轨后的周期小于原来的周期，在理论上我们可以设计变轨周期达到平稳对接.当然空间站对接方式可能有多种，此不赘述.笔者的学识有限，不可能对航天技术有深刻的理解，在此只可能用推断想象或片段想象来称自己的研究.

4结论综述

圆周运动习题范文第5篇

在物理教学中，细节的处理对学生的物理学习有重要的影响。只有处理好细节，才能更好地凸显物理的本质，学生才能以不变应万变，才不会错误迁移解题经验，才不会陷入思维定势。

[关键词]

教学；迁移；细节

在物理教学中，应该处理好细节，这样，才能把物理本质凸显出来，学生才能够抓住住物理的本质因素，学生也才能够在解题中以不变应万变。如果对细节的处理不到位，学生在解决问题时不能分清楚不同物理问题之间的区别，那就容易陷入思维定势的误区，对学生的物理学习造成障碍。本文以万有引力定律运用为例，谈谈物理本质的细节与学生思维定势之间的关系。

一、物理量的矢量性

在学习圆周运动时学生已经知道向心力、向心加速度、线速度是矢量，有大小有方向，且在匀速圆周运动中这些物理量大小相等、方向不断变化。研究天体运动时，卫星绕中心天体的运动看成是匀速圆周运动。在分析天体运动的问题时，有不少学生由于没有注意上述物理量是矢量，或者没有受到一些教辅资料口诀的影响，而出现低级错误。例如，在学习地球同步卫星时，很多教辅资料和老师归纳为：五同――同轨、同高、同速、同周期、同加速度。这里面的同仅指物理量大小相同，而学生受这些口诀的影响进一步忽略了物理量的方向，导致低级错误。

例题1：某一时刻，所有的地球同步卫星（ ）

A.向心力相同 B.线速度相同

C.向心加速度相同 D.离地心的距离相同

要解决这一问题，就要在教学中，强调所有圆周运动的规律对天体运动中的卫星都适用，描述卫星的运动时适用描述圆周运动所有物理量，这些物理量中线速度、向心力、向心加速度等是矢量。强调了这些物理量是矢量这一细节，学生自然能解决例题1。

二、物体的“随”与卫星的“绕”

在天体运动中，我们遇到很多问题都是简化成卫星绕中心天体做匀速圆周这一模型。此时，由万有引力提供向心力得[GMmr2=mv2r=mrω2=mr（2πT）2]，根据题目的已知条件一般可以解决问题，再稍微复杂一些的问题中再结合黄金代换式[GM=gR2]即可。也许是过多遇到这一类题目，学生在遇到地球上的物体随地球一起运动时，也采用万有引力提供向心力列式分析。

例题2：地球赤道上的物体随地球自转而做圆周运动的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；地球同步卫星的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为V2，角速度为ω2；设物体与卫星的质量相等，则（ ）

A.F1>F2 B.a1>a2 C.V1

本题中有不少学生根据万有引力提供向心力及牛顿第二定律得到[v=GMr]，[ω=GMr3]，[a=GMr2]，分析后得到：v1>v2，ω1>ω2，a1>a2等错误结论。“地球赤道上的物体随地球自转而做圆周运动”叫做“随地球一起运动”，“地球同步卫星的圆周运动”叫“绕地球一起运动”，只有学生清楚“随”与“绕”之间的区别与联系，才能解决问题。“随”与“绕”所做的都是匀速圆周运动，都是合外力提供向心力。但是“随”与“绕”物体的受力情况是不一样的。“随”的受力如图1所示，赤道上的物体受到万有和地面对物体的支持力，这两个力的合力提供向心力，万有引力从效果上来看可以分解为重力和向心力，重力和支持力是一对平衡力，如图2所示。“绕”受力分析如图3所示，地球同步卫星只受到地球对它万有引力的作用，此时万有引力提供向心力。所以，“随”与“绕”动力学方程不一样，“随”时为[GMmR2-mg=mv2R=mRω2]，“绕”时为[GMmr2=mv2r=mRω2]。此时如果两种情况都依据万有引力提供向心力来分析向心加速度、线速度、角速度，必然导致错误。

知道“随”与“绕”的区别，只能知道不能怎样解决问题，要找到正确的解决问题的方法，还需要知道“随”与“绕”二者之间的相同之处。赤道上随地球自转物体的角速度与同步卫星的角速度相同，即ω1=ω2.由于地球同步卫星做圆周运动的半径大于地球赤道的半径，由[a=rω2]得到同步卫星的向心加速度要大于随地球自转的向心加速度，即a1>a2；由v=ωr可知，同步卫星的线速度要大于随地球自转的线速度，即V1

三、中心天体是否相同

在分析天体运动时候，经常遇到比较同一个中心天体的不同轨道上的卫星或者同一卫星前后不同时刻在不同轨道上运动时的线速度、角速度、向心加速度、周期等物理量的大小。在分析这些问题时，根据万有引力提供向心力[GMmr2=mv2r=mrω2=mr（2πT）2]得：[v=GMr]，[ω=GMr3]，[a=GMr2]，[T=4π2r3GM]，于是有了“轨道半径越大，周期越大，线速度、角速度、向心加速度都越小”的思维定势。这样的思维定势在解决如下面例题3这一类试题时，很有利，学生很快可以选出正确答案。

例题3：如图4所示，在同一轨道平面上，有绕地球做匀速圆周运动的卫星a、b、c某时刻在同一直线上，则（ ）

A.经过一段时间，它们将同时第一次回到原位置

B.卫星c受到的向心力最小

C.卫星b的周期比c小

D.卫星a的角速度最大

在上述问题的解决中，分析问题时，由于是同一个中心天体，所以在比较时式子中的“M”是不变的，才有了“轨道半径越大，周期越大，线速度、角速度、向心加速度都越小”。教学中，如果不强调“中心天体不变”这一个细节，学生在遇到例题4这一类试题时就会束手无策，或者得出错误的结论。

例题4：如图5，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）

A.甲的向心加速度比乙的小

B.甲的运行周期比乙的小

C.甲的角速度比乙的大

D.甲的线速度比乙的大

本题中甲和乙两颗卫星，半径相同，如果学生由于思维定势，套用上面“轨道半径越大，周期越大，别的物理量都越小”的结论，学生会得到“甲乙周期、线速度、角速度、向心加速度大小相同”的错误结论。本题中甲和乙两颗卫星的所环绕的中心天体不同，且中心天体的质量是不同的，不能再套用上述结论。只能根据万有引力提供向心力，分析后得到正确结论。以线速度的比较为例，[v甲=GMr]，[v乙=2GMr]，所以乙的线速度比甲大。

四、公式中不同含义的“R”

在天体运动部分，R有时表示天体之间的距离，有时表示天体半径，有时表示卫星轨道半径，如果不把公式中的字母含义弄清楚，学生会出现如下两种典型错误，错误1：把表示不同物理量的R错误约分；错误2：双星问题中把两星体之间的距离R与轨道半径混为一谈。

例题5：月球绕地球的运动近似看成，月地距离为r，地球半径为R，如果月球绕地球的周期为T，求地球的平均密度？

解：设地球质量为M，月球质量为m。

根据万有引力提供向心力有：[GMmr2=mr（2πT）2]，

可得：[M=4π2r3GT2]

地球体积[v=43πR3]，地球的平均密度[ρ=Mv=3πr3GT2R3].

算到这里之后，有不少同学把r3与R3约去，这些同学在计算中没有区分[v=43πR3]中的R与[F=GMmr2]、[F向=mr（2πT）2]中的r。要解决这一问题，我们就要做好如下两个细节：第一，在教学之初强调，公式中个字母表示的物理量；第二，为了帮助学生理解理解各公式中不同的R，画出图6所示的天体运动的模型图，明确R是中心天体半径，r是卫星到中心天体球心的距离，在这里同时也是卫星的轨道半径。提出问题，[F=GMmr2]中的r（两天体的距离）与向心力公式中的（卫星轨道半径）是不是一定相同呢？让学生思考例题6。

例题6：两个星球组成双星，银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T，S1到O点的距离为r1、S1到S2间的距离为r，已知引力常量为G。求出S2的质量。

学生常见错误分析：设两星质量分别为M1和M2，它们都O点做周期为T的圆周运动。由万有引力提供向心力[GM2M1r2=M1r（2πT）2]得[M2=4π2r2GT2]，或者[GM2M1r12=M1r1（2πT）2]得[M2=4π2r13GT2]。这些错误的根本原因是学生混淆了万有引力定律公式中的“R”和向心力公式中的“R”，在学生遇到的很多试题中这二者是相等的，没有分清这两个“R”的不同对学生解题影响不大，但是在本题中星体S1和S2互相给对方的万有引力提供向心力，[F=GM2M1r2]中的r的含义是两个星体之间的距离，S1星所需要的向心力[F向=mr14π2T2]，r1表示S1星的轨道半径，S1星所需要的向心力[F向=mr24π2T2]，r2表示S2星的轨道半径。物理情景如图7所示，r=r1+r2。在进行教学时，处理好“强调不同公式中R表示的意义，并通过画图帮助学生构建物理情景”等细节，能防止学生因思维定势而产生错误认识。

[参 考 文 献]