抛物线及其标准方程

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抛物线及其标准方程范文第1篇

关键词：抛物线；翻转课堂；教学设计

一、研究背景及意义

圆锥曲线是高中课程的重要内容，抛物线是圆锥曲线之一，与之前学习的椭圆与双曲线相比相对比较复杂。此外，抛物线在初中阶段学习一元二次函数的时候接触过，学习者很可能将抛物线错误地定义为“二次函数的图像”。因此，如何更好地讲解《抛物线及其标准方程》显得尤为重要。

总结前人[1][2][3]所做的研究可以发现对于抛物线的教学设计研究者大都是在传统课堂的基础上进行的。《抛物线及其标准方程》这一节内容难度较大，整节内容需要学生充分理解和掌握的知识点比较多。因此，仅利用课堂上45分钟时间，学生很难真正掌握这部分内容。

翻转课堂是教学流程变革所带来的，教学环节包括课前、课中、课后三个主要教学环节以及评价、诊断两个辅助教学环节[4]。利用“翻转课堂”进行《抛物线及其标准方程》教学。

通过课前，课中，课后这三阶段的教学，学生可以分步骤掌握这部分内容；另外，可以反复观看视频加深对内容的理解程度。这样可以达到分解知识内化的难度，增加知识内化的次数，从而有利于促进学习者更好的获得知识。因此，在翻转课堂的教学模式下研究抛物线及其标准方程是具有一定意义的。

二、教学案例

（一）教材分析

《抛物线及其标准方程》是选修2-1的第二章《圆锥曲线与方程》。教材内容的顺序是：曲线与方程-椭圆―双曲线―抛物线。可以减少了学生的认知障碍。

（二）学情分析

学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识。并且对圆锥曲线的研究过程和研究方法有了一定的了解和认识。

（三）教学目标

（1）动手实践，体验抛物线的形成过程从中抽象出抛物线的几何特征；（2）掌握抛物线的定义和标准方程；（3）进一步感受类比，数形结合的重要思想方法；（4）感受抛物线的广泛应用与文化价值，体会数学美。

（四）教学重难点

教学重点：1.掌握抛物线的定义与相关概念；2.掌握抛物线的标准方程。

教学难点：1.从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义；2.建立合适的坐标轴求解抛物线的解析式。

（五）教学过程

1.课前教学过程的设计（问题引导，观看视频）

（1）问题引人，温故知新。

教师活动1：思考以下几个问题：？做出函数 的图象。？求到点F（0，2）与直线l： 距离相等的点的轨迹方程，并作出其图象。

设计意图：激发学生的学习兴趣。

教师活动2：根据学生的回答，对以上问题进行总结，并且提出新问题：我们可不可以把抛物线定义为二次函数的图像呢？为什么？

设计意图：纠正学生头脑中“抛物线就是二次函数的图像”这一错误观念。

（2）动手操作，探究新知。

教师活动3：提问：那么抛物线到底是如何形成的呢？播放微视频（首先呈现生活中的抛物线，接着演示抛物线的形成过程，并给出操作步骤）。

设计意图：调动学生的学习兴趣，提高他们的动手实践能力。

教师活动4：提出问题：1.在作图过程中，直尺，三角板，笔尖，点F中，哪些没有动？哪些动了？2.在作图过程中，绳长，|AP|，|PF|，|CP|中，哪些量没有变？哪些量变了？

设计意图：引导学生发现抛物线的几何特征。

教师活动6：提出问题：试着给抛物线下个定义。

2.课中教学设计：（继续探究，小组讨论，观看视频）

（1）类比迁移，自主探究。

教师活动1：给出抛物线的定义。提问：类比之前学过的椭圆以及双曲线，试着选择合适的坐标系并求解抛物线的方程？

学生活动1：学生自己选择建系方式，并求出对应的抛物线方程，然后小组讨论，选出最佳建系方式，并求出其相应的抛物线方程。

教师活动2：播放微视频（总结学生可能会想到的三种建系策略，并用以前学习的二元一次函数图像的平移来解释选择坐标系的原因。）

设计意图：培养学生用类比法解决问题的能力；体现学生的主体地位。

教师活动3：思考：椭圆与双曲线各有两种标准方程，抛物线有几种呢？并思考原因。

学生活动3：小组讨论。并汇报各小组探究的结果。

教师活动4：思考抛物线的标准方程与其焦点坐标与准线方程的关系。

设计意图：加快解题速度。

（2）课堂作业，学以致用。

教师活动5：例1：？抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标与准线方程；

？一直抛物线的焦点是F（0，-2），求它的标准方程。

（3）学生总结，教师提炼。

教师活动6：要求学生回忆本节课的教学，鼓励学生进行总结。对学生的小结进行补充。

3.课后教学设计（问题探究，拓展知识）

拓展作业：

初中我们已经知道对于一元二次方程y=ax2+bx+c的图像是抛物线，a影响其开口方向和开口大小，类比a对一元二次方程y=ax2+bx+c的图像的影响试着研究对于抛物线y2=2px，p对抛物线的影响。

设计意图：将课堂的数学探究活动延伸到课外，使学生进一步体会类比思想方法对于数学研究中的意义。

三、小结

《抛物线及其标准方程》整节内容需要学生充分理解和掌握的知识点比较多。传统课堂的45分钟显然不能使学生完全理解掌握全部知识点。因此，本节课笔者采用翻转课堂。课前，学生通过反复观看微视频进行深入的思考，并在老师的引导下，体会抛物线的基本特征，最后给抛物线下定义；课中，讨论与交流建系策略以及标准方程，通过观点的相互碰撞深化学生的认知。课后，布置相应的探究题，拓宽学生的思维。这样学生可以分阶段分步骤掌握这部分内容；另外，可以反复观看视频加深对内容的理解程度。这样可以达到分解知识内化的难度，增加知识内化的次数，从而有利于促进学习者更好的获得知识。

参考文献：

[1]刘为宏，赵瑜.《抛物线及其标准方程》教学新设计[J].中学数学研究，2013（5）：27-32

[2]武湛.《抛物线及其标准方程》教学实录与反思[J].福建中学数学，2015（12）：26-18

抛物线及其标准方程范文第2篇

教学目标

知识与技能：复习抛物线的几何图形、定义、标准方程及简单几何性质；利用抛物线的定义和标准方程解决简单的问题。

过程与方法：经历抛物线定义的生成过程，理解抛物线定义的几何特征，通过定义应用，体会其中蕴涵的转化思想；在用两点间距离公式和弦长公式（通性通法）求焦点弦长的过程中，体会“设而不求”思想的应用；能从抛物线定义出发，利用抛物线的几何特征和“韦达定理”优化解题过程，进一步体会数形结合思想的应用。

情感、态度与价值观：学生通过独立解决问题，优化求解过程，树立学好数学的信心。

教学重点、难点

重点：掌握抛物线的定义、标准方程及简单几何性质；能利用抛物线的几何特征解决简单问题；能利用“坐标法”解决直线与抛物线位置关系之焦点弦长求法。

难点：掌握直线与抛物线位置关系之焦点弦长的求法。

教学过程

1．引入课题

师（点明复习课题）：前边我们复习了椭圆和双曲线，今天我们来复习抛物线。

教师应用电子白板链接到“几何画板”课件，演示抛物线定义生成过程。

学生观察课件，描述定义。

设计意图：在高三复习课中，定义仍是核心，应用“几何画板”制作课件，演示抛物线定义生成过程，帮助学生回忆定义，挖掘定义的几何特征。

2．复习旧知

（1）分析定义要点

师：你认为抛物线的定义有哪些要点？

随着学生口答，教师应用电子白板的注释功能，选择智能笔画出不同图形，标注定义要点（图1），引起学生注意。

设计意图：引导学生分析定义要点，明确定义的几何特征，进行有效记忆。

（2）回顾抛物线的标准方程及几何性质

教师指导学生复习抛物线的标准方程及简单几何性质。学生完成表格之后，教师演示PPT课件，随着学生口答呈现内容，完成表格（图2）。

设计意图：以填空形式复习抛物线的标准方程及简单几何性质。

教师操作局部遮挡器，引导学生分析抛物线的图形、标准方程及简单几何性质之间的关系。

①分析图形与标准方程的关系（图3）。

②分析焦点坐标与图形的关系（图4）。

③分析焦点坐标与方程的关系（图5）。

④分析准线方程与图形的关系（图6）。

教师提问：从表中可以看出，准线方程与谁的关系最密切？学生分析得出:准线方程与焦点坐标的关系最密切。

设计意图：应用局部遮挡器，进行遮盖与显示，突出需要对比记忆的内容，帮助学生更加有效地分析与记忆。

3．知识检测

教师操作电子白板的聚光灯，检测学生记忆效果。随着学生口答，移动聚光灯显示答案（图7）。

（1）由准线方程说出焦点坐标和标准方程；

（2）由标准方程说出焦点坐标和准线方程；

（3）由准线方程说出焦点坐标和标准方程；

（4）由标准方程说出焦点坐标和准线方程。

设计意图：通过聚光灯，突出学生需要记忆的内容，引起学生注意，检测记忆效果。

4．课堂练习

完成下表，示意图一栏填入表格下方图形对应序号（图8）。

请4名学生在电子白板上书写，从图库中调出图形,画在示意图位置，其他学生在学案上完成。在电子白板上书写的学生从图库中提取图形，拖曳到空格中，填到示意图位置，选择蓝色硬笔进行书写。教师巡视，记录学生的答案，对学生出现的错误，在电子白板上进行点评与纠正（图9）。

设计意图：通过填空，考查学生对抛物线标准方程及简单几何性质的掌握程度。

教师根据学生的答题情况进行点评与纠正，在电子白板上用红笔打“√”或“×”，并进行讲解。

学生在求解y2=ax（a≠0）的焦点坐标和准线方程时，出现错误。教师通过橡皮擦进行纠正，将正确答案呈现给学生（图10），并操作电子白板进行翻页，回顾抛物线的标准方程、焦点坐标与准线方程之间的关系，起到纠错与强化作用（图11）。

5．知识应用

例1．（教材P65）若抛物线y2=12x上的点M到焦点的距离是9，则点M的坐标是。

师生共同分析题目条件，挖掘题目信息，思考解法。教师随着学生口答，用两种颜色的笔在电子白板上写出分析思路。

师生共同总结例1中用到的基础知识和应用的数学思想方法。

设计意图：进行解题探究，通过“解法一”体会方程思想的应用；通过“解法二”体会抛物线定义的应用及其蕴涵的转化思想和数形结合思想；通过解题反思，总结题目考查的知识点及应用的数学思想方法，培养学生及时总结的习惯。

变式：（2009浙江文）已知抛物线C：x2=2py（p>0）上一点A(m,4)到其焦点F的距离为。求p与m的值。（答案：，）

利用电子白板计时器进行3分钟限时训练，展示学生做法。

设计意图：采用限时练习的方式，加强解题速度训练。设计由例1到变式，使学生体会到高考题源于课本，提醒学生注意对课本上基础题的复习。

例2．（教材P66）斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长。（答案：8）

师：在复习椭圆和双曲线时，我们曾经解决过类似问题，请类比尝试解答。

学生分析题目条件，思考题目解法，尝试解题，解法一、二:学生板演，解法三:学生在电子白板上解答。

解法一分析：用两点间距离公式求解。

解法二分析：用“韦达定理”及弦长公式求解。

解法三分析：用抛物线定义求解（图12）。

教师请每个板演做法的学生回答：（1）你是怎么做的？（2）你这么做的好处是什么？（3）用到哪些知识或思想方法？

设计意图：给学生充足的时间进行解题探究，选择有不同解法的学生板演，起到呈现解法的作用。由学生说解法，提高课堂参与度，同时给其他学生以启发。对比不同解法，体会用抛物线定义的几何特征和“韦达定理”优化解题过程。

6.课堂小结（略）

教学反思

本节课以交互式电子白板为平台，结合实物投影、“几何画板”、PPT课件等信息技术工具，运用了引导、讲授、练习相结合的教学方法。交互式电子白板支持教学中对各种媒体资源的灵活调用，如电子白板超链接到“几何画板”课件“抛物线的定义”，动态展示了抛物线的生成过程，又如切换到实物投影，呈现学生解题结果，由学生进行讲解，提高了课堂参与度。电子白板和PPT的整合，使PPT制作的图形动画效果通过电子白板展示出来，还可以直接在PPT演示文稿上进行标注和书写。电子白板的常用功能，如局部遮挡器和聚光灯的使用，可以根据需要有针对性地展示教学内容，使得原来静态的资源具有互动性，从而增强了视觉效果，集中了学生注意力，帮助学生更加有效地记忆。资源库的使用，使得资源提取与应用更加有效。总之，交互式电子白板让我圆满地实现了本课的教学目标。

抛物线及其标准方程范文第3篇

浙江省数学特级教师，嘉兴市数学会副会长.

推荐名言

最有价值的知识是关于方法的知识．

――勒内・笛卡尔 （法国数学家，创立了解析几何，引入了坐标系及线段的运算概念，被称为“解析几何之父”）

作为自主招生考试的必考内容之一，解析几何重点考查三类问题：一是直线、圆、圆锥曲线中的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识，二是直线与圆锥曲线的位置关系问题，三是二次曲线与二次曲线的位置关系问题.这三类问题常考常新．

解析几何体现了典型的数形结合思想.在解析几何题中，计算占了很大的比重，对运算能力要求很高.曲线的定义和性质是解题的基础，同学们应根据题意，充分利用曲线的性质简化计算. 此外，解析几何题还考查函数与方程思想、化归转化思想、特殊与一般的思想等数学思想方法．

一、方程与几何性质问题

例1 （2011年“北约”自主招生考试第2题） 求过抛物线y=2x2-2x-1，y=-5x2+2x+3两交点的直线方程．

解析： 将方程y=2x2-2x-1的两边同乘以，得y=5x2-5x-（①），①式与方程y=

-5x2+2x+3相加可得y=-3x+，整理得6x+7y-1=0． 若（a，b）是两抛物线的交点，则（a，b）必满足方程6x+7y-1=0， 6x+7y-1=0即为所求直线方程．

点评： 一般来说，同学们会直接联立方程，求出两抛物线的交点，再求出直线方程．这种方法比较寻常，但运算比较复杂. 上述解法可以大大减少运算量，方便地求出目标方程. 但运用这种方法的前提是判断抛物线确有两个交点．

例2 （2011年“华约”自主招生考试第14题） 已知双曲线-=1（a>0，b>0），F1，F2是左、右焦点，P是双曲线右支上一点，且∠F1PF2＝，SFPF＝3a2. （1）求离心率；（2）若点 A为双曲线左顶点，Q为右支上任一点，问是否存在常数λ，使∠QAF2＝λ・∠QF2A恒成立？

解析： （1） 我们可以在F1PF2中考虑问题，寻找PF1・PF2与SFPF的关系． F1F22=PF12+PF22-2PF1・PF2cos=（PF1-PF2）2+2PF1・PF2-2PF1・PF2cos，即（2c）2=（2a）2+PF1・PF2，PF1・PF2＝4c2-4a2=4b2， SFPF=PF1・PF2sin=b2=3a2，即b2=3a2， e=2．

（2） 由（1）得，双曲线方程可表示为-=1.此时F2（2a，0），A（-a，0）． 如图1所示，设Q（x1，y1）且存在符合题意的常数λ（λ＞0）．

当QF2x轴时，将点Q的横坐标x1=2a代入双曲线方程，解得QF2=y1＝3a. 又AF2=3a， QF2A是等腰直角三角形，∠QAF2＝，∠QF2A＝，此时λ＝．

当点Q为双曲线右顶点时，∠QAF2＝∠QF2A＝0，∠QAF2＝∠QF2A也成立．

下面证明当QF2不垂直于x轴且Q不为双曲线右顶点时，∠QAF2＝∠QF2A也成立．

设点Q在第四象限. 点Q在双曲线的右支上，直线QA的斜率kQA存在且kQA=. QF2不垂直于x轴， 直线QF2的斜率kQF存在且kQF＝.

tan2∠QAF2＝＝＝（①）． -＝1， ＝3（-a2）=3（x1+a）（x1-a），代入①式可得 tan2∠QAF2=.又tan∠QF2A=kQF=， tan2∠QAF2＝tan∠QF2A． 当点Q在第一象限时，同理可得tan2∠QAF2＝tan∠QF2A.

当Q无限趋近于右顶点时，∠QAF2与∠QF2A无限趋近于0．当QF2垂直于x轴时，已证得∠QAF2＝，∠QF2A＝． 由于双曲线的渐近线方程为y=±x，即两条渐近线的倾斜角分别为，，要使AQ始终与双曲线的右支交于点Q，必有∠QAF2始终小于，∠QF2A始终小于，由此可得∠QAF2∈0，∪，，∠QF2A∈0，∪，， ∠QF2A∈0，∪，，∠QAF2＝∠QF2A成立．

综上可得，存在常数λ＝使∠QAF2＝∠QF2A恒成立．

点评： 例2的解题过程中运用了特殊与一般的数学思想．

例3 （2009年南京大学自主招生考试第13题） 在x轴上方作与x轴相切的圆，切点横坐标为. 过B（-3，0），C（3，0）分别作圆的切线，两切线交于点P. Q是C在锐角∠BPC角平分线上的射影. （1） 求点P的轨迹方程及其横坐标的取值范围；（2） 求点Q的轨迹方程．

解析： （1） 如图2所示，设x轴与圆的切点为D， PB,PC切圆于点E，F. PE＝PF，BE＝BD，CD＝CF，PB-PC＝BD-CD＝（+3）-（3-）＝2． B，C是定点，根据双曲线的定义可知，点P的轨迹是以B，C为焦点的双曲线-=1的右上支，其中a=，c==3， b2=6，点P的轨迹方程为-＝1（x>0，y>0）. 该双曲线右顶点的坐标为（，0），恰好为圆与x轴的切点，点P的横坐标的取值范围是（，+∞）．

（2） 延长CQ交PB于M． PQ是∠CPM的角平分线，又由题意知CQPQ，即CMPQ， CPM是以CM为底边的等腰三角形，PM＝PC， PB-PC=PB-PM=BM. PB-PC=2， BM=2． 联结OQ， O为BC中点，Q为CM中点， OQ为MBC的中位线，OQ=BM=. O（0，0）， 点Q的轨迹方程为x2+y2=3，其中x∈（0，），y∈（0，）．

点评：上述解法结合图形特征，充分利用几何性质解决问题，真正体现了数形结合思想．

二、直线与圆锥曲线的位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系问题，归根结底是联立直线方程与圆锥曲线方程所得的方程组的问题．在解决这类问题时，要注意运用直线与圆锥曲线位置关系的相关公式与方法，如“弦长公式”“设而不求”“点差法”等.

例4 （2006年上海交通大学自主招生考试第12题） 椭圆+y2=1（a>0），一顶点A（0，1），问是否存在以A为直角顶点且内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由．

解析： 如图3所示，设直角三角形的另外两个顶点分别为B，C. 由题意可知AB的斜率存在. 设AB的方程为y=kx+1（k>0），代入+y2=1，得+k2x2+2kx=0，解得xB=-． 由弦长公式得AB＝・． 由ABAC可得AC的斜率为-，同理可得AC=・． AB＝AC，k>0， 化简可得k3-a2k2+a2k-1=0，即（k-1）［k2+（1-a2）・k+1］=0 （①）， 解得k=1或k2+（1-a2）k+1=0. 下面我们讨论方程k2+（1-a2）k+1=0 （a>0）的解的个数．

当Δ＞0即a>时，方程k2+（1-a2）k+1=0显然有两个不等于1且大于0的实数根，所以①式共有3个不同的实数解，即满足条件的三角形有3个；

当Δ=0即a=时，方程k2+（1-a2）k+1=0的解为k=1，所以①式只有1个实数解，即满足条件的三角形有1个；

当Δ

综上可得，当a>时，满足条件的等腰直角三角形有3个；当0＜a≤时，满足条件的等腰直角三角形有1个．

点评：在例4中，等腰直角三角形的个数就是直线AB的斜率k的解的个数，因此讨论（k+1）［k2+（1-a2）k+1］=0的解的个数就可得到答案．另外，由于AB，AC 的斜率互为负倒数，所以只要将AB＝・中的k换成-就能得到AC．在解答解析几何问题时，要注意运用类似的运算技巧．

例5 （2010年“华约”自主招生考试第12题） A，B，C，D在抛物线x2=4y上，A，D关于抛物线的对称轴对称．过点D作抛物线的切线， BC平行于切线，点D到AB，AC的距离分别为d1，d2，d1+d2＝AD． （1） 试问：ABC是锐角、钝角还是直角三角形？（2） 若ABC的面积为240，求点A的坐标和BC的方程．

解析： （1）如图4所示，由题意可知AD平行于x轴，设Dx0，，则A-x0，． 设Cx1，，Bx2，，则kAC=（x1-x0）． 由x2=4y可得过点D的切线的斜率为x0， kBC＝（x1+x2）＝x0， x2＝2x0-x1，B2x0-x1，（2x0-x1）2，由此可得kAB＝（x0-x1）. kAC＝-kAB，∠DAC＝∠DAB． AD?奂∠DAC且AD?奂∠DAB， ∠DAC与∠DAB关于AD对称． 又d1，d2分别为点D到AB，AC的距离， d1＝d2，由d1+d2＝AD可知∠DAC＝∠DAB＝45°， ∠BAC=90°，ABC是直角三角形．

（2） 设点C在AD上方． ∠DAB＝45°， kAB＝-1. A-x0，， AB的方程为y-＝-（x+x0）． 代入x2=4y，解得Bx0-4，（x0-4）2.同理可得Cx0+4，（x0+4）2. AB＝2x0-2，AC＝2x0+2． 由SABC＝・AB・AC＝240解得x0=±8， A（8，16） ，B（-12，36），C（-4，4）或A（-8，16） ，B（4，4），C（12，36）． BC的方程为4x+y+12=0或4x-y-12=0．

点评： 例5的求解过程充分使用了“设而不求”的方法，避免了复杂计算．

例6 （2009年清华大学自主招生考试第3题） 有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论．

解析： 如果有限条抛物线及其内部能够覆盖整个坐标平面，则这有限条抛物线及其内部能够覆盖坐标平面上任意一条直线．从这个角度出发，我们可以考虑坐标平面上直线与抛物线的位置关系．如果直线与抛物线的对称轴不平行，则直线与抛物线的位置关系有三种可能：①直线与抛物线总有两个交点；②直线与抛物线只有一个切点；③直线与抛物线无公共点．

对于①，抛物线及其内部仅覆盖该直线上的一段线段；对于②，抛物线及其内部仅覆盖该直线上的一个点；对于③，抛物线及其内部不能覆盖该直线上的任意一点．因此，用有限条抛物线及其内部不能覆盖与这有限条抛物线的对称轴均不平行的直线，而平面中存在着这样的直线．

假设平面内有n条抛物线，则抛物线的对称轴也有n条，那么平面中至少存在一条与这n条直线都相交的直线．也就是说，用有限条抛物线及其内部不能覆盖平面中的一条直线，当然更不能覆盖整个坐标平面．

三、二次曲线与二次曲线的位置关系问题

二次曲线与二次曲线的位置关系问题，归根结底是联立两个曲线方程得到的方程组的问题. 在方程组的消元过程中，要注意字母取值范围的等价性，否则容易造成疏漏．

例7 （2008年浙江大学自主招生考试第2题） 椭圆x2+4（y-a）2=4与抛物线x2=2y有公共点，求a的取值范围．

解析： 联立方程得2y2+（1-4a）y+2a2-2=0（①）. 椭圆与抛物线有公共点，又y=≥0，方程①在［0，+∞）上有解．当Δ>0时，设方程①有两个不同的解y1，y2，则有两种可能：若方程在［0，+∞）上有一个解，在（-∞，0）上有另一个解（该解不合题意，舍去），则Δ＞0，y1y2=a2-1≤0；解得a∈［-1，1］. 若方程的两个解都在［0，+∞）上，则Δ＞0，y1+y2>0，y1y2≥0；此时a∈1，. 若方程仅在［0，+∞）上有一个解，则Δ＝0，解得a=，此时y1=y2=∈［0，+∞）. 综上可得，a的取值范围为-1，．

点评： 例7也可以通过设椭圆的参数方程为x=2cosθ，y=a+sinθ（θ为参数且θ∈［0，2π）），然后代入抛物线方程，转化为三角函数问题来求出a的取值范围．

抛物线及其标准方程范文第4篇

一、考试要求

（1）掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程。

（2）掌握双曲线的定义，标准方程和双曲线的简单几何性质。

（3）掌握抛物线的定义，标准了方程和抛物线的简单几何性质。

（4）了解圆锥曲线的初步应用。

二、考情纵览

圆锥曲线是解析几何的核心内容，是中学数学各主干知识的交汇点，中学各种思想方法的综合点，初等数学与高等数学的衔接点，理所当然成为历届高考命题的热点。

圆锥曲线的定义，方程和性质，在高考试卷中分值一般在10分左右，主要以选择题和填空题形式考查圆锥曲线的概念，标准方程，几何性质等基础知识及其应用，以简单或中档题为主，个别题目会是中等偏上的难度。圆锥曲线的综合问题主要考查根据条件，求平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质，纵观近几年高考试题，圆锥曲线的综合问题一般都是一道解答题，通常难度较大，多为把关题或压轴题，分值为12左右，重点考查圆锥曲线中的几何量的确定或几何量取值范围的确定，主要的题型有：动点的轨迹方程问题，最值或取值范围问题，定值或定点问题，探索性问题，直线与圆锥曲线的位置关系问题，与其他数学知识的交汇问题。

三、复习建议

1、熟练掌握圆锥曲线的有关概念，方程和几何性质等基础知识，它们是准确解题的依据。

2、掌握把几何条件转化为代数形式的核心解题思路和坐标法这个核心解题方法。

3、掌握好解答典型问题的通性和通法以及一些常用的求解技巧，如“设而不求，”或“代点法”“整体代入”或“点差法”等，通过强化训练以体会其中的思维模式与方法。

4、本章综合性强，能力要求高，还涉及到函数、方程、不等式、平面几何等许多知识，可以有效地考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想。重视对数学思想方法的提炼，以便优化解题思维，简化解题过程。

四、知识网络

五、重难点

重点：掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程和它们简单几何胜质。特别椭圆及双曲线的离心率的求解。

难点：直线与圆锥曲线的位置关系，轨迹问题、最值、范围问题，定值问题及探索性问题。

六、资料的使用

圆锥曲线问题的求解特点是以代数方法求解几何问题，所以求解思路易找，但是由于运算量大，不仅影响解题速度，也极容易出错，因此又易形成“答对困难”的现象。圆锥曲线中蕴含着许多数学思想，若能根据题设特点，灵活地运用相应的数学思想，往往能简化运算，从而使问题简捷，准确地获解。因此需要大量的练习，才能获得基本功，才会熟能生巧。

第1讲：椭圆——它的几何性质主要是围绕椭圆中的“六点”（两个焦点，四个顶点）“四线”（两条对称轴，两条准线）“两形”（中心，焦点以及短轴端点构成的三角形、椭圆上一点和两焦点构成的三角形），研究它们之间的相互关系。资料上的东西全部使用。

第2讲：双曲线——可与椭圆类比来理解，掌握双曲线的定义，标准方程和几何性质。但应特别注意两者的不同点，如a ， b， c关系，渐近线等，渐近线是刻画双曲线范围的重要概念，高考特别注意与互相关问题的考查，资料全使用。

第3讲：抛物线——重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化。抛物线的标准方程有四种，在求解过程中，首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式，然后利用已知求解。将方程y=ax2 与方程y2=2px区别开，谁是标准方程很重要。对于抛物线y2=2px(p>0)上的点的坐标设为（ ，y） 常有利于简化运算。

第4讲直线与圆锥曲线的位置关系。

(1)直线与圆锥曲线的位置关系中的中点弦问题：（1）直线与圆锥曲线的关系是解析几何中一类重要问题，解题时注意应用根与系数的关系及“设而不求”的技巧。

（2）运用“点差法”解决弦的中点问题：涉及弦的中点问题，可以利用判别式和根与系数的关系加以解决，也可以利用“点差法”解决此类问题，若知道中点，则利用“点差法”可得出过中点弦的直线的斜率。

2、对于直线与曲线的交点，常采取设而不求或“代点法”等方法，这是简化解题过程的常技巧，要认真领会。但采用这些方法，由于避免了方程的过程，方程的解是否存在，必须由>0这一条件进行保证，否则会发生错误。

3、解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法。若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑得用图形性质来解决，这就是几何法。若题目的条件和结论体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法。

在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：

（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

抛物线及其标准方程范文第5篇

【关键词】数学；定义；定理；公式 问题；条件；教学

2013年4月，在高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》（人教版）的教学中，当我讲椭圆、双曲线、抛物线的定义时，我都会遇到同样的一个问题，而且是学生每每质询的一个问题，那就是：“老师，定义中括号里的条件该怎么解释？”

数学定义、定理、公式或问题中都或多或少涉及到条件的限制，做好数学知识的“条件”教学，对于学生透彻地理解数学理论、全面地解决数学问题都非常有帮助，现在已经完成了高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》的教学，我觉得有必要把我在《圆锥曲线》定义教学中，关于定义中条件的教学片段梳理一下。

《圆锥曲线》“条件”教学片段一：椭圆定义中的条件限制

讲到2.2.1节《椭圆及其标准方程》时，椭圆的定义（课本第38页）是：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。

学生问：老师，为什么定义中括号里要加一个条件“大于”）呢？

教师答：因为如果去掉这个条件，则定义所表示的图形将不一定是椭圆。

学生问：为什么？

教师答：这个问题可以从三个角度理解：

①如果条件是“大于”，则定义叙述的内容表示椭圆，这毫无疑问，正如我们用小绳子按住两头所演示的一样。

②如果条件是“等于”，则定义叙述的内容表示线段。（我在黑板上划线段，并取其上一点P，并演示，学生点头表示理解）。

③如果条件是“小于”，则定义叙述的内容不表示任何图形，即动点轨迹不存在。（我在黑板上演示，显然不能产生任何图形）。

进一步，我用三个小问题进行巩固：

问题：试判断以下情况动点的轨迹：

（1）到两定点的距离之和大于14的点的轨迹是什么？

（2）到两定点的距离之和等于14的点的轨迹是什么？

（3）到两定点的距离之和小于14的点的轨迹是什么？

学生很快就可以得出结论。

《圆锥曲线》“条件”教学片段二：双曲线定义中的条件限制

很有戏剧性，讲到2.3.1节《双曲线及其标准方程》时，其境遇竟然和讲椭圆的定义时，惊人的相似。

双曲线的定义（课本第52页）是：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线。

学生问：老师，为什么定义中括号里要加一个条件“小于”呢？

教师答：因为如果去掉这个条件，则定义所表示的图形将不一定是双曲线。

学生问：为什么？

教师答：这个问题可以从三个角度理解：

①如果条件是“小于”，则定义叙述的内容表示双曲线，这毫无疑问，正如我们用拉链按住两头所演示的一样。

②如果条件是“等于”，则定义叙述的内容表示以为端点的两条射线（包含端点）。（我在黑板上划出直线，并在点两侧各取两点P、Q，并演示，指出动点的轨迹是射线，学生点头表示赞同）。

③如果条件是“大于”，则定义叙述的内容不表示任何图形，即动点轨迹不存在。（我在黑板上演示，显然不能产生任何图形）。

同样，我给出三个小问题加以辨别：

问题：试判断以下情况动点的轨迹：

（1）动点P到两定点的距离之差的绝对值小于14的点的轨迹是什么？

（2）动点P到两定点的距离之差的绝对值等于14的点的轨迹是什么？

（3）动点P到两定点的距离之差的绝对值大于14的点的轨迹是什么？

学生也可以很快得出结论。

然后，我又给出两个问题：

条件改为，动点的轨迹又会怎样呢？

若条件改为，动点的轨迹又会怎样呢？

学生结合双曲线的图形，很容易判断是：双曲线的左支和右支。

《圆锥曲线》“条件”教学片段三：抛物线定义中的条件限制

讲到2.4.1节《抛物线及其标准方程》一课时，同样遇到了“条件”问题。

抛物线的定义（课本第65页）是：平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫抛物线。

在用直尺、三角板、细绳等演示了抛物线形成过程之后，学生又不禁要对“条件”发问了。

学生问：老师，为什么定义中括号里要加一个条件“（不经过点F）”呢？

教师答：如果去掉“（不经过点F）”这个条件，则定义所表示的图形将不一定是抛物线。

学生问：为什么？

教师答：这个问题可以从两个角度理解：

①如果条件是“（不经过点F）”，则定义叙述的内容表示抛物线，这正如我们直尺、三角板、细绳等所演示的一样。

②如果没有“（不经过点F）”条件限制，则当经过点F时，点的轨迹是过定点F，且垂直于直线的一条直线，定义叙述的内容表示的图形是一条直线而非抛物线。（然后我在黑板上画图演示，学生恍然大悟，看来学习知识必须要细致！）

然后，我又出了两道题加以巩固。

（1）平面内到定点F的距离等于到定直线的距离的点的轨迹是（ ）

A.抛物线 B.直线

C.抛物线或直线 D.不存在

（2）求过点F（1，0）且与直线：x+y-1=0的距离相等的点的轨迹。