一个圆柱和一个圆锥

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一个圆柱和一个圆锥范文第1篇

（江苏省海门市实验小学，226600）

一、课前分析与思考

“圆锥的体积”是苏教版小学数学六年级下册第二单元的内容。教材首先出示等底等高的圆柱和圆锥，让学生直观估计圆锥的体积是圆柱的几分之几，然后通过实验验证猜测，探索等底等高的圆柱和圆锥的体积关系，最后用数学式子表示实验结论，得出圆锥的体积公式。这样的编排，意在引导学生经历“猜测—验证”的过程，从而在学到知识的同时，积累探索的经验，培养学习的能力。但在实际教学时，往往存在这样几个问题：等底等高的圆柱和圆锥是教师（教材）给出的，学生在教师（教材）的要求下进行猜测及实验；操作方式（不管是用水还是用米倒来倒去）也是教师（教材）提示的，学生只是照做。也就是说，学生的思维是封闭的，学生的“牛鼻子”始终被教师（教材）的无形的“绳子”牵着。

对此，有教师提出在实验验证环节提供尽可能多的不同大小的圆柱和圆锥，当各个小组做出的实验结果不一致时，

再引导学生质疑和交流，从而找到规律并总结出求圆锥体积的公式。这样的教学更具实验味、探索味，但问题是：这样大范围的实验是否有必要（即圆锥和圆柱的底和高不完全相等的情况，是否一定需要通过实验，才能证明它们之间没有直接关系）？课上做这样的实验要花费大量的时间，学生的确经历了过程，但学生的思维得到提升了吗？

面对这些问题，我思考：课上做实验到底是为了什么？我们怎样做实验？这节课除了让学生经历“猜测—验证”的数学学习过程，还能让学生学到些什么？能不能做到在节约时间的基础上，让学生既明白做实验的必要，又充分经历实验的过程，同时还在思维水平上有所发展呢？

细读教材，我发现相关练习中有这么一道题：

判断下面（图1）的圆锥与哪个圆柱的体积相等。（单位：cm）

很明显，在研究圆锥的体积时，教材注重分析圆锥和不同圆柱之间的关系：不仅仅是与圆锥等底等高的圆柱，还有等底而高是圆锥三分之一的圆柱、等高而底是圆锥三分之一的圆柱（注：上述题目中，第二个圆柱底面直径与圆锥底面直径是3倍关系，故面积是9倍而非3倍关系，所以这个圆柱不能起到应有的作用，故下文笔者对此作了改编）。数学本来就是研究数量之间关系的一门学科，所以，我决定对这道题进行适当改编，从“圆锥与不同圆柱之间的关系”入手，教学《圆锥的体积》这一课。

二、课堂实践与收获

（一）在“选择关系”中萌生转化思想

师（出示一个圆锥）今天我们要研究圆锥的体积。按照我们以前研究图形的面积，研究长方体、正方体的体积等方法，你觉得应怎样研究圆锥的体积？

生转化成圆柱。

师为什么不转化成长方体或正方体？

生圆锥和圆柱最有关系，底面都是圆形的。

师（出示各种圆柱，如图2）

如果要研究这个圆锥的体积，你选择哪一个圆柱呢？

（大部分学生选择第①、第②个圆柱，理由是：第①个圆柱与圆锥等底等高，第②个圆柱和圆锥等底。

少部分学生选择第③个圆柱。没有学生选择第④、第⑤个圆柱。）

师（对选择第①、第②个圆柱的学生）为什么这样选择？

生这样可以把圆锥的体积转化成圆柱的体积。

生第④、第⑤个圆柱的数据和圆锥的相差太远，应该没有什么关系。

师没有什么关系？我想你的意思是，如果底和高是任意数据，那么不同的圆柱和圆锥的体积就会有不同的关系。这样就找不到规律，也就总结不出求圆锥体积的公式了。是这样吗？

生是。

师那第③个圆柱不也和圆锥有密切联系吗？高相等呀。

生底不知道。

［说明：首先，提问“你觉得应怎样研究圆锥的体积”，旨在激活学生思维，使他们自觉地想到用转化思想。接着，提供不同底和高的圆柱，让学生选择，实际上是引领学生对转化的进一步思考。选择的过程是思辨的过程，也是理性分析的过程。通过选择，排除了与圆锥的底和高没有直接关系的圆柱，既能培养学生思维的深刻性，也使接下来的实验操作更真实、更简洁、更有效。］

（二）在“猜测关系”中提升空间观念

师那么，你们选择的这些圆柱的体积与圆锥的体积有什么关系呢？请猜一猜。

生圆锥体积是第①个圆柱体积的三分之一，圆锥体积和第②个圆柱体积相等。

生我觉得，圆锥体积是第①个圆柱体积的二分之一。

［说明：猜测实际上是学生对圆柱与圆锥关系的进一步思考。这里的猜测，仅仅是在直观观察的基础上，根据自身经验的初步估计，既有利于培养学生的空间想象能力，也为后续的实验做了心理上的准备。］

（三）在“验证关系”中理解体积公式

师下面我们就来做实验，看看大家的猜测是否正确。

（由于学具种类及数量的限制，大部分小组研究的是和圆锥等底等高的圆柱。实验分两次。第一次，主要让学生感知一共倒了3次，那么圆锥体积是和它等底等高圆柱体积的三分之一，从而验证猜测的正确性，并提炼出圆锥的体积公式，进一步明晰圆锥和等底等高圆柱体积之间的关系。第二次，实验重新开始，当倒了1次后——）

师请仔细观察，此时所倒的水变成了什么形状？和圆锥有什么联系？

生水是圆柱形的。

生水的底面积与圆锥的底面积相等，水的高是圆锥高的三分之一。

生体积相等。

生就是黑板上的第②个圆柱。

师看来这个圆柱和圆锥的关系不一般。它们之间有这样的关系：（边板书边说）圆柱和圆锥等底等体积，圆柱的高是圆锥高的三分之一。

［说明：如果本节课的教学重点仅仅放在让学生通过实验感知“V＝1/3Sh”这条公式上，那是远远不够的——很多学生通过自学，早已知道这个计算公式。我们的重点应该放在圆锥和与它相关的一些圆柱的关系上，如圆锥和与它等底等高的圆柱之间的关系，圆锥和与它等底等体积的圆柱之间的关系，圆锥和与它等高等体积的圆柱之间的关系。这里精心设计了两次实验，第一次是落实学习重点，让学生感知圆锥体积公式的正确性；第二次是突破学习难点，让学生感知等底等体积的圆柱和圆锥的关系。这样，能够让学生站在更高的角度看待圆锥的体积。当然，作为“圆锥的体积”的第一节课，对圆锥和与它等高等体积的圆柱的关系不作研究，因为这两者之间的关系比较抽象，无法通过实验直观地看到。］

（四）在“运用关系”中提升几何直观能力

（在练习环节，教师先后出示了2道具有挑战性的问题。）

问题1小明在写圆锥体积公式时，这样写道：V＝1/3（Sh）。你知道他为什么要加上一个括号吗？

生他想提醒我们,这个表示的是什么。

生是与圆锥等底等高的圆柱的体积。

师对应的是黑板上的哪一个图？

生第①个圆柱。

师这样的圆柱是怎样的呢？请想象一下。

（学生开始想象、比划。）

生如果黑板上的第③个圆柱的底面积正好是圆锥底面积的三分之一的话，就是这样的圆柱。

一个圆柱和一个圆锥范文第2篇

张知阳的问题是：“一个圆锥和一个圆柱底面积和体积都相等，如果圆柱高12厘米，那么圆锥的高是多少？你是怎么想的？”

姚力承正好在旁边听到了，就凑上来说：“这还不简单，我一想就明白了。这道题肯定和■也有关系，不是圆柱的高是圆锥的■，就是圆锥的高是圆柱的■。”

张知阳哭笑不得：“拜托，我就是不明白到底谁的高是谁的■，你不要给我两个选项让我做选择题好不好？”

我连忙补充说：“张知阳说的没错，大家都知道圆锥和圆柱之间，底面积、高不可能都相等。如果相等的话，那么圆锥的体积不就只有圆柱的■了吗？”

高原峰不愧是我们班的数学天才，他不假思索地说了一个很好玩的故事：“从前有一个国家，我们就叫它几何国吧。几何国里有两个孩子，它们是兄弟俩。一个叫圆柱，另一个呢，当然就叫圆锥了。在几何国里，比较每个人的成就大小，就是比谁的体积大。当然了，哥哥圆柱长得又粗又壮，在等底等高的情况下，它的体积总是要比弟弟圆锥的体积大得多。为什么呢？”

高原峰自问自答，拿起笔来在面前的本子上写了两个式子：

圆柱体积：V=Sh=πr2h 圆锥体积：V=■Sh=■πr2h

“我们都知道，求圆锥的体积，就相当于把等底等高的圆柱体积乘上■。换句话说，即使圆锥的底面半径和圆柱一样大，高也一样长，圆锥的体积也只有圆柱的■，明显小多了呢！因此，圆柱大哥非常得意，它觉得自己简直是个天才，生下来就优势明显，和圆锥弟弟比赛体积，那肯定是赢定了。”

故事吸引了越来越多的同学，大家都笑了起来。关丹秋说：“这听起来好像是龟兔赛跑的故事啊。”

高原峰竖起了大拇指：“正是这样，圆锥看到哥哥得意的样子，就像乌龟那样，心里暗暗地为自己加油。它想：我的头是尖尖的，体形天生就比圆柱瘦小，体积计算起来肯定是吃亏的。但是不要紧，爸爸妈妈说过‘勤能补拙’嘛，在底面积和圆柱一样大的情况下，只要我努力锻炼，长得越来越高，一直高到是圆柱的3倍，那么就能抵消这■的天生劣势，我的体积就和它一样了。”

“哗！”同学们为精彩的故事鼓起掌来。掌声惊动了正在讲台桌前准备下节课的刘老师，他走过来听了介绍后说：“这个故事确实很形象生动，而且包含了数学道理。不过，你们有没有从另一个角度想想，如果限制圆锥的高必须和圆柱一样，那么圆锥还有什么办法能够和圆柱体积一样大呢？”

张知阳是这个话题的提出人，他说：“我明白了！还有一种办法，就是圆锥的底面积是圆柱的3倍，这样同样能抵销■的劣势，圆锥的体积照样能和圆柱一样！”

高原峰点点头说：“可以归纳一下，因为圆锥‘先天不利’，所以它的体积要想和圆柱相等，只有两条路可走。”

同学们异口同声地问：“是哪两条路？”

高原峰说：“一是长高，二是长胖。”

一个圆柱和一个圆锥范文第3篇

在学习圆锥的体积计算时，学生都能流利地说出圆锥的体积计算公式。本以为只要牢牢记住圆锥的体积计算公式，就可以提高解决实际问题的能力，但在解决实际问题的过程中却有很多学生只用底面积乘高而没有除以3。为什么学生可以脱口说出圆锥的体积计算公式，却在解决实际问题时忘记除以3？我对圆锥的体积教学过程进行了回顾与反思。

二、教学回顾

师：我们已经认识了圆锥，下面我们来研究圆锥的体积计算。

生1：我知道，圆锥的体积=底面积赘還？。

生2：老师，我也知道，V=S/h。

师：（板书：圆锥的体积=底面积赘還？）你是怎么知道的？

生1：看书的。

生2：书上写着呢！

师：那么有谁知道这个计算公式是怎么推导出来的？

生1：圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。

生2：把一个圆锥装满沙子，然后倒入一个与它等底等高的圆柱里，需要三次才能装满。

师：这两位同学分析得很好，是不是这样？我想其他同学可能都有这个疑问，下面我们一起来看两个实验。

（多媒体课件演示）

实验1：把一个圆锥用沙子分三次将一个与它等底等高的圆柱装满。

实验2：用一个装满水的圆柱装满三个与它等底等高的圆锥。

师：刚才的两个实验都看清楚了吗？还有什么问题？

生：看清楚了，没有问题。（学生很兴奋）

师：那么圆锥的体积应该怎样计算？

生：圆锥的体积=底面积赘還？

师：用字母怎么表示？

生：V=Sh

师：下面我们一起用圆锥的体积计算公式去解决一些实际问题。

三、反思

（一）“看”不能代替学生的动手实践

《数学课程标准》指出：“动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。”圆锥的体积计算为学生提供了一个合作探究、动手实践的机会。在以往教学中，教师往往都会准备一组等底等高的圆柱和圆锥来演示推导圆锥的体积计算公式，有的甚至准备多组教具发动学生广泛参与。而在本节课的教学中，课件呈现了上面的实验过程，用一个看似先进的教学手段代替了学生的动手实践，学生虽然是看得是兴致勃勃、清清楚楚，但是在看的过程中缺少了学生内在的心智活动和情感体验。离开了学生积极主动的探究实践，无异于纸上谈兵，这样的课件演示只是让学生看动画片而已，留在学生头脑里的认识也是浮浅和短暂的，在解决实际问题的过程中发生错误也是不可避免的。

（二）离开了现实实验的多媒体演示是不可靠的

多媒体所呈现的实验作为对现实实验的模拟和动态演示，首先必须具备科学性，即要符合现实的真实情况，因此它必须建立在现实实验的基础上，如果缺少了现实实验这一基础，也就缺失了它的科学性，多媒体演示也就变得不可靠。例如，如果将课件改成用一个圆锥分4次或5次将一个与它等底等高的圆柱装满水或沙子，那么学生必定会推导出V=S/h或V=S/h。可见多媒体呈现的数学模拟实验离不开现实实验的基础，它必须建立在现实实验的基础上，作为对现实实验的补充、比较和拓展。

四、策略

（一）在“做”的过程中学数学

美国教育家苏娜丹戴克说过：“告诉我，我会忘记；做给我看，我会记住；让我参加，我就会完全理解。”学生虽然能流利地说出圆锥体积计算公式，但是说出公式不等于理解公式，不理解公式就不能正确地运用公式，因此课堂教学中必须为学生提供“做”的机会，在做的过程中发展思维能力，拓展想象能力，理解数学规律、方法和公式，体验学习的乐趣。

在学生尝试说出圆锥的体积计算方法后，教师出示一组等底等高的圆柱和圆锥容器（最好是每个学习小组都有一套教具），让学生先观察比较，认识等底等高，再让学生猜一猜它们的体积之间有什么样的联系，以及怎样验证。待学生说出方法后，放手让学生动手实践。在此基础上，请几名学生操作演示，接着让学生根据自己的实验现象，说一说等底等高的圆锥和圆柱体积之间的关系，进而推导出圆锥的体积计算公式。最后，教师还可以利用一组不等底等高的圆锥和圆柱进行实验，呈现出不同的实验结果，让学生探究其中的原因，进一步明晰推导过程。

（二）借助多媒体展开有效的思维训练和拓展

一个圆柱和一个圆锥范文第4篇

用一个空圆锥装满水，倒入一个与圆锥等底等高的空圆柱中，这样要倒三次就刚好把圆柱倒满，所以说圆锥的体积等于同底同高的圆柱的三分之一。

圆锥是一种几何图形，有两种定义。解析几何定义：圆锥面和一个截它的平面（满线为圆）组成的空间几何图形叫圆锥。

圆柱是由两个大小相等、相互平行的圆形底面以及连接两个底面的一个曲面侧面围成的几何体。

当圆柱的轴与圆柱的底面垂直时，称该圆柱为直圆柱；当圆柱的轴与圆柱底面不垂直时，称该圆柱为斜圆柱。

（来源：文章屋网 ）

一个圆柱和一个圆锥范文第5篇

根据以往的教学经验，虽然我在课堂上反复强调计算圆锥的体积时不要忘记乘■，但“圆锥的体积”一课教学之后，还是有大部分学生容易忘记，究其原因是学生对圆锥体积公式的推导过程印象不深刻，总是容易遗忘圆锥与它等底等高的圆柱体积的关系。因此，重新教学此课，我多下工夫备课。常言道：“学贵有疑。”于是我精心设计教学，大胆创新，处处设疑，旨在激发学生的兴趣，加深他们对圆锥和与它等底等高的圆柱体积之间关系的认识。

首先，动态设计，疑中求知。

课件出示：

■

（让学生从中选择一个合适的圆柱和圆锥一起研究它们体积之间的关系）

师：你能从这些圆柱和圆锥中，选择一个合适的圆柱和圆锥一起来研究它们体积之间的关系吗？（学生小手林立，兴奋不已）

生1：我选中间一个圆柱。

师：为什么？

生1：因为圆锥的高和圆柱的高都一样。

生2：因为它们等底等高。

师：也就是说，研究圆柱和圆锥体积之间的关系要有一个统一的标准，那就是等底等高。（板书：等底等高）

课件出示：估计一下，这个圆锥的体积是圆柱体积的几分之几？

■

书上例题是直接出示两个等底等高的圆柱和圆锥，让学生寻找圆柱和圆锥体积之间的关系，这样教学固然可以，但学生对圆柱和圆锥体积之间的关系处于一种被动告知的状态。这种被动接受知识的结果，显而易见，就是学生为什么总容易忘记等底等高的圆柱和圆锥体积之间关系的原因了。所以，我决定把例题稍作改动，从学生的生活经验出发，让学生凭借自己的感觉先从图中找出一个和圆锥相应的圆柱一起研究它们体积之间的关系，再引导学生说一说圆柱和圆锥体积之间的关系，使学生明白这里要做到公平就必须有一个前提――等底等高的圆柱和圆锥。这种让学生自己通过观察寻找出研究的圆柱和圆锥体积之间关系的前提条件的方法，学生对知识的掌握能不牢固吗？这样教学，还为学生继续研究圆柱和圆锥体积之间的关系奠定了良好的基础。

其次，巧设倒水，探索新知。

最近几年，刘谦的魔术风靡全国，可以说是老少皆爱。那么，刘谦的魔术为什么会有如此大的魅力呢？细细想来，刘谦的魔术从开始表演到结束都是时时刻刻扣人心弦的，即使表演结束很长一段时间后还是那么让人回味无穷、意犹未尽，激人想去探个究竟。我想，我们的课堂教学也应具有刘谦魔术的魅力，让学生想深入探究所学知识。

所以，课堂教学中，我提供圆柱、圆锥、沙子等实验用具，让学生验证这一组圆柱和圆锥（如下图）是否等底等高。

■

等底 等高

师：现在我们就来验证一下。做实验时，为了减少误差，我们一定要注意尽量不要把水撒到外面。

师：现在我给圆锥倒满水，请你猜猜圆锥里的水倒进圆柱后，水位大概在圆柱的什么位置？

生：■、■、■……

师（第一次倒水）：现在请你看看，猜对了吗？（学生一片欢呼，为自己猜对而高兴）

师：我们接着给圆锥倒满水后再往圆柱里倒，猜一猜，要几次才能把圆柱倒满？

生（异口同声）：三次。

（师第二次演示将圆锥里的水往圆柱里倒，学生齐呼“两次”，接着师又倒了一次水，学生齐呼“三次”，学生用热烈的掌声庆祝自己的猜测是正确的，脸上露出如获至宝的笑容）

师：那么，通过刚才的验证，你知道圆锥和它等底等高的圆柱体积之间有什么关系吗？

生1：圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的三分之一。

生2：圆柱体积是和它等底等高的圆锥体积的三倍。

（师板书：圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的■）

师（总结）：通过刚才的实验和总结，可以怎样表示圆锥的体积？

生回答师板书：圆锥的体积=底面积×高×■。

……

以往教学此课，教师总认为学生自己做实验了，就一定能找出圆锥体积是和它等底等高的圆柱体积的■。其实不然，以前学生做实验大多流于形式，只顾着操作，感觉好玩，并不是边做边思考。这里做实验的目的是让学生通过思考“圆锥和圆柱体积之间为什么是这样的关系”的问题，使学生通过思考和探究，不仅“知其然”，而且“知其所以然”。为了让实验能吸引学生积极去思考，在探索等底等高圆柱和圆锥体积之间的关系时，我没有让学生亲自动手实验，而是设计了两次猜测、三次倒水的环节来激发学生探究的欲望。“我猜得对不对？”“我的结果正确吗？”“圆柱和圆锥体积之间到底有什么关系呢？”……通过对几个不同问题的猜测，既营造了良好的课堂氛围，又激发了学生的好奇心。学生的第一次猜测是不自信的，他们对自己的猜测是否正确持怀疑态度，但经过第一次倒水验证之后，学生品尝到成功的喜悦，从而增强自信心。我继续引导学生进行猜测：“我们接着给圆锥倒满水后再往圆柱里倒，猜一猜，要几次才能把这个圆柱倒满？”这时学生充满自信地齐声回答“三次”。接下来，我倒水进行验证，更是给学生带来获取胜利的心理满足。通过这样一个验证的过程，激发了学生浓厚的学习兴趣和强烈的探究欲望，谁能说这节课学生对等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系没有掌握呢？这才真正体现教师的主导作用和学生的主体作用相结合，有效培养了学生的自主探究能力。

再次，注重算法指导，创造高效课堂。

以往教学“圆锥的体积”这部分内容后，发现有一部分学生对等底等高的圆锥和圆柱体积之间是什么关系说得头头是道，但一落实到圆锥体积的计算中，十之八九忘记去乘三分之一。即使有些学生不忘记，但由于计算圆锥体积时不得方法，往往导致计算错误，做题正确率很低。针对上述现象，教学本节课时我注意以下几点，力求让学生在这些方面得到很好的弥补。

一、巧算铺垫，埋下伏笔

口算：3.14×12×■= 3.14×6×■=

3.14×15×■= 3.14×32×■=

先让学生口算并说一说是怎样想的，师再引导学生进行总结：“计算的时候为了简便，能约分的要先约分再计算。”

学生在计算时往往忽略了简便算法，导致计算起来比较复杂，特别是含有3.14这样复杂的小数计算时，更是学生在计算中跨不过去的一道坎。所以，课前复习时，教师要给学生适时渗透简便计算的方法。如出示3.14×12×■让学生口算并说一说自己是怎样想的，引导学生寻找出先约分再计算的方法，从而降低计算的难度，为后面巧算圆锥的体积打好基础。

二、算法渗透，构建课堂

教师在引导学生探索出等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系后，教学重点应转移到算法指导上。所以，课堂中我是这样做的。

1.试一试（大屏幕出示）

先让学生读题理解题意，找条件并说说怎样求问题，再独立列式。学生解题时教师注意算法指导，强调计算圆锥的体积应列综合算式，先约分再计算，这样可以降低计算难度，提高计算的正确率。

2.“练一练”第1题

请学生根据条件先求出底面积，再求体积，然后集体订正。

底面积：2×2×3.14=12.56

体积：12.56×6×■=25.12

让学生说一说怎样计算后，师强调：“计算圆锥体积时列综合算式比较简便，同时避免先算12.56×6再去乘■的问题，应该先将6和■约分，再乘12.56，符合‘列综合算式，先约分再计算；第一步计算时想法约去三分之一，降低计算难度’的原则。”