与三角形有关的线段
前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇与三角形有关的线段范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。
与三角形有关的线段范文第1篇
一、证明题中作垂线段的方法
例1如图1，已知在RtABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点P是AC边上一点，在BC边上取一点D，使PB=PD，过点D作DE AC于点E，请求出线段PE与AC的数量关系，并说明理由。
分析：从图形上观察可以猜想PE =AC，而AC又是等腰直角三角形的斜边，与等腰三角形斜边有一半关系的就是斜边上的中线，由于∠PED=90°，为了便于证明全等，故而自然想到过点B作BFAC，利用BF=PE证明PE =AC。
解：PE=12AC
证明如下：
作BFAC（如图2），
ABC是等腰直角三角形，CF=AF=BF=AC，∠C=∠FBC =45°。
PB=PD，∠PBD=∠PDB，∠PBD=∠2+∠FBC=∠2+45°
∠PDB=∠1+∠C=∠1+45°，
∠1=∠2。又∠PFB=∠DEP=90°，
PFB≌DEP（AAS）， PE=BF=12AC。
点评：三角形中有许多定理是通过作垂线段证明两条线段相等，如等腰三角形中的三线合一定理，角平分线上点到角两端的距离相等，等等。在相应的背景下，只需作出垂线即有两条相等线段，这些相等线段可以是题目所求证的线段，也可以作为中间量转化为其他需要证明的线段。而本题中，首先问题背景是等腰直角三角形，其次，求的线段PE也在一个直角三角形中，这两个都是作垂线段作为辅助线的暗示条件，于是线段BF这条辅助线也就顺理成章了。
二、算题中作垂线段的方法
1.利用作垂线段分割或补全图形求三角形面积 例2如图3，已知平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3），求ABC的面积。
分析：从图3中可以看到ABC斜放在直角坐标系中，而且从图形上看也不是直角三角形，所以不论以哪条边为底，求相应对的高都很复杂，甚至无从下手.此时，可联系不规则图形的算.法，采用割补法，先用作垂线段的方法将ABC补全成长方形，再减去三个三角形就得ABC的面积，而三个三角形都是直角三角形非常容易求面积。
解：作CDx轴，CEy轴，如图4，
C（4，3），CE=4，CD=3
A（0，1），B（2，0） OA=1，OB=2
SABC=3×4-SAOB-SBCD-SACE=4
点评：平面直角坐标系中的三角形问题背景下，比如求三角形上某个点的坐标，或者求图形的面积等，这两个也是作垂线段作为辅助线的暗示条件，或分割，或补全，或寻找直角三角形进行计算，之后就能有清晰的解题思路了.
2.作垂线段，通过直角三角形的边角关系计算 例3如图5，ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，以BC为边向上面作等边BCD，
BD与AC交于点E，取CD的中点F，连接BF交AC于点G.
（1）求证：ABE≌CBG； （2）若BG=2，求DE的长.
分析：本题有两小题，第一小题证明全等是为第二小题通过求BD，BE再求DE而服务的，而全等的条件也比较明显，此处不详述.第二小题已知BG求DE，乍一看是没有任何联系的两条线段，细想之下，DE是线段BD的一部分，而BE=BG=2，所以问题就转化为求线段BD，而与BD相等的线段BC与BG在同一个BCG中，仔细思考这个三角形的特征，它有两个特殊角∠GBC=30°，∠GCB=45°，于是可以过点G作垂线段GH，利用直角三角形殊角对应边的数量关系解决这个问题.
解：（2）作GHBC，如图6，RtBGH中，∠GBC=30°，
GH=12BG=1，∠GCB=45°，
等腰RtCGH中 CH=GH=1，
BC=1+3， BCD是等边三角形
BD=BC=1+3，DE=BD-BE=1+3-2=3-1.
与三角形有关的线段范文第2篇
第一部分
常见辅助线做法
等腰三角形:
1.
作底边上的高，构成两个全等的直角三角形
2.
作一腰上的高；
3
.过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。
梯形
1.
垂直于平行边
2.
垂直于下底，延长上底作一腰的平行线
3.
平行于两条斜边
4.
作两条垂直于下底的垂线
5.
延长两条斜边做成一个三角形
菱形
1.
连接两对角
2.
做高
平行四边形
1.
垂直于平行边
2.
作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形
3.
做高——形内形外都要注意
矩形
1.
对角线
2.
作垂线
很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。
三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
解几何题时如何画辅助线?
①见中点引中位线，见中线延长一倍
在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
②在比例线段证明中，常作平行线。
作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。
③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有
1、过上底的两端点向下底作垂线
2、过上底的一个端点作一腰的平行线
3、过上底的一个端点作一对角线的平行线
4、过一腰的中点作另一腰的平行线
5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交
6、作梯形的中位线
7、延长两腰使之相交
四边形
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线
初中数学辅助线的添加浅谈
人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
一．添辅助线有二种情况：
1按定义添辅助线：
如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：
每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们
把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：
（1）平行线是个基本图形：
当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线
（2）等腰三角形是个简单的基本图形：
当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：
出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形
出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形
几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：
全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线
（7）相似三角形：
相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。
（8）特殊角直角三角形
当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明
（9）半圆上的圆周角
出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦---直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。
二．基本图形的辅助线的画法
1.三角形问题添加辅助线方法
方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2.平行四边形中常用辅助线的添法
平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：
（1）连对角线或平移对角线：
（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形
（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.
3.梯形中常用辅助线的添法
梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：
（1）在梯形内部平移一腰。
（2）梯形外平移一腰
（3）梯形内平移两腰
（4）延长两腰
（5）过梯形上底的两端点向下底作高
（6）平移对角线
（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。
（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。
（9）作中位线
当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。
4.圆中常用辅助线的添法
在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
（1）见弦作弦心距
有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。
（2）见直径作圆周角
在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角“这一特征来证明问题。
（3）见切线作半径
命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用“切线与半径垂直“这一性质来证明问题。
（4）两圆相切作公切线
对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。
（5）两圆相交作公共弦
对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。作辅助线的方法
一：中点、中位线，延线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”
托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）
五：两圆若相交，连心公共弦。
如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。
六：两圆相切、离，连心，公切线。
如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。
七：切线连直径，直角与半圆。
如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。
如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。
八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。
如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。
如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。
如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。
有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。
九：面积找底高，多边变三边。
如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。
如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。
另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。
第二部分
常考题型解析
三角形中作辅助线的常用方法举例
一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：
例1：已知如图1-1：D、E为ABC内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
证明：（法一）将DE两边延长分别交AB、AC
于M、N，
在AMN中，AM＋AN
＞
MD＋DE＋NE;（1）
在BDM中，MB＋MD＞BD；
（2）
在CEN中，CN＋NE＞CE；
（3）
由（1）＋（2）＋（3）得：
AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE
AB＋AC＞BD＋DE＋EC
（法二：）如图1-2，
延长BD交
AC于F，延长CE交BF于G，
在ABF和GFC和GDE中有：
AB＋AF＞
BD＋DG＋GF （三角形两边之和大于第三边）（1）
GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………………………（2）
DG＋GE＞DE（同上）……………………………………（3）
由（1）＋（2）＋（3）得：
AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE
AB＋AC＞BD＋DE＋EC。
二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：
例如：如图2-1：已知D为ABC内的任一点，求证：∠BDC＞∠BAC。
分析：因为∠BDC与∠BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置；
证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是EDC的外角，
∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∠BDC＞∠BAC
证法二：连接AD，并延长交BC于F
∠BDF是ABD的外角
∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD
∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD
即：∠BDC＞∠BAC。
注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。
三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：
例如：如图3-1：已知AD为ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF。
分析：要证BE＋CF＞EF
，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同一个三角形中。
证明：在DA上截取DN＝DB，连接NE，NF，则DN＝DC，
在DBE和DNE中：
DBE≌DNE
（SAS）
BE＝NE（全等三角形对应边相等）
同理可得：CF＝NF
在EFN中EN＋FN＞EF（三角形两边之和大于第三边）
BE＋CF＞EF。
注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。
四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
例如：如图4-1：AD为ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF
证明：延长ED至M，使DM=DE，连接
CM，MF。在BDE和CDM中，
BDE≌CDM
（SAS）
又∠1＝∠2，∠3＝∠4
（已知）
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义）
∠3＋∠2=90°，即：∠EDF＝90°
∠FDM＝∠EDF
＝90°
在EDF和MDF中
EDF≌MDF
（SAS）
EF＝MF
（全等三角形对应边相等）
在CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）
BE＋CF＞EF
注：上题也可加倍FD，证法同上。
注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。
五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。
例如：如图5-1：AD为
ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。
分析：要证AB＋AC＞2AD，由图想到：
AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋
BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD
AD为ABC的中线
（已知）
BD＝CD
（中线定义）
在ACD和EBD中
ACD≌EBD
（SAS）
BE＝CA（全等三角形对应边相等）
在ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形两边之和大于第三边）
AB＋AC＞2AD。
（常延长中线加倍，构造全等三角形）
练习：已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2，
求证EF＝2AD。
六、截长补短法作辅助线。
例如：已知如图6-1：在ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。求证：AB－AC＞PB－PC。
分析：要证：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN，
再连接PN，则PC＝PN，又在PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。
证明：（截长法）
在AB上截取AN＝AC连接PN
,
在APN和APC中
APN≌APC
（SAS）
PC＝PN
（全等三角形对应边相等）
在BPN中，有
PB－PN＜BN
（三角形两边之差小于第三边）
BP－PC＜AB－AC
证明：（补短法）
延长AC至M，使AM＝AB，连接PM，
在ABP和AMP中
ABP≌AMP
（SAS）
PB＝PM
（全等三角形对应边相等）
又在PCM中有：CM＞PM－PC(三角形两边之差小于第三边)
AB－AC＞PB－PC。
七、延长已知边构造三角形：
例如：如图7-1：已知AC＝BD，ADAC于A
，BCBD于B，
求证：AD＝BC
分析：欲证
AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：ADC与BCD，AOD与BOC，ABD与BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，
ADAC
BCBD
（已知）
∠CAE＝∠DBE
＝90°
（垂直的定义）
在DBE与CAE中
DBE≌CAE
（AAS）
ED＝EC
EB＝EA
（全等三角形对应边相等）
ED－EA＝EC－EB
即：AD＝BC。
（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）
八
、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
例如：如图8-1：AB∥CD，AD∥BC
求证：AB=CD。
分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。
证明：连接AC（或BD）
AB∥CD
AD∥BC
（已知）
∠1＝∠2，∠3＝∠4
（两直线平行，内错角相等）
在ABC与CDA中
ABC≌CDA
（ASA）
AB＝CD（全等三角形对应边相等）
九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例如：如图9-1：在RtABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CEBD的延长于E
。求证：BD＝2CE
分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。
证明：分别延长BA，CE交于点F。
BECF
（已知）
∠BEF＝∠BEC＝90°
（垂直的定义）
在BEF与BEC中，
BEF≌BEC（ASA）CE=FE=CF
（全等三角形对应边相等）
∠BAC=90°
BECF
（已知）
∠BAC＝∠CAF＝90°
∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°
∠BDA＝∠BFC
在ABD与ACF中
ABD≌ACF
（AAS）BD＝CF
（全等三角形对应边相等）
BD＝2CE
十、连接已知点，构造全等三角形。
例如：已知：如图10-1；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。
分析：要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形ABO和DCO全等，而只有AB＝DC和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若连接BC，则ABC和DCB全等，所以，证得∠A＝∠D。
证明：连接BC，在ABC和DCB中
ABC≌DCB
(SSS)
∠A＝∠D
(全等三角形对应边相等)
十一、取线段中点构造全等三有形。
例如：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D
求证：∠ABC＝∠DCB。
分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有ABN≌
DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有NBM≌NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。
证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在ABN和DCN中
ABN≌DCN
（SAS）
∠ABN＝∠DCN
NB＝NC
（全等三角形对应边、角相等）
在NBM与NCM中
NMB≌NCM，(SSS)
∠NBC＝∠NCB
（全等三角形对应角相等）∠NBC＋∠ABN
＝∠NCB＋∠DCN
即∠ABC＝∠DCB。
巧求三角形中线段的比值
例1.
如图1，在ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。
解：过点D作DG//AC，交BF于点G
所以DG：FC＝BD：BC
因为BD：DC＝1：3
所以BD：BC＝1：4
即DG：FC＝1：4，FC＝4DG
因为DG：AF＝DE：AE
又因为AE：ED＝2：3
所以DG：AF＝3：2
即
所以AF：FC＝：4DG＝1：6
例2.
如图2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD
解：过点C作CG//DE交AB于点G，则有EF：GC＝AF：AC
因为AF＝FC
所以AF：AC＝1：2
即EF：GC＝1：2，
因为CG：DE＝BC：BD
又因为BC＝CD
所以BC：BD＝1：2
CG：DE＝1：2
即DE＝2GC
因为FD＝ED－EF＝
所以EF：FD＝
小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！
例3.
如图3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。
解：过点B作BG//AD，交CE延长线于点G。
所以DF：BG＝CD：CB
因为BD：DC＝1：3
所以CD：CB＝3：4
即DF：BG＝3：4，
因为AF：BG＝AE：EB
又因为AE：EB＝2：3
所以AF：BG＝2：3
即
所以AF：DF＝
例4.
如图4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。
解：过点D作DG//CE，交AB于点G
所以EF：DG＝AF：AD
因为AF＝FD
所以AF：AD＝1：2
图4
即EF：DG＝1：2
因为DG：CE＝BD：BC，又因为BD：CD＝1：3，
所以BD：BC＝1：4
即DG：CE＝1：4，CE＝4DG
因为FC＝CE－EF＝
所以EF：FC＝＝1：7
练习：
1.
如图5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。
2.
如图6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。
答案：1、1：10；
2.
9：1
初中几何辅助线
一
初中几何常见辅助线口诀
人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形
平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为和。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆形
半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。
注意点
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
二
由角平分线想到的辅助线
口诀：
图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；
②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线
（一）、截取构全等
几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。
如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有OED≌OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1．
如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。
例2．
已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DCAC
分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。
例3．
已知：如图1-4，在ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD
分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？
练习
1．
已知在ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC
2．
已知：在ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求证：AE=2CE
3．
已知：在ABC中，AB>AC,AD为∠BAC的平分线，M为AD上任一点。求证：BM-CM>AB-AC
4．
已知：D是ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。求证：BD+CD>AB+AC。
（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1．
如图2-1，已知AB>AD,
∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求证：∠ADC+∠B=180
分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。
例2．
如图2-2，在ABC中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD。
求证：BC=AB+AD
分析：过D作DEBC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。
例3．
已知如图2-3，ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：∠BAC的平分线也经过点P。
分析：连接AP，证AP平分∠BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等。
练习：
1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA，PDOA，
如果PC=4，则PD=（
）
A
4
B
3
C
2
D
1
2．已知在ABC中，∠C=90 ，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。
3．已知：如图2-5,
∠BAC=∠CAD,AB>AD，CEAB，
AE=（AB+AD）.求证：∠D+∠B=180 。
4.已知：如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD
的中点，F为BC
上的点，∠FAE=∠DAE。求证：AF=AD+CF。
5．
已知：如图2-7，在RtABC中，∠ACB=90 ,CDAB，垂足为D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH//AB交BC于H。求证CF=BH。
（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
例1．
已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CDAD于D，H是BC中点。求证：DH=（AB-AC）
分析：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。
例2．
已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CEBE.求证：BD=2CE。
分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。
例3．已知：如图3-3在ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。
求证：AM=ME。
分析：由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EAAF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。
例4．
已知：如图3-4，在ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CMAD交AD延长线于M。求证：AM=（AB+AC）
分析：题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作ABD关于AD的对称AED，然后只需证DM=EC，另外由求证的结果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可尝试作ACM关于CM的对称FCM，然后只需证DF=CF即可。
练习：
1．
已知：在ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是∠BAC的平分线，且CEAE于E，连接DE，求DE。
2．
已知BE、BF分别是ABC的∠ABC的内角与外角的平分线，AFBF于F，AEBE于E，连接EF分别交AB、AC于M、N，求证MN=BC
（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线
有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。
1
2
A
C
D
B
例4
如图，AB>AC,
∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。
例5
如图，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求证：∠A+∠C=180。
B
D
C
A
A
B
E
C
D
例6
如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。
练习：
1.
已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC。求证：ABC是直角三角形。
C
A
B
2．已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DCAC
A
B
D
C
1
2
3．已知CE、AD是ABC的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD
A
E
B
D
C
4．已知：如图在ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+AD
A
B
C
D
三
由线段和差想到的辅助线
口诀：
线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：
1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：
例1、
已知如图1-1：D、E为ABC内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE.
证明：（法一）
将DE两边延长分别交AB、AC于M、N，
在AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）
在BDM中，MB+MD>BD；（2）
在CEN中，CN+NE>CE；（3）
由（1）+（2）+（3）得：
AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE
AB+AC>BD+DE+EC
（法二：图1-2）
延长BD交AC于F，廷长CE交BF于G，在ABF和GFC和GDE中有：
AB+AF>BD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）…（1）
GF+FC>GE+CE（同上）（2）
DG+GE>DE（同上）（3）
由（1）+（2）+（3）得：
AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE
AB+AC>BD+DE+EC。
二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：
例如：如图2-1：已知D为ABC内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC。
分析：因为∠BDC与∠BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置；
证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是EDC的外角，
∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∠BDC>∠BAC
证法二：连接AD，并廷长交BC于F，这时∠BDF是ABD的
外角，∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD，∠BDF+
∠CDF>∠BAD+∠CAD，即：∠BDC>∠BAC。
注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。
三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：
例如：如图3-1：已知AD为ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：BE+CF>EF。
分析：要证BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，
∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。
证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC，
在DBE和NDE中：
DN=DB（辅助线作法）
∠1=∠2（已知）
ED=ED（公共边）
DBE≌NDE（SAS）
BE=NE（全等三角形对应边相等）
同理可得：CF=NF
在EFN中EN+FN>EF（三角形两边之和大于第三边）
BE+CF>EF。
注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。
四、截长补短法作辅助线。
例如：已知如图6-1：在ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任一点
求证：AB-AC>PB-PC。
分析：要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再连接PN，则PC=PN，又在PNB中，PB-PN
即：AB-AC>PB-PC。
证明：（截长法）
在AB上截取AN=AC连接PN,在APN和APC中
AN=AC（辅助线作法）
∠1=∠2（已知）
AP=AP（公共边）
APN≌APC（SAS）,PC=PN（全等三角形对应边相等）
在BPN中，有PB-PN
BP-PC
证明：（补短法）
延长AC至M，使AM=AB，连接PM，
在ABP和AMP中
AB=AM（辅助线作法）
∠1=∠2（已知）
AP=AP（公共边）
ABP≌AMP（SAS）
PB=PM（全等三角形对应边相等）
又在PCM中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边)
AB-AC>PB-PC。
D
A
E
C
B
例1．如图，AC平分∠BAD，CEAB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。
例2如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，
求证：∠ADC+∠B=180º
例3已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。
D
C
B
A
求证：BC=AB+DC。
M
B
D
C
A
例4如图，已知RtABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，DMAB于M，且AM=MB。求证：CD=DB。
1．如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。
E
D
C
B
A
2.如图，ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，
BDAE于D，CEAE于E。求证：BD=DE+CE
四
由中点想到的辅助线
口诀：
三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。
在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形
即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。
例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。
解：因为AD是ΔABC的中线，所以SΔACD=SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中线，故SΔCDE=SΔACD=1，
因DF是ΔCDE的中线，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=。
ΔCDF的面积为。
（二）、由中点应想到利用三角形的中位线
例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。
证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，
ME是ΔBCD的中位线，
MECD，∠MEF=∠CHE，
MF是ΔABD的中位线，
MFAB，∠MFE=∠BGE，
AB=CD，ME=MF，∠MEF=∠MFE，
从而∠BGE=∠CHE。
（三）、由中线应想到延长中线
例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。
解：延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。
在ΔACD和ΔEBD中，
AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，
ΔACD≌ΔEBD，AC=BE，
从而BE=AC=3。
在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，
BD===，故BC=2BD=2。
例4．如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。
证明：延长AD到E，使DE=AD。
仿例3可证：
ΔBED≌ΔCAD，
故EB=AC，∠E=∠2，
又∠1=∠2，
∠1=∠E，
AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。
（四）、直角三角形斜边中线的性质
例5．如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，ACBC，ADBD，求证：AC=BD。
证明：取AB的中点E，连结DE、CE，则DE、CE分别为RtΔABD，RtΔABC斜边AB上的中线，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。
AB//DC，
∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，
∠1=∠2，
在ΔADE和ΔBCE中，
DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，
ΔADE≌ΔBCE，AD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。
（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线
例6．如图7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。
证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，
∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，
ΔBEF≌ΔBEC，EF=EC，从而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。
在ΔABD和ΔACF中，∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，
ΔABD≌ΔACF，BD=CF，BD=2CE。
注：此例中BE是等腰ΔBCF的底边CF的中线。
（六）中线延长
口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。
题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。
例一：如图4-1：AD为ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CF>EF。
证明：廷长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF。在BDE和CDM中，
BD=CD（中点定义）
∠1=∠5（对顶角相等）
ED=MD（辅助线作法）
BDE≌CDM（SAS）
又∠1=∠2，∠3=∠4（已知）
∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定义）
∠3+∠2=90°
即：∠EDF=90°
∠FDM=∠EDF=90°
在EDF和MDF中
ED=MD（辅助线作法）
∠EDF=∠FDM（已证）
DF=DF（公共边）
EDF≌MDF（SAS）
EF=MF（全等三角形对应边相等）
在CMF中，CF+CM>MF（三角形两边之和大于第三边）
BE+CF>EF
上题也可加倍FD，证法同上。
注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。
例二：如图5-1：AD为ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。
分析：要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE
AD为ABC的中线（已知）
BD=CD（中线定义）
在ACD和EBD中
BD=CD（已证）
∠1=∠2（对顶角相等）
AD=ED（辅助线作法）
ACD≌EBD（SAS）
BE=CA（全等三角形对应边相等）
在ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大于第三边）
AB+AC>2AD。
练习：
1
如图，AB=6，AC=8，D为BC
的中点，求AD的取值范围。
B
A
D
C
8
6
2
如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE。
B
E
C
D
A
3
如图，AB=AC，AD=AE，M为BE中点，∠BAC=∠DAE=90°。求证：AMDC。
D
M
CD
ED
AD
BD
4，已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD。
A
B
D
C
E
F
5．已知：如图AD为ABC的中线，AE=EF，求证：BF=AC
五
全等三角形辅助线
找全等三角形的方法：
（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；
（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；
（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：
①延长中线构造全等三角形；
②利用翻折，构造全等三角形；
③引平行线构造全等三角形；
④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：
1)
遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
2)
遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3)
遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4)
过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5)
截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
（一）、倍长中线（线段）造全等
1：（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.
2：如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
3：如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.
中考应用
（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．
（1）如图①
当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是
，
线段AM与DE的数量关系是
；
（2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0
（二）、截长补短
1.如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CDAC
2：如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD
3：如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP
4：如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：
5:如图在ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC
中考应用
（08海淀一模）
（三）、平移变换
1.AD为ABC的角平分线，直线MNAD于A.E为MN上一点，ABC周长记为，EBC周长记为.求证＞.
2：如图，在ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.
（四）、借助角平分线造全等
1：如图，已知在ABC中，∠B=60°，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD
2：（06郑州市中考题）如图，ABC中，AD平分∠BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F.
（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.
中考应用
（06北京中考）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
(第23题图)
O
P
A
M
N
E
B
C
D
F
A
C
E
F
B
D
图①
图②
图③
（2）如图③，在ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
（五）、旋转
1：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
2：D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
（1）
当绕点D转动时，求证DE=DF。
（2）
若AB=2，求四边形DECF的面积。
3.如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为
；
中考应用
（07佳木斯）已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
（图1）
（图2）
（图3）
（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.
(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;
(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.
（09崇文一模）在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC.
探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．
图1
图2
图3
（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是
；
此时
；
（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（III）
如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，
若AN=，则Q=
（用、L表示）．
六
梯形的辅助线
口诀：
梯形问题巧转换，变为和。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。
通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下：
作法
图形
平移腰，转化为三角形、平行四边形。
平移对角线。转化为三角形、平行四边形。
延长两腰，转化为三角形。
作高，转化为直角三角形和矩形。
中位线与腰中点连线。
（一）、平移
1、平移一腰：
例1.
如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.
求CD的长.
解：过点D作DE∥BC交AB于点E.
又AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形.
所以DE＝BC＝17，CD＝BE.
在RtDAE中，由勾股定理，得
AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.
所以AE＝8.
所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.
即CD＝8.
例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。
解：过点B作BM//AD交CD于点M，
在BCM中，BM=AD=4，
CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，
所以BC的取值范围是：
5－4
2、平移两腰：
例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。
解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得
∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°
则EGH是直角三角形
因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点
所以
3、平移对角线：
例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．
解：如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点．
A
B
D
C
E
H
AD∥BC
四边形ACED是平行四边形
BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4
在DBE中，
BD=3，DE=4，BE=5
∠BDE=90°．
作DHBC于H，则
．
例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：ACBD。
解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，
易得四边形BCED是平行四边形，
则DE=BC，CE=BD=，
所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。
在等腰梯形ABCD中，AC=BD=，
所以在ACE中，，
从而ACCE，于是ACBD。
例6如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。
解：过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E，
则四边形ACED是平行四边形，
即。
所以
由勾股定理得
（cm）
（cm）
所以，即梯形ABCD的面积是150cm2。
（二）、延长
即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
例7如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。
解：延长BA、CD交于点E。
在BCE中，∠B=50°，∠C=80°。
所以∠E=50°，从而BC=EC=5
同理可得AD=ED=2
所以CD=EC－ED=5－2=3
例8.
如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.
判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.
解：四边形ABCD是等腰梯形.
证明：延长AD、BC相交于点E，如图所示.
AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，
DAB≌CBA.
∠DAB＝∠CBA.
EA＝EB.
又AD＝BC，DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.
而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，
∠EDC＝∠EAB，DC∥AB.
又AD不平行于BC，
四边形ABCD是等腰梯形.
（三）、作对角线
即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，ABAD，BC=CD，BECD于点E，求证：AD=DE。
解：连结BD，
由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；
由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。
所以∠ADB=∠BDE。
又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，
所以RtBAD≌RtBED，
得AD=DE。
（四）、作梯形的高
1、作一条高
例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线ACBD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。
证：过点D作DGAB于点G，
则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。
因为AB=2DC，所以AG=GB。
从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。
又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。
2、作两条高
例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，
求：(1)腰AB的长；(2)梯形ABCD的面积．
A
B
C
DD
ED
FD
解：作AEBC于E，DFBC于F，又AD∥BC，
四边形AEFD是矩形，
EF=AD=3cm
AB=DC
在RtABE中，∠B=60°，BE=1cm
AB=2BE=2cm，
例12如图，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。
证：作AEBC于E，作DFBC于F，则易知AE=DF。
在RtABE和RtDCF中，
因为AB>CD，AE=DF。
所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。
在RtBDF和RtCAE中
由勾股定理得BD>AC
（五）、作中位线
1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。
例13如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。
证：取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而OE=（AB＋CD）①
在AOD中，∠AOD=90°，AE=DE
所以
②
由①、②得AB＋CD=AD。
2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。
例14如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF//AD；（2）。
证：连接DF，并延长交BC于点G，易证AFD≌CFG
则AD=CG，DF=GF
由于DE=BE，所以EF是BDG的中位线
从而EF//BG，且
因为AD//BG，
所以EF//AD，EF
3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。
例15、在梯形ABCD中，AD∥BC，
∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。
解：分别延长AE与BC
，并交于F点
∠BAD=900且AD∥BC
∠FBA=1800－∠BAD=900
又AD∥BC
∠DAE=∠F(两直线平行内错角相等)
∠AED=∠FEC
（对顶角相等）
DE=EC
（E点是CD的中点）
ADE≌FCE
（AAS）
AE=FE
在ABF中∠FBA=900
且AE=FE
BE=FE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
在FEB中
∠EBF=∠FEB
∠AEB=∠EBF+
∠FEB=2∠CBE
A
B
D
C
E
F
例16、已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，ABBC，E是CD中点，试问：线段AE和BE之间有怎样的大小关系？
解：AE=BE，理由如下：
延长AE，与BC延长线交于点F．
DE=CE，∠AED=∠CEF，
∠DAE=∠F
ADE≌FCE
AE=EF
ABBC，
BE=AE．
例17、已知：梯形ABCD中，AD//BC，E为DC中点，EFAB于F点，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面积．
解：如图，过E点作MN∥AB，分别交AD的延长线于M点，交BC于N点．
A
B
C
D
E
F
M
N
DE=EC，AD∥BC
DEM≌CNE
四边形ABNM是平行四边形
EFAB，
S梯形ABCD=SABNM=AB×EF=15cm2．
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1.
若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为__________cm.
2.
如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，则此等腰梯形的周长为（
）
A.
19
B.
20
C.
21
D.
22
3.
如图所示，AB∥CD，AEDC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，则梯形ABCD的面积为（
）
A.
130
B.
140
C.
150
D.
160
*4.
如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的长.
5.
如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.
6.
如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，ACBD，AD＋BC＝10，DEBC于E，求DE的长.
7.
如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的长.
**8.
如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，（1）若E是AB的中点，且AD＋BC＝CD，则DE与CE有何位置关系？（2）E是∠ADC与∠BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？
1．圆中作辅助线的常用方法：
（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。
（2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。
（3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90度的角或直角三角形。
（4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。
（5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图1，圆O中，BDOA于D，经常是：①如图1（上）延长BD交圆于C，利用垂径定理。
②如图1（下）延长AO交圆于E，连结BE，BA，得RtABE。
图1（上）
图1（下）
（6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径，
（7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。
（8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。
（9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。
（10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。
例题1：如图2，在圆O中，B为的中点，BD为AB的延长线，∠OAB=500，求∠CBD的度数。
解：如图，连结OB、OC的圆O的半径，已知∠OAB=500
B是弧AC的中点
弧AB=弧BC
AB==BC
又OA=OB=OC
AOB≌BOC（S.S.S）
图2
∠OBC=∠ABO=500
∠ABO+∠OBC+∠CBD=1800
∠CBD=1800
-
500-
500
∠CBD=800
答:∠CBD的度数是800.
例题2:如图3,在圆O中,弦AB、CD相交于点P，求证：∠APD的度数=（弧AD+弧BC）的度数。
证明：连接AC，则∠DPA=∠C+∠A
∠C的度数=弧AD的度数
∠A的度数=弧BC的度数
∠APD=（弧AD+弧BC）的度数。
图3
一、造直角三角形法
1.构成Rt,常连接半径
例1.
过O内一点M
,最长弦AB
=
26cm,最短弦CD
=
10cm
,求AM长;
2.遇有直径,常作直径上的圆周角
例2.
AB是O的直径,AC切O于A,CB交O于D,过D作O的切线,交AC于E.
求证:CE
=
AE;
3.遇有切线,常作过切点的半径
例3
.割线AB交O于C、D,且AC=BD,AE切O于E,BF切O于F.
求证:∠OAE
=
∠OBF;
4.遇有公切线,常构造Rt(斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差,另一直角边为公切线长)
例4
.小
O1与大O2外切于点A,外公切线BC、DE分别和O1、O2切于点B、C和D、E，并相交于P，∠P
=
60°。
求证：O1与O2的半径之比为1：3；
5．正多边形相关计算常构造Rt
例5.O的半径为6,求其内接正方形ABCD与内接正六边形AEFCGH的公共部分的面积.
二、欲用垂径定理常作弦的垂线段
例6.
AB是O的直径,CD是弦,AECD于E,BFCD于F.(1)求证:EC
=
DF;
(2)若AE
=
2,CD=BF=6,求O的面积;
三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形
例7.
AB是O直径,弦CDAB,M是上一点,AM延长线交DC延长线于F.
求证:
∠F
=
∠ACM;
四、切线的综合运用
1．已知过圆上的点，常_________________
例8.如图，
已知：O1与O2外切于P，AC是过P点的割线交O1于A，交O2于C，过点O1的直线AB
BC于B.求证：
BC与O2相切.
例9.如图，AB是O的直径，AE平分∠BAF交O于E，过E点作直线与AF垂直交AF延长线于D点，且交AB于C点．
求证：CD与O相切于点E．
2.两个条件都没有,常___________________
例10.
如图，AB是半圆的直径，
AMMN，BNMN，如果AM+BN＝AB，求证:
直线MN与半圆相切；
例11.等腰ABC中,AB=AC,以底边中点D为圆心的圆切AB边于E点.
求证:AC与D相切;
例12．菱形ABCD两对角线交于点O，O与AB相切。
求证：O也与其他三边都相切；
五、两圆相关题型
1．两圆相交作_____________________
例13.O1与O2相交于A、B，过A点作直线交O1于C点、交O2于D点，过B点作直线交O1于E点、交O2于F点.
求证:CE∥DF;
2.相切两圆作________________________
例14.
O1与O2外切于点P,过P点的直线分别交O1与O2于A、B两点，AC切O1于A点，BC交O2于D点。
求证：∠BAC
=
∠BDP；
3．两圆或三圆相切作_________________
例15.以AB=6为直径作半O,再分别以OA、OB为直径在半O内作半O1与半O2，又O3与三个半圆两两相切。
求O3的半径；
4．一圆过另一圆的圆心，作____________
例16.两个等圆O1与O2相交于A、B
两点，且O1过点O2，过B点作直线交O1于C点、交O2于D点.
求证：ACD是等边三角形；
六、开放性题目
例17．已知：如图，以的边为直径的交边于点，且过点的切线平分边．
（1）与是否相切？请说明理由；
（第23题）
（2）当满足什么条件时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？并说明理由．
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教学拾萃（一）
与三角形有关的线段范文第3篇
问：何谓教学目标？一条规范的教学目标应包括哪些要素？
答：关于教学目标的定义，国内外教育专家的提法不尽相同，也因此导致当前教学目标设置乱象的现状。目前比较公认的教学目标定义是：教学目标是预期学生通过各种学习活动获得的全部学习结果。从这个定义可以析出：教学目标至少有三个基本要素――目标指向的对象；学习活动；学习结果。但描述学习活动需要说明学习的载体、活动的方式等。评价学习结果需要说明特定的限制和达到的程度。因此，根据教学目标的详略其组成要素又有三要素说、四要素说、五要素说等。一般地，在不会引起误解或多种解释的前提下，目标指向的对象可以省略；由于获得学习结果往往需要多项学习策略，为避免教学目标的复杂性表述学习活动一般不具体（甚至可以省略）。因此，一般地，一条教学目标包含4个要素：学习活动（策略性的，用行为动词来界定）；学习结果（教学目的，用性能动词来界定）；特定的限制（评价学习结果所需要的特定限制）；达到学习结果的程度（学习之后预期达到的最低表现水准）。从教学目标的组成要素可以看出：教学目标是教学目的的具体化――目的只是一般的意向或意图，它只表达了“学什么”，但它没有表达“怎样学”和“学到什么程度”；目标不但表达了“学什么”，也表达了“怎样学”和“学到什么程度”.
问：根据教学目标的定义，学习结果是教学目标的基本成分。怎样确定学习结果？
答：先析出教材涉及的课程内容；再论证并解析获得课程内容的认知过程及认知条件；然后按学习结果分类理论确定涉及的学习结果。其具体操作方法如下：
（1）析出教材涉及的课程内容。析出教材涉及的课程内容就是根据课程内容的含义从章节核心概念的概念体系中抽出本节课涉及的课程内容。例如，“认识三角形（第1课时）”涉及的课程内容有：三角形的产生方法及三角形与线段和三角形与生活中三角形的关系；三角形的概念（包括定义、组成要素和表示三角形的符号）及定义三角形的步骤和蕴涵的归纳思想与发现几何图形特征的经验；三角形的“角角关系”及三角形的分类表示、三角形的“边边关系”及三条线段构成三角形的条件，及研究三角形性质的过程和蕴涵的数形结合思想、分类讨论思想、符号表示思想等与从运算角度发现与提出问题和从逆命题角度发现和提出问题的经验；用三角形的有关知识解决有代表性的问题及解题的过程和蕴涵的演绎思想等与判断三条线段构成三角形的经验等。内容之间的逻辑关系可用图1表示.图1“认识三角形（第1课时）”主要内容及其逻辑关系（2）论证并解析认知过程及认知条件。论证认知过程及认知条件就是运用学习任务分析理论，分析获得主要课程内容（特别是概念、性质）的认知过程及认知所需要的必要条件和支持性条件。认知过程是指获得有关课程内容的步骤。必要条件是学习中不可缺少的条件――学习新知识必须具备的先决条件；支持性条件是对学习起“催化剂”作用的条件――数学认知策略、数学思想方法、数学活动经验、态度等。解析认知过程及认知条件就是说明认知过程和蕴涵的数学思想方法的价值。例如，获得三角形概念的认知过程和认知所需要条件的分析结果可用图2表示.图2三角形概念学习分析结构图从图2可以看出：获得三角形概念的基本步骤是：①用适当的方法产生特定的三角形或有代表性的三角形；②观察特定或有代表性三角形的特征；③归纳或演绎三角形的本质特征；④用文字语言定义、用符号语言表示、说明组成要素等。获得三角形概念的支持性条件是：①发现几何图形特征的经验；②归纳思想（或演绎思想）；③定义几何图形的经验。获得三角形概念的必要条件是：三条线段拼接三角形的经验，或生活中三角形到数学中三角形的抽象经验。由于产生三角形有两种可行的方法，所以选择哪种方法需要价值分析：这第①种方法符合认知同化理论和几何发展规律，并且暗示了数学中三角形与生活中三角形的关系，但教师演示学生观察的方法学生思维含量不高，也容易导致学生“生活中三角形”与“数学中三角形”相混淆。这第②种方法符合认知同化理论和几何发展规律，并且暗示了三角形的本质特征，也是画三角形的基本方法。由此可见，采用线段拼接的方式产生三角形更能反映数学的本质。由于定义三角形的步骤和蕴涵的数学思想及发现三角形特征的数学活动经验对学习其它几何图形有指导作用，观察并归纳三角形的共同特征有能力发展点、个性和创新精神培养点，所以定义三角形的步骤和蕴涵的数学思想及数学活动经验应列入课程内容，并成为教学目标的有机组成部分.
（3）按学习结果分类理论确定涉及的学习结果。一般地，全部学习结果包括知识、技能、情感态度与价值观三个方面。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）把学习结果分为“结果性”学习成果和“过程性”学习成果两类。“结果性”学习成果包括四种类型的知识（事实性知识、概念性知识、程序性知识、元认知知识）和四个层级的智慧技能（知识技能、理解概念、运用规则、解决问题）。“过程性”学习成果包括数学思考、问题解决、情感态度――在数学结果形成与应用过程中的数学抽象、数学推理、数学思维等；从数学角度发现和提出问题及分析和解决问题等；在反思学习过程和学习结果中，体会认知过程和蕴涵的数学思想，体验解决问题方法的多样性，体会数学的特点和了解数学的价值等；在数学活动的过程中，积极参与数学活动，有“认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑”的良好学习习惯等。例如，“认识三角形（第1课时）”的“结果性”学习成果有：事实性知识――三角形的名称、组成要素，表示三角形的符号；概念性知识――三角形的概念，三角形三个内角之和等于180°和三角形任意两边之和大于第三边等的性质，三条线段能组成三角形的条件；程序性知识――产生三角形的方法，定义三角形的步骤，研究三角形性质的方法，用有关知识解题的方法等；元认知知识――研究三角形的策略和蕴涵的数学思想及发现几何关系和判断给定三条线段能否构成三角形的经验等。知识技能――用符号和字母表示三角形，在具体情境中识别三角形，用三角形的角角关系进行计算等；理解概念――三角形的分类表示，三角形与线段和三角形与生活中三角形的关系，用三条线段构成三角形的条件判断给定三条线段能否构成三角形；运用规则――用定义几何图形的经验定义三角形，用三角形的边边关系进行大小比较；解决问题――观察基础上归纳三角形的特征，用合情推理发现三角形的性质和用演绎推理说明三角形的性质，从运算的角度发现并提出三角形两边之差小于第三边，从逆命题的角度发现并提出三条线段能构成三角形的条件，用三角形的有关性质解决简单的实际问题。其“过程性”学习成果可能有：发现三角形特征和生成三角形性质中的个性化想法；反思三角形概念和性质形成过程中的个性化体验（特别是定义的步骤和研究的方法及蕴涵的数学思想）；参与定义三角形活动和探索三角形性质中的个性化表现（积极参与讨论并敢于发表观点等）和对学习三角形意义的感触等.
问：根据教学目标的定义，学习结果暗含认知要求。怎样确定认知要求？
答：先解析课程内容的地位与作用；再查阅《课标（2011年版）》中学段目标和教学参考书设置的章节目标；然后结合学生现实确定学习结果的认知要求。其具体操作方法如下：
（1）解析课程内容的地位与作用。解析课程内容的地位就是说明研究对象在数学体系中的位置、研究内容在解决数学内部和外部问题中的作用、研究方法对进一步认识数学的影响。解析课程内容的作用就是说明教学对学生理解数学地认识问题和解决问题的方法的作用、蕴含在知识背后的思想方法和数学活动经验等对发展学生智力的作用、数学活动过程对发展学生能力和个性的作用。例如，“认识三角形（第1课时）”，其地位是：三角形是基本图形，是平面几何的重要研究对象；日常生活中经常采用三角形的结构，利用三角形的性质能解决许多数学内部和外部中的问题；研究三角形的“基本套路”、定义三角形的步骤和研究三角形性质的方法对研究其他几何图形有示范作用。其的作用有：通过教学能使学生理解数学地认识几何问题的思维模式和解决问题的方法；其蕴涵的数学思想方法和数学活动经验对发展学生的智力有积极的影响；其蕴涵的理性思维过程对发展学生的能力和个性也有积极的影响.
（2）查阅《课标（2011年版）》中学段目标和教学参考书设置的章节目标。《课标（2011年版）》体现了国家对义务教育阶段数学课程的基本规范和质量要求，是国家管理和评价义务教育数学课程的基础，也是教材编写、教学、评估和考试命题的依据。因此，所有教学活动都应该而且必须基于《课标（2011年版）》展开。教学参考书设置的章节目标是《课标（2011年版）》学段目标的下位目标，是编者根据《课标（2011年版）》学段目标按“知识与技能+认知过程”两个维度进行细化的结果，在设置教学目标时有一定的参考价值。例如，“认识三角形”在《课标（2011年版）》中的学段目标是：理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。探索并证明三角形的内角和定理；掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形的任意两边之和大于第三边。“认识三角形”在教学参考书设置的章节目标是：体验并理解三角形概念；经历并掌握三角形的表示方法；体验并理解三角形两边之和大于第三边；探索并掌握三角形三个内角的和等于180°及其推论；探索并运用三角形的边和角的性质解简单的几何问题；经历并了解三角形的分类.
（3）结合学生的现实确定学习结果的认知要求。学生的现实是指学生已有的知识与经验状况，它是贯彻“个性化”和“针对性”思想的前提。如果学生数学基础较好，则其教学要求可以比《课标（2011年版）》的要求适当提高；如果学生数学基础较差，则其教学要求不能随意提高。例如，“认识三角形（第1课时）”，尽管其学习结果有较高的价值并且学生在小学阶段对三角形已有一些感性认识，但《课标（2011年版）》对“认识三角形”的教学要求已经比较高了，对大部分学生来说只要达到《课标（2011年版）》的要求即可。然而，尽管《课标（2011年版）》给出了刻画学习结果的性能动词，但这些性能动词仍然比较概括、抽象，不能满足准确刻画学习结果的需要。例如，“了解”、“理解”属于内隐的心理活动动词，应将其转换为相应的外显动词以满足准确刻画学习结果的需要。一般地，了解对应的性能动词有：能（陈述、再认、区分、识别、告诉、界定等）――了解所要解决的是“知”与“不知”的问题，即只要求“知其然”，知道“是什么”；理解对应的性能动词有：能（说明、阐明、举例、描述、解释、判断、转换、表示、分类、辩护、领会等）――理解所要解决的是“懂”的问题，即要求“知其所以然”，知道“为什么”；掌握对应的性能动词有：会（表示、计算、推理、画图、操作、测量、执行、演示等）――掌握所要解决的是“会”与“不会”的问题（具有一定的方法和步骤）；运用对应的性能动词有：会（解释、判断、运算、推理、论证、生成等）――运用所要解决的是“熟”与“不熟”和“活”与“不活”的问题（需要综合运用有关知识，选择或创造适当的方法解决问题）。例如，“理解三角形的概念”可以具体分解为：能结合图形说出三角形的组成要素与相关要素，能陈述三角形的特征和三角形与线段和三角形与生活中三角形的关系，会用文字、符号和字母表示三角形，会用三角形的定义进行判断与推理，能说出定义三角形的步骤和体会蕴涵的归纳思想等.
问：根据教学目标的定义，学习活动是教学目标的组成要素。怎样选择活动方式？
答：一般地，学习有这样一些基本的行为方式：①视，即看、观察；②听，即倾听；③读，包括有外部语言的读和没有外部语言的读；④做，即动手操作，包括列表、排序、画图、测量、计算、解答、化简、证明等；⑤思，即思考、思辨、分析、比较、抽象、概括、综合、演绎、归纳、类比、判断、推断等；⑥议，包括说、论、评，即描述、论述、讨论、交流等，总之是口头的表达。《课标（2011年版）》根据数学学科的特点将数学活动概括成有层次的三种形式：①“经历……过程”。其活动的内容是借助已有的知识与经验从数学角度认识与研究对象有关的“生活题材”或“数学题材”；其活动的形式主要是有指导地“视”、“听”、“读”、“做”等；其活动的目的是：从“生活题材”或“数学题材”中抽象出研究对象，并获得对象的一些感性认识。②“参与……活动”。其活动的内容是借助认知同化理论认识或验证对象的特征；其活动的形式主要是主动地“视”、“做”、“思”等；其活动的目的是：初步认识对象的特征及认识对象特征的一些经验。③“探索……关系”。其活动的内容是运用数学推理方法研究对象的特征、性质，或数学规律、数学方法、数学问题、数学结论等；其活动的形式主要是独立或与他人合作进行“视”、“做”、“思”、“议”等；其活动的目的是：理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识。这三种数学活动方式分别用行为动词“经历”、“参与”、“探索”来界定。选择活动方式就是依据“知识与技能”的地位与作用和获得“知识与技能”的认知过程和蕴涵的数学思想方法等的价值，按《课标（2011年版）》的观点选择合适的数学活动方式以落实全面、和谐发展的教学目标。例如，由于定义三角形的步骤和蕴涵的数学思想对认识其它几何图形有指导作用，观察并归纳三角形的特征有能力发展点、个性和创新精神培养点，所以“三角形概念”的教学应选择学生参与定义三角形活动的数学活动方式.
问：根据教学目标的定义，规范的教学目标需要对学习结果附加特定的限制和说明表现的程度。怎样附加特定的限制和说明表现的程度？
答：对学习结果附加特定的限制和说明表现的程度是满足教学评价的需要。表述评价学习结果所需要的特定限制有四种类型：一是关于使用辅助手段，如“可以带计算器”或“允许上网查阅”；二是提供信息或提示，如“类比发现三角形性质的经验，能给出平行四边形的两条性质”等；三是时间的限制，如“在5分钟内，能……”等；四是完成行为的情境，如“在课堂讨论时，能叙述……的要点”。目标的表现程度是指学生学习之后预期达到的最低表现水准，它只是说明目标所指向的这一群学生最起码达到的标准，而不代表所有学生真正获得的真实的教育结果。刻画行为表现程度可用多种方式来表达所有学生的共同程度。如练习中做对题目的数量（如演示10道计算题至少对8题）；连续正确题目的数量或者连续的无误行为；以一定精确水平的完成（如正确地、精确地、准确地、正确率达80%以上等）；以一定熟练水平的完成（如熟练地、自然地等）；…….
问：表述教学目标有哪些原则？怎样按规范表述教学目标？
答：表述教学目标有这样一些原则：①目标应陈述预期学生学习的结果，即目标的主体是学生而不是教师。②目标陈述应有助于“导学、导教、导测评”。“导学”就是目标能明确告诉学生，通过学习，他应该学会做什么；“导教”就是目标应暗含要教会学生哪些知识与技能及认知策略等；“导测评”就是目标应暗含观察学生学习结果的条件。③目标中应暗含适当的分类框架。例如，“认识三角形（第1课时）”，按这样的表述原则及教学目标的定义，其教学目标可以表述为：①经历产生与感悟三角形的过程，能说出两种产生三角形的方法，能感受三角形具有丰富的现实情景。②参与定义三角形的活动，能陈述三角形的本质特征和定义三角形的步骤，能结合图形指出三角形的边、内角等，会用符号和字母表示三角形。③探索三角形的性质，能发现并提出“角角关系”和“边边关系”并能说明结论成立的理由，能发现并提出三条线段能构成三角形的条件，会对三角形进行合理分类，能感受蕴涵的数学思想和从运算角度思考、从逆命题角度思考分别是发现并提出几何命题的方法；④参与尝试有关知识应用的活动，能在具体情境中识别三角形，能用三角形的有关性质进行简单的计算、比较大小等，能用三条线段构成三角形的条件判断给定三条线段能否构成三角形.
这个教学目标体现了教学的结构、数学活动的类型、具体的任务和要求等，并且暗含着以教学顺序作为教学目标的分类标准，能起“导教”、“导学”和“导测评”的作用.
以上几个问题虽不十分系统，回答可能也不全面。但对帮助教师理解教学目标和掌握设置教学目标的方法有积极作用，对消除当前教学决策随意性和盲目性的现象也有积极影响.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部。义务教育数学课程标准（2011年版）[S]。北京：北京师范大学出版社，2012.
与三角形有关的线段范文第4篇
教学片段分析：
问题（1）方法引领
如图1所示，在等边三角形ABC内有一点P，连接AP、BP、CP，∠APB=150°，求证：PC2=AP2+PB2。
小明思考后发现，可以将ABP绕点A逆时针旋转60°得到 ACP′，连接PP′，可以利用“旋转”和全等的知识得到两个特殊的三角形，从而将问题解决。
【自学指导】
小组合作学习讨论下面的思考问题，完成证明过程。
1.小明为什么会想到“旋转”三角形？根据哪些已知条件可以用旋转？旋转角是多少？
因为有公共端点的相等线段AB=AC，旋转后AB会与AC重合。旋转角为60°。
2.为什么要旋转？（旋转的作用是什么）
因为旋转前后图形全等，所以通过旋转可以转移相等的线段、相等的角，可以将分散的线段转移在同一个三角形中。
3.为什么旋转60°？旋转60°后得到什么三角形？
因为旋转60°后，AB和AC重合，同时∠PAP′=60°，会出现等边三角形，从而转移相等线段。
【解题思路点拨】
由结论入手
【方法点拨】
1.构造旋转图形的前提条件是什么？
有共端点的等线段。
2.遇到有60°的等线段，如何旋转？
若遇60°，可旋60°，构造新等边三角形。
3.旋转的作用是什么？
转移线段、转移角。可以将分散的线段转移在同一个三角形中。
4.通过旋转图形，可以解决什么问题？
解决有关“线段之间数量关系”的问题。
问题（2）实践探索
如图2所示，A、B、C、D、分别是圆O上的点，AB是圆O的直径，点C是弧AB中点，求证：（AD+BD）2=2CD2
【自学指导】
小组合作学习讨论下面的思考问题：
1.看到结论（AD+BD）2=2CD2，你想到了什么知识？
勾股定理中直角三角形三边关系。
2.你认为利用什么方法可以将AD、BD、CD转移到同一个三角形当中？
利用旋转三角形，转移线段转移角，将分散的线段转移到同一个三角形当中。
3.请画出图形，分析解题思路。
【师友展示要求】
学友：讲解解题思路。学师：解答思考问题。
思考：此题BD、CD、AD还有怎样的等量关系？为什么？
【方法点拨】
遇到有90°的等线段，如何旋转？
若遇90°，可旋90°，构造新直角等腰三角形。
问题（3）拓展提升
已知：如图3所示，A、B、C、D分别是圆O上的点，AD是∠CDB 的平分线，且∠CAB=α（α为钝角），请问BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明。
自学指导：参考前两问的学习，思考解题思路并画出图形。小组合作讨论解题方法。
【方法点拨】
遇到一般的等腰三角形，如何旋转？
与三角形有关的线段范文第5篇
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2013）07A-0056-03
我们知道，一堂数学课的成功与失败的关键在于这节课教学重难点的操作环节是否落到实处。换言之，也就是教师在精心选择材料与用心构思过程中，是否能寻找到适合孩子认知原基础与新动力的平衡点，让这样一个个点串成线，线连成面，面构成体，逐步推动重点、难点的落实与突破。因此，本文想以“三角形的认识”一课教学为例，谈谈数学课堂教学展开环节操作的几个要素。
一、以“退”为“进”重联系
据美国心理学会关于学生学习心理因素和学习原理的分析：成功的学习者能以有意义的方式把新知识与已有的知识联系起来。那么，学生有意义的学习方式需要的就是教师的逐步引导与示范，教师首先要用“联系”的观点来思考与教学，才会引导孩子去做学习的成功者。
比如《三角形的认识》一课教学中，学习的难点就是“高”的意义理解和不同三角形的“高”的画法，拓展点是“等底等高的三角形面积相等”的关系理解。传统教学中高的画法，一般以分步骤、块状式来夯实高的作法（即一定程度上的学法指导），这是传统课堂中较成功的一面，也是值得一线教师继承的。但是这些成功的教学范例中，设计者对三角形高画法的知识原点在哪里，锐角、直角、钝角三角形高的作法的横向沟通以及动态变化过程让学生去经历、体验与感悟它们之间的必然联系，是存在一些缺憾的。因此，应该考虑新旧知识之间的“退”与“进”的关系，在新旧知识的“退”与“进”中建立一种联系，以此启发思维，促进有效学习。大致可以这样来操作：
片段一：
1旧知回顾
师：请按要求进行练习。
要求：（1）过A、B两点画一条直线。
（2）从直线AB外一点C，画出C到直线AB的距离。
师：请同学们说一说，从直线AB外一点C到直线AB的距离，是怎么画的？
生：从C点向直线AB画垂直的线段，就是C点到直线AB的距离。
师：要求同桌说一说。（板书：垂直线段）
（3）过直线外一点C画直线AB的平行线。
师：如果C点可以在直线AB的平行线上左右移动的话，请你按下列要求完成练习。
（4）在直线AB的平行线上任取两点C1，C2，画出他们到直线AB的距离。
师：请问直线AB的平行线上任取一点，它到直线AB的距离如何，为什么？
生：长度相同，因为平行线间距离处处相等。
2引入课题
师：如果用直线连接AC、BC、AB，那么AC、BC、AB间的部分叫什么？（教师边连接边提问。）
生：线段AC、BC、AB。
师：这时候就形成一个什么图形？
生：三角形。
师：今天我们就来研究三角形。（板书：三角形的认识）
……
片段二：
反思三角形高的形成。
师：（指着黑板中三角形ABC内的一条线段，即点C向直线AB画的距离）该线段是怎么画出来的？
生：这条线段是点C到直线AB的距离。
师：点C到直线AB的距离是怎么画的呢？
生：从点C到直线AB画垂直线段。
（师：板书：垂直线段，并要求学生同桌互说。）
师：从点C到直线AB画垂直线段，线段AB是直线中的一部分，也可以说点C到线段AB画垂直的线段，因为线段AB又是三角形ABC中的一条边，所以也可以说C点到AB边画的垂直线段。请同学们说一说：C点到AB边画垂直的线段有哪些？
（同桌交流。）
师：C点到三角形ABC的AB边画垂直的线段，这条垂直的线段就叫做AB边上的高，边AB可以说是三角形的底，并请同桌说一说。
（同桌交流。）
……
以上教学先画出点到直线的距离（先入为主）――画平行线之间的距离（一箭双雕）――三角形的形成――反思“高”的形成――理解意义（水到渠成）。在整个学习的过程中，将与三角形有关的前后联系的知识点有效地串了起来。由此也播下了一颗智慧的种子：当碰到新知识的时候，我们可以从寻找与此有联系的旧知识入手来展开学习。这种学习数学的思想方法是靠老师的传授无法实现的，它是一种潜移默化式的有意渗透。
二、“慢”中追“远”求发展
荷兰的范希尔理论指出，学生几何思维水平的发展是循序渐进的，要在特定的水平顺利发展，必须掌握前一个水平的各个概念和策略。用此理论来解释本课的教学，也就是在回顾旧知建立联系时可以快，在探索新知理解新授内容时就一定要慢；在学生容易学会的地方要快，在学生难以理解的地方要慢。这样不但能帮助学生更好地理解新知识，更能为以后的学习奠定扎实的基础。因此，教师在教学过程中，放慢脚步来引导学生体验非常关键。
片段三：三角形概念的形成
师：请同学们利用自己以前对三角形的认识和刚才看到老师画三角形的过程，说说下列图形哪些是三角形，哪些不是三角形，为什么？
1媒体出示图形1：
生（大多数）：不是三角形。因为三角形三条边必须是直的线段，而这个图形中有一条边是弯曲的，所以它不是三角形。
师：你们意思是说三角形是由三条线段围成的图形。（板书：三条线段围成的图形）
2媒体出示图2：
生（大多数）：该图形不是三角形，因为三条线段头尾没有相连接一起。
（师拖动鼠标在媒体上指出同学说的意思，并完整说出三角形的概念：三条线段头尾相连围成的图形叫三角形。补充板书：头围相连）
师：同桌说一说三角形的概念。
3媒体出示图3
生：是三角形。
师：请大家说一说，读一读三角形概念。
4媒体出示图4
生：不是三角形。
师：你们能想办法把它变成三角形吗？
生：缩短或延长其中一条线段，让三条线段头尾相连就形成三角形了。
……
片段四：三角形高的画法
1高的规范画法
师：高的线段有特别要求，需用虚线来表示，请同学们用橡皮擦去刚才AB 边上的高，然后用虚线画出来。
（生规范画高。）
2教师引导学生画边AC、BC上的高
师：请你们猜一猜，三角形ABC有三条边，其中AB边上有高，那么另外两条边AC、BC有没有高呢？
生：有！（集体）
师：完全正确。那么AC、BC边上的高怎么画呢？你们可以自己试着画一画。
（生试着画边AB、AC上的高。师巡回指导收集信息。）
师：从刚才的操作中，可以看出大部分同学已经掌握了三角形高的画法，但还有少部分同学没掌握，下面请几位同学来交流交流。
生1：我根据AB边上的高的画法，推测到BC边上的高应该是从A点向边BC画垂直的线段。
生2：我的想法也和这位同学一样，AC边上的高应该是从B点向边AC画垂直的线段。
（师板书：B―AC，A―BC，要求学生说一说AC、BC边上高的画法，并示范画高。）
（生反思纠正。）
3合作练习
师（出示三角形）：请同桌指定一条边作为三角形的底，让另一人画出对应的高。如果同桌有困难，请及时帮助。两人轮换进行。
在三角形概念形成的教学中，教师出示了与之相反的三种错例来突出“头尾相连”的重要性；在理解高的意义和画高的教学中，教师不断地引导学生进行“操作――交流――再操作――再交流”，让学生的思维一直处于兴奋状态，通过探索与合作让学生的学习主动性发挥到极致。在接下来的教学中（片段五、片段六），体验锐角、直角与钝角三角形的高时，教师又慢了下来，通过“动态演示――问题驱动――静态想象――观察感悟”来夯实基础、培养能力、发展空间观念。
三、“稳”中求“变”促提升
心理学家提出了记忆的精加工策略，他们认为，通过变式，儿童掌握了这一规则，改进了记忆，则儿童掌握了精加工策略。数学教学中的变式训练，主要是指对例题、习题进行变通推广，使学生在不同角度、不同层次、不同背景下重新认识原数学问题，把学生的知识、能力、思想引入纵深，从而提高教学效率，培养学生的自主学习能力。
片段五：体验锐角、直角、钝角三角形高的变化及联系情况（借助媒体）
1.媒体出示图形
师：（借助媒体讲解）三角形ABC的AB边上的高，是C点向边AB作垂直的线段，与AB相交的点称为垂足点，角A是什么角？（锐角），显然的，这时三角形ABC的边AB上的高是在三角形里面还是外面？（里面）
师：如果三角形ABC的顶点C可以在直线AB的平行线上左右移动的话，当C点往右移动到另一个位置时，就可以形成一个新的三角形（媒体出示），并请同学在脑子中画出AB边上的高。
师：请同学们说一说，这时高的垂足点相对于原三角形底边AB高的垂足点，是离B点近了还是远了？角B的变化情况呢？
（生观察感悟，并说说。）
2.体验直角三角形直角边上的高
师：（媒体继续演示）如果C点继续不断往右移动就会不断形成新的三角形，那么AB边上的高的垂足点就会不断靠近B点，最后将会和B怎么样呢？
生：重合。三角形ABC就是直角三角形，这时三角形ABC边AB上的高是另一条直角边BC。
3.体验钝角三角形钝角边上的高
师：请同学们顺着刚才的思考，继续大胆推理，如果C点继续往右移动（媒体演示），这时形成新的三角形是什么三角形呢？
生：钝角三角形。
师：请大家大胆说说，这时AB边上的高还会不会在三角形ABC里面呢？（集体表决）
（让学生在头脑中“画”高。）
（生举手表决，绝大部分同学表决是和屏幕上一致的。）
（4）C点向左移动形成锐角、直角和钝角三角形的对应高的变化情况体验。（略）
片段六：观察体验三角形的等底等高规律
师：C点在直线AB的平行线上左右移动不断移动到新的位置上，就会不断形成新的三角形，底边AB一直没有变化，那么每个三角形底边AB上的高的长短会怎么样呢？
生：长短都相等。
师：为什么？
生：平行线间距离处处相等。
……
