双曲线的定义

前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇双曲线的定义范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。

双曲线的定义范文第1篇

1 找出已知椭圆的对称轴、顶点和焦点

步骤如下：

图1

1.利用文[1]的方法找到椭圆的中心O;

2.如图1，在椭圆上任找一点A（不是椭圆的

顶点），以O为圆心，OA为半径作圆，该圆与椭圆

的其余三个交点分别为B、C、D;

3.连接AB、AD，过点O分别作AB、AD的

平行线，得到直线l1、l2，则直线l1、l2就是椭圆的

两条对称轴;

4.直线l1与椭圆交于E、F两点，直线l2与椭圆交于G、H两点，则E、F、G、H是椭圆的四个顶点;

5.比较OE与OG的大小，若OE>OG，则EF是长轴，GH是短轴;若OE<OG，则EF是短轴，GH是长轴（图1中OE<OG，所以EF是短轴，GH是长轴）;

6.以E为圆心，OG为半径作圆，与直线l2交于F1、F2两点，则F1、F2就是椭圆的两个焦点.

备注 若点A恰好是椭圆的顶点，则该圆与椭圆只有两个交点（其中一个是点A），此时，可对点A进行调整，使得点A不是椭圆的顶点.

下面给出该作法的证明.

证明 如图1，不妨设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），点A的坐标为x0，y0，其中x0≠±a且x0≠0，于是圆的方程为x2+y2=x20+y20.由于椭圆和圆都关于x轴、y轴、原点对称，所以点B、C的坐标分别为x0，-y0、-x0，-y0，于是直线AB、AD的方程分别为x=x0、y=y0，所以直线l1、l2的方程分别为x=0、y=0，所以直线l1、l2就是椭圆的两条对称轴.

因为OE=b，EF1=a，所以OF1=EF12-OE2=a2-b2=c，同理，OF2=c，于是F1、F2是椭圆的两个焦点.

2 找出已知双曲线的对称轴、顶点和焦点

步骤如下：

图2

1.利用文[2]的方法找到双曲线的中心O;

2.如图2，在双曲线上任找一点A（不是双曲线的

顶点），以O为圆心，OA为半径作圆，该圆与双曲线

的其余三个交点分别为B、C、D;

3.连接AB、AD，过点O分别作AB、AD的平

行线，得到直线l1、l2，则直线l1、l2就是双曲线的两条对称轴;

4.直线l2与双曲线交于E、F两点，则E、F是双曲线的两个顶点;

5.以O为圆心，OE为半径作圆C1;

6.过点D，利用文[3]的方法作双曲线的切线l3，与C1交于点G;

7.过点G作l3的垂线，交l2于点F2，作点F2关于直线l1的对称点F1，则点F1、F2就是双曲线的两个焦点.

备注 若点A恰好是双曲线的顶点，则以O为圆心，OA为半径的圆与双曲线只有两个交点（其中一个是点A），此时，可对点A进行调整，使得点A不是双曲线的顶点.

关于双曲线的顶点、对称轴的证明方法与椭圆的证明类似，此处不再赘述.下面证明F1、F2是双曲线的两个焦点.

证明 如图2，不妨设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），点D的坐标为x0，y0，其中x0≠±a，点G的坐标为m，n.

因为点D在双曲线上，所以x20a2-y20b2=1，即

x20=a2+a2y20b2………①.

点G在圆C1上，所以m2+n2=a2………②.

切线l3的方程为x0xa2-y0yb2=1，而点G在l3上，所以mx0a2-ny0b2=1，即b2mx0-a2ny0=a2b2，两边平方，化简可得

2mnx0y0a2b2=b4m2x20+a4n2y20-a4b4………③.

因为GF2l3，所以直线GF2的斜率为-a2y0b2x0，所以直线GF2的方程为y-n=-a2y0b2x0x-m，令y=0，可得点F2的横坐标为xF2=b2nx0+a2my0a2y0，平方可得x2F2=b4n2x20+a4m2y20+2mnx0y0a2b2a4y20，将③式代入该式子，可得

x2F2=b4n2x20+a4m2y20+b4m2x20+a4n2y20-a4b4a4y20=b4m2+n2x20+a4m2+n2y20-a4b4a4y20.

将②式代入，可得

x2F2=a2b4x20+a6y20-a4b4a4y20.

将①式代入，可得

x2F2=a2b4a2+a2y20b2+a6y20-a4b4a4y20

=a4b4+a4b2y20+a6y20-a4b4a4y20

=a4b2y20+a6y20a4y20

=

a2+b2=c2，所以xF2=c，于是点F2是双曲线的右焦点，从而点F1是双曲线的左焦点.

3 找出已知抛物线的焦点

步骤如下：

1.利用文[2]的方法找到抛物线的顶点O和对称轴l;

2.如图3，在抛物线上任找一点A（不是抛物线的顶

点），过A作ABl于点B，作点B关于顶点O的对称点

C，连接AC;

3.过点A作ADAC，交对称轴l于点D;

4.取CD中点为F，则点F就是抛物线的焦点.

下面给出该作法的证明.

图3

证明 不妨设抛物线的方程为y2=2px（p>0），点A的坐标为x0，y0，其中x0≠0，则点B的坐标为x0，0，点C的坐标为-x0，0.于是直线AC的斜率为y0-0x0--x0=y02x0，直线AD的方程为y-y0=-2x0y0x-x0.令y=0，可得x=x0+p，所以点D的坐标为x0+p，0，所以CD中点F的坐标为p2，0，所以点F就是抛物线的焦点.

参考文献

[1] 张伟.使用几何画板如何找出已知椭圆的中心[J].中学数学杂志，2014（7）：23.

[2] 黄伟亮.使用几何画板找出双曲线的中心和抛物线的焦点[J] .中学数学杂志，2015（3）：65.

双曲线的定义范文第2篇

【关键词】易错点；限制条件；焦点位置；隐含条件；一个公共点的特殊情况

在学习新教材选修2-1中的圆锥曲线内容时，学生感觉还是比较困难，通过对学生的调查了解，主要有两个方面的问题，一是此部分涉及的计算量比较大；二是有许多易错的地方会使学生不小心掉入陷阱。对于第一个问题，大家的共识是只有做题时养成不“跳步”的习惯、计算时能注意掌握一些解题技巧，就可以解决；对于第二个问题，大家感觉还是比较头疼。为了更好的帮助大家解决这个问题，我们进行了如下的归纳和总结。

一、在对椭圆的学习中，要注意以下易错点：

1、注意椭圆定义的限制条件。

问题1.若方程表示椭圆，求实数k的取值范围。

错解：实数k的取值范围是（5，7）。

正解：且，实数k的取值范围是。

分析：此题要考察的是对椭圆的标准方程的理解，错解中忽略了椭圆的标准方程中的限制条件：a>b>0， 因为当a=b>0是方程表示圆，而不是椭圆。可见，准确的理解椭圆的定义，注意定义中的限制条件，对于避免和减少解题过程的失误，保证解题的正确性很重要。

2、注意椭圆焦点位置的讨论。

问题2.已知椭圆的标准方程为并且焦距为6，求实数m的值。

错解：由椭圆的标准方程知

，

。

正解：

1）当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知

，

；

2）当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知，，，又；故或。

分析：当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解中忽略了对椭圆的焦点位置的讨论。可见，涉及圆锥曲线方程的问题，如果没有指明焦点所在的位置，一般都会有两种可能的情况，不能顺着思维的定式，想当然地认为焦点在x轴上或y轴上去求解。

3、注意椭圆的范围的讨论。

问题3.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到椭圆的最远距离是，求椭圆的标准方程。

错解：设椭圆方程为

，

则，，

即.设椭圆上的点到P点距离为d，

则

.

当时，有最大值，从而也有最大值，

，

所求椭圆的标准方程为.

正解：设椭圆方程为，

则，，

即.设椭圆上的点到P点距离为d，

则

.

若，则当时，有最大值，从而d有最大值，于是，从而解得与矛盾。

必有，此时当时，有最大值，从而d也有最大值，，所求椭圆的标准方程为.

分析：在错解中“当时，有最大值”这一步的推理有问题，没有考虑椭圆方程中的取值范围。仔细思考，由于点在椭圆上，所以有，因此在求的最大值时，要分类讨论。

二、在对双曲线的学习中，要注意以下易错点：

1.注意双曲线定义的限制条件。

问题1.已知，，动点P满足，当a为3和5时，P点的轨迹分别是（ ）

A.双曲线和一条直线；B. 双曲线和一条射线；C.双曲线的一支和一条直线；D.双曲线的一支和一条射线；

错解：10，当时，，故P点的轨迹为双曲线；当时，10，故P点的轨迹为一条射线。故选B.

正解：，而不是，当时，，故P点的轨迹为双曲线的一支；当时，10，故P点的轨迹为一条射线。故选D.

分析：错解中忽略了双曲线定义中的限制条件是“差的绝对值”，因此，当时，P点的轨迹为双曲线的右支。大家解题时要注意：当，即时，P点的轨迹是双曲线，其中，取正号时为双曲线的右（上）支，取负号时为双曲线的左（下）支；当时，P点的轨迹是分别以点或为端点的两条射线；当时，P点的轨迹不存在。

注意方程表示双曲线的条件问题。

问题2.若方程表示双曲线，求实数m的取值范围。

错解：。

正解：或

分析：错解中只考虑了双曲线焦点在x轴的情况，忽略了焦点在y轴的情况，与椭圆中类似，在不确定焦点位置时，需要分类讨论。

3、注意双曲线中的隐含条件问题。

问题3.已知P是双曲线上一点，，是双曲线的左右焦点，且，求的值。

错解：，

且，.

正解：10由双曲线的图形可得点P到右焦点的距离.又，且，（舍去）或.

分析：错解中忽略了双曲线中的一个隐含条件，即双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于，从而两解中要舍去不满足要求的那个。这是许多学生解题中容易出错的地方。

4、注意双曲线的焦点位置的讨论。

问题4.已知双曲线的渐近线方程是，焦距为，求双曲线的标准方程。

错解：双曲线标准方程为：。

正解：1）当双曲线的焦点在x轴上时，

双曲线标准方程为：；

2）当双曲线的焦点在x轴上时，

双曲线标准方程为：；

故所求双曲线的标准方程为：或

分析：这里错解的原因还是没有弄清双曲线的焦点在哪个轴上，需要注意的是：当焦点在x轴上时，

渐近线方程为：；当焦点在y轴上时，

渐近线方程为：。

5、注意直线与双曲线有一个公共点的特殊情况。

问题5：已知过点P（1，1）的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的斜率的取值。

错解：由题意，则：，

有：

。

正解：由题意，则：，

有：

若，此时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；

若，则

综上可知，直线的斜率为。

分析：错解的原因是忽略了直线与双曲线的渐近线平行时，也是直线和双曲线只有一个公共点的情况；从方程解的情况来看，也没有注意当形如二次方程时若二次项系数不确定时，需要进一步的讨论。

在对抛物线的学习中，要注意以下易错点：

1、注意抛物线定义中的限制条件。

问题1.已知点P到的距离与到直线的距离相等，求点P的轨迹方程。

错解：由抛物线定义知，点P的轨迹为抛物线。焦点在x轴上，开口向右，焦点到准线的距离，抛物线的方程为.

正解：设点，

依题意有：，此为所求的轨迹方程。

分析：点P到的距离与到直线的距离相等，的确满足抛物线的定义，但是，故此时抛物线的方程不可能是标准方程。这里，要特别注意分析定点和定直线是否处于轴的对称的两侧，若是，则很可能是标准方程；否则，应该用求轨迹方程的定义法来求解。

2、注意弄清抛物线中的字母位置和意义。

问题2.若抛物线的准线方程是，求的值。

错解：准线方程为，.

正解：由.

分析：这里主要的错因是：没有正确的理解抛物线标准方程的形式，应该是等式左端为二次项且系数为1，等式的右端为一次项。大家解题时一定要注意。

注意直线与抛物线有一个公共点的特殊情况。

问题3.求过定点，且与抛物线只有一个公共点的直线的方程。

错解：1）当直线的斜率不存在时，不满足题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为：

有，

依题意，，故所求直线的方程为：

或。

正解：1）当直线的斜率不存在时，不满足题意；

当直线的斜率存在时，

当时，则所求直线方程为：，此时直线与抛物线只有一个公共点；

当时，设直线的方程为：

有，

依题意，，故所求直线的方程为：

或或。

分析：在解题中，考虑直线与抛物线只有一个交点时，一般要注意三种情况：一是当直线的斜率不存在时；二是当直线与抛物线的对称轴平行时；三是当直线与抛物线相切的情况。

总之，在学习圆锥曲线时，要注意以上这些误区，少走弯路，突破易错点，减少失误！

双曲线的定义范文第3篇

双曲线的通径是过焦点，垂直于实轴的弦，通径有两条，长为2b²/a。

双曲线的定义为平面交截直角圆锥的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。

a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e=c/a（e>1），即为双曲线的离心率）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。双曲线准线的方程为x=±a²/c（焦点在x轴上）或y=±a²/c（焦点在y轴上）。

（来源：文章屋网 ）

双曲线的定义范文第4篇

例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两个观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.（假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上.）

解析 如图，以接报中心为原点[O]，正东、正北方向为[x]轴、[y]轴正向，建立直角坐标系.设[A，B，C]分别是西、东、北观测点，则[A（-1020，0）]，[B（1020，0）]，[C（0，1020）.]

设[P（x，y）]为巨响发生点，由[A，C]同时听到巨响声，得[|PA|=|PC|]，故[P]在[AC]的垂直平分线[PO]上，[PO]的方程为[y=-x]，因为[B]点比[A]点晚4s听到爆炸声，故[|PB|-|PA|=340×4=1360.]

由双曲线定义知[P]点在以[A，B]为焦点的双曲线[x2a2-y2b2=1]上，依题意得[a=680， c=1020]，

[ b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.]

故双曲线方程为[x26802-y25×3402=1.]

将[y=-x]代入上式，得[x=±6805].

[|PB|>|PA|]，

[x=-6805， y=6805，]即[P（-6805，6805），]故[PO=68010.]

答：巨响发生在接报中心的西偏北[45°]距中心[68010m]处.

点拨 时间差即为距离差，到两定点的距离之差为定值的点的轨迹是双曲线.

题型二 求双曲线的标准方程

例2 已知双曲线[C]与双曲线[x216-y24=1]有公共焦点，且过点[（32，2）].求双曲线[C]的方程.

解析 设双曲线方程为[x2a2-y2b2=1]，则[c=25].

又双曲线过点[（32，2）]，[（32）2a2-22b2=1.]

又[a2+b2=（25）2]，[a2=12， b2=8].

故所求双曲线的方程为[x212-y28=1].

点拨 求双曲线的方程，关键是求[a，b]. 在解题过程中应熟悉各元素（[a，b，c，e]及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.

题型三 求离心率或离心率的范围

例3 已知双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的左、右焦点分别为[F1，F2]，点[P]在双曲线的右支上，且[|PF1|=4|PF2|]，则此双曲线的离心率[e]的最大值.

解析 由定义知[|PF1|-|PF2|=2a]，又已知[|PF1|=4|PF2|]，解得[|PF1|=83a]，[|PF2|=23a]，在[PF1F2]中，由余弦定理得，

[cos∠F1PF2=649a2+49a2-4c22?83a?23a=178-98e2]，要求[e]的最大值，即求[cos∠F1PF2]的最小值，当[cos∠F1PF2=-1]时，解得[e=53]，即[e]的最大值为[53.]

点拨 这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决.

题型四 与渐近线有关的问题

例4 若已知双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（ ）

A. [2] B. [3] C. [5] D. 2

解析 焦点到渐近线的距离等于实轴长，

故[b=2a]，[e2=c2a2=1+b2a2=5]，所以[e=5.]

点拨 双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过[a，b，c]的比例关系可以求离心率，也可以求渐近线方程.

题型五 直线与双曲线的位置关系

例5 （1）过点[P（7，5）]与双曲线[x27-y225=1]有且只有一个公共点的直线有几条，求出它们的方程；

（2）直线[y=kx+1]与双曲线[3x2-y2=1]相交于[A，B]两点，当[a]为何值时，[A，B]在双曲线的同一支上？当[a]为何值时，[A，B]分别在双曲线的两支上？

解析 （1）若直线的斜率不存在时，则[x=7]，此时仅有一个交点[（7，0）]，满足条件；

若直线的斜率存在时，设直线的方程为[y-5=k（x-7）]，即[y=kx+5-k7].

代入得，[x27-（kx+5-k7）225=1]，

[25x2-7（kx+5-k7）2=7×25].

即[（25-7k2）x2-14kx（5-k7）+7（5-k7）2-175][=0].

当[k=577]时，方程无解，不满足条件；

当[k=-577]时，[2×57x×10=75]方程有惟一解，满足条件；

当[k2≠257]时，令

[Δ=[14k（5-k7）]2-4（25-7k2）[（5-k7）2-165]=0，]

化简得：[k]无解，不满足条件.

所以满足条件的直线有两条，[x=7]和[y=-577x+10].

（2）把[y=kx+1]代入[3x2-y2=1]整理得，

[（3-a2）x2-2ax-2=0].

当[a≠±3]时，[Δ=24-4a2].

由[Δ>0]得[-6

若[A，B]在双曲线的同一支，须[x1x2=2a2-3]>0 ，所以[a3].

故当[-6

点拨 与双曲线只有一个公共点的直线有两种.一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线，另一种是与双曲线相切的直线也有两条.

题型六 求轨迹方程

例6 双曲线[x29-y2=1]有动点[P]，[F1，F2]是曲线的两个焦点，求[ΔPF1F2]的重心[M]的轨迹方程.

解析 设[P，M]点坐标各为[P（x1，y1），M（x，y）]，

在已知双曲线方程中[a=3，b=1]，

[c=9+1=10].

双曲线的两焦点为[F1（-10，0），F2（10，0）]，

[ΔPF1F2]存在，[y1≠0].

由三角形重心的坐标公式有，

[x=x1+（-10）+103，y=y1+0+03，]即[x1=3x，y1=3y.]

[y1≠0]，[y≠0].

已知点[P]在双曲线上，将上面的结果代入已知曲线方程，有[（3x）29-（3y）2=1（y≠0）].

双曲线的定义范文第5篇

一、利用双曲线的定义求解

例1：设F、F为双曲线-=1(a＞0，b＞0)的左右焦点，以FF为边作正三角形，若双曲线恰好平分正三角形的另外两边，则双曲线的离心率是多少？

解：如图1，在正PFF中，由题意知M为PF的中点，故MF=c，MF=c.由于MF-MF=2a，故c-c=2a，e==+1.

评注：一般在焦点三角形中经常利用双曲线的定义寻求离心率的关系。

二、利用双曲线中的隐含的约束条件求解

例2：已知F、F为双曲线-=1(a＞0，b＞0)的左右焦点，点P在双曲线的右支上，且PF=4PF，则双曲线的离心率的范围为多少？

解：PF=4PF，又PF-PF=2a，

PF=.

又PF≥c-a，

≥c-a，

1＜e≤.

评注：由于P在双曲线的右支上，所以满足PF≥c-a，从而得到a、c满足的不等关系，求解出e的范围。

三、利用平面几何关系求解

例3：如图2，F、M分别是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点和右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABM为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是多少？

解：由题意知ABM为等腰三角形，故只需∠AMB为锐角即可，只需∠AMF＜，

AF＜FM，

＜a+c，

b＜a+ac，

c-a＜a+ac，

c-ac-2a＜0，

e-e-2＜0，

-1＜e＜2.

又e＞1，

1＜e＜2.

评注：根据平面几何的相关内容得出a、b、c满足的关系，从而得出e满足的关系式。

四、利用渐近线求解

例4：设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为y=±x，则该双曲线的离心率是多少？

解：由题意知=，

a=2b，c=b，

e==.

五、利用判别式求解

例5：设双曲线-y=1（a＞0）与直线l∶x+y=1相交与两个不同的点A、B，求双曲线的离心率的取值范围？

解：由-y=1x+y=1得(1-a)x+2ax-2a=0

双曲线与直线有两个不同的交点，

1-a≠0Δ=4a+8a(1-a)＞0，

0＜a＜2，且a≠1，

e===1+＞，且e≠2，

e＞，且e≠.