高一数学导数概念

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高一数学导数概念范文第1篇

关键词：函数教学；高中数学；教学设计

熟悉教材的老师都知道，任教A版必修教材的主编寄语中提到数学是自然的、数学是清楚的、数学是有用的，整套教材力求做到概念引入“自然”、逻辑叙述“清楚”、知识体系“有用”，如何结合学生实际利用好教材，最大限度地发挥教材的实用性，成为老师们教学研究中津津乐道的内容。

一、数学是自然的

人教A版教材中利用高台跳水引出学习内容，让学生观察两个图象（一是高度随时间变化的图象，一是速度随时间变化的图象），发现函数的增减与导函数正负之间的联系。意在借此体现数学在物理和生活中的应用。而现实教学中很少有老师选用这一素材，因为从实际生活中抽象出数学问题并加以研究加大了学生的认知难度，不利于新课的讲授。多数教师会直接利用课本第二个环节引课：结合大量的函数实例，借助图象（几何直观）让学生观察、归纳、得出结论。这样的设计符合学生思维的最近发展区，降低了认知难度。但仅仅利用几个学生已经耳熟能详的函数就想体现导数的价值，大有简单问题复杂化之嫌。

笔者认为好的引课首先应该是自然的、承上启下的、符合学生认知规律的、能吸引学生注意力的。在必修一中学生已经知道了利用基本初等函数的图象可以判断函数的单调性，并在后续拓展中了解了利用“同增异减”可以判断复合函数的单调性，对于其他函数的单调性又该如何判断呢？有统一的方法吗？笔者结合课本，精心设计三个表，基本覆盖了前面所学的导数公式和运算法则，起到巩固前知的作用。三个表的安排又各有深意，表1意在体现利用图象判断函数的单调性，表2意在利用单调函数的加减和复合函数求单调性，对于表3中的函数又该如何求单调性呢？提出问题，通过表格间的联系层层递进地引入新课，通过求前面三个表中各函数导函数大于0的解集，学生在动手实践中亲身体验导函数的正负与原函数单调性间的关系，认识到导数作为研究函数单调性通法的意义所在。这样的引课正如主编寄语中说的：“概念的形成实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味。”

二、数学是清楚的

“清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的结论。只要按照数学规则，按部就班地学，循序渐进地想，绝对可以学懂。”教材中例2利用大量的篇幅举例如何利用导数求函数的单调性，甚至在第（3）（4）问中去除部分关键内容让学生填空，力求清楚地表达严谨的解题逻辑格式。但是结合多年的教学经验，笔者认为教材的安排还不够合理、不够清楚。问题不在解题过程，而在例题的选取。4个小例中有3个定义域为R，另一个给出了x的取值范围，例题的讲解中没有涉及求定义域，缺少了这一环节，很容易让学生忽略定义域对单调性的影响，而恰恰这是万万不可的。所以，在教学中整合教材，合理地选取例题是十分有必要的。

三、数学是有用的

教材第24页有一个思考：“请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考某个区间上函数y=f（x）的平均变化率的几何意义与其导数正负的关系。”多数老师在处理这一环节时选择忽略，从得到定义后直接进入例题讲解。笔者认为这样做是不恰当的，编者提出这个问题不是空穴来风，定是有用的。课本设计结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与其导函数正负之间的关系，没有进行严格的证明，因为严格的证明需要导数的很多基础知识，远远超过本节的教学要求。但是不给证明不代表可以不问究竟，究竟为什么利用导数可以研究函数的单调性，如何解答学生心中的疑虑？这里的思考把导数的定义与函数的单调性定义联系起来，从概念的角度表达两者之间的内在联系，相当于旁证。所以，对“思考”的探究就显得十分必要了。

教材内容的重构既要依托于教材又要超越教材，灵活地、创造性地、个性化地对教材内容进行“裁剪”，对教学资源做出合理的选择和优化，为学生一一呈现出具有系统性和完整性的数学课，是教育一线者的不懈追求。

参考文献：

[1]黄超.以审慎和发展的眼光优化教材[J].中学数学教学参考；上旬，2013（7）：24-26.

[2]杨育池.多一点精心预设，融一份动态生成[J].数学通报，2009（1）：34-41.

高一数学导数概念范文第2篇

【关键词】高中数学;课堂教学;生活化

【中图分类号】G631 【文献标识码】A 【文章编号】1009-5071(2012)01-0236-01

教育家卢梭认为：教学应让学生从生活中，从各种活动中进行学习，通过与生活实际相联系，获得直接经验，主动地进行学习，《高中数学课程标准》也充分说明了数学来源于生活又运用于生活，数学与学生的生活经验存在密切的联系，把数学教学生活化，把学生的生活经验课堂化，化抽象的数学为有趣、生动、易于理解的事物，让学生感受到数学其实是源于生活且无处不在的，数学的学习就是建立在日常的生活中，学习数学是为了更好地解决生活中存在的问题，更好地体现生活。那么高中数学课堂教学如何向生活化回归呢？本文从以下四个方面加以探讨：

1 创设情景，引出生活中的数学问题是数学课堂生活化的前提

数学本源于生活，生活中处处有数学。数学课堂教育要使学生获得终生可持续发展的学习能力，必须开放小课堂，走向社会，把社会生活中的鲜活题材引入学习数学的大课堂。为此，我们在教学时就要挖掘生活中的数学素材，进行教学，使学生发现数学就在身边，感受数学的作用，从而激发学生学习数学的兴趣。

例如木工师傅弹墨线的方法，实际应用了“两点确定一条直线”的数学知识；自行车架、房屋支架、钻机铁架的骨架中，是利用了三角形的稳定性；一些商店的捐帘门、安全门是借助了平行四边形的不稳定性；一幅画、一幕舞台的设计，都有它的中心，这个中心往往放在黄金分割点处使人感到更美。

实践证明，让学生在生活中寻找数学问题，把数学概念具体化、生活化的数学教学有利于提高学生学习数学的兴趣和学习能力，以及学生的可持续发展。

2 根据经验，思考数学中的生活事例是数学课堂生活化的基础

知识是前人在生活中积累的经验或是揭示出的规律，而教学目标是为了掌握规律及学习发现规律的方法。高中数学教学内容是精选那些在现代社会生活、生产和科学技术中有着广泛应用的，为进一步学习所必需的，在理论上、方法上、思想上是最基本的，同时又是学生所能接受的知识，因此在课堂教学中挖掘教材中生活资源，注重联系生活实际，借助学生头脑中已经积累的经验，让学生去思考数学问题，从而强化学生的数学意识，培养学生的数学能力。

例如：在《导数》的第一节设置了“变化率”，通过“气球膨胀率”和“高台跳水”两个问题，让学生经历直观感知进而抽象概括出导数的概念的过程和方法，进而又用学生已经熟悉“高台跳水”问题去研究导数的几何意义、函数的单调性与导数等问题。

学生善于思考数学中的生活事例，本身就是最好的学习方法。学生在思考中不断创新，不断尝试，并不断地体验成功。

3 回归生活，以数学思想解读实际问题是数学课堂生活化的基本途径

日本著名数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使他们终身受益。”，因此在高中数学课堂教学中要让数学生活化，让学生领悟数学源于生活而用于生活，教会学生用数学的眼光去观察世界，用数学的思想去说明问题，用数学的方式去分析对策，用数学的知识去处理工作。

比如，学习完《分期付款中的有关计算》后，安排学生自发出外至房产公司及银行收集相关资料，进行数据分析，通过详尽列式计算（利用高一数列知识及解方程知识），解析还贷过程中的每一步骤，了解购房者在还贷过程中的帐目细则，以及房产公司和银行在其中的赢利情况，从而对此实际生活中的常见经济事件有进一步的数学上的正确认识。将学生所学的知识回归到生活中去，使学生关注生活中的数学，让学生体会“学有所用，学有所为”的乐趣，有利于激发学生的学习热情，激励学生的求知欲望，有助于内化数学思想为个人素质的养成。

4 自主学习，多向交流是数学课堂生活化的的有力保证

“要培养工程师使之能适应明天的技术，那么主要的力量应放在教会学生如何学习，因为学生将不得不活到老学到老。”，所以在课堂教学中要对学生的终身教育奠定基础。不仅要传授给学生知识，还要培养学生自主学习的能力。

高一数学导数概念范文第3篇

【关键词】初高中数学衔接问题建议

【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】1006-9682(2010)08-0147-02

高一是数学学习的一个关键时期。许多小学、初中数学学科成绩的佼佼者,进入高中阶段,第一个跟斗就栽在数学上。对众多初中数学学习的成功者,进入高中后数学成绩却不理想,数学学习屡受挫折,造成这一结果的主要原因是这些同学不了解高中数学的特点,学不得法,从而造成成绩滑坡。

为了使高一学生能尽快适应高中学习,笔者认为在高一新生入学时很有必要做好初高中数学的衔接。在分析初高中数学衔接存在的问题的基础上,本文尝试提出了一些建议。

一、初高中数学衔接的问题分析

1.心理状态方面

学生初三下学期为迎接中考紧张了一学期,中考结束后整个身心松弛下来,紧接着两个多月的假期,一般学生均不看书,知识遗忘多。步入高一后,不少学生在新鲜后,认为高考还早,不必开始就如此紧张,这种突击取胜的侥幸心理,使松懈情绪得以蔓延。还有不少学生进入高一前,通过各种渠道早已耳闻高中数学难学,考入高一后,由于开始教材中映射函数等知识以及立体几何线线、线面、面面关系确实有一定难度,似乎证实了耳闻的正确性,使学生产生了畏惧心理,影响了数学学习成绩的提高。

2.教材内容方面

首先,初中数学教材内容通俗具体,多为常量,题型少而简单;而高中数学内容抽象,多研究变量、字母,不仅注重计算,而且还注重理论分析,这与初中相比增加了难度。

其次,由于近几年教材内容的调整,虽然初高中教材都降低了难度,但相比之下,初中降低的幅度大,而高中由于受高考的限制,教师都不敢降低难度,造成了高中数学实际难度没有降低。因此,调整后的教材反而加大了初高中教材内容的难度差距。

3.教学方法方面

首先,初中数学教材每课时安排内容较少,对重点内容及疑难问题教师均有较多的时间反复练习、答疑、解惑;而高中数学教材每课时内容通常较多,即使是重点内容教师也没有更多的时间反复强调,这对习惯了初中较慢教学进度的高一新生来说,无疑是一大挑战,对部分接受能力较弱的学生,或基础缺陷的学生,常处于一知半解的状态。

其次,初中数学教材中习题类型较少,且较单一。教师一般均有时间在课堂上讲授各类习题的解法,为学生示范,供学生模仿,考试时学生只要记住概念、公式、定理和法则及老师示范的例题类型就能取得好的成绩,而高中教材中不但习题类型多,且较灵活,习题类型复杂多变,每一个选择题要容纳三个以上的知识点,教师不可能讲各种习题类型。

4.学习方法方面

在初中,学生习惯于围着教师转,不注重独立思考和对规律的归纳总结。到高中,由于内容多时间少,教师不可能把知识应用形式和题型讲全讲细,只能选讲一些具有典型性的题目。因此,高中数学学习要求学生要勤于思考,善于归纳总结规律,掌握数学思想方法,做到举一反三、触类旁通。然而,刚入学的高一新生,往往继续沿用初中学法,致使学习困难较多,完成当天作业都很困难,更没有预习、复习及总结等自我消化自我调整的时间。因此,不能较快地适应高中数学教学。

二、新课改下初高中数学衔接的一些建议

1.搞好衔接的基础工作

搞好衔接的基础工作,也是首要工作。其一,给学生讲清高一数学在整个高中数学中所占的位置和作用;其二,结合实例,采取与初中对比的方法,给学生讲清高中数学内容体系特点和课堂教学特点;其三,请高年级学生谈体会讲感受,引导学生少走弯路,尽快适应高中学习;其四,通过进行摸底测试和对入学成绩的分析,摸清学生的学习基础,然后教师以此来规划自己的教学和落实教学要求,以提高教学的针对性。

2.注意挖掘新教材的内涵

新教材更加注重学生的认识规律及学生的学习兴趣,新知识的引入借助实例,不仅有助于学生认识数学的应用价值,增强应用意识,更能激发学生的求知欲望,集中学生的注意力,提高课堂效率。教师应在吃透教材的基础上,精心选择出课本中的典型题目,并努力创设出问题解决的各种情境,设计新颖的教学过程,激发学生主动参与到问题解决活动的过程中,让学生在发现、猜想、探索、验证等思维活动过程中受到不同层次的思维训练,真正体验到成功者的喜悦与满足,发展学生的创造能力,从而把枯燥的数学知识转化为激发学生求知欲望的刺激物。

立足新教材,也不完全局限于新教材,有些地方作适当的补充,如实例引入时,我们适当增加学生比较好理解的实例,教材跨度大的地方,我们依据学生的情况加入过渡知识,如新教材在不讲极限来讲导数,我们便要对教材进行适当的处理。再如,平面几何中,两条直线不平行就相交,到立体几何中就不一定是相交,也有可能异面。其实,有不少结论在平面几何中成立的,但到了立体几何中就不一定成立了。如果能一步一步挖掘、深入,不仅可使学生巩固初中知识,更重要的是学生能逐步得以接受、理解新知识。

3.有效利用信息技术手段

传统的课堂教学仅凭“一张嘴、一支粉笔、一本书”,随着计算机技术的广泛应用,课堂教学逐渐走向现代化,多媒体教学平台的使用、网络技术的应用等,都极大地提高了课堂教学的效果。新的课程标准把信息技术与数学课程内容整合作为基本理念之一,我们应重视信息技术与课程内容的有机整合。《标准》要求普遍使用科学型计算器以及各种数学教育平台,加强数学与信息技术的结合,如函数、三角函数、数列、矩阵、立体几何、解析几何、概率,都可应用几何画板、Flash等应用软件进行教学。实现信息技术与数学课程整合,就是新课程实现教学方法和教学手段改革的重要步骤。

例如,教学必修3中“统计”中的“数据收集和整理”的习题时,教师可以利用电脑设计教学情境,把课本上的插图变成实景,屏幕上有声有色地出现一辆辆摩托车、小汽车、大客车、载重车通过路口的画面,学生在实景中搜集数据,注意力集中,学习兴趣高涨,充分体会到实地收集数据的,收到事半功倍的效果。

值得注意的是,在教学实践中,教师不应该过分依赖于多媒体课件,而是根据教学需要适当使用。教师应充分认识到计算机是辅助教学,而不是教学的主宰,我们应根据内容精心制作多媒体课件,使之更加贴近学生的认知结构,进而达到最佳的教学效果。

4.加强学生学习方法的指导

(1)培养学习习惯。良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。只要有了良好的学习习惯,才能在教师的有效引导下度过这个衔接阶段。要处理好这三者之间的关系,课前有必要布置预习提纲,让学生带着问题听课,有选择地记笔记。

(2)加强学法指导。高中数学教学要把对学生加强学法指导作为教学的重要任务之一。指导以培养学习能力为重点,狠抓学习基本环节,如“怎样预习”、“怎样听课”等等。具体措施有三:一是寓学法指导于知识讲解、作业讲评、试卷分析等教学活动之中,这种形式贴近学生学习实际,易被学生接受;二是举办系列讲座,介绍学习方法;三是定期进行学法交流,同学间互相取长补短,共同提高。

(3)重视专题教学。利用专题教学,集中精力攻克难点,强化重点和弥补弱点,系统归纳总结某一类问题的前后知识、应用形式、解决方法和解题规律。并借此机会对学生进行学法的指点,有意渗透数学思想方法。

(4)培养自学能力。根据高中课程的特点,由于时间的局限,老师讲课的内容是有限的,无限的知识探索和掌握还是靠学生自己。从这个意义上讲,培养学生自学能力显得尤为重要。在教学中,培养学生自学能力特别要注重“导”与“学”。“导”就是教师在自学中起好引导、指导作用,开始教师列出自学指导提纲,引导学生阅读教材,教会学生怎样找疑点和难点、怎样归纳等,教师逐步放手,学生逐步提高;“学”就是在阅读教材的基础上,使学生课前做到心中有数,上课带着问题专心听讲,课后通过复习,落实内容才做习题,作业错误用“红笔”订正。这样能使学生开动脑筋,提高成绩,而学生有了自学习惯和自学能力,就能变被动为主动学习。

三、结 语

在高一数学的起步教学阶段,教师要分析清楚学生学习数学困难的原因,充分认识高中新生在数学学习上的特点和现实困难,尊重学生的这个基本实际,多想办法,研究规律和遵循规律,抓好初高中数学教学衔接,便能使学生尽快适应新的学习模式,才能更好地帮助学生跨初中到高中这个学习台阶,从而更高效、更顺利地接受新知和发展能力。

参考文献

1 马仁珠.构建桥梁.走进高一――浅析初高中数学的教学衔接.龙岩师专学报,2005(S1)

高一数学导数概念范文第4篇

数学教学中"引导学生学会学习"的教学策略肖淑如

从课例看数学方法的引入教学王智明

观察、分析、探索--从一道习题的教学看学生的能力培养欧阳雪山

优化思维品质培养运算能力徐继继

高中数学第五章《向量》教学目标初探中学数学研究 徐元根

关于高中数学新教材第一册(上)(试验修订本)的几点意见与建议任礼兵，尹广金

关联四个不等式的一个几何"链"李建潮

三个几何不等式的讨论宋庆，王庆龙

一个十分有用的恒等式贾士代

内莫莱三角形的又一组对偶性质刘立春

构造函数的几种方法周睿

一道高考题结论的推广及应用王兴林

一组三角恒等式的复数证法及应用邹九生

浅谈数学解题中的整合策略刘伟忠

关于一道最值题的多向思考任贵海，可润娥

不等式证明中易犯错误例析方精忠

创设有效引入情境打造高效数学课堂吴佑华

数学课堂语言运用浅谈李芹，张子路

用批判性思维来创新设计教学任方成

对一组条件不等式的解答、修正与推广刘才华，王长宪

一个优美不等式的简证与再推广中学数学研究 徐彦辉

分式不等式中几个美丽的姐妹花田富德

三角形面积比的一个定理及其推论毛浙东

一组优美的加权不等式之统一与简证李驯洪

椭圆内接三角形一个性质的简证及推广王伯龙

一道课本习题的探究及有趣结论的发现林金来

创新题因创造性解法而精彩——两道"存在型"高考创新题的解法探讨邹生书，刘江波

中档题的思路突破朱宗芳

高考题中的一类定值、定点问题的求解方法夏锦

培养思维策略活用数形结合——以2009年浙江高考数学(文)22题为例徐飒

用基本量方法破解平面几何问题吴涛

聚焦构造法在立体几何中的运用康小峰

一道高考题的探究性学习姜军

探究一道高考选择题邓赞武，章勇

解读简易逻辑易错点张得南

四类易混淆的"对称问题"白焕，马文杰

错在哪里杨剑

一道IMO试题的类比拓广及简解薛相林

一道联赛预赛题的二种解法胡生淼

目标分类学视角下的一类培养学生评价能力的代数题董涛

新课程理念下"学生数学活动"的有效教学问题与思考殷伟康

中学数学课堂教学效能课题研究中学数学研究 孙迪青

对新课程理念下数学思想方法教学的几点思考高美玲，赵荣夫

初高中数学教学衔接中的问题与对策杨垣红

"不等式选讲"一道例题的教学设计陆建根

一个猜想的推广和证明谷焕春

一个不等式猜测的完善及证明邹生书，尹显模

定点张定圆上两点向量内积的取值范围李世臣

椭圆离心率的背景探求鄢旭春

一道摸底试题的探究邱礼明

一道高考试题的探究及其背景吴军

管中窥豹洞若观火——与数列有关的不定方程的整数解问题初探林伟民

一类无理函数的值域求法再探讨马先亮

一个不等式的又一个简捷证明王耀辉

构造单位圆及其切线巧妙解题的若干范例陈明娟HtTp://

整体代换法证分式不等式例说陈秀群，姜坤崇

平面向量与三角形的"心"杨海生

求二次曲线中的直线斜率分类解析陈华安

构造双曲线解题黄俊峰，袁方程

浅析解几最值问题朱冬平，徐益萍

例析函数不等式的求导处理及对策杨利刚

一道概率题的拓展与证明鲍瑞华

一道全俄《2008-应届中学生》奥林匹克试题别解陈玉奇，陈宇

浅谈数学概念教学中思维品质的培养陆洁清

紧抓要点,实现数学课堂的有效教学李文斌

四"度"高中数学新教材陈敏

为什么高一数学这么难学?王纯旭

一个不等式猜想的证明及推广周斌

一个漂亮不等式的再推广徐娜，陈宇

关于三角形中圆的几个等式与不等式冯仕虎

两道不等式习题的比较研究有名辉

一个分式不等式的变式与再推广王增强

阿基米德三角形初探殷加兴

对二次曲线"焦弦定理"的商榷及其几何证明中学数学研究 耿合众

运用辩证思想提升解题素养邵贤虎

巧用定比分点解决代数问题刘瑜，张光荣

数学中的减元策略探究朱胜强

例谈函数解析式求解的类型与方法程泽兵

高考中函数最值的应用熊志远

从一道全国高考题看不等式f(x,a)》0对x∈A有实数解求a取值范围问题的解法孙志祥

从09年四川高考理22题看不等式恒成立问题的解法熊福州，张玉彬

不等式证明在数列中的应用邓国平

导数与数列型不等式的整合林明成，姚智铭

一道数学题的探究、归纳与应用——平面直角坐标系中的平行四边形陈英逢

运用逆代法简求圆锥曲线切线方程方冬金

集合题型常见错误例析牛永红，李生坪

一道习题引发的探究吴海燕

新课程背景下初中数学课堂教学的实效性探索王俊

一个漂亮不等式的推广何智

由点的位置引发的探究黄汉桥，蔡青

一组比值为离心率的有趣性质林佩芬

由一道高考题引出的圆锥曲线的一个有趣性质杜飞飞

高考试题中的高等数学背景探析及应对策略黄妮，李娟，梁艳，彭家寅

"两边夹逼"策略助你突破思维瓶颈阮士杏，邹生书

一道新课标高考题的教学思考王莉娟，厉倩

一节习题课"意外"引发的思考邵贤虎

共面向量定理的推论及运用石亮

一道模拟试题的几何背景及推广中学数学研究 刘吉存

直线上两点间距离公式的应用举例刘凡俊，李登有

一道不等量的几何问题及其引申应用张秀昌

一道排列组合题的拓展黄俊峰，袁方程

即学即考型中考试题赏析刘鑫

走出"一题多解"教学的三个误区阮伟强

高一数学导数概念范文第5篇

“探域”。

一、从“好玩”到“玩好”

“好玩”就是“引趣”，让学生感到学习十分有趣，这是学习的原动力;“玩好”就是“引深”，让学生不断钻研深入探索，这是学习的内驱力。

要让学生感到数学有趣，我当时的做法是从“每课一趣”开始。每节课上都有一道以上的趣味数学题，或是数学游戏，或是数学智力趣题，或是趣味数学故事。有时在开讲时讲，有时在课末时讲，有时渗透在课中讲。趣题可以和所学内容有关，也可以与所学内容无关。趣题一般不超纲，也可以适度超一点。趣题宜自然融入，力求起到引发兴趣、激活思维、活跃课堂之效。

我们先看一个例子：设想用一根仅比赤道周长多出1米的铅丝围成一个同心圆，凭直觉，同学们能否迅速地判断一下：此时我们的拳头能否从赤道与铅丝的空隙处

穿过？

直觉告诉我们，1米与赤道周长相比，简直微乎其微，几乎可以忽略不计。赤道与铅丝之间，别说是拳头，就连一根铅笔也很难通过。

我们的判断正确吗？

让我们算一算吧！

图1是一个同心圆，OA表示地球半径r，AB表示赤道与铅丝之间的空隙。赤道长为2πr米，铅丝长为（2πr+1）米，于是空隙宽度：

（米）

哇！有宽度为16厘米的空隙，我们的拳头当然能穿过。

如此看来，有些数学现象，我们可以预先料及;有些数学现象，我们如果只凭直觉，往往结果难以预料，甚至会让我们“出丑”。

现在看来，这“每课一趣”，就是“好玩”。

初为人师的我，没有什么数学教学经验，但学生的学习成绩却不错，多半是源于我的“每课一趣”。但如果年级出的试题稍难一点，或有些创新题出现，我班的成绩就不会那么突出。我悟出“仅有好玩是不够的”，还要“玩好”。怎么“玩好”呢？我当时的做法是“每日一题”。就是每天出一道数学征解题，供学有余力的学生选作。征解题可以是课本问题的拔高，可以是身边的精彩数学问题，可以是切合时宜的数学趣题。多数学生对每日一题也很感兴趣，哪天没有给出征解题，学生就会“若有所失”。征解题也可以由学生先提供给我，我简单评判或修改后，署上学生的名字公布。

现在看来，这“每日一题”，就是“玩好”。

当数学教师不容易，“数学好玩”要求我们“深入浅出”，而“玩好数学”要求我们“浅入深出”。从“数学好玩”到“玩好数学”，我们共同努力，共同走向“玩转数学”的境界。玩转数学，谈何容易！需要数学教师坚持研修，把握好数学的横向联系和纵向深入，把握好数学的趣味性和拓展性，结合学生实际，将数学的“好玩”和“玩好”，像知时节的“好雨”适时润入学生的心田。

从某种角度说，“好玩”是数学的学科之美、形式之美、外在之美;“玩好”，是数学的发现之美、思维之美、探索之美。值得注意的是，“好玩”是要让所有学生都能感受到的，“玩好”就不能要求所有学生一定都达到，这里有一个“度”的把握。“好玩”是一种境界，“玩好”是略高一层的境界，而在“好玩”与“玩好”之间把握好“度”就是一种理想的境界。

二、从“题海”到“题根”

“问题是数学的心脏。”学习数学，关键之一是学会解题。解题教学是数学教师的基本功，解题是数学教学中的“微观艺术”，任何艺术的精彩之处和感人之处，也许就在这“微观”之中。

例题教学是帮助学生掌握概念、定理及其他数学知识的手段，又是使学生掌握数学思想、方法，形成技能技巧及培养学生数学能力的重要手段。奥加涅相说得好：“必须重视，很多习题潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可能性……从解本题到独立地提出类似的问题和解答这些问题，这个过程显然在扩大解题的武器库，学生利用类比和概括的能力在形成;辩证思维、思维的独立性以及创造性的素质也在发展。”数学教育家波利亚也认为，一个有责任心的教师与其穷于应付烦琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生解题过程中，提高他们的才智与推理

能力。

基于上述理念，我研究借“题”发挥问题，当时还没有“题根”一说，我就是设法寻找这样的“题”。它尽可能地有多种解法，尽可能地有多种“变式”，尽可能地有多种用途。如果这道题的“背后”还有数学文化故事，那就更好了。以一道题为例，借题发挥，探索一题多解、一题多变、一题多用的价值，以期培养学生学会从多层次、广视角、全方位地认识、研究问题，培养创新意识和创新能力。这样的“题”，就是现在许多数学教育专家所说的“题根”。

我们看一道当时课本中的题：已知a、b、m∈R+，且a

先说“多解”的价值。

一道数学题，由于思考的角度不同，可得到多种不同的思路。广阔寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展观察、想象、探察、探索、思维的能力。

我引导学生用分析法、综合法、求差比较法、求商比较法、反证法进行证明，并开玩笑地和学生说，证到此你们大概可得30分，学生疑惑而兴奋;又引导学生用放缩法、构造函数法、增量法进行证明，我说这下可以得50分了，学生“胃口大开”;再引导他们进一步研究，用定比分点法、斜率法、三角法、几何模型法进行证明，我高兴地说，你们现在可以得到70分啦！学生不甘愿地说，一题12解，才70分！我微笑着说，“解”无止境啊！学生课后还可以再探索，告诉大家，至少还有12种不同的解法，全班学生惊愕！“愤悱之情”，可想而知。

事实上，继续研究，至少还可得到用正弦定理法、相似三角形法、换元法、双换元法、综合法及放缩法、定义域及值域法、椭圆离心率法、双曲线离心率法、函数图象法、两直线位置关系法、矩形面积法、定积分法的证明。

次说“多变”的价值。

一个例题，如果静止地、孤立地去解答它，那么再好充其量只不过解决了一个问题。数学解题教学应突出探索活动，探索活动不仅停留在对原习题解法的探索上，还应适当地、有机地对原习题进行深层探索，挖掘出更深刻的结论。这就是数学教学中的变式艺术。

变式，是一种探索问题的方法，也是一种值得提倡的学习方法;变式，可以激发学生学习数学的兴趣，可以有效地提高学生的数学水平。

我引导学生“变啊变”，最后变成：

若ai、bi∈R+（I=1，2，…，n），且<<…<，有

。

学生感到“真过瘾！”我说：“可以胡思乱想，但要小心论证。”

发现问题，解决问题，触类旁通，开拓创新的过程，不就是数学家的思维过程吗？数学家做什么工作？就做这个工作。我们也来当“数学家”。

引申、推广，是找出一些特殊问题中所蕴含的事物发展的规律性，从而得到更广泛的新结论。这种教学设计无疑会增强学生探求未知世界的信心和勇气，使他们体会到成功的喜悦和创造性工作的欢乐。

再说“多用”的价值。

教学例题大多有其广泛的应用，这道题至少有下列应用，所有解答略。

应用1：依次写出与1之间的所有分母不大于10的分数。

应用2：（高考题）若0

A. B.

C. D.

应用3：在a克糖和（b-a）克水中，加入m克糖，糖水都变甜吗？

应用4：建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地面面积。但采光的标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，并且这比值越大，住宅的采光条件越好。问，同时增加相等的窗户面积和地面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？

应用5：（高考题）求证：（1+）（1+）…（1+）>（n∈N，n≥2）。

应用6：（奥赛题）求证： + >

。

其中，所有的字母都是正数。

“题根”是一个题族的根祖，一个题系中的根基，一个题群中的代表，抓到一个题根，就等于抓到这个题族、这个题群、这个题系。通过“题根”，往往可以清楚地掌握基本知识和方法，领悟数学问题的本质，从而有助于学生脱离“茫茫题海”。

三、从“学会”到“会学”

在教育实践中，我深深感到，一个学生要想取得优良的学习效果，单靠教师教得好、教得得法，是不行的，自身还必须学得好、学得得法。遗憾的是，在教育理论和教学中，长期以来，教学多研究教，少研究学。实践证明，忽视学，教也会失去针对性，减弱实效性。

于是，我把研究探域扩大到学生学习领域，开始系统地指导学生学习，期盼他们从“学会”走向“会学”。“学会”和“会学”看起来只是两个字的颠倒，但意义却大不相同。“学会”，只是说在学习的过程中掌握了某种知识和技能;“会学”，则是指在学习的过程中掌握学习方法，形成学习能力。

我的学习指导与多数人所说的学习指导不尽相同，我进行的是“全程渗透式学习指导”。数学渗透式是指教师以强烈的学习指导意识为前提，密切结合数学教学，把学习指导渗透到学生学习的学习计划、课前预习、课堂学习、课后复习、独立作业、学结、课外学习环节中，是提高学生学科学习能力的一种学习指导模式。强调“全程渗透”，旨在强化数学教师在教学过程中全方位、多层次、广渠道地进行学习指导渗透，让“学习指导”像无声的细雨时时润入学生的心田。

在“学习计划”方面，让学生明确制订学习计划的好处，要求他们养成制订学习计划的习惯，指导他们制订好学习计划;在“课前预习”方面，要求学生养成习惯坚持预习，教给学生预习数学的方法，检查学生预习的效果;在“课堂学习”方面，注意数学概念、数学命题、数学解题、数学思想、数学能力和数学课堂学习方法的渗透;在“课后复习”方面，要求学生及时复习巩固知识，教给学生数学课后的复习方法，检查学生数学复习的效果;在“独立作业”方面，教给学生科学地完成作业的方法，在批改作业中指导学生学习数学，在作业“再生”中提高学生学习数学的主动性、积极性;在“学结”方面，注意数学知识的总结、数学解题技巧的总结和数学学习方法的总结;在“课外学习”方面，指导数学课外阅读、数学竞赛、数学兴趣小组学习。