三角函数变换规律

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三角函数变换规律范文第1篇

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数.它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域.另一种定义是在直角三角形中，但并不完全.现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系.

一、如何掌握三角函数公式

掌握三角函数的基本公式是最重要的，同学们在学习过程中，由于随着学习的深入，前面的公式掌握得不够牢靠，导致了后边的学习跟不上，这就是由于三角函数最基础的公式掌握不够造成的.如何弥补这个缺陷，最重要的还是要牢记公式，没有别的办法，只有熟记公式，才能在以后的深入学习中不至于被动.

倍角公式、半角公式、和差化积公式以及积化和差公式，是需要花时间和精力去掌握的，并且要经常练习，才可以达到运用比较熟练的地步.

二、掌握基本的解题规律

三角函数的题目有其基本的解题思路和过程，要掌握这些基本的方法，在高考中，三角函数的题目也无非就是这些内容，不会偏离了这些基本的解题思路.对于题目，首先应该观察题目的基本叙述，了解清楚后，看适合于哪类三角函数的公式进行解题，在解题过程中，对于自己运用公式的熟悉程度是一种考验，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.

对于常用的解题方法要熟练掌握，如数形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法等.通过对这些方法的研究，使得学生不仅掌握这些方法，而且能够举一反三，同时，在应用这些方法应用时，可以做到综合的运用，而不是单一的、片面的掌握.

举例来说，学习某个函数肯定是先学习定义，而定义一般是用函数式来定义的，并且定义式中的参数一般会有一定的限制，如一次函数y=ax+b，a不为0.定义域优先应该说所有的老师都明白，但是应用的时候就可能会忘记.事实上在方程与不等式的研究中也应该有“定义域”优先的原则，缺少了定义域就不是完整的函数的定义了.而函数的值域是由解析式与定义域唯一确定的，所以一般不写，但它是研究的重点，研究的方法也非常多，并且不同的函数研究的方法不一样.

三、比较法的学习

通过对函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、图像变换等的理解和掌握，把握三角函数的这些基本性质，与其他函数进行比较，以达到比较法的学习.函数的概念、性质的相同、相似点以及它们之间的差异会给学生在学习中留下较深的印象.通过比较法的学习，会加深对三角函数的理解和应用.

三角函数具有自身的特点，要从两个方面加以注意：一是三角函数的图像及性质.函数图像是函数的一种直观表示方法，它能形象地反映函数的各类基本性质，因此对三个基本三角函数的图像要掌握，它能帮助你记忆三角函数的性质.此外还要弄清y=Asin（ωx+φ）的图像与y=sinx图像的关系，掌握“A”“ω”“φ”的确切含义.对于三角函数的性质，要紧扣定义，从定义出发，导出各三角函数的定义域、值域、符号、最值、单调区间、周期性及奇偶性等.二是三角函数式的变换.三角函数式的变换涉及的公式较多，掌握这些公式要做到如下几点：一要把握各自的结构特征，由特征促记忆，由特征促联想，由特征促应用；二要从这些公式的导出过程抓内在联系，抓变化规律，这样才能在选择公式时灵活准确.同时还要善于观察三角函数式在代数结构、函数名称、角的形式等三个方面的差异，根据差异选择公式，根据差异确定变换方向和变换方法.

四、有条理的归纳总结

三角函数的公式看起来非常多，甚至有些杂乱，让初学者往往无从下手，也令很多学生在过了一段时间后，会忘记这些基本的公式.但仔细研究三角函数会发现，其基本的公式是我们必须掌握的，任意角的转化，掌握了诱导公式，就可以将任意角的计算转化为0°～90°间角的三角函数.从这方面看，三角函数的特点在于认真地归纳总结，即将一种较为复杂的状态转化为基本的状态，或者将较为简单的状态进行解决的过程.具体来说，我们表示函数习惯于用y=f（x）表示，其中x表示自变量，y表示函数，f表示对应关系.那么我们注意到：学习三角函数的过程中，初中就学习了三角函数，但是没有说什么是自变量，什么是函数，只是在直角三角形中，定义了锐角α的正弦、余弦、正切.

三角函数变换规律范文第2篇

关键词：三角函数；记忆公式；恒等变形；图象；形式

在高中数学教学过程中，特别是在三角函数教学中，由于三角函数的性质比较多样化，教师要注重把握三角函数的教学重点，只有这样才能有效地提升教学质量，才能提升教学的针对性。

一、三角函数的恒等变形

在高中数学三角函数教学过程中，恒等变形是教学难点，也是教学重点。教师在讲解恒等变形时，要注重把握其教学要点，并明确三角函数恒等变形的应用。首先应该建构三角函数恒等变形的知识网络，确保学生明确三角函数的求值类型。在三角函数求值中，不同类型的求值方式不同，教师应该注重把握不同类型求值方式的异同，如“给角求值”“给值求值”等。教师还要注重把握恒等变形在具体运用过程中的注意事项，只有这样才能让学生真正学会三角函数的恒等变形。无论是简化三角函数的角度，还是证明不同角度之间的关联性，都应该在教学过程中注重把握角度的差异与联系，注重把握函数名称间的变换和联系，如升降幂，化切为弦等常用手段。

在这样的三角函数恒等变形的教学过程中，教师要引导学生仔细地分析题目，选择三角函数恒等变形中最合适、最直接的方法。在这类型题目中，切化弦是比较直接的方式，通过切化弦，能够将复杂的题目快速地转化为简单的题目，快速地进行题目解析，更有利于学生理解与把握题目。可见，在教学过程中，教师要注重把握三角函数恒等变形的重点，特别是让学生把握不同角度之间的关联，注重不同角度的差异，帮助学生理解三角函数的恒等变形。

二、三角函数的图象和形式

相比低年级数学，高中数学难度有所提升，教学侧重点也发生了转变。为了有效地帮助学生理解三角函数，教师要充分依托三角函数的性质、三角函数不同角度的差异，将抽象的内容形象化，通过数形转化来提升教学的质量，快速地帮助学生架构起理解的桥梁，只有这样才能真正帮助学生理解三角函数。

1.三角函数的区间

在高中数学教学过程中，三角函数的区间是三角函数的重要性质，是三角函数的重要内容。在把握三角函数的区间时，要注重引导学生理解与把握三角函数的递增或递减区间，明确不同区间的单调性，把握不同区间的递增方向，帮助学生更好地理解三角函数递增或递减的性质。不同三角函数的单调区间是不同的，很多学生在理解与把握的过程中，难免会混淆，这就要求教师要注重运用图形的方式来帮助学生形象化地理解不同三角函数的单调区间及区域。

2.三角函数的图象变换

三角函数的图象变换往往是基于y=sinx演变而来的，在此基础上衍生出了很多多样化的图象。所以在教学过程中，教师要注重引导学生扎实地理解与把握y=sinx等基本函数的特点，找准演变的规律，从而更好地了解三角函数。如在y=sinx的基础上，演变出来的新图象y=sin（ωx+φ），这是图象在值域或区间上的变化，在图象变化的过程中，往往存在两种典型的途径，不过这两种不同的途径在变化过程中方式不同，教师要引导学生注重把握其不同。

在图象变化的过程中，其通常采用的方式是平移，在平移的基础上根据不同的系数进行一定的伸缩变化。在具体的运用过程中，也往往采用相反的方式。无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

三角函数变换规律范文第3篇

关键词： 三角函数 高考题 数学思想方法

纵观近几年的高考数学试题不难发现，三角函数问题在每年高考中都分别有一道考查三角函数基础知识的选择题、填空题和解答题，分值约占总分的15%，一般是结合实际，利用三角变换考查三角函数性质.虽然三角函数涉及的公式多、变换多，但不可否认的是，在高考中三角函数问题相对简单，较容易得分.

《义务教育数学新课程标准（2011）》（以下简称《新课标》）明确提出在数学教学中不仅要让学生记住一些数学的基础知识、掌握一些数学的基本技能，而且要让学生感悟数学的思想，积累数学的经验和实践经验，培养学生的数学素养.下面我将结合高考数学三角函数的主要题型，论述数形结合思想、函数与方程思想、等价转换思想和分类与整合思想在解高考三角函数问题中的运用.

一、数形结合思想

所谓数形结合思想，就是通过数与形的转化，对不易解决的数学问题借助图形来解决.华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事非。”对数形结合解题技能进行了精辟论述.通过对三角函数整体章节内容及普通高中新课程标准（实验）的分析发现，三角函数实际上是平面图形知识和函数知识的有效结合.因此，学生在解决高考三角函数问题时，首先要树立数形结合思想，将三角函数看成是平面图形和代数的结合体，利用“数”的精确性和“形”的直观性，进行三角函数问题的有效解答.

在高考中，选择题和填空题的特点（即只需写出结果而无需写出过程），为考查数形结合的数学思想提供了方便，能突出考查学生将复杂的数量关系转化为直观的平面图形的问题解决意识.而高考解答题要求写出解答过程，需要严谨的推理论证，对数量关系问题的研究以代数为主，因此在高考解答题中对数形结合思想的考查以“形”到“数”为主.

例1：（2012浙江理科4）把函数y=cos2x+1的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的图像是（ ）

评定：本题是三角函数的图像变换问题，首先需要回顾一下三角函数图像变换的规律：（1）平移变换：①沿x轴平移，按“左加右减”法则；②沿轴平移，遵循“上加下减”法则.（2）伸缩变化：①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长（01）或缩短（0

二、函数与方程思想

函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质分析问题、转化问题，从而使问题得以解决；方程思想是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或者构造方程，通过解方程和方程组，或者运用方程的性质分析问题、转化问题，使题得以解决.在高考试卷中，三角函数中的最值问题有时候可转化为函数问题解决.

三、等价转换思想

通过某种变化和手段，变换问题的角度，使较难的三角问题变得容易解决；在解决数学问题时，要采用等价转换思想，将复杂问题转化为简单问题，将难解问题转化为容易求解的问题，将未解决问题转化为已解决问题.三角函数涉及的公式多、变化多，运用等价转换思想可以把复杂的含三角函数的式子转化为简单的式子.

点评：等价转换思想是最重要的数学思想之一，本题就是利用等价转换思想，结合正切函数的两角和公式，将未解决问题（tan（α+β）的值）转换为已解决问题（tanα+tanβ，tanα·β的值）.

四、分类与整合思想

解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在各个子区域内进行解题，当分类解决完这个问题后，还必须进行综合归纳，因为我们研究的毕竟是这个问题的整体，这就是分类与整合的思想.有分有合，先分后合，不仅是用分类与整合的思想解决问题的主要过程，而且是这种思想方法的本质属性.近几年，高考题对分类与整合的思想考查主要有：（1）有没有分类意识，遇到该分类的问题，是否想到分类；（2）如何分类，分类的标准是否统一，分类有没有不重不漏；（3）分类之后如何解题，各类的讨论有没有越级；（4）分类讨论后，有没有整合，以及如何整合.

近年来高考数学对数学思想方法的要求越来越高，这对高中数学三角函数的教学提出了新的要求.为使学生灵活运用数学思想方法解高考三角函数问题，教师应该在教学中注意以下几点：（1）利用三角函数是平面图形与函数的有效结合体，培养学生的数形结合思想；（2）利用三角函数是特殊的函数，培养学生用函数与方程的思想；（3）利用三角函数公式多、变换多的特性，培养学生等价转换的思想；（4）利用三角函数的丰富性，培养学生分类与整合的思想.对于一些复杂的三角函数问题，有时需要综合运用多种数学思想方法才能解决.数学思想方法是解决一切数学问题的通法，数学教育的价值体现于数学的基本思想，数学文化的核心体现于数学的基本思想，学生一旦熟练地掌握了各种数学思想方法，就能以更广的视角审视、理解和解答数学问题.

参考文献：

[1]倪雪华.从历年高考题谈三角函数的关注点[J].南通高等师范学校，2011.

[2]王冬岩.高中生对三角函数概念的理解[J].华东师范大学，2010.

[3]娄艳芳.从三角函数的历史发展看高中生三角函数的学习[J].数学教育研究，2011（5）.

[4]杨万里.高考函数题型分析[J].教学研究，2010（7）.

三角函数变换规律范文第4篇

关键词：高中数学；三角函数；应对策略

中图分类号G633.6

三角函数问题在我们实际生活中不是很常见，有些脱离我们的实际生活，但是它灵活多变，同学们感到难以应对。近些年来，高考命题组越来越多地考查三角函数的抽象性、恒等变换，而这些考点都是我们不擅长的，也就导致了三角函数学习出现了很多问题。同学们在学习三角函数问题的过程中不应有心理障碍，只要掌握一些基本的方法和策略，这样许多问题都会迎刃而解。新课程标准下，三角函数作为基本初等函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考考查的重点内容之一，也是高考的热点之一，在高考中，客观题和主观题均有所体现，并且以中低档题目的考查为主，对同学们来说是很重要的得分点。

一、主要的学习问题

实行新课标以来，三角函数的知识体系变化比较明显，我们高中生要采用和初中不同的学习策略才能有效地应对这一变化。在初中时期，我们接触到的函数全部是一对一型的函数，而三角函数是我们上高中以来第一次接触到的一对多型函数，它具有明显的周期性，它代表着一类函数。三角函数与其他函数知识紧密相关，学好三角函数对其他知识的学习有着巨大的指导意义。

总体来说三角函数的难度还是不大的，它渗透着数形结合的思想，掌握了这一本质特征，学好三角函数还是比较容易的。但是我们高中生学习三角函数的过程当中还是存在很多问题的。好多同学反映三角函数并非书中所述的那样简单，甚至陷入了学习三角函数的困境。因为三角函数是我高中数学的起始环节，这种困境长期持续下去，会造成更为深层次的影响，会影响我们的学习动机和对数学的学习态度。

（一）概念模糊

任何一个知识点的学习几乎都是从概念开始的，可是很多同学并没有理解三角函数的定义。直角三角形问题是三角函数问题的一部分，我们初中的时候就能轻松掌握。可是到了高中我们依然运用初中的知识去解答此类问题，虽然得到了正确的答案，但是与学习的初衷相背离。这也就间接地导致了我们对三角函数的概念的理解出现严重的偏差，甚至有些含糊不清。

（二）用错公式

公式众多，紧密联系是三角函数最大的特点。三角函数知识中涉及的公式数量非常大，包括弧度数的绝对值公式，弧长公式，扇形面积公式，诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式，倍角公式，需要掌握的总共 22 个。三角函数的公式不仅数量多，而且变换灵活，例如诱导公式中角的奇偶性变化、正负取值，两角和与差公式中角的组合变化等，角发生变化取值就相应改变，三角函数的公式就应用了多种方式展现出来，这就让同学们寻不到规律，不知道该用什么公式解题。

（三）数学思想理解不到位

简单的三角函数蕴含着多重的数学思想，如数形结合思想、等价转化思想、函数与方程思想等。同学们经常大量的做题，而不去总结，许多数学思想根本体会不到。题做得再多，数学思想没有学到，遇到相似的问题还是无从下手。三角函数知识体系较为抽象，各个函数间密切联系、变换灵活，我们必须掌握公式的本质特征、课下勤加练习才能灵活运用。

三、简单的应对措施

（一）摒弃形式化

我们来到高中对知识的理解经常以自己经验加以判断，缺乏理性思考，我们的水平不高，对抽象的三角函数只是记住了形式，造成了生搬硬套、死记硬背的尴尬局面。我们应将公式和图像相结合的学习，注重数学结合的思想。学会单位圆的应用，运用它掌握三角函数的定义；例如，正弦函数的学习，我们学会借助图像巧妙的掌握，能画出 y = sinx的图象，通过图像观察其周期性；借助图象理解正弦函数在[0，2π]的性质等，如单调性、奇偶性等

（二）形成有效的学习方法

我们学习数学效率低，速度慢大部分原因是方法不恰当，三角函数的学习也是一样的，我们很多高中生对待三角函数不够重视，更别提方法了。三角函数各个知识点联系非常密切，可是大多数同学只是孤立的学习，不懂得把知识点串联起来，这就无法形成体系，只是混乱，不能融会贯通。所以，学习过程中，我们要懂得将知识作对比，善于复习，找到学习三角函数的有效途径。

（三）训练基本的数学技能

解决好三角函数的问题，化简很重要。它是做题的第一步，而且是最为关键的一步。许多同学做不出三角函数的题目，就在化简的过程中出现了错误，所以同学们要在课下训练化简、运算等基本技能。

三、结语

总而言之，发现自己学习三角函数的问题，结合自身的特点，制定相应的学习策略，灵活应对，学好三角函数还是较容易的。

[参考文献]

[1] 王冬岩.高中生对三角函数概念的理解[D].上海：华东师范大学，2010.

三角函数变换规律范文第5篇

1.概念理解不透彻

数学概念理论是学生解决三角函数问题的理论依据，蕴含着丰富的数学思想。由于三角函数的数学概念较为抽象，学生对其理解不透彻。比如在sin（2x+10π），我们可以用诱导公式得出原式等于sin2x，这是直接运用了诱导公式计算出来的：sin2（x+π）=sin（2x+2π）=sin（2x+360?）=sin2x。学生如果对诱导公式理解不到位，这道题就很有可能答不出来。还有很多学生对函数图像不熟悉，造成sinx和cosx图像混淆，周期不熟悉，在对后期图形变化时观察不足，分析不准确，这些都会造成学生在数学考试中一些简单的选择填空得不到分。长此以往，学生对学习三角函数会产生厌倦感，失去学习兴趣。

2.学生综合型学习知识较差

三角函数是高中数学中应用范围最广的知识点，它和其他知识点应用在一起的可能性极大，一般考试中主要还是与其他知识点综合起来考查学生。例如，某兴趣小组想测量一座楼CD的高度，先在A点测得楼顶C的仰角为30度，然后沿AD前行10米，到达B点，在B点测得楼顶C的仰角为60度，请根据测量的数据计算楼高CD。

以上问题是将实际问题与函数知识相结合，一些学生往往想不到要用三角函数来解决，知识迁移能力不足，综合学习知识能力较差。

3.三角函数公式变形记忆较差

由于三角函数公式较多，学生在记忆过程中容易记混或记不牢固，在后期做题过程中有些复杂的公式经过变形可以简单化，一些学生记不住公式导致做题步骤繁多，并且还容易出现计算错误。例如，在求函数y=sin2x+√3cos2x的最大值、最小值及周期时，可以进行相应的化简y=sin2x+√3cos2x=2（1/2sin2x+√3/2cos2x）=2（cosπ/3sin2x+sinπ/3cos2x）=2sin（2x+π/3）函数的周期T=2π/2=π，公式经过合理化简后解题更加简便。

二、提高三角函数教学质量的措施

1.丰富学生的解题技巧

在学习三角函数的过程中，由于三角函数自身存在灵活性，学生在解答问题时需要进行相关的简便解答。其实，三角函数的固定题型分为几种，教师可以对每类数学题进行相关的经验总结和指导，使学生在解答过程中把握解题规律，熟悉解题技巧，从而在后期的学习中更加快速学习。

例如，在学习角转换过程中sin20?cos70?+sin10?sin50?，计算这个式子的值，可以转换成角来计算，具体步骤如下：

sin20?cos70?+sin10?sin50?=（1/2）[sin90?+sin（-50）?]+（1/2）（cos40?-cos60?）=（1/2）（1-sin50?+sin50?-1/2）=（1/2）（1/2）=1/4

通过数字和角之间的相互转换，学生在做这类题型的时候就有了解题思路，丰富了学生的解题技巧，激发了学生学习数学的积极性，促进教师教学目标的完成。

2.强化学生的画图意识

三角函数一般是高中一年级的知识点，低年级学生虽然有一定的知识储备，但是对抽象化的数学概念理解依旧不足，因此，教师可以采用图像法加强学生对知识点的记忆。三角函数涉及的知识较多，如性质、对称性等，单纯靠记忆很难记忆准确。教师可以将抽象的三角函数概念具体化，帮助学生进行理解，提高学生的学习效率。

例如，在求三角函数y=sin（π/3-2x）的单调递增区间时，除了运用传统的公式法y=sin（π/3-2x）=-sin（2x-π/3），令2kπ+π/2≤2x-π/3≤2kπ+3π/2，求得kπ+5π/12≤x≤kπ+11π/12。

故该题的增区间是[kπ+5π/12，kπ+11π/12]，学生还可以利用图像的平移变换来计算。通过增强学生的画图意识，拓宽学生的做题思路，让学生将知识点与图像结合起来，更有利于解答问题。

3.将三角函数知识融入教学过程

三角函数的知识点贯穿于整个高中数学学习过程中，所以教师应该将该知识点放到整体教学过程中，学生在学习其他知识的同时也能够对三角函数知识点进行复习与巩固。教师要创新教学方式，根据学生的学习规律来制订教学计划。