高中数学导数的概念及意义
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高中数学导数的概念及意义范文第1篇
关键词：导数与函数；交汇；命题
中图分类号：G632.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）01-0166-02
数学是一门具有独特魅力的学科。在高中数学里我们会学到很多有趣的数学符号以及复杂的函数，当然还有很多复杂的数学问题。高中数学主干知识包括函数与导数、数列、三角函数、证体几何、解析几何、概率与统计，这些主干知识足以支撑高中数学知识体系的主要内容，构成了高考数学试卷的主体。在函数与导数这一重点模块当中便有许多值得探究的问题，为了认清这一模块，我们将从导数与函数的思想概念、地位以及它们在数学中的应用着手，仔细分析导数与函数间的关系，为此我们作了研究并从例子中分析导数与函数的融会以及它们的作用。本文主要分成两部分，第一部分在参考了文献的基础上对导数与函数的概念及其关系做出了解答，并且详细地阐释了导数的思想及其在高中数学中的工具性地位。第二部分是论文的重点部分，在对导数与函数的运用中，通过导数解决单调性问题，通过导数求最值、证明不等式等展开对导数应用方面的诠释，包括了通过历年的高考例题来解析导数与函数在高考中的重大作用。
一、理解导数，掌握导数的思想和概念
1.高中数学中的导数概念。导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它是由平均变化率到瞬时变化率引出和定义的，导数的几何意义是曲线的割线逼近曲线的切线，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。导数可以说是新课程改革与旧课程的一个区分点，也是新教材的一个亮点。因为导数的应用非常广泛，它是连接高中数学与大学数学的纽带，用它可以解决许多数学问题。目前，随着新课程改革的不断推进，对导数知识考查的能力要求也逐渐提高，而且对导数的考查已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析问题和解决问题时的有力工具。
2.高中数学中导数的思想及工具性地位。函数与导数是高中数学的核心内容，在导数应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维、简化解题过程的目的。而导数已由解决问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性、极值、最值以及切线问题。
二、函数解题需要导数
1.函数中运用导数的思想。函数中运用导数的思想主要有四种：等阶转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想和数形结合思想。等阶转化就是“把要解的题转化为已经解过的题”就是把未知解的题转化到在已有知识范围内可解问题的一种重要思想方法。等阶转化在导数及其应用中主要用来解决有关恒成立、函数的单调性等问题。函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题、解决问题。方程问题是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程或不等式），然后通过解方程或不等式来使问题获解。而函数与方程的思想在导数及其应用中主要用来解决生活中的优化问题以及构造函数证明不等式问题。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。它在导数及其应用中主要用来求解单调区间、参数问题、极值、最值及恒成立问题等。数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来。数形结合思想在导数及其应用中主要用来解决方程根的问题。因为函数是贯穿中学数学的一条主线，是数学高考考查的重点。而函数是中学数学研究导数的一个重要载体。通常遇到复杂函数的时候难以利用普通的手段进行求解，所以采用对函数求导的方式可以克服此类问题，从而达到从繁化简的效果。
2.函数中导数的应用。高中数学中导数有很大的作用，主要表现在三个方面。①导数解决单调性问题，当函数表达形式比较复杂，并且用初等函数不能求解的时候，可以考虑使用导数求解的方法，通常可以求出函数的导数，然后再求解导数的不等式。函数f（x）=-（a+1）ln（x+1）其中a≥-f'（x）=ax-1/x+1，a≥-1，可以求f（x）的单调区间。函数f（x）的定义域是（-1，+∞）且函数的导数是f'（x）=ax-1/x+1.可以分成两个分进行求解，一部分是-1≤a≤0时，f（x）0时，f（x）=0，则无论是导数还是函数，都会随着x的变化而变化。根据x的取值变化可以化一个表来看函数和导数的变化范围和区间，由此可见，当a在（-1，+∞）区间变化时，函数是单调递减的，余下的部分是单调递增。导数在解题时出现最多的就是分类讨论的问题，解决此类问题，需要找到分类点和画表，根据表格x值得走向来判断函数是递增还是递减。②导数求解函数的最值问题，函数最值的问题也是常考的题型之一，对于闭区间的可导函数求其最值可以先求极值，根据极值与函数进行比较，确定最大值与最小值。函数f（x）=-x3+9x+a，闭区间[-2，2]，最大值为20，给出函数式子求最值。这种问题一般都会有两个问题：第一个问题，会对函数的单调增减区间进行探讨，然后给定一个闭区间求最值，最值包括最大值和最小值。第二个问题，闭区间会给你固定值，并且还会有最大的取值，从计算的过程中看，可以将闭区间两端的值代入导函数中，求出一个公式，f（x）=-24+a，f（x）=10+a，然后，根据第一问讨论的单调递增与递减区间的确定，确定其大小值，求解a的值。③导数证明不等式问题，导数证明不等式的问题，最关键的步骤要构造函数，利用导数判断单调性，来证明不等式。利用函数的单调性证明不等式，最关键需要构造一个函数，利用相应区间上证明不等式的知识来判断其单调性。根据以上的分析，可以解决数学的问题，并且也是有效的手段之一，思路很清晰，过程比较简单，能够加强导数的教学任务，可以提供一个清晰的思想，一个新的解题方法。
三、从高考命题来解析导数
1.导数在高考上的运用趋势。近几年来利用导数与函数、数列、三角函数、向量、不等式、解析几何等其他知识的交汇进行命题考查学生应用数学知识解决综合问题的能力已成为高考的一大亮点。因此，在命题上导数充分突显出其“工具性”的作用，在处理各类交汇性问题上，在处理曲线的切线、函数的最值（极值）及单调性、参数的范围、实际生活中的优化等问题方面，导数发挥着重大作用，所以导数是高考解答题命题的热点内容。例1：（重庆·理·16）f（x）=a ln x+1/（2x）+3/2 x+1，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴.（1）求a的值；（2）求函数f（x）的极值。解：（1）对f（x）求导，故f'（x）=a/x-1/（2x2）+3/2；由于曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，所以该切线的斜率为0，即f'（1）=0，所以a-1/2+3/2=0，解得a=-1。（2）由（1）知f（x）=ln x+1/（2x）+3/2 x+1，（x>0），则f'（x）=1/x-1/（2x2）+3/2=（3x2-2x-
1）/（2x2）=（3x+1）（x-1）/（2x2），x>0，令f'（x）=0，得x1=1，（x2=-1/3，不在定义域，舍去），当x∈（0，1）时，f'（x）
2.运用导数的解题技巧。①求导后导数的几个固定形式：a.含分母的导数形式f（x）=（mx2+nx+p）/x，此类导数由含lnx的函数求导得到，所以定义域为（0，+∞），此时导数的正负与分母无关，只要研究g（x）=mx2+nx+p，分m=0及m≠0时Δ与0的关系即可；b.含ex的导数形式，此类导数的正负与ex无关；c.含三角函数的导数形式，利用三角函数的有界性。②二次求导的使用：当遇到含ex的复杂形式函数时可以采用二次求导的方法，例如设函数f（x）=ex-1-x-ax2。若当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围。一阶求导f'（x）=ex-1-2ax，二阶求导f''（x）=ex-2a，由于x≥0，所以ex≥1，即2a与1的大小与二阶导数与0的关系，而二阶导数与0的关系决定一阶导数的单调性，若一阶导数单调则必有f'（x）≥f'（0）=0成立，从而获得原函数的单调性。③恒成立的应用：恒成立是导数问题中永恒的话题，归结为一句话就是恒成立即为求最大值与最小值问题，所以是导数应用的一个最重要的体现。在导数问题中，几乎所有的最后一问都要涉及到这类恒成立问题。
四、结论
1.重视导数方面的学习，弄清导数的概念。
2.有必要强调导数的工具作用。
3.进一步加深对函数的理解和直观认识。总之，导数引入中学数学教材后，使传统中学教学内容注入了新的生机与活力，如何更好地利用导数这一工具来重新认识原中学课程中的有关问题并为解题提供新的途径和方法已经成为当今中学数学教学要面对的崭新课题。
随着时代的发展，特别是适应课程改革和考试改革的需要，数学教学应“与时俱进”，重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵导数作为新增内容，在研究函数的性质中发挥了重要的作用。函数是高中数学的主线，因此导数与高中数学的融会关系将会更近一步。高中数学是高中课堂极为重要的一门功课，在高考中占据很大的分量。导数作为高中数学的重要知识，不仅蕴含着丰富的数学思想，也是一种简捷而有效的解题工具，对于解决数学问题有极大的帮助，因此本文希望通过导数与函数间解题研究能够帮助广大同学更好地学数学。
参考文献：
[1]王锦.导数在中学数学中的应用[J].学科建设，2012，（8）.
高中数学导数的概念及意义范文第2篇
关键词：数学素养；数学史；变化率；导数
数学史在数学教育中有着重要的地位，它在帮助学生理解新知识、新概念，掌握新方法等方面，有着很大的作用，同时在培养数学素养，感受数学精神，养成良好的习惯方面能起到很好的促进作用。本文通过导数概念的引入教学，从一个侧面反映出数学史在高中数学教学中的地位及作用，以求抛砖引玉。
一、数学史在高中数学教学中具有突出的重要性与必要性
《课程标准》明确提出：“让学生经历知识的产生、发展过程，感受数学的内涵与本质。”起初觉得执行起来非常困难，也没太大必要。随着经验的积累，笔者的这种想法发生了改变。学习科学能给人以力量，让人们受到鼓舞，获得信念与勇气，然而只是简单而粗糙地“告诉”学生这些科学，显然与新课程标准的精神不相符合。因此，让学生经历这些理论的形成的过程不仅能让学生获得科学知识，更重要的是让学生在学习过程中受到启发，培养勤于思考，勇于创新的能力，不断提高数学素养。
实践中，笔者大胆引入了数学史的教学。下面是笔者对该节课的教学设计，节选了其中的教学过程部分。
二、导数概念的背景及产生过程
（一）教学设想
遵循“创设问题情景提出问题分析问题解决问题”的原则。
（1）通过具体实例分析，让学生经历用变化率刻画变化的快慢，从平均变化率到瞬时变化率的认识过程，进而给出导数概念和导数的几何意义。
（2）通过导数概念的形成过程，理解生活中数学概念的基本发展过程，初步学会用极限的思想分析并解决问题。
（3）分析生活中的各种现象最后将其统一为数学中的导数概念过程，认识到数学与生活的联系和数学在实用性方面的巨大力量，进而对数学中蕴涵的理性美产生发自内心的欣赏情感。
（二）教学过程
平均变化率瞬时变化率导数。
1.平均变化率的再认识
通过教材中的实例分析，让学生理解平均速度可以刻画物体一段时间的运动快慢，并结合相应的图像，体会图像的“陡”“坡”与平均变化率的关系，最后抽象概括出平均变化率的一般数学概念：
y f（x1）-f（x0） f（x0+x）-f（x0）
x x1-x0 x ，
其中 x=x1-x0
2.瞬时变化率的认识
一方面，让大家理解瞬时速度的产生过程，另一方面，让大家理解切线斜率的产生过程，而这两方面正是牛顿与莱布尼兹的研究过程。
问题1：前面我们已经明白平均速度可以刻画物体一段时间内的运动快慢，那么在一点处的速度如何刻画呢？我选择了一个较为简单的例子：
若一物体运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为：s=t2，试估计t=5s这个时刻的瞬时速度。
学生经过一段时间的思考与分组讨论后，我介绍了相应的数学史：
因为瞬时的速度很难测量，直到牛顿的发现，这一难题才得到解决。大家想不想知道牛顿是怎样思考的呢？
能否用平均速度近似代替瞬时速度？如果可以，以怎样一个平均速度代替较好的呢？我选择了5～10s的平均速度，―=―=15m/s，此时的误差难以避免，但是能不能减少误差呢？刚才我选择的区间较大，能不能缩小些呢？大家在我的引导下，选择5～6s的平均速度，―=―=11m/s，误差缩小了，能不能再减少误差呢？大家发现随着区间的不断缩小，所得平均速度分别为10.1，10.01,10.001,10.0001，……越来越接近一个确定的常数10，到底5s处的瞬时速度为多少？很多同学说，近似为10m/s，大约是10m/s。我又问大家什么是大约10m/s，10.1叫大约，10.01也叫大约，10.001还叫大约，可见这种说法还不够科学准确。我告诉大家，如果当初牛顿只停留在无休止的运算当中，就永远也得不到伟大的结果，而只是停留在无休止的量变过程中。其实要完成从量变到质变的飞跃，只需跨出那小小的一步，我们共同想想：如何跨出那小小的一步，完成由量的改变到质的飞跃？那么在5s处的瞬时速度到底是多少呢？“10m/s，不多不少刚刚好。”大家较为整齐地回答。看起来大家好像明白了一些，但还是有疑惑，我就鼓励大家：人类经历这一过程花去了几百年的时间，而现在让大家用十几分钟的时间来理解确实很困难，随着时间的推移，大家的知识不断积累，会慢慢明白这一道理的，而后来恩格斯评价这一飞跃时称：“这是人类精神上的最高胜利。”
问题2：如图，P（xo，yo）是f（x）=x2+1图象上一点，那么如何求该图象在P（xo，yo）处的切线的斜率呢？
在x0过程中，割线AB的变化情况你能描述一下吗？请在函数图象中画出来。
引导学生观察：类比数、形的变化：
x0， B（x0+x，f（x0+x））A（x0，f（x0）），
当x0，割线AB有一个无限趋近的确定位置（演示动画），这个确定位置上的直线叫曲线在x=x0处的切线，请把它画出来。
x0，割线AB切线AD，则割线AB的斜率切线AD的斜率
有了前面的基础，大家理解起来简单容易得多，但同时也发现两个过程中具有相似之处，就是用无限逼近的思想，完成了由量变到质变的过程。
问题3：运用上面的方法求瞬时速度和切线斜率显然太过复杂，能否简化解题步骤呢？这样的问题是为了下节课导数的运算法则提供知识和思维的准备。
最后我让大家谈谈本节课的体会和收获，很多同学都谈到了收获知识的同时，感受到科学发现不仅需要勤奋不懈，更需要巨大的胆识与异于常人的勇气。
三、课后评价与反思
本节课在整个教学设计过程中始终围绕一个主题――探究前人伟大发现的足迹，再现当年历史。在教学过程中，让同学们感受到数学历史的发展，以及蕴涵在数学中深刻而丰富的哲学思想。通过这节课的学习，给学生以鼓舞与信心，促使他们达到端正学习态度的目的。
数学史在教学中的应用在高中阶段可以说无处不在，除了导数与积分外，像指数函数与对数函数、数列、简单线性规划等，都与数学史息息相关。在平时的教学教研活动中，教师如果能进一步探讨数学史与课堂的有效结合，必将促进学生学习数学知识的同时，使其受到良好的数学文化的熏陶。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.
高中数学导数的概念及意义范文第3篇
关键词 知识 技能 方法
近年来，数学复习资料名目繁多，许多教师过于依赖各类资料，在复习中忽视了书本中的基础知识。这中做法实际上相当于在复习中失去了基石，现谈谈本人的一些看法。
一、重视基础知识、基本技能、基本方法
课本是考试内容的载体，是高考命题的依据，也是智能的生长点，是最有价值的资料，有相当多的高考试题是课本中基本题目的直接引用或稍作变形得来的，其用意就是引导我们要重视基础，切实抓好”三基”(基础知识、基本技能、基本方法)。最基础的知识是最有用的知识，最基本的方法是最有用的方法。在复习过程中，我们必须重视课本，夯实基础，以课本为主，重新全面地梳理知识，方法，注重知识结构的重组与概括，揭示其内在联系与规律，从中提炼出思想方法。在知识的深化过程中，切忌孤立对待知识，方法，而应自觉地将其前后联系，纵横比较、综合，自觉地将新知识及时纳入已有的知识系统中去，注意通用通法，淡化特殊技巧。
近年来高考数学试题的新颖性，灵活性越来越强，不少学生把主要精力放在难度较大的综合题上，认为只有通过解决难题才能培养能力，因而忽视了基础知识、基本技能、基本方法的复习。其实近几年的高考命题已经明确告诉我们：基础知识、基本技能、基本方法始终是高考数学考查的重点。选择题、填空题以及解答题中的基本常规题已达到整份试卷的80%左右，对基础知识的要求也更高、更严了。如果我们在复习中过于粗疏，或在学习中对基础知识不求甚解，都会导致在考试中判断错误。其实定理、公式推证的过程就蕴涵着重要的解题方法和规律，如果没有发掘其内在的规律就去做题，试图通过大量地做题去“悟”出某些道理，只会事倍功半。
二、抓刚务本，落实教材
数学复习任务重，时间紧，但决不能因此而脱离教材。相反，要紧扣大纲，抓住教材，在总体上把握教材，明确每一章、每一节的知识在整体中的地位、作用。
近年来的试题都与教材有着密切的联系，有的是直接利用教材中的例题、习题、公式定理的证明作为高考题；有的是将教材中的题目略加修改、变形后作为高考题；还有的是将教材中的题目合理拼凑、组合作为高考题。因此，一定要高度重视教材，针对教材所要求的内容和方法，把主要的精力放在教材的落实上，切忌刻意追求偏题、怪题和技巧过强的难题。
学生对基础知识和基本技能的理解与掌握是数学教学的基本要求，也是评价学生学习的基本内容。高中数学中的基础知识、基本技能主要包括②，基本的数学概念、数学结论的本质，概念、结论等产生的背景、应用，以及其中所蕴涵的数学思想和方法，和它们在后续学习中的作用。同时，还包括数学发现和创造的一些基本过程。
高中数学考试的内容选取，要注重对数学本质的理解和思想方法的把握，避免片面强调机械记忆、模仿以及复杂技巧。尤其要把握如下几个要点：
1、关于学生对数学概念、定理、法则的真正理解。尤其是，对数学的理解，至少包括能否独立举出一定数量的用于说明问题的正例和反例。
2、关于不同知识之间的联系和知识结构体系。即高中数学考试应关注学生能否建立不同知识之间的联系，把握数学知识的结构、体系。
3、对数学基本技能的考试，应关注学生能否在理解方法的基础上，针对问题特点进行合理选择，进而熟练运用。同时，注意数学语言具有精确、简约、形式化等特点，适当检测学生能否恰当地运用数学语言及自然语言进行表达与交流。
三、加强通性通法的总结和运用
在复习中应淡化特殊技巧的训练，重视数学思想和方法的作用。常用的数学思想方法有：
1、函数思想。中学数学，特别是中学代数，可谓是以函数为中心（纲）。集合的学习，求函数的定义域和值域打下了基础；映射的引入，使函数的核心----对应法则更显现其本质；单调性、奇偶性、周期性的研究，是对映射更深入更细致的刻画；函数与反函数的研究，辨证全面地看待事物之间的制约关系。数列可以看成是特殊的函数。解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点；解不等式f(x)>0或f(x)
2、数形结合思想。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与树轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
数形结合的重点是“以形助数”。运用数形结合思想，不仅易直观发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理。大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优势，要注意培养这种思想意识，要争取做到“胸中有图，见数想图”，以开拓自己的思维视野。
3、分类讨论思想。所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的答案。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。 转贴于
分类原则：分类的对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。
分类方法：明确讨论对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合得出结论。
4、转化思想。将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法变换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想叫做化归与转化的思想。化归与转化的思想的实质是揭示联系，实现转化。
熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。
四、帮助学生打好基础，发展能力
教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能，发展能力。具体来说：
1、夯实基础、加强概念教学：历年高考都有40%左右分值比重的试题综合性较弱、难度较低、贴近教材，解答过程较为直观且命题方式相对稳定，用以考查学生基础知识的掌握情况。有40%左右分值比重的试题综合性较强，命题较为灵活，难度相对较高，用以考查学生的基本能力。知识是基础，能力的提高和知识的丰富是相互伴随的过程，要意识到基础知识的重要性，常规教学中一味求难求变的作法是不可取的，抓住基础知识是全面提高教学质量和高考成绩的关键。数学科学建立在一系列概念的基础之上，数学教学由概念开始，概念教学是基础的基础。数学具有高度抽象的特点，概念的形成是教学工作的难点。知识的发生发现过程是概念的形成过程，挖掘并精化知识的发生发现过程，直观展现知识的发生背景和前人的思维过程，是概念教学的关键。数学学习要理解诸多的概念及概念间的关系，概念教学贯穿于数学教学工作的始终。探讨概念间的关系，展示概念间的联系，把诸多概念有机地串接起来，有利于加深学生对概念的理解，有利于“辩证、普遍联系”的认识观念的形成，有利于探寻、解决问题能力的提高和数学思想方法的形成。
2、强调对基本概念和基本思想的理解和掌握。教学中应强调对基本概念的理解和掌握，对一些核心概念要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。
3、重视基本技能的训练。熟练掌握一些基本技能，对学好数学是非常重要的。在高中数学课程中，要重视运算、作图、推理、处理数据以及科学计算器的使用等基本技能训练。但应注意避免过于繁杂和技巧性过强的训练。
随着时代和数学的发展，高中数学的基础知识和基本技能也在发生变化。一些新的知识就需要添加进来，原有的一些基础知识也要用新的理念来组织教学。因此，教师要用新的观点审视基础知识和基本技能，并帮助学生理解和掌握数学基本知识、基本技能和基本思想。对一些核心概念和基本思想（如函数、空间观念、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等）要在整个高中数学的教学中螺旋上升，让学生多次接触，不断加深认识和理解。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质，注重体现基本概念的来龙去脉。在新课程中，数学技能的内涵也在发生变化，在教学中要重视运算、作图、推理、数据处理、科学计算器和计算机的使用等基本技能训练，但应注意避免过于繁杂和技巧性过强的训练。
参考文献
1.2009高考总复习全线突破（数学文科版）山东省地图出版社，2008.3
2.2008年江苏省高考说明（数学科）
高中数学导数的概念及意义范文第4篇
【关键词】多媒体体；优化；教学；提高质量
数学知识的传授、学生能力的培养主要是通过课堂教学来实现的，因此课堂授课的优劣直接影响到教学目标的实施和教学质量的提高。在数学教学过程中存在着大量的抽象性的概念和严密的推理。由于我们长期采用传统的教学手段，影响了教学质量的进一步提高。因此，多媒体的应用，可以优化课堂教学，大幅度地提高教学质量。多媒体在数学教学中的应用，展示了它前所未有的魅力，可创设数学情境，利用图文并茂的表现方式，生动地描述各种复杂抽象的数学对象关系，并配“色彩鲜艳的动画演示，形象逼真地模拟各种轨迹的形成过程。解决了学生对抽象数学知识形成发展过程感性认识的不足、不能深入理解数学思想方法等问题，从而起到优化课堂教学的作用，提高了课堂教学质量。下面，笔者谈一下如何应用多媒体，优化课堂教学。
一、应用多媒体体，优化开局，为提高教掌质量打好基础
通常说良好的开端，等于成功的一半。作为课堂教学来说也是如此。只有一开始就紧紧抓住学生，调动积极性，为课堂教学创设良好的情境，才能保证教学目标的实施。那么怎样运用多媒体来优化开局呢？
（一）应用多媒体设置悬念，激发学生的求知欲。心理学研究表明，“学生的学习兴趣是构成学习动机的一个重要方面”。多媒体全面加强了学生的感性认识，使学生感到新奇而有趣，能够迅速使学生进人学习状态。比如，在讲定积分的概念之前，可制作一个课件．配以轻音乐，借助动画给出三角形、圆、梯形的图形及面积公式，进一步出现曲边梯形的图形后启发学生“曲边梯形的面积怎样求呢？”从而引入定积分的概念，有效地激发了学生的求知欲。为新课创设奠定良好基础。
（二）应用多媒体缩短了“复习引入”的时间，使新旧课过渡自然，学习新课在学生最佳时刻呈现。数学课教学的基本程序为“复习引入——新授内容——巩固新课小结——布置作业”。作为复习引入，一方面起到巩同前面所学知识的作用，另一方面通过复习可以找出新旧知识的衔接点，起到承上启下的作用，因此这一步是必不可少的。而复习常常是给出一定数量的问题，通过对学生的提问来实施的。若是复习题不足，难以保证复习的效果；若是多一点往往义超过预定的复习时间，结果新课学习开始于学生精神亢奋期之后，注意力开始分散之时，这直接影响到新课的学习质量。运用多媒体可以增大复习容量，巩同已学知识，向新课过渡自然天成。
二、应用多媒体，优化教学结构，增大教学窖量，是提高课堂教学质量舶保证
兴趣是最好的老师，应用多媒体优化教学结构的目的就是让学生对学习数学有兴趣。而增大教学容量是提高质量的保证。
（一）应用多媒体教学，使数学由乏味到有趣，让学生变被动听为主动学。应用多媒体教学，数学课就会富有吸引力，巧妙的课件设计，使教学变得生动有趣、直观易懂。改变传统乏味的教学模式，调动学生的学习积极性，可以取得意想不到的效果。比如，在学习函数连续性这一节，课件可以采用渐进的方式给出函连续的图象和两类间断点的图象，通过演示讨论总结规律，教学效果会更好。同时借助课件增大例题容量，巩固新知，学生兴趣会很高，能达到事半功倍的效果。
（二）应用多媒体教学，可以使教学节奏张弛有度，改变学生因节奏平缓造成的思维沉闷状态。上课之初的复习阶段应用投影、录像是快节奏的，而在新课学习阶段，采用板书、投影等多媒体，加之教师有意识的放缓语调，使学生在一种平和的心境中接受新知识。当进入新课学习时，又可借助投影，增多题型，加快教学节奏，不断创设良好的教学情境，便可牢牢抓住学生的注意力，使他们轻松愉快、兴趣昂然地投人到数学学习中去。
（三）应用多媒体教学可以及时反馈教学信息，实现师生互赢。应用多媒体教学能够使学生的练习情况及出现的问题及时得到反馈和评讲，使学生的错误认识得以纠正，同时还能使学生新颖的解题思路得到展示推广，也有利于教师改进教学。
三、应用多媒体优化教学手段，突破重点、难点，扫扫除学习障碍
数学具有高度的抽象性，难以学习是学生公认的。究其主要原因是数与形的分离．抽象思维失去形的依托。我国著名数学家华罗庚曾指出：“数缺形时少直观，形少数时难人微。”该名言揭示了数与形相依相存不可分割的关系，有些重点、难点一味地利用讲述是很难理解的。运用现代化的教学手段——多媒体教学就能达到数形结合、化难为易、扫除学习障碍的目的。例如，导数的几何意义的理解是难点。运用多媒体制成动画课件，让过一定点的割线，在x0枷时绕定点转动的极限位置就是过定点的切线，定点的导数就是该切线的斜率。这就实现r数形结合、化难为易、直观易懂。
四、应用多媒体优化计算，提高掌生应用计算机处理数学问题的能力
高中数学中有许多问题需要解决，在应用时，有时需求极限、积分等，只靠人丁计算是难以完成的。为提高学生解决数学问题的能力．运用多媒体、优化计算是十分重要的，可以提高学生对有关数学问题的感性认识，还可以加深其对数学概念及方法的理解。
总之，多媒体是我们进行数学教学的重要辅助工具，能够帮助我们优化课堂教学，提高教学质量。
【参考文献】
[1]吴曼妮.利用多媒体优化数学课堂教学[J].教育艺术，2003，（6）.
高中数学导数的概念及意义范文第5篇
关键词：高考数学；试题导向；高考备考；主干知识
现在高考备考，很多师生认为数学成绩不好是题目做少了，依然是题海大战，试卷满天飞，盲目、重复的训练，以致师生苦不堪言。高考过后，师生反映一年的复习效果甚微，做的多是无用功，这确实令人痛心。寻找高效的复习方法，减少无用功，提高效率，是一线教师复习备考值得思考的问题。
高考题是命题专家的呕心沥血之作，对来年高考具有一定的导向和示范作用，教学中以高考题为例，让学生了解高考题，对他们高考成绩的提高有很大的作用。研究近几年特别是上一年的高考题，探寻高考命题趋势，是有效、针对复习的前提。研的内容、深度、广度，对师生的备考效率、效果产生巨大的影响，所以对教师来说，首先应该将高考题研究清楚，寻找正确的试题导向。
导向性的好题就是以考纲为纲，以课本为源，题目灵活新颖，不难不怪，考查基础知识的同时，注重考查能力。从高考试题的内容来看，基础知识和基本方法、思想不会有大的改变，改变的只是题目的背景，试题呈现的方式，着重考查能力，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养。下面我们从六个方面研究试题，体会高考导向，以利提高复习效率。
一、紧扣课程标准，突出基础
突出基础，紧扣“标准”，既是命题的核心，也是教学的核心。这样的试题也最能体现考查学生的数学素养。
例1 若正实数x， y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（ ）
A [245] B [285] C 5 D 6
本题是2012年高考数学浙江卷文科一道选择题，答案为C，虽然是小题，但内涵丰富，入手较宽，解法灵活。考生可以从两个方面入手解答本题，一方面从已知条件入手。思路1：消元，使目标变为一元函数。由x+3y=5xy得y=[x5x-3] ，又x>0，y>0，故x>[35]，3x+4y=3x+[4x5x-3] 。设f（x）= 3x+[4x5x-3]（ x>[35]）， （也可以消去x保留y）到此学生很容易会用导数法或基本不等式法求解易得答案。思路2：变成和为定值。因为x+3y=5xy，所以[3x]+[1y]=5（x>0，y>0 ）。基本不等式法就会想到，3x+4y=[15]（[3x]+[1y]）（3x+4y）= [15]（[3xy+12yx+13]），因为[xy]>0，所以3x+4y[≥] [15（3×2][xy・4yx] +13）=5。当且仅当 [xy=4yx]且[3x]+[1y]=5，即当x=1，y=[12]时等号成立。另一方面，从所求目标入手。设3x+4y=t，（ x>0，y>0，t>0 ）。可以整体代换法求解，因为x+3y=5xy，所以[3x]+[1y]=5，又3x+4y=t.两式相加得t+5=3x+4y+[3x]+[1y]=3（x+[1x]）+（4y+[1y]）[≥]3[×2]+2[×2]=10，所以t[≥5]，当且仅当x=1，y=[12]时等号成立。（当然也可以相乘解答）
此题有多种解法，可以从多方面考查学生的基础知识和基本技能是值得研究的一道好题。对此类题目分析研究不仅使学生掌握基础知识，还可以增强学生的发散思维能力，达到举一反三、触类旁通的目的。
二、突出主干知识
高中数学课程中，主干知识仍然是数列，三角、统计与概率、立体几何、解析几何和函数、导数、不等式；高考试题与教材联系紧密，注重基础，突出主干，强调思维，反复强调“函数”、“运算”、“图形”、“算法”等等思想。它们的作用不能等同于知识点，不能等同于技能，也不能等同于一般的思想方法，他们始终贯穿高中数学课程，构成高中数学的基本脉络。高考试题强化考查考生对主干知识的认识和理解，他们反映了数学中更为丰富的东西，最终影响了学生将来的学习和工作。近几年安徽自主命题风格基本保持不变，下面以主干知识之一数列考查为例来看近几年安徽高考题。
① 2011年安徽理科第18题：在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T[n]，再令a[n]=lg T[n]， n[≥1].
（Ⅰ）求数列{ a[n]}的通项公式；
（Ⅱ）设b[n]=tana[n][・]tana[n+1]，求数列{ b[n]}的前n项和S[n].
本题考查等比数列通项公式以及数列与三角函数的综合 。
② 2012年安徽理科第21题：数列{x[n]}满足x[1]=0，x[n+1]=-x[2n]+x[n]+c（n[∈]N[*]） .
（Ⅰ）证明：{x[n]}是单调递减数列的充分必要条件是c
（Ⅱ）求c的取值范围，使{x[n]}是递增数列.
考查数列概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，着重考查综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解的能力，推理能力不是数列递推，这一点值得注意。
③ 2013年安徽理科20题：设函数f[n]（x）=-1+x+[x222]+[x332]+…+[xnn2]（x[∈]R， n[∈]N[*]），证明：（Ⅰ）对每个n[∈]N[*]，存在唯一的x[n][∈][[23]，1] ，满足f[n]（x[n]）=0；
（Ⅱ）对任意p[∈]N[*]，由（Ⅰ）中x[n]构成的数列{ x[n]}满足0
考查导数及应用，函数零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，同时考查推理论证和运算求解的能力，属于难题。
④ 2014年安徽理科21题：设实数c>0，整数p>1，n[∈]N[*].
（Ⅰ）证明：当x>-1且x[≠]0时，（1+x）[p]>1+px；
（Ⅱ）数列{a[n]}满足a[1]>c[1p]，a[n+1]=[p-1p] a[n]+[cp] a[n][1-p] .
证明：a[n]> a[n+1]> c[1p] .
本题第（Ⅰ）问，来源于课本选修2-2数学归纳法一节的例题，是大学数学中最常见的贝努力不等式，用数学归纳法简单证明。体现试题入口宽、面向全体考生的特点。第（Ⅱ）问，对考生的推理、证明能力，运算求解能力，分析解决问题的能力要求很高，绝大多数考生感到束手无策，但是此题并没有超纲。本题对于引导学生回归课本，改变死做题的学习方式，倡导理性思维、强化探究能力的数学教学与学习同样有很好的导向作用。同时与2012年安徽数学高考21题的解题思路基本一致，具有高等数学背景，是衔接初等数学和高等数学的一个极好题目，感知这种变化，在复习时加以重视。
三、突出几何直观
[?] 课程标准[?] 要求注重图形语言，多画一些几何图形，给我们带来的不仅是逻辑严密更是直观。在选择题中，图像问题常用到函数单调性、奇偶性、极值、特殊点处的函数值等。好的高考题通常都蕴含着丰富的几何背景。
例2 （2012年高考数学重庆卷理科第10题）设平面点集A={（x， y）颍y-x）（y-[1x]）[≥]0}，B={（x， y）颍x-1）[2]+（y-1）[2][≤]1}，则A[?]B所表示的平面图形面积为（ ）.
A [3π4] B [3π5] C [4π7] D [π2]
题中有考生熟悉的三个图形，圆（x-1）[2]+（y-1）[2]=1与y=[1x]均关于y=x对称，图中有美，美不胜收，题目把三个如此优美的曲线放在一起，让人喜欢上数学的图形美。即使不画出图形，按美学原理，从对称出发，只看选项就能选出正确答案D，这样的试题，能激起学生对数学学习的热爱。三个几何图形在课本中经常看到，体现高考源于课本，高于课本的命题思路。这样的考查对于教与学中重视基本几何图形的掌握有好的引导作用，要求我们对基本初等函数的图像和性质熟练掌握。
四、能正确体现基础与本质的关系
基础知识的概念与本质是两个不同的概念。做习题是为了更好地把握概念、定义、定理及性质的本质，若是只做题而不去思考把握问题本质，只会浪费复习时间，增加学习负担，若能重视对问题背后的数学本质的追溯，无疑能有效提高教与学的效率，培养学生的数学意识与数学能力。
例3 设[α]为锐角，若cos （[α] +[π6]）=[45]，则sin （2[α] +[π12]）的值为
这是江苏2012年高考理科第11题，很多教师认为这道题考查的是三角恒等变角技巧，并且强调角的变换是最重要的三角恒等变换之一。要注意将已知角与所求角，特殊角与一般角之间建立联系，然后选择恰当的三角公式，是解答此题的关键。由于技巧性太强对学生来说有一定的难度。这些看似强调基础知识和基本技能，但不是三角函数的本质。本题可以深入思考找到解题思路，由cos（[α]+[π6]）=[45]说明[α]+[π6]也是已知的，当然求值时要把目标角2[α] +[π12]转化为已知角，即2（[α]+[π6]）+[π12]-[π3]=2（[α]+[π6]）-[π4]。这样化未知角为两个已知角的思考，就抓住了问题的本质，三角函数是以角为自变量的特殊函数，是函数值与自变量之间的对应关系，而不是变角技巧。由此出发才能化未知为已知，找到解决问题最基本的思维方法。
五、重视阅读能力，处理新信息能力的考查
学生进入高校或者社会，能否继续发展，很大程度上取决于他们的学习能力，特别是阅读理解能力则是继续学习的前提。数学是一种语言，由于其高度抽象，符号众多，成了学生进入高校继续学习数学的障碍。近年高考对阅读能力的考查加大了力度，考点集中在符号语言，图形语言、文字语言、图表语言上。
例4 （ 2014年安徽高考理科数学15题）已知两个不相等的非零向量a， b，两组向量x[1]，x[2]，x[3]，x[4]，x[5]和y[1]，y[2]，y[3]，y[4]， y[5]均由2个a和3个b排列而成。记S= x[1][・] y[1]+ x[2][・] y[2]+ x[3][・] y[3]+ x[4][・] y[4]+x[5][・] y[5]，S[min]表示S所有取值中的最小值。则下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）。
①S有5个不同的值；
②若a b ，则S[min]与OaO无关 ；
③若a∥b ，则S[min]与Ob O无关；
④若Ob O>4OaO，则S[min]>0；
⑤若Ob O=2Oa O，S[min]=8OaO[2] ，则a 与b 的夹角为[π4]。
此题是填空题的压轴题，要求学生对每个问题都能正确做出判断，一错则错，并且此题更是复合型题与信息题两者的完美结合，试题新颖且有创造性，对数学知识、数学方法的考查全面、深入。信息题它可以有效考查学生即时阅读、理解信息的能力，以及抽象概括信息与运用信息的能力；同时本题对数学思想方法的考查也很深入，主要考查分类讨论的数学思想方法和函数方程思想，属于难题。对于①讨论a ，b 有0、2、4组对应数量积，得到S最多有三个不同的值，①错；因为a ，b 是不等向量，所以S[1]-S[3]=2（a - b）[2]0， S[1]-S[2]=（ a - b）[2]0 ， S[2]- S[3]=（a - b）[2]0， 所以S[3]S[2]S[1]，故S[min]= S[3]= b [2]+4 a[・]b ，对于②，当ab 时，S[min]= b [2]，与OaO无关，②正确；对于③显然S[min]与ObO有关，③错误；对于④设a ，b 的夹角为[θ]，则S[min]= b [2]+4 a[・]b16OaO[2]+16OaOcos[θ]=16OaO[2]（1+ cos[θ]）≥0，故S[min]0， ④正确；对于⑤，ObO=2OaO，S[min]=8OaO[2]，所以cos[θ]=[12]，又[θ][∈][0，[π]]，所以[θ=π3]，⑤错误。
安徽省近几年的15题都是复合型填空题，阅读能力的考查要求很高，所以教学中要多多强调。本题是向量运算综合问题，主要考查向量的数量积运算、夹角公式、不等式性质。安徽高考在向量这个地方一直想创新，本题是个很新颖别致的问题，为2015年的高考提供了一个范例。
六、强调应用意识，体现数学文化价值，引导学生积极主动的学习
