数学中的反证法

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数学中的反证法范文第1篇

关键词：反证法；数学；证明

【中图分类号】G633.6

1 引言

公元前六世纪中期的古希腊七贤之首--泰勒斯最早引入了数学证明的思想，公元前三世纪的古希腊数学家欧几里德第一个最广泛、最娴熟地运用了数学证明，我国数学家江泽函则指出："没有数学证明，就没有数学"。反证法是数学证明中的一种间接证明方法，在数学命题的证明中被广泛应用。欧几里德证明"素数有无穷多"、欧多克斯证明"两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方"、"鸽子原理"和"最优化原理"的证明等都用了反证法。但是由于在现行的各种教材中没有对反证法给出系统的介绍，学生对反证法原理的理解和恰当地运用也存在不少的问题，故本文在此"抛砖引玉"。

2 反证法内涵

2.1 什么是反证法

法国数学家阿达玛说过："反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。"即先假设命题中结论的反面成立，结合已知的定理条件，进行正确的推理、论证，得出和命题中的题设或前面学习过的定义、公理、定理、已知的事实相矛盾，或自相矛盾的结果，从而断定命题结论的反面不可能成立，因而断定命题中的结论成立，这种证明的方法就叫做反证法。

2.2 反证法的原理

2.2.1 矛盾律

矛盾律是亚里士多德的形式逻辑的基本规律之一，其基本内容是：在同一个论证过程中，对同一对象的两个相矛盾的、对立的判断，其中至少有一个是假的，它的公式是：不是。如对""这个对象，"是有理数"和"是无理数"的两个判断中至少有一个是假的。

2.2.2 排中律

排中律是形式逻辑的由一个基本规律，其基本内容是：在同一个论证过程，对同一对象的肯定判断和否定判断。这两个相矛盾的判断必有一个是真的，它的公式是：或者是或者是，排除了第三种情况的可能，在数学论证中常根据排中律进行推理。如要证明"是有理数"，只要证明"不是有理数"不真就够了。这是因为"不是有理数"和"是有理数"是对象的两个相矛盾的判断，根据排中律，其中必有一个是真的。

2.3 运用反证法证明论题的步骤

运用反证法证明数学命题""，首先，必须弄清楚命题的条件和结论，然后按以下步骤进行论证：

第一步：否定命题的结论，作出与相矛盾的判断，得到新的命题；

第二步：由出发，利用适当的定义、定理、公理进行正确的演绎推理，引出矛盾结果；

第三步：断定产生矛盾的原因，在于判断不真，从而否定，肯定原结论成立，间接证明了原命题。

分析上述三个步骤可以发现，运用反证法的关键在于由新的论题演绎出一对矛盾，一般为推出的结果与某一定义、定理、公理、已知条件、所作题断矛盾，或是推出两个相互矛盾的结果。

值得注意的是在运用反证法证明命题时要认真细致地审题，若发现与论题结论相矛盾方面有不止一种情况，必须予以一一否定。且有时并非全部运用反证法，它可能只在证明过程中部分地出现。

3 反证法在证明论题中的运用

反证法是重要的证明方法，在几何、代数等领域都有广泛的运用，现分类举例说明。

3.1 反证法在几何中的运用

3.2 反证法在代数中的运用

4 结语

由上可知，用反证法证明一些问题时，有着其它方法所不能替代的作用。师生在了解了反证法的特点、证明过程及应用"须知"后，加强训练、不断总结，就能熟练地运用了。

参考文献：

[1] 杜永中.反证法[M].四川：四川教育出版社，1989：20.

[2] 黄志宁.谈谈反证法[J].福建商业高等专科学校学报，2000，20（4）：24-25.

数学中的反证法范文第2篇

关键词：反证法；数学；应用

中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2013）-10-0310-02

法国数学家达玛说：“反证法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。”这是对反证法精辟的概括。在数学教学中，作为一名教师不仅要重视知识的传授，更应该重视对学生进行智力开发和能力培养。反证法是突破思维定势，从相反的方向研究事物的运动，无疑是一种开拓思路的方法，可以增强学生的学习兴趣和思维转换能力，对提高学生的分析问题和解决问题的能力将大有益处。

一、反证法的概念

反证法就是从否定命题的结论出发，经过推理，得出和已知条件或和其他命题相矛盾的结论，或在推理过程中得出自相矛盾的结论，从而达到命题结论正确的数学方法.欲证命题“A是B”，从反面推导“A不是B”不能成立，从而证明“A是B”。它从否定结论出发，经过正确，严格的推理，得到与已知（假设）或已成立的数学命题相矛盾的结果，查处产生矛盾的原因，不是由于推理的错误，而是开始时否定结论所致，因而原命题的结论是正确的。以上内容可以简单概括为：反设、归谬、结论三个步骤。

二、反证法证题的步骤

用反证法证题一般分为三个步骤：

1.反设 假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立；

2.归谬 由“反设”出发，根据已知公理，定义，定理等进行层层严密正确的推理；

3.结论 在推理过程中出现矛盾，说明反设不成立，从而肯定原结论成立。

下面举几个例子来说明数学中是如何应用反证法的。

例1 证明：在ABC中，若sinA

证明 假设∠A不是锐角，则∠A必是直角或者钝角。

I.如果∠A是直角，则sinA=1

II.如果∠A是钝角，令∠A=180°-？琢（？琢为锐角）.则sinA=sin（180°-？琢）=sin？琢

由于∠B是锐角，所以a

综上所述，由I，II可知，∠A必为锐角。

三、反证法中常见的矛盾形式

1.与题设矛盾

例2 若0°

证明 设sinx=cosx，则sin2x=cos2x？圯1-cos2x=cos2x=■.

所以 即x=45，这与0°

从而sinx≠cosx.

2.假设矛盾

例3 已知？琢，？茁为锐角，sin（？琢+？茁）=2sin？琢，，求证？琢

证明 设？琢≥？茁，则2？琢≥？琢+？茁.由于2sin？琢=sin（？琢+？茁）≤1，可得sin？琢≤■，即？琢≤30°.

因此2？琢，？琢+？茁都是锐角.

所以sin（？琢+？茁）≤2sin？琢，即2sin？琢≤sin2？琢.

由此可得：cos？琢>1与假设矛盾.

从而？琢

3.与已知的定义，定理，公理矛盾，即得出一个恒假命题

例4 已知如图，弦AB，CD都不是直径，且相交与点P，求证： AB，CD不能互相平分.

证明 假设AB与CD能互相平分，即PA=PB，PC=PD.

又因AB，CD，都不是直径

所以P点与圆心不重合

故存在线段OP，连接OP

又因PA=PB

所以OPAB（平分弦的直径垂直与弦）

又因PC=PD

从而OPCD（平分弦的直径垂直与弦）

这样，过点P有两条直线AB，CD都垂直与OP，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的公理想矛盾，故AB与CD不能互相平分.

注：有些题看似简单，但要从正面入手几乎是不可能的。

4.自相矛盾

例5 如果一个三角形的两个内角的角平分线相等，则这个三角形是等腰三角形.

已知在ABC中，角平分线CW，CV相等.求证：AB=AC

证明 如右图，过V与W分别引直线平行于BA与BV，设交点为G，连接CG，分别用？琢，？茁表示，∠ABC，∠ACB的一半，用？茁'，？琢'分别表示∠VCG，∠VGC，则由WG=BV=CW，可知WG=CW，故∠WGC=WCG.即？琢+？琢'=？茁+？茁'.

设AB≠AC，则？茁≠？琢，例如？琢>？茁（如果？茁>？琢，同理），于是由？琢+？琢'=？茁+？茁'得到？琢'>？茁'，故VG>VC，因为VG=BW，所以VC

但在CBV与BCW中，BC=CB，BV=CW，？琢>？茁，故VG>BW，同VG

四、应用反证法证题中应该注意的问题

1.有些几何问题用反证法证明时，常常把图形故意作错，在否定了假设之后，这些图形就被否定了。

2.反证法中要对结论做全面的否定.尤其要注意的是，遇到“都…”，“所有…”，“任何…”这一类结论，而要否定时，最易犯的毛病是把“不”加到表示“全体”含义的词后面，犯了否定不全的错误。

3.否定结论后要求推理正确无误，步步有据，并且要真正推出矛盾。由推理本身的错误而产生的矛盾，不能作为反证法的依据。

4.在推理过程中必须要用到“已知条件”，否则证明将会出错。

5.反证法一般无需特意去证某一特定结论，只要由否定结论而导致矛盾即可。

通过以上对于反证法的种种表述，我们知道了反证法在数学解题中有着举足轻重的作用，它不仅是一种重要的证题方法，而且对于传统的定向解题的思维模式是一种创新，这更有利于提高数学中提倡的逻辑思维，因此掌握好反证法是非常重要的。

参考文献

[1]沈文选.初等数学解题研究[M].湖南：科学技术出版社，1996.

[2]李翼忠.中学数学方法论[M].广东：高等教育出版社，1986.

数学中的反证法范文第3篇

关键词： 反证法 逻辑原理 应用

一、三段论的格

作为一门古老的学科，逻辑已有两千多年的历史。所谓逻辑就是一种能够保留预设真值的推理方法。作为逻辑的基础，我们当然不能忘记亚里士多德和他的三段论。然而关于三段论人们还是广泛存在着误解。

通常人们所言的三段论并非完全意义上亚里士多德的理论，就如同中学课本中的几何公理化体系与《几何原本》相差甚远一样，生活中最常见的三段论只是亚里士多德所划分的二十四个式中的一种形式，而亚里士多德的成就更多体现在《后分析篇》中关于公理化的研究，这一点离大众过于遥远，在此不作讨论。

更重要的是，人们对于直言三段论的基本形式过于忽略，而这种形式对推理有决定性的作用，请看下面两个例子。

推理1 推理2

所有植物都需要水 所有植物都需要水

三叶草是植物 三叶草需要水

所以三叶草需要水 所以三叶草是植物

这两个推理都正确吗？尽管前提都正确，结论就常识而言也没有错，但是从逻辑角度看，推理2是错误的，因为从“三叶草需要水”推出“三叶草是植物”其实证据不足，如推理1所示，正确的推理形式是这样的：

1.所有B是A

2.并且所有C是B

3.那么所有C是A

这就是基本的逻辑定理，其中1、2称为前提，3称为结论。正确的形式为前提1的主项是前提2的谓项，其余词项组成结论，此时前提的真值必然决定结论的真值。这种形式称为三段论的格，用Venn表示如图1，C是A的子集是很明显的。

图1

反观推理1与推理2，我们在应用三段论时一定要严谨。其实很多结论不严密的推理大多都犯有词项位置的错误。

二、反证法的原理

反证法是一种简单却又行之有效的证明方法，从其创立至今就一直被广泛使用。它的优点是，即使不知道怎样直接证明，也能辨别该命题的真伪。最基本的事实便是，一个命题的反命题导致了矛盾，则原命题是正确的。

在反证法中，我们把待证的结论的反面作为一个前提，依据正确的三段论原理推理，并最终寻找出与现实的直观矛盾或于理不符之处。而结论的真假由前提而定（前文已论述），这个矛盾说明假设有误，因此它的反命题（即待证命题）是正确的。

三、反证法在中学阶段的应用

以上叙述了逻辑推理的基础和反证法的原理，下面是关于反证法应用的讨论。

中学阶段中，反证法在几何中的应用并不多见。然而，平面几何中的反证法却妙不可言，它们精妙的构思令人赞叹，阿基米德甚至用此法证明了圆的面积计算公式。在此我摘录《原本》中的一个命题为反证法的一个例子。

如果两圆相交，那么它们不能有相同的圆心。

设：圆ABC与圆CDG相交与B、C两点（如图）。

证明：假设有相同的圆心为E，连接EC，任意连一条线EFG，

因为G为圆ABC的圆心，所以EC等于EF，

又因为E为圆CDG的圆心，所以EC等于EG，

所以EG等于EF。

于是部分大于整体（违背第5公理）这不可能。

所以：E不是圆ABC、CDG的圆心。

所以：两圆相交不可能有圆，证完。

另一个例子来自图论，有过竞赛经历的人对此模型是非常熟悉的。

两人或两人以上的人群中，人们互相与熟人握手，那么至少两个人的握手次数相同。

证明：以人为顶点，仅当两个人握手时，在此二人间连一边，构成一个图G（V，E），设V=［V，V，…，V］，不妨设各项的度数为d（v）≤d（v）≤…≤d（v），

若等号皆不成立，则有d（v）＜d（v）＜d（v）＜…＜d（v），

（1）若d（v）=n-1，则每个顶点皆与v相邻，于是d（v）≥1，

所以d（v）≥2，…，n，d（v）≥n与d（v）=n-1相违.

（2）d（v）＜n-1，由于d（v）＜d（v）＜…＜d（v），且d（v）≥0，d（v）≥1，d（v）≥2…d（v）≥n-1，与d（v）＜n-1相违，故假设不成立，所以d（v）≤d（v）≤…≤d（v），其中至少有一处等号成立，即至少两个人握手次数相同，证完。

通过两个例子的展示，反证法行之有效的特点一目了然。不过反证法构造的技巧性是有难度的。因此我在这里总结中学数学中反证法的常用场合。

（1）命题以否定形式出现；

（2）唯一性的命题；

（3）命题结论中有“至多”，“至少”的形式；

数学中的反证法范文第4篇

1、配方法

所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，使其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和的形式，通过配方解决数学问题的方法叫做配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式，配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分广泛。在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的最大值最小值以及解析式等方面，都经常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，因式分解是恒等变形的基础之一，它作为数学的一个有力工具、一种解题方法，在代数、几何、三角的解题中起着重要的作用，因式分解的方法有许多，除课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法外，还可利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等来分解。

3、换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元。所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式中，用新的变元去代替原式的一个部分，或改造原来的式子，使它简化，从而使问题易于解决。比如，在解分式方程时就会用到这种方法。

4、待定系数法

在解数学题时，有时所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，那么我们可以根据题设条件列出关于待定系数的等式，然后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题。这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。在反比例函数、一次函数的问题中，经常用到这种方法。

5、构造法

在解题时，我们常常会采用这样的方法：通过对条件和结论的分析，构造辅助元素（它可以是一个图形、一个方程（组）、一个等式、一个函数、一个等价命题等），架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，称为构造法，运用构造法解题，可以使代数、几何、三角等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。

6、反证法

反证法是一种间接证法。它先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定原先的假设，达到肯定原命题正确的目的，反证法可以分为归谬反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：⑴反设；⑵归谬；⑶结论。

7、面积法

平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质、定理，不仅可用于计算面积，而且用它们来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果，运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积法，它是几何中的一种常用方法。在证明勾股定理时，我们就常常用面积法。

用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难往往在于添置辅助线。面积法的特点是把已知量和未知量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的目的，所以，用面积法来解几何题，几何元素之间的关系变成了数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置或少添置辅助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。

数学中的反证法范文第5篇

关键词： 初一数学教学 数学逆向思维能力 培养策略

在当今社会，教育以分数为重的现象依然很突出，教学的功利性非常越明显。填鸭式教育不仅无法做到寓教于乐，重理轻文，重智力轻德育，重知识灌输、轻能力培养的现象使一大批学生背负着沉重的学习压力，最终的结果是他们逐渐变成学习的机器，渐渐失去学习兴趣，成为教育的牺牲品。为了改变这种现状，激发学生的学习热情和积极性，必须进行课堂教学改革，而数学教学中逆向思维的培养是一种有效而且必需的方法。

一、逆向思维的涵义

逆向思维是指与正常思维正好相反的一种思维方式。在教学中，逆向思维是指从结论逆向一步步找出结论需要具备的条件，从而达到解决问题的目的。逆向思维具有极其严密的逻辑性、推理性，能更好地培养学生的逻辑思维能力。初一数学教材中有着大量互逆关系的数学知识，如互逆公式，互逆法则，互逆定理，等等。在教学中，培养学生运用逆向思维解决实际问题的能力，必须加深学生对互逆关系的理解与分析，从而不断培养学生逆向思维的灵活性，从正向思维向逆向思维的持续能力。

二、逆向思维能力培养策略

课堂教学实践表明：许多学生之所以处于低层次的学习水平，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，定性于顺向学习公式、定理等并加以死板套用，缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神。因此，加强逆向思维的训练可改变其思维结构，培养思维的灵活性、深刻性和双向思维能力，提高分析问题和解决问题的能力。迅速而自然地从正面思维转向逆向思维，正是数学能力强大的一种标志。笔者认为，培养学生逆向思维能力有以下几种途径。

1.重视在概念、定义教学中培养学生的逆向思维。

数学中的定义是通过揭示其本质而来的，定义都是充要条件，均为可逆的。所以，其命逆题也是成立的。因此，定义既是某一个数学概念的判定方法，又是这一概念的性质。在教学中应充分利用这一特征，尤为注意定义的逆用解决问题。在定义的教学中，除了让学生理解定义本身及其应用外，还要善于引导启发学生逆向思考，从而加深对定义的理解。

如绝对值是这样定义的：“正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。”除了从正向理解计算，还要教学生逆向理解。如“计算|5|=？|-5|=？”，这是从正向理解计算，“一个数的绝对值等于5，这个数是多少？”，这是逆向理解计算。

2.在兴趣培养过程中增强逆向思维意识。

随着年龄的增长，初一学生的有意注意进一步发展，但兴趣在学习中仍起着重要作用。由兴趣引起的无意注意在学习中仍是不可缺少的因素。所以教师应根据授课内容，创设良好的教学情境，激发学生的学习兴趣和求知欲望，促进学生积极思维，有利于培养学生的逆向思维，取得最佳教学效果。我们以学生为主体，教师为主导，通过层层设问，及时指点启迪，创设良好的思维情境，结合图形，激发学生联想，引导学生步步深入，形成逆向思维。

3.将逆向思维渗透到解题方法的教学中。

教师对定理的教学、命题的教学、公式的教学都是为了一个相同的目的。这个目的就是帮助学生迅速准确地解题，在解题过程中同样可以运用逆向思维。

（1）反证法。数学中有一些命题很难从正面推断出结论，对于这些命题可以采用反证法。反证法是一种间接的证明方法，即根据已知条件推理判断命题的相反面是错误的，进而说明命题是正确的。反证法的运用能够拓展学生思维的深度。

（2）举反例法。学生在做选择题时使用反证法往往会收到事半功倍的效果。举反例法就是找到某个满足命题的条件，但在这个条件下命题结论无法成立的例子，这样做的目的是说明命题不正确。能否熟练运用举反例法取决于学生思维是否敏捷。

（3）分析法。分析法也叫做逆推证法，分析法在各个题型中都适用，在条件探究题中使用较多。使用分析法的前提是学生知道解题过程可逆，从结论倒推命题成立的条件。分析法对学生的综合能力要求比较高。

4.设置习题训练，锻炼学生的逆向思维。

数学问题的解决方法有很多种，如分析法、反证法等，这些方法的应用实际就是对逆向思维的运用。分析法是几何课程中锻炼学生逆向思维能力的重要方法。所以，教师在几何教学中要加强对学生分析法的授予。如根据定理“同位角相等，两直线平行”进行平行线判定时，笔者首次向学生讲述了分析法的应用。教师要结合课本实例进行例题分析，使学生充分理解分析法的内涵，从而提高学生的逆向思维能力。

初一数学教学对学生逆向思维的开发有助于学生摆脱固有的思维模式的束缚，不断发现新的思路和新的方法，帮助学生全面地分析问题和解决问题，从而为学生更高水平的学习奠定坚实的基础，为培养学生的创新能力和创新思维提供指导。

参考文献：

[1]周兰萍，夏海峰.逆向思维在初中数学习题中的应用[J].数学学习与研究，2013，24：30.

[2]刘如.探讨初中数学教学中的逆向思维[J].数理化解题研究（初中版），2014，02：32.