数学思维的含义
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数学思维的含义范文第1篇
学生进入高中，学习集合这一基本工具后，就开始了高中函数的学习。用集合的观点定义了函数，进而开始了对函数的研究。然而，不管是求函数解析式、值域，还是研究其性质，都离不开对定义域的研究。
一、函数关系式与定义域
函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：
例1：用篱笆围一个矩形菜园，现有篱笆总长度为100m，求矩形菜园的面积S与矩形长x的函数关系式？
解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：S=（50-x）
故函数关系式为：S=x（50-x） .
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围： 0
即：函数关系式为：S=x（50-x） （0
这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。这体现了思维的严密性，培养学生此项品质是十分必要的。
另外如：y=x和 虽然对应关系相同，但定义域不同，也是不同的函数。
二、函数值域与定义域
函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：
例2：求函数 的值域.
错解：令
故所求的函数值域是 .
剖析：经换元后，应有t≥0，而函数 在[0，+∞）上是增函数，
所以当t=0时，ymin=1.
故所求的函数值域是[1， +∞）.
以上例子说明，变量的允许值范围的重要性，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。
求函数值域，往往也会想到函数最值的求解。这里以二次函数
为例举例说明。
例3：求函数 在[1，4]上的最值.
解：
当 时，
初看本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到此题定义域不是R，而是[1，4]。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。学生只知道利用对称轴求二次函数最值。然而，那往往是定义域是R的时候，当条件改变时，需要考虑完善。本题还要继续做下去：
f（4）=42-4x4-5=-5
函数 在[1，4]上的最小值是-9，最大值是―5.
这个例子说明，在函数定义域受到限制时，应注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，这说明思维的灵活性很重要。
三、函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：
例4：求出函数f（x）=1n（4+3x-x2）的单调区间.
解：先求定义域：
函数定义域为（-1，4）.
令 ，知在 上时，u为减函数，
在 上时， u为增函数。
又
即函数 的单调递增区间 ，单调递减区间是 。
如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。此题正解应该是函数 的单调递增区间 ，单调递减区间是 。
四、函数奇偶性与定义域
判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：
例5：判断函数 的奇偶性.
解： 定义域区间 不关于坐标原点对称
函数 是非奇非偶函数.
若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性
如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性可能得出如下错误结论：
函数 是奇函数.
综上所述，在求解函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，就能提高学生辨析理解能力，有利于培养学生的数学思维品质，激发学生的创造力。
参考文献：
数学思维的含义范文第2篇
关键词：小学数学；符号；阅读兴趣；方法
著名数学家华罗庚指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，地球之变，生物之迷，日用之繁”无一能离开数学。对数学地位如此精辟的概述，可见数学传递给世界的，除了逻辑推理知识以外，也有其独特的艺术魅力。农村小学生参与到家务工作中去的时间较多，在基础理论方面的把握和理解上相对薄弱，因此，需要从数学符号本身传达的实质含义、生活化含义入手，培养学生对数学符号的阅读兴趣，使学生在阅读数学符号的同时能够感受到数学逻辑思维带给他们的愉悦的情感体验。
一、从数学符号开始阅读
“×÷■±≠=≮≯∑”是运算符号；“∠⌒≌°|a|∽”是几何符号；“∪∩∈Φ？埭”是集合符号；“@ # ￥”是特殊符号；“ ”是推理符号。数学符号作为一种语言象征独立于其他类别的语言符号而存在，它们的出现比数字出现要晚得多，人类创造了数字并付诸实践，发现单纯的数字呈现并不能完整意义地说明数量之间的逻辑关系。因此，在早期货物交换过程中，为了表达数量之间的逻辑关系，人们不得不再进行口语化解释。后来口语现场解释解决不了异地、非面对面的交易问题，因此，数学符号随着书面文字的发展就应运而生了。如，“+”来源于十六世纪意大利科学家塔塔里亚的数理运算，它用意大利文“plu”的首个字母来表示“加”。随着时代的迁移最终演变为“+”的形态并沿用至今。
农村小学生基础数理知识的学习，要从符号抓起。而让他们爱上数学要从爱上阅读数学符号开始，而爱上数学符号又要从解读数学符号的真实含义开始。
二、融入生活中的数学阅读
数学教师用自己的符号语言在黑板上做了如下表述：2x+3y+z=13，不出现一个汉字。学生问老师：“这些符号是什么意思呢？”学生A回答说：这是个和苹果有关的故事，甲小孩拿了2个苹果，乙小孩拿了3个苹果，丙小孩拿了1个苹果，一共拿走了13个苹果。学生B回答说：这是一个三元一次方程式，已知数是“2、3、1和13”，x、y、z是这个不定式方程的求解未知数。学生C回答说：将x乘以2，将y乘以3，将z乘以1，三者相加的结果是13，问x、y、z各是多少？
老师笑了笑说：这些符号语言，就是我们用来进行数学学习的工具――数学符号。里面的2、3、1、+、=都是符号化的数学语言。但是三个学生的理解是有偏差的，A同学看到的是语言情境，B同学看到的是语言形式，只有C同学看到的才是符号本来的含义。从句式结构上讲，同学B口中的三元一次方程式既不能是陈述句，又不会是感叹句，而应该是疑问句。方程式在没有正式解答之前都是疑问句。
数学符号的实质含义都是一种没有答案的逻辑推理，将文字语言和数学符号相互转换能够最大限度地激发学生对符号的学习积极性，从而提高学生对数学题目的生活化阅读能力。
三、感受数学符号化语言带来的阅读体验
数学符号就像是积木，每一个小小游乐园里的建筑物都是由不同形状、不同颜色的积木块搭建而成，而这些积木构造中又蕴含了建筑知识的所有信息，需要搭建者去认知、领悟、理解和应用。学生除了要知道积木的“形状、颜色、构造”等本质特征以外，还需要进步掌握A积木与B积木或者C积木之间的建构关系，在积木搭建过程中应用好这些积木之间的逻辑关系，从而搭建出理想中城堡的样子。
符号串联融入习题的教学方法给学生带来了一种不一样的思维模式，传统课堂上学生只知道数学符号是解题的线索和答题的工具，并不完全了解数学符号在数学发展史中举足轻重的地位。而符号融入高中数学教学中，最大限度地将数学符号的原始面貌呈现在学生面前，让学生“脑洞大开”，思维上受到不一样的洗礼，长远来看，是非常具有数学意义的。
数学阅读能力提升的关键在于对数学符号解读能力的提升，而农村小学生读懂了加减乘除的本质含义，就能读懂整个基础运算中数学学习的深层次魅力。
数学思维的含义范文第3篇
【中图分类号】G 【文献标识码】A 【文章编号】0450-9889(2012)06A-0085-02
数学语言是数学化了的自然语言，是表达科学思想的通用语言和数学思维的最佳载体。它包含符号语言、文字语言和图表语言，具有简练、抽象、清楚以及形式多样的特点。无论是符号语言还是图表语言，最终让学生理解其含义都要通过文字语言的表述，所以，这里重点阐述数学的文字语言。
一、数学文字语言的特点
1.准确性。
自然语言具有多义性，含糊不清，而数学语言必须准确、严密、清楚，不存在歧义，它是表达数学概念、判断、推理、定理的逻辑思维语言，与富有弹性的文学语言相比，数学语言有一副“铁板的面孔”。它的每个字、词都有确切的含义，不容混淆。“一元一次方程”与“一元二次方程”、“直线和射线”、“钝角和锐角”等，一字之差，表示完全不同的两个概念；词序颠倒，也会表达两种不同的意思，如“全不为零”与“不全为零”、“方程解”与“解方程”等。数学语言中，句子的附加成分常常作为条件，如定义“底面是正多边形的直棱柱”中的定语，定理“平行四边形中，对角线互相平分”中的状语，都是不可增删的条件，这就是数学特有的性质——数学语言的准确性。
2.严谨性。
数学还有一副钢制的骨架——严谨的逻辑。特殊不能代替一般，部分不能代替整体，不能臆断、不能循环论证等。这些特点决定数学概念要表述准确，判断和推理要严密，叙述要合乎逻辑。所以，教学中教师要做到：讲概念，抓住实质，准确无误；做推理，步步有据，完整周详；得规律，字斟句酌，无懈可击。不仅如此，还要对概念的定义进行解剖，对定理、法则中的关键词语下一番咬文嚼字的功夫，并适当辅以反例，以明确概念的内涵。如，一位教师在教学分数的初步认识时，指着一张纸的四分之一处说：这是四分之一。这句话准确吗?是不是缺少一些修饰语呢?数字只是一种“表示”符号。注意我这里强调的是一种“表示”，决不能说它“是”什么。如不能指着你的手说这是“5”，而应说这是5个手指头，再如有3棵树，不能指着树说：这是3，而应说这是3棵树。所以，刚才提到的分数初步认识的四分之一正确的说法是：可以用四分之一来表示，或者占这张纸的四分之一，是这张纸的四分之一等。这样的数学语言才准确、严谨、规范。再如，分数的基本性质，分数的分子和分母同乘或除以一个相同的数(零除外)，分数的大小不变。这句话里的“同时”、“相同”、“零除外”这些词概括得非常准确、严谨，缺一不可，如果没有这些词分数的基本性质就不成立了。
3.简洁性。
数学的逻辑严谨、高度抽象必然带来数学语言的精练。用数学语言表达数学事实，要特别注意详略得当，简洁明了，凡重复的或多余的叙述应力求避免，而必须交代的事项则一定要阐述清楚，不可省略。例如加法交换律：两个数相加，交换加数的位置和不变。简短的一句话包含了三层意思：研究范围是两个加数，交换加数的位置，和不变。应该说不能再少一个字了。再如三角形的定义，由三条线段围成的图形。只有10个字，“三条”、“线段”、“围成”、“图形”再加上连接词“由”和“的”，概括得严密准确，惜字如金，没有任何多余成份。
二、如何教学数学的文字语言
1.找准每节课的核心数学语言或关键词。
数学内容是由数学语言构成的，数学教学就是数学语言的教学。教师根据教学内容，在教学时要尽量把每一节课的数学知识提炼成一两句数学语言或一两个关键词，紧扣数学语言或关键词展开教学。这样，学生不仅能理解数学知识，更能够发展思维，增长智慧。
如，教学长、正方形的周长，关于周长的描述，“围成物体一周的总长，叫做这个物体的周长”，“围成图形一周的总长，就是这个图形的周长”，这里要凸显“一周”、“总长”。
又如，教学“面积”时，“物体表面的大小或封闭图形的大小叫做面积”。这里要突出“表面”和“封闭图形”，教师在教学时表述要准确、清楚，如黑板面的大小、课桌面的大小、数学书封面的大小、墙壁面的大小等。
再如，在“分数的初步认识”一课中，把一个物体平均分成(
)份，其中的一份是这个物体的(
)，这句话要让学生结合具体物体才能够完整地表述出来，就是说，不要求学生用语言概括出分数的意义，但要能够结合具体物体把某一具体分数的含义表述完整，这样才能说明学生真正理解了某一分数表示的含义，否则就是一本糊涂账。通过这种数学语言的教学，学生才能真正理解数学知识的含义，发展思维，增长智慧。
2.数学语言的抽象过程要清晰。
数学语言的抽象就是从众多的生活事实中舍弃非数学的，提取出共性的、共同的、数学特有的东西。提取的时候要分成两步，首先，相关的生活事实要丰富，其次，进行去粗取精，去伪存真，提炼出数学本质的东西。如教学长方形、正方形的周长，教师可以先用镜框的边线进行引入：“围成这个镜框一周木线条的总长，就叫做这个镜框的周长。”教师一边说一边用手比划，接着问：“什么是黑板的周长?”同样让学生一边用手比划，一边用语言描述。再接着让学生描述什么是讲桌的周长、教室里墙壁上画框的周长、窗户玻璃的周长等。最后让学生撇开这些具体的实物，用一句话来概括到底什么叫物体的周长?引导学生总结出：围成物体一周的总长度，叫做物体的周长。即先结合具体实物用数学语言进行描述，接着再引导学生撇开具体实物概括出纯数学语言。
3.概括时要突凸显数学语言的核心词。
语文教学中要抓住关键词、关键句进行教学，同样数学教学中也要抓住关键词、句进行教学。如上述的物体的周长描述中的“围成”、“一周”、“总长”，就是周长定义的关键词，学生进行总结的时候，教师要引导学生把这些关键性的词语凸显处理。那么，如何才能凸显这些关键词呢?
首先，举反例引出关键词，如孩子在概括周长的时候，如果没有加上“围成”这个词，教师可以在黑板上随手画上一片树叶，并用红笔描出大半个周长，质疑学生这是这片树叶的周长吗?引出“围成”这个词，说明“围成”是要首尾相连和封闭的。
其次，教师表述时语调要加重，以便引起学生注意。如上述周长的描述，教师在读围成物体一周的总长，叫做这个物体的周长的时候，特意把“围成”、“一周”、“总长”词语加重，便于引起学生注意。这样，物体的周长含义在学生头脑中才会印象深刻，而且清晰、明了。这既培养了学生的语言概括能力，又发展了学生的数学思维。
数学思维的含义范文第4篇
一、由于数学语言的高度抽象性，数学阅读需要较强的逻辑思维能力
在阅读过程中，读者必须认读感知阅读材料中有关的数学术语和符号，理解每个术语和符号，并能正确依据数学原理分析它们之间的逻辑关系，最后达到对材料的本真理解，形成知识结构，这中间用到的逻辑推理思维特别多。而一般阅读“理解和感知好像融合为一体，因为这种情况下的阅读，主要的是运用已有的知识，把它与新的印象联系起来，从而掌握阅读的对象”，较少运用逻辑推理思维。
二、数学语言的特点也在于它的精确性
每个数学概念、符号、术语都有其精确的含义，没有含糊不清或易产生歧义的词汇，数学中的结论错对分明，不存在似是而非模棱两可的断言，当一个学生试图阅读、理解一段数学材料或一个概念、定理或其证明时，他必须了解其中出现的每个数学术语和每个数学符号的精确含义，不能忽视或略去任何一个不理解的词汇。因此，浏览、快速阅读等阅读方式不太适合数学阅读学习。
三、数学阅读要求认真细致
阅读一本小说或故事书时，可以不注意细节，进行跳阅或浏览无趣味的段落，但数学阅读由于数学教科书编写的逻辑严谨性及数学 “言必有据”的特点，要求对每个句子、每个名词术语、每个图表都应细致地阅读分析，领会其内容、含义。对新出现的数学定义、定理一般不能一遍过，要反复仔细阅读，并进行认真分析直至弄懂含义。数学阅读常出现这种情况，认识一段数学材料中每一个字、词或句子，却不能理解其中的推理和数学含义，更难体会到其中的数学思想方法。数学语言形式表述与数学内容之间的这一矛盾决定了数学阅读必须勤思多想。
四、数学阅读过程往往是读写结合过程
一方面，数学阅读要求记忆重要概念、原理、公式，而书写可以加快、加强记忆，数学阅读时，对重要的内容常通过书写或作笔记来加强记忆；另一方面，教材编写为了简约，数学推理的理由常省略，运算证明过程也常简略，阅读时，如果从上一步到下一步跨度较大，常需纸笔演算推理来“架桥铺路”，以便顺利阅读；还有，数学阅读时常要求从课文中概括归纳出一些东西，如解题格式、证明思想、知识结构框图，或举一些反例、变式来加深理解，这些往往要求读者以注脚的形式写在页边上，以便以后复习巩固。
五、数学阅读过程中语意转换频繁，要求思维灵活
数学思维的含义范文第5篇
一、 加强数学概念、术语的教学，奠定数学语言表达的基础
要求学生能用准确、简洁、规范的数学语言表达思维活动的过程，这是培养学生数学语言表达的目的之一。要想达到这一目的，就必须在课堂教学中突出数学语言的训练。
概念是思维的基础，思维是语言的先导。语言只是思维活动的外显表现形式。因此在数学语言的训练中，教师必须加强数学概念和术语的教学。
在教学中，教者首先要用准确、规范、简洁的数学语言来讲课，以体现数学语言表达的示范、引导作用。常常可以要求学生跟着教者一起表述数学问题。让学生从中得到模仿，学会表述。其次，要促使学生掌握常用的数学术语“和”“差”“积”“商”…的含义，并能正确地使用。第三要求学生对数学概念不但要了解其含义，而且要能知道它的内涵和外延，真正地得到理解。第四在教学中，除了通过直观、演示等手段，让学生理解数学问题中的有关词语的含义外，还要对一些词语进行替换，省略或换位的训练。教会学生会把“节省”“增加”，换成“比…少…”，“比…多…”字句；把“比”字句变成“是”字句；将逆向结构句转化成顺向结构句。通过训练，让学生掌握语言的转化方法，思路就会开阔、思维就灵活，数学语言的表达就会更加清晰、简明。
二、重视操作、演示过程的叙述训练，培养学生有序思维
九年制义务教育教材中，加强了学生的操作训练，对培养学生初步的逻辑思维能力很有益处。教学时，人们常常采用直观演示、动手操作等方法，为学生形成概念提供大量的、丰富的感性材料，但教学效果往往不理想。究其原因，是直观之后缺乏表象加工，把实际操作与抽象概括割裂开来。
教学中应注意引导学生对实际操作和直观演示的过程进行整理、复述。通过语言表达来对表象进行加工，这样，就符合了学生的认知规律：具体——表象——抽象——概括，将所学知识牢固地加以掌握。
例如，在教学长方形面积的计算时，先引导学生观察：教师在投影上是怎样求长方形上摆边长是1厘米的正方形的。使学生清楚地看到：在长方形上，沿着长方形的长，正好摆了5个正方形，而正方形的个数与长方形的厘米数相同。沿着长方形的宽，可以摆3个边长1厘米的正方形，也就是说可以摆3排，这恰好与长方形宽的厘米数相同。由此，引导学生得出长方形的面积与长和宽的关系：长方形的面积等于长乘以宽。一般教学到此为止。但如果在此基础上，再让学生说说操作演示的过程，及时通过语言进行归纳、整理。这样学生通过操作、观察，建立表象，经过思考，语言概括表述：长方形面积与长方形长和宽之间的关系，进行抽象概括。使学生的思维有序，促进学生逻辑思维的发展。 转贴于
三、注重思维过程的表述训练，培养学生思维有据
准确、流畅、完整的语言表述，既可以衡量学生的理解程度，又能促进学生掌握数学知识。学生在进行语言表述时，必然要对自己的思维进行一番“去粗取精、去伪去真”，然后才能用语言有条有理地表达出来。因此，注重思维过程的表述训练，有利于培养学生思维有据。
例如，必须让学生说出思维的过程①23×4想：因为20×4=80，3×4=12，80+12=92，所以23×4=92；②口算：230×4，想法一：因为200×4=800，30×4=120，800+120=920，所以230×4=920；想法二：因为23×4=92，所以230×4=920。
四、突出思维方法的表述训练，培养学生思维有路
