勾股定理的研究

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勾股定理的研究范文第1篇

吴　宏

烟台市福山区人民医院骨科，山东烟台　265500

[摘要] 目的 比较采用克氏针张力带配合骨锚钉与锁骨钩钢板配合喙锁韧带在治疗肩锁关节脱位重建的临床疗效。方法 选取该院收治的肩锁关节脱位患者32例，应用克氏针张力带配合骨锚钉治疗肩锁关节脱位17例(骨锚钉组)，应用锁骨钩钢板配合喙锁韧带重建治疗肩锁关节脱位15例(锁骨钩钢板组)。术后3个月取出锁骨钩钢板和克氏针张力带，骨锚钉不取出。采用Karlsson标准评定患肩功能。结果 两组患者均获得9～45个月以上随访，平均27.6个月。术后3个月，两组内固定物均未发生松动、断裂。按Karlsson标准评定疗效，骨锚钉组：优12例，良4例，可1例，优良率94.1%。锁骨钩钢板组：优10例，良4例，可1例，优良率93.3%。两组肩关节功能评分差异无统计学意义(P>0.05)。结论 采用克氏针张力带配合骨锚钉或锁骨钩钢板配合喙锁韧带重建治疗肩锁关节脱位疗效无明显差异，都是安全有效的方法。

关键词 肩锁关节脱位；喙锁韧带；内固定器

[中图分类号] R684.71 [文献标识码] A [文章编号] 1674-0742(2014)03(a)-0098-02

[作者简介] 朱建军(1973.7-),男,山东烟台人,硕士,主治医师,研究方向：骨科。

肩锁关节脱位是肩部常见损伤，多由外力自肩上部向下冲击肩峰或跌倒时肩部着地引起。临床上对肩锁关节脱位的治疗手术方法种类很多，包括克氏针张力带、锁骨钩钢板固定及交叉克氏针，包括或不包括韧带的修补重建。随着生物科技的发展，骨锚钉已成为修复韧带损伤的常用材料之一。该院自2008年1月—2012月12月采用克氏针张力带配合骨锚钉与锁骨钩钢板配合喙锁韧带重建治疗肩锁关节脱位(Rockwood[1]分级Ⅲ型及以上)患者32例，以比较两种方法的疗效,现报道如下。

1 资料与方法

1.1 一般资料

克氏针张力带配合骨锚钉组(骨锚钉组)患者17例，其中男12例，女5例，年龄22～65岁，平均39.3岁；Rockwood分型，Ⅲ型10例，Ⅳ型4例，Ⅴ型3例。术中使用的骨锚钉为带线锚钉，锚钉直径3.5 mm，长度12 mm，尾线为2#Fiberwire线。

锁骨钩钢板配合喙锁韧带重建组(锁骨钩钢板组)患者15例，其中男11例，女4例，年龄25～63岁，平均37.8岁；Rockwood分型，Ⅲ型9例，Ⅳ型4例，Ⅴ型2例。韧带重建材料为自体阔筋膜肌腱。

所有患者受伤至手术时间1～3 d，平均1.5 d。术前所有患者应拍摄肩关节正位X线片，以确定肩锁关节脱位损伤的类型及程度，同时术前应完善常规检查，评估麻醉和手术风险。

1.2 治疗方法

全部患者于颈丛或全身麻醉下手术。取沙滩椅，自肩锁关节至喙突行“L”样弧形切口，长约 6～8 cm，术中为注意保护锁骨上神经，应沿锁骨走行方向横行切开附着于锁骨、肩峰端的斜方肌及三角肌，充分使肩锁关节及喙突显露。必要时切除肩锁关节盘状软骨。

骨锚钉组：复位肩锁关节，自肩峰向锁骨平行钻入2枚直径1.5 mm克氏针，钢丝张力带固定，可吸收线修复断裂喙锁韧带，在喙突基底部拧入2枚骨锚钉，在距2.5～3.0 cm锁骨肩峰端处(正好对着喙突上方)，用2.5 mm钻头在锁骨中心位置钻孔，将每枚骨锚钉的1束尾线穿过骨隧道，另外2束分别置于锁骨前面及后面，收紧穿过骨孔的尾线前后并打结固定。

锁骨钩钢板组：取自体阔筋膜肌腱，折叠缝合，直径3.5 mm，长约8.0 cm，对肌腱预张，防止重建韧带松弛。复位肩锁关节，根据术中情况选择适当长度的锁骨钩钢板、塑形，将钢板钩端从肩锁关节后肩峰骨膜下插入，使得钢板与锁骨远端贴服良好，并拧入螺钉固定。在喙突体部、锁骨(正好对着喙突上方)各作一骨隧道，将肌腱穿过隧道，收紧，肌腱两端重叠缝合固定。

最后修复肩锁关节囊及肩锁韧带，缝合斜方肌及三角肌。

1.3 术后处理

术中及术后24 h 内使用抗生素。术后三角巾悬吊 4 周，术后第3天肩关节可进行被动功能锻炼，2 周后可进行主动功能锻炼，3个月内禁止进行重体力劳动、体育运动。3 个月后可取出内固定物，骨锚钉则不取出。

1.4 疗效评价标准

术后患肩功能均采用Karlsson标准评定[2]。

1.5 统计方法

采用spss 16.0统计学软件对数据进行处理，计数资料采用χ2检验。

2 结果

所有患者术后切口均Ⅰ期愈合，无感染。术后随访18～45个月，平均27.6个月。锁骨钩钢板组术后2例出现患肩部疼痛，外展活动受限，术后3个月取出内固定物后疼痛消失。按Karlsson标准评定疗效，骨锚钉组：优12例，良4例，可1例，优良率94.1%。锁骨钩钢板组：优10例，良4例，可1例，优良率93.3%,见表1。两组肩关节功能评分差异无统计学意义(P>0.05)。

3 讨论

肩锁关节的稳定由关节囊及其加厚部分形成的三角肌及斜方肌的腱性附着部分、肩锁韧带、喙突至锁骨的喙锁韧带3部分维持。其中喙锁韧带对维持肩锁关节的完整性最为重要，只有喙锁韧带断裂，锁骨远端才发生垂直移位。Lim[3]研究表明，当韧带未修复并且断端存在间隙时，瘢痕愈合的强度仅为正常韧带的35%。所以，对于肩锁关节脱位的各种术式中，内固定只是暂时的，韧带的修复或重建才是保持长期稳定的关键。

对于单纯行喙锁韧带修复配合骨锚钉或者重建手术治疗肩锁关节脱位，远期效果并不理想。Mlasowsky [4]通过长期随访研究发现，术后5年肩锁关节半脱位率超过35%。这可能是早期没有在内固定保护下，修复或重建的韧带在应力下发生松弛、磨损或撕裂；重建的肌腱在骨隧道滑动，影响了肌腱在骨上的愈合。所以肩锁关节早期的内固定非常重要。

锁骨钩钢板固定牢靠且操作简单。通过穿过肩峰下的钢板钩端和锁骨远端的钢板固定形成杠杆作用，对锁骨远端产生稳定的下压力，致使锁骨远端不向上脱位，使肩锁关节的解剖对应关系达到恢复，提供了稳定无张力的环境于组织愈合中，同时还保留了肩锁关节的生理微动，提高了关节、韧带的修复质量。有利于进行早期的功能锻炼，避免关节僵硬。但是术后也可能出现脱钩、肩峰骨折、肩痛、锁骨远端骨溶解等并发症。该组术后有2例患者出现患肩疼痛，外展活动受限。可能是由于钢板钩部占据了肩峰下一定的空间，对肩峰下软组织、肩袖(其是冈上肌腱)造成一定的压迫，磨损所致。Yehia[5]对275例行锁骨钩钢板内固定患者通过肩关节镜检查发现，75%的患者1年后冈上肌腱磨损严重，钢板存在时间越长，肌腱磨损越重。其建议对于肩锁关节内固定尽量不使用锁骨钩钢板，若使用最好不超过8～10周。

骨锚钉丝线的强度和喙锁韧带的强度相仿，牢牢地限制了锁骨远端上移，可以使断裂的喙锁韧带得到坚强修复。同时进行克氏针张力带短暂固定，更有利于喙锁韧带在稳定的环境下愈合。术后3个月取出克氏针张力带，防止了克氏针松动、断裂等并发症，减少了创伤性关节炎的发生。该组术后无一例患者出现患肩疼痛。

对于内固定物取出的时间仍存在争议[6-7]。由于肌腱愈合达到正常强度需要12周，该研究认为应以术后3个月取出内固定物为宜。

该研究表明，两组术后肩关节功能优良率比较差异无统计学意义(P>0.05)。这可能与该研究样本量少，随访时间短有一定关系。

因此，对于肩锁关节脱位患者，在修复重建喙锁韧带的同时，应同时进行短暂的关节内固定，采用克氏针张力带配合骨锚钉或锁骨钩钢板配合喙锁韧带重建治疗肩锁关节脱位，都为安全有效的方法。

参考文献

[1]Rockwood Jr CA,Williams G,Young C. Injuries to the acromioclavicular joint// Rockwood Jr CA,Green D,Bucholz R. Fractures in adults[J]. Philadelphia: Lippioncott-Raven,1996：1341-1414.

[2]Karlsson J,Arnarson H,Sigurjonesson K. Acromioclavicular dislocations treated by coracoacromial ligament transfer[J].Arch Orthop Trauma Surg，1986,106(1)：8-11.

[3]Lim YW，Mbbs，Mmed(Surg)，Frcsed(Ortho). Acromioclavicular Joint Reduction，Repair and reconstruction using metallic buttons-early results and complications[J]. Technique Shoulder Elbow Surg，2012,8(4)：213-221.

[4]Mlasowsky B,Brenner P,Duben W,et al. Repair of complete acromioclavicular dislocation(Tossy stageⅢ)using Balser’s hook plate combined with ligament Sutures[J].Injury,2012,19:227-232.

[5]Yehia B, Abd-El-Rahman AE,Mazen A. Acromioclavicular joint reconstruction using anchor sutures: surgical technique and preliminary results[J].Acta Orthop Belg,2010,76(2):307.

[6]Hess GW.Achilles tendon rupture: a review of etiology, population , anatomy,risk factor and injury prevention[J].Foot Ankle Spec,2012,3(1):29.

勾股定理的研究范文第2篇

关键词：勾股定理；多边形；面积关系

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）09-0146

勾股定理是初中数学中的一个重要定理，2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，但在众多的证明中，主要是以面积的变化进行证明。笔者通过勾股定理的证明发现了“以直角三角形的各边为边长做边数相同的正多边形之间的面积关系”。

一、勾股定理的证明

1. 将4个全等的非等腰直角三角形拼成一个大的正方形。

由图可知：（a+b）2-■ab・4=c2

a2+2ab+b2-2ab=c2

即：a2+b2=c2

也就是说：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。

2. 如图将4个全等的直角三角形拼成一个大正方形

由图可知：c2-■ab・4=（a-b）2

c2-2ab=a2-2ab+b2

即：a2+b2=c2

这样又得到了勾股定理的另一种证明方法。

3. 如图将两个全等的直角三角形拼成如图的梯形

由图可知：■（a+b）2-■ab・2=■c2

■a2+ab+■b2-ab=■c2

即：a2+b2=c2

以上是勾股定理的3种证明方法，实际上勾股定理的证明到目前已有3000多种。

二、勾股定理的应用

下面我们利用勾股定理说明以三角形的三边长围成的正多边形的面积之间的关系。

1. 如图，在RtABC中，∠C=90°中，AB=c，AC=b，BC=a，分别以a，b，c三边为边做正三角形，求证S2+S3=S1。

如图做三角形S2的高h，因为S2是以b为边的等边三角形，易得

h=■b，S2=■・b・■b=■b2

同理：S3=■a2，S1=■c2；S2+S3=■（a2+b2），根据勾股定理a2+b2=c2得S2+S3=■c2=S1

即：S2+S3=S1

2. 如图，在RtABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，分别以a，b，c三边为边做正四边形，求证S2+S3=S1。

证明：S2=b2，S3=a2，S1=c2

根据勾股定理：a2+b2=c2

S2+S3=S1

3. 如图以直角三角形的三边为边长做正五边形，

求证： S2+S3=S1。

证明：如图连接正五边形的中心O与一边端点的连线构成一个等腰三角形，并做出等腰三角形底边上的高h，

cotα=■，h=■cotα，

S1=■c・■cotα・5=■c2・cotα，

同理：S2=■b2・cotα，S3=■a2・cotα，

S2+S3=■b2・cotα+■a2・cotα=■cotα（b2+a2）

由勾股定理得：a2+b2=c2，S2+S3=■cotα・c2=S1

即： S2+S3=S1

依次类推：以直角三角形的三边为边长做正n边形时，S2=■b2・cotα，S3=■a2・cotα，S1=■c2・cotα，根据勾股定理：a2+b2=c2，S2+S3=■cotα・c2=S1

即：S2+S3=S1

通过上面的证明我们可以得到“以任意直角三角形的三边为边长做边数相等的正多边形，以斜边边长为边的正多边形的面积等于以直角边边长为边的两正多边形的面积之和。”

同样我们还能得到以“任意直角三角形的三边为直径做半圆（或圆），以斜边边长为直径的半圆（或圆）的面积等于以直角边为直径的两个半圆（或圆）的面积之和”。

下面我们来看证明：

已知：如图，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，分别以a，（上接第146页）b，c为直径做半圆。

求证：S2+S3=S1

证明：S1=■π（■）2=■c2，S2=■π（■）2=■b2，S3=■π（■）2=■a2

S2+S3=■b2+■a2=■（b2+a2），由勾股定理a2+b2=c2得：S2+S3=■b2+■a2=■（b2+a2）=■c2=S1，

即：S2+S3=S1

勾股定理的研究范文第3篇

【关键词】 数学活动；动手操作；合作交流；数形结合

教材简介：

本课教材选自苏科版《数学综合与实践活动（八上）》初中数学教材中勾股定理与平方根一节。

教材分析：

勾股定理是初中数学教学中一个非常重要的定理，之前学生们运用方格纸，通过计算面积的方法探索了勾股定理。本课不只要求学生掌握验证方法，更重要的是通过丰富有趣的拼图活动，通过教师的指导、同伴的合作和学生亲自动手剪纸、拼图、验证等一系列数学活动，体会数形结合的思想，体会勾股定理的数学价值和文化价值。

教学目标：

1.经历综合运用已有知识解决问题的过程，在此过程中加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。

2.经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。

3.通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。通过丰富有趣的拼图活动增强学生对数学学习的兴趣。

教学重点难点：

重点：通过拼图验证勾股定理及勾股定理的应用过程，使学生获得一些研究问题与合作交流的方法经验。

难点：利用数形结合的方法验证勾股定理。

教学方法：

引导、操作、合作、探究，多媒体辅助教学

教学过程：

本节课主要是通过几个活动让学生体验并探究勾股定理的一些验证方法，首先通过情景创设激发学生探究的激情。

情境创设：

1.你知道勾股定理的内容吗？说说看。

画直角三角形并写出勾股定理的表达式。

2.你知道关于勾股定理的哪些历史故事？你知道勾股定理的来历和有多少种证法吗？

课件展示毕达哥拉斯的雕像图片和地砖图片，讲述毕达哥拉斯发现勾股定理的故事。

3.前面我们运用方格纸，通过计算面积的方法探索了勾股定

理。今天我们再来探究勾股定理的其他验证方法。

活动一：

活动准备：用硬纸板各剪4个完全相同的直角三角形（不妨设两直角边分别为a、b，且a≤b，斜边为c），再剪2个边长分别为c和（b-a）的正方形。

活动要求：你能选用这些中的部分图形拼成一个大正方形吗？

你能用拼成的图形验证勾股定理吗？

学生小组合作交流探究并展示。（了解学生拼图的情况及利用自己的拼图验证勾股定理的情况。教师在巡视过程中，相机指导，并让学生展示自己的拼图及让学生讲解验证勾股定理的方法，并根据不同学生的不同状况给予适当的引导，引导学生整理结论。）

通过对弦图的分析，得到面积的关系

c2=（b－a）2＋4ab 化简得：a2+b2=c2

课件介绍三国时期东吴人赵爽的“勾股圆方图”，也称为“弦图”，并出示赵爽弦图和世界数学家大会会标。

活动二：

四个直角三角形还可以怎么摆成正方形呢？

学生先独立探究，再小组活动交流，并上黑板展示拼图方法和验证：由面积关系得到：（a+b）2＝c2＋4× ab，化简得：a2+b2=c2。

活动三：

你能用两个直角边分别为a、b，且a≤b，斜边为c的直角三角形和一个直角边为c的等腰直角三角形拼图并验证勾股定理吗？

如图：两个全等的直角三角形ABC和BEF的三边长分别为a、

b、c可得面积关系 （a+b）2＝ c2＋2× ab

化简得：a2+b2=c2

课件介绍：“总统证法”――美国第二十任总统伽菲尔德。

活动总结交流：活动二和活动三的证法其实完全相同。

课件展示与欣赏毕达哥拉斯证法和印度婆什迦罗的证明，并让学生展示课前查找资料了解到的证明方法。

活动四：制作五巧板验证勾股定理。

步骤：

1.做一个RtABC，以斜边AB为边向内做正方形ABDE，并在正方形内画图，使DFBI，CG=BC，HGAC，这样就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。

沿这些线剪开，就得了一幅五巧板。

2.取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以C为边长的正方

形，将另外一幅五巧板拼成两个边长分别为a、b的正方形，你能拼出来吗？（给学生充分的时间进行拼图、思考、交流经验，对于有困难的学生教师要给予适当引导。）

归纳小结，形成技能。今天这节课你有何收获？

（如验证勾股定理的方法、数形结合的数学思想、我国古代科学家的成就、合作交流的方法与经验………）

课后作业：

上网查找有关利用拼图来验证勾股定理证明的方法，每人至少能说出一种与本课提到的不一样的方法，若有好的方法可用小论文的形式写出来。

教学反思：

本课的教学设计中，让学生通过制作拼图，通过动手操作，合作交流，发现问题，让学习内容问题化，让教材成为学生核心学习活动鲜活的材料。

勾股定理的研究范文第4篇

关键词： 勾股定理 初中数学教学 数形结合

勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形中非常重要的性质。它揭示了三角形三条边之间的数量关系，是解决直角三角形问题的主要根据之一，它在实际生活中用途广泛。新课改强调培养学生的动手能力和探究能力，通过实际操作与探究活动，使学生获得较为直观的印象，从而掌握勾股定理，以利于正确地运用。

一、通过引趣设疑，引发学生探究勾股定理

在教学中教师可通过导入课外有趣的内容，作为课堂教学的切入点。例如：在地球之外的浩瀚宇宙中，到底有没有外星人？如果有，我们如何与他们联系？著名的数学家华罗庚就曾建议，让宇宙飞船带着几个数学图形飞到宇宙空间，其中一个就是边长为3∶4∶5的直角三角形，你知道华罗庚为什么会提出这样的建议？等等。通过一系列的问题，激发学生的兴趣，抓住他们的注意力。原来古老的勾股定理，竟然成为了地球与外星人的联络密码。这样学生就会在感叹人类古老文明的同时，更加体会到学习勾股定理的重要性。也可以通过一系列生活中随处可见的直角三角形的实例，引起学生的关注。如给学生讲一个故事：相传在2500年前，数学家毕达格拉斯在他的朋友家做客时，发现朋友家的地面砖能反映直角三角形三边的某种数量关系。这个小故事让学生懂得，科学家的伟大发明都是在看似平淡的现象中发现的。数学知识来源于现实生活，只要我们学会观察与思考，就能激发学生的学习兴趣。

二、学习勾股定理，体会数形结合的思想

新课改强调，数学教学要看学生能否在活动中积极思考与探究，能否探索出解决问题的办法，能否进行积极的联想，以及学生能否有条理地表达探究过程与获得的结论等。也可以鼓励学生用拼得的正方形来验证勾股定理，引导学生体会数形结合的思想方法，培养数学应用意识。勾股定理描述的是直角三角形的三边之间的关系，应用勾股定理的前提是这个三角形必须是直角三角形。要强调通过图形找出直角三角形三边之间的关系，要从代数表示联想到几何图形，由几何图形联想到代数表示。勾股定理是人们在实践中通过图形的分割，并探讨图形之间面积的关系过程中总结出的规律。教学中要引导并鼓励学生多动手探索，体验数学活动充满着探索与创造。按课本中的方法证明这个定理，例如：用四个全等的直角三角形拼成正方形，大正方形面积可以表示为（a+b）2，四个全等的直角三角形的面积+小正方形的面积=c2+2ab，得出（a+b）2=c2+2ab，化简可得a2+b2=c2。我们还可以把公式变形为：a2=c2-b2或b2=c2-a2，于是可知在直角三角形中已知两边可求出第三边。

三、拓宽学生视野，但弱化对定理的发现

对于勾股定理的发现，我们认为应该做弱化处理，没有必要让学生在此太花精力引导学生探究怎样发现勾股定理的。如果处理得不当，很容易导致学生盲目地探究。在实际教学中，教师虽有探究式教学的理念，但在设计上存在着困惑：通过度量直角三角形三条边的长，计算它们的平方，再归纳出a2+b2=c2，由于得到的数据不总是整数，学生很难猜想出它们的平方关系。所以，教师常常把勾股定理作为一个事实告诉学生。如何处理这一困惑，一条途径就是教科书直接把勾股定理呈现在学生面前，而更多地把空间留给介绍与勾股定理相关的数学史料上，借此拓宽学生的视野。第二条途径是参考顾泠沅、王洁等人的结论：运用“脚手架”理论，通过“工作单”进行铺垫，为学生的学习提供一种教学协助，帮助学生完成在现有能力下对高认知学习任务的难度的跨越。这样的处理也具有一定的可行性。不过大多数人更倾向于第一条途径，弱化发现，而强化证明，重视应用，把重点放到定理的证明与应用上，这样也许对学生的思维更有利。

四、注重数形结合，实现教学方式的转变

学了数学却不会解决实际问题，造成了知识学习和知识应用的脱节，感受不到数学与生活的联系，这是当前初中数学教学的现状，教学中到处充斥着过量的、重复的题目训练。真正的教学应该关注学生学习的过程。首先要关注学生是否积极参加探索勾股定理的活动，关注学生能否在活动中积极思考，能否探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想（数形结合），以及能否有条理地表达活动过程和所获得的结论等。其次要关注学生学习的知识性及其实际应用。教学主要目的是掌握勾股定理，体会数形结合的思想。现在的情况是学生知道了勾股定理而不知道在实际生活中如何运用勾股定理。因此在学生了解勾股定理以后，不妨出一个类似于《九章算术》中的应用题，例如：在平静的水面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖与水面平齐，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？教学方式的转变在关注知识形成的同时，更加关注知识的应用，特别是所学知识在生活中的应用，真正起到学为所用的作用。

参考文献：

［1］鲍建生.课堂教学视频案例的研究与制作［M］.上海：上海教育出版，2009.180.

勾股定理的研究范文第5篇

1 过程教学的内涵

过程教学是基础教育课程改革的一个关键词,不同学者从不同角度探讨了对过程教学的认识.有学者从知识发生的角度探讨过程教学[1],有学者从科学研究的视角分析过程教学[2],还有学者将教学本身作为过程,剖析教的过程、学的过程以及教学活动的过程[3],等等.这些阐述虽有差异,但都有助于人们对过程教学的认识.我们认为,理解过程教学的核心在于对“过程”内涵的把握,“过程”的内涵至少包含以下几点:

1.1 过程教学中的“过程”是数学知识生成的过程,即数学发生、发展乃至应用的过程,因此,过程教学就是再现人类的发现过程,通过揭示数学问题产生的过程、暴露概念的形成过程、展现公式的发现推导过程、尝试定理的猜想过程、明确数学问题解决的过程等,引导学生经历知识生成的过程,体验知识“再创造”的过程,使学生了解知识的来龙去脉,更深刻地理解知识的本质,更灵活地运用知识.值得说明的是,这种知识的再创造不是数学家发现知识的全过程,而是在课堂意义下经过重组和改造的知识的类发现过程[4].1.2 过程教学中的“过程”是思维发展的过程,即学生数学思维不断发展和完善的过程,因此,过程教学就是再现人类研究问题的思维过程,通过暴露数学家的思维活动过程,暴露教师由“失败”走向“成功”的过程,揭示人类思考问题的方式方法,使学生学会自己探索,自己发现,乃至自己创造数学,促进学生数学思维的发展.1.3 过程教学中的“过程”不仅是手段,也是教学目标,即必须让学生在数学学习活动中去“经历……过程”.如果仅仅注重在知识的形成过程中学习知识,那么对“过程”的定位主要是服务于知识的学习,难免会出现教师直接讲授“探索过程”的现象,这样,数学学习就会由听“结果”变成了听“过程”,这样的“过程”就失去了探索的意义[5].

可见,实施过程教学要再现人类发现知识的过程,再现人类研究问题的思维过程,同时将“经历……过程”作为教学目标.通过引导学生经历知识发生、发展的过程,激发学生积极主动地参与思维活动,感悟数学活动中的思维过程和思维方法,使学生内化发现知识、建构知识和运用知识的思维和方法,从而获得知识,发展数学思维能力.

就定理教学而言.华罗庚曾说过“难处不在于有了定理、公式去证明,而在于没有定理之前,怎样去找出来”.因此,定理教学应该注重过程教学,将过程教学的思想贯穿于定理教学的各个环节,引导学生经历定理的发现、探究和获得过程,揭示定理的来龙去脉,阐明定理所蕴含的数学思想方法,促进学生数学思维的发展.从教学环节上看,定理的过程教学要注意以下几点:

(1)定理的导入环节是过程教学的起点,其主要目的在于揭示知识发生的背景,引发学生认知上的冲突,激起学生探究和学习的欲望.在教学设计时可以创设新颖有趣又有一定难度的问题情境(现实情境或者数学情境),也可以从定理的历史背景介绍入手.针对不同的定理教学应该采用不同的导入方式.

(2)定理的建构环节是过程教学的重点和难点,它是知识形成发展的过程.一方面,教师应该引导学生开展观察、实验、归纳、概括、推理、交流等数学活动,向学生揭示从具体到抽象、从特殊到一般认识事物的方法;另一方面,也要提供给学生自主探索和合作交流的时间和空间,让学生在独立思考、相互协作的基础上不断探索与创造,使他们真正经历知识形成的过程和思维发展的过程.

(3)定理的运用环节是过程教学的深化,它是知识发展的导向.过程教学不仅关注过程,也关注结果,过程和结果是紧密联系在一起的[6].通过定理的运用,可以使学生进一步理解定理的本质,规范定理使用的条件和范围,巩固所学的定理知识和思维方法,加强学生的应用意识.

在此意义下,我们来分析勾股定理的教学.

2 过程教学视角下的勾股定理的教学过程

2.1 教学过程

以下是两位教师执教“勾股定理”的教学过程.

(1)定理导入

教师甲:教师通过课本上一张纪念毕达哥拉斯学派的邮票,从数学史的角度引入勾股定理.

教师乙:给出问题“如果一个直角三角形的两条边分别是6和8,能否求出第三边.如果能,是多少?”,指出通过学习勾股定理可以解决这个问题.

(2)定理建构

教师甲主要有三个建构过程:

①探索特殊情形:两直角边长都是正整数的格点直角三角形

数学实验室1:请看格点图形,每个小方格的面积看作1,那么以BC为一边的正方形的面积是9,以AC为一边的正方形的面积是16.你能计算出以AB为一边的正方形的面积吗?请通过作图说明你的理由.

数学实验室2:在下面的方格图形中,请任意画一个顶点都在格点上的直角三角形;并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形,仿照上面的方法计算以斜边为一边的正方形的面积.

学生自己探究,通过割或补的方法,求出斜边为边长的正方形的面积.

②由特殊到一般形成猜想:借助几何画板进行探索验证

如果直角边和斜边都不是正整数是否具备上述性质呢?教师借助几何画板动态演示,由特殊到一般,猜测直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

③论证猜想

探索题:美国总统加菲尔德的证明方法.

教学中以填空题的形式对勾股定理进行推理说明,完成对勾股定理的证明.

教师乙主要有两个建构过程:

①感知特殊情形:剪拼等腰直角三角形

操作题1:分别以等腰直角三角形的三边向外做正方形;然后将两个较小的正方形剪下来,再分别沿着两个小正方形的对角线剪裁;最后将剪裁后的四个图形拼接到大正方形上,说明你的发现.

学生经过操作,发现两个小正方形面积之和等于大正方形面积.

②由特殊到一般形成猜想:由等腰直角三角形推广到一般直角三角形

操作题2:网格中的直角三角形直角边长分别为3、4,分别以直角三角形的三边向外做正方形,看看在等腰直角三角形中发现的面积关系在非等腰直角三角形中是否仍然成立?

学生操作,得出结论:在一般的直角三角形中上述结论也成立.

教师由正方形面积和边长的关系,得出勾股定理.

(3)定理运用

教师甲:

例题:在RtABC中,∠C=90°,(1)AC=5,BC=12,求AB的长;(2)AB=25,AC=24,求BC的长;(3)AB=8,BC=4,求AC的长.

练习:学生练习课本上的习题.

教师乙:

例题:解决上课开始提出的数学问题.

练习:学生口答课本上练习题.

2.2 分析与思考

(1)关于勾股定理的导入教学

教师甲从数学史导入勾股定理,突出了勾股定理的历史背景介绍,强调了数学的文化价值,让学生感受到数学的魅力,从而激发学生学习的欲望;教师乙从一个实际的数学计算问题导入勾股定理,也能够引起学生的认知冲突.总之,两位老师的导入都引发了学生的求知欲望,为勾股定理的探究和形成做了铺垫.

(2)关于勾股定理的建构教学

教师甲的建构过程主要有以下特点:向学生展示了知识发生、发展的过程,揭示了从具体到抽象,从特殊到一般的认识规律;让学生经历了观察、实验、猜想、证明的过程,知识发生、发展的脉络清晰,逻辑严谨;总结学生思维过程中的亮点,强调了数学活动中割补的思想;考虑学生的可接受性,将单纯的证明改为填空证明,既论证了勾股定理,突出了数学学科的特点,又降低了证明难度,利于学生理解接受,有利于培养学生的逻辑思维能力.但是整个建构过程在教师的严格掌控下,学生虽然自己经历了探究过程,但是在教师的牵引下发现问题、论证定理,学生独立思考的空间和时间都较少,过程教学中学生的主体地位体现不明显,“过程”本身的探索意义不突出.

教师乙的建构过程由两次学生的自主活动组织起来,充分体现了新课改的理念“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”.

教师乙营造了轻松自由的课堂气氛,给学生自主探索和合作交流的机会,鼓励学生自己发现规律和问题解决的途径,从而经历知识形成的过程和思维发展的过程.但是数学不同于实验科学,仅有操作是不够的,恰当的推理或者说理对于认识数学本质至关重要,同时揭示数学的思想方法才能更好地理解知识.因此,教师乙的教学注重了数学经验性的一面,没有全面揭示数学定理形成的过程,对一些重要的思维方法未做点拨和总结,使部分学生流于活动的形式,对知识本身缺乏深刻理解.

(3)关于勾股定理的运用教学

教师甲在勾股定理的运用环节讲解了一道例题,先由学生板演,教师订正并讲解运用勾股定理解题时的规范,使学生进一步理解了勾股定理的本质;通过课本上的练习题,学生能够进一步巩固勾股定理.

教师乙首先解决了教学引入时提出的问题,体现了教学内容前后的呼应,也是对勾股定理直接简单的应用,其后进行的数学练习题也是勾股定理在数学问题上的简单直接的应用,能够使学生进一步巩固掌握勾股定理.

新一轮数学课程标准指出:“要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系,也要注重与日常生活的联系,以及数学与其他学科的联系”,因此,如果能够在教学中布置一些课后思考题(由于教学时间有限不能在课堂上讲解相关例题),揭示勾股定理在现实生活或者在其它学科中的运用,那么勾股定理的教育价值会更加突出.

3 总结与反思

这两位老师都打破了过去数学定理的授课方式:直接就定理展开证明和推导,把定理当成纯粹的数学逻辑,把大量的时间花在学生做练习上.他们都注重了合情推理在形成猜想中的重要作用,强调了学生的自主探索,展示了知识的发生、发展过程和思维过程,体现了“过程教学”的基本理念.但是其中所暴露出来或者所隐含的问题需要引起我们重视,处理好以下关系才能更好地实施“过程教学”.

3.1 教师与学生

过程教学的主体是教师和学生.教师要为学生创设展现思维的信息条件、问题情景;激发学生思维,调动学生参与教学活动;点拨、引导、升华学生的思维;在总体上把握教学目标,克服随意性.同时教师要给学生更多思考空间和活动余地,启发学生讨论、思考,但不是启发学生落入老师设置的思维框框中,不能限制、扼杀学生的思维火花.教师真正把“过程”本身作为教学目标,学生的主体地位就会真正得以体现.

3.2 操作活动与数学思维

新一轮数学课程改革突出强调了学生的主动探索与动手实践,贯彻过程教学理念的数学课堂更加强调学生动手操作.但是数学活动的本质是数学思维活动,虽然数学在创造过程中像一门试验性的归纳科学,但数学毕竟不同于实验科学,推理与证明是数学的本质特征.因此,如果课堂教学仅仅仅停留于实践操作的外部活动,缺乏对深层次问题的思考:为什么要如此操作、操作过程中体现哪些思维方法,就不能使学生真正感受过程对数学思维的启迪,不易实现外在的操作活动到内在的思维活动的内化,影响了对数学本质的理解.

3.3 过程与结果

尽管过程教学的“过程”是教学目标,但过程教学也是为了更好地理解、掌握、获取“结果”,因此在强调过程教学的同时,更重要的是树立过程与结果并重的观念,即数学教学应该把重视教学结果和重视教学过程统一起来.Howson和Wilson曾指出:“传统上数学教育集中注意使学生获得技能和技巧(结果).如今,我们已看到,更多是强调过程,压倒一切的目标仍然是让学生参加各种类型的数学活动.”但“过程只能通过内容来传授”.对于“我们要学生学些什么?”的问题,Howson和Wilson指出:“应当既考虑‘结果’又考虑‘过程’”[7].只有数学教学保持过程与结果的平衡,才能真正展现数学的本来面目,还数学以生动活泼的形象,也才能使学生更好地热爱数学,理解数学,掌握数学.

参考文献

[1][4] 裴光勇,陈佑清.知识发生过程教学的内涵和价值.中国教育学刊,2001(1).

[2] 潘廷宏.过程教学的研究和实施.中学化学教学参考,2004,(10).

[3] 刘莉,胡仪元.过程教学构想.中国成人教育,2007,(1).

[5] 数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准(实验)解读.南京:江苏教育出版社,2004∶176.

[6] 吴晓红,戴平波.过程教学与结果教学探析.徐州师范大学学报(自然科学版),2002,(3).

[7] 张奠宙,丁尔升,李秉彝,等.国际展望:九十年代的数学教育.上海:上海教育出版社,1990∶85-120.