测度论在统计学中的应用

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测度论在统计学中的应用范文第1篇

目前在一些高校培养研究生教育过程中侧重知识的传授而忽视学术道德素质的培养，这就使得研究生缺乏学术规范意识造成一些不容忽视、甚至较为严重的学术不正、学术道德失范、学术腐败的现象．这些现象存在于学术活动的各个环节，表现形式多种多样，性质也不尽相同，如学风浮躁、急功近利、粗制滥造、弄虚作假、剽窃抄袭、学术交易、滥用他人成果、学术评审不公等．研究生学术造假的客观原因主要是指毕业压力、就业压力和功利目的．的数量或质量不达标，不能获取奖学金，不能毕业．那些想要按时毕业，却又不愿意踏踏实实静下心来做研究的学生，往往心存侥幸，把别人的文章进行简单拼凑，甚至直接照搬照抄别人的研究成果，企图蒙混过关．为了获取奖学金和各种奖励、荣誉，有些学生也选择造假．对研究生来说，奖学金的评审和表彰奖励的评定，也是与的数量和质量密切相关的．因而，一些研究生东拼西凑，盲目追求论文的数量．国内有些期刊，只需交纳版面费而不需严格的审稿流程就能，也助长了学生的这种做法．

概率论与数理统计专业研究生教学改革措施：

1控制招生规模，改善办学条件

在招生时，要充分评估本校现有软硬件资源，考虑资源的承受能力，严格控制招生数量．高校应当加大对教学基础设施的建设投入，改善办学条件．尽快建立与研究型大学相匹配的研究生教学大楼、实验大楼，为研究生的教学和学习提供有力的物质保障．此外，高校还应当加强导师队伍的建设．因为导师的质量直接决定了研究生的质量．学校要把好导师遴选的质量关，做好导师的岗前培训和考核，建立一支能体现本学科特色的学术梯队、学术团队，对有突出贡献的导师实施物质奖励，对那些不负责、考核不合格的导师实施严厉的处罚措施，必要时可以废除导师终生制．

2更新课程内容，突出前沿性

教材建设必须突出概率论与数理统计学科的特点．按应用程度不同，可把学科分为基础学科和应用学科两大类．对于基础学科的教材应注重理论基础，在理论的难点上能激发学生的想象力和创造性思维能力，概率统计专业研究生必须具备扎实的理论基础;而对于应用学科的教材应注重理论和实践相结合能力的培养，诱发学生的实践兴趣，指导学生的实践操作，启发学生在实践中发现问题，解决问题，提高创新能力．例如《随机过程》教材可选用应坚刚和金蒙伟编著的建立在测度论基础上的教材《随机过程基础》，《高等数理统计》可选用茆诗松等编著的教材《高等数理统计》．必须指出的是，这些教材内容也比较陈旧，缺少一些新的前沿研究动态．所以教师在授课时，应一方面对经典内容加以精选，减少重复;另一方面要运用新的研究成果对经典内容进行创新处理，引导学生进入科研的前沿阵地．数理统计学教材应强化计算机运用统计软件的能力，将数据的收集、分析、综合的概念贯穿始终．

3推行研究型教学方法，开展学术讨论班

研究型教学是以研究、讨论为基本特征的一种教学活动．这种教学模式是在教师的指导下进行，以学生自主学习和课堂讨论为前提，以教学中的重点、难点内容、有争议的学术问题或学术前沿热点问题为研究内容，通过学生查阅资料、独立钻研展开课堂讨论和交流，从而激发学生的学习热情，调动学生的创新欲望，而达到教学目的的一种教学方法．这种教学方法可充分调动研究生课堂学习兴趣，发挥学习的主观能动性．研究生学习的目的是创新．高远辽阔的思维空间、自由轻松的学术环境和开放活跃的思维状态是创新的理想条件．而讨论班就是在一种宽松随意的氛围下对学术热点问题各抒己见，使思想在碰撞中产生火花，从他人的见解中获得启发、拓展研究思路．导师可以将研究生按照不同的研究方向分成若干个研究小组，小组内不定期进行学术讨论活动，而且不同研究方向的研究生也可以相互交流借鉴，取长补短．这样不仅能使不同研究领域的思想和方法得以相互借鉴，提高研究水平，而且能避免工作的重复和人力资源的浪费．学生在认真阅读文献的基础上，对所读文献进行归纳、总结、提炼、整理并写出读书报告，然后在讨论班上讲解，师生之间展开互动讨论．这样可以营造浓厚的学术氛围，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，从而提高研究生的科研能力．

4深化课程体系，开设交叉学科课程

概率统计专业研究生的知识不应局限于自己或导师研究课题的一个狭窄范围，而应当对本学科的历史、现状及发展趋势，对本学科和相关学科比如基础数学、应用数学、运筹学、计算数学及应用领域的关系有比较清楚的认识，改变孤立的知识系统和专而不博的知识结构．具体到课程设置上就应该减少专业必修课，增加与专业相关的选修课，进一步拓宽研究生视野，培养基础宽厚、能适应社会各种需要的高层次人才．例如概率论与数理统计专业研究生必修课程可设《泛函分析》、《测度论》、《随机过程》、《高等数理统计》．此外，现代社会需要的是具有综合素质的复合型人才，因此需要通过多学科的教学，实现跨学科、跨学院的课程设置，使学生掌握各方面的知识和技能，以更好的适应社会和未来工作的需要．例如可设置如下交叉课程:计量经济学、金融工程，金融统计学，生物统计学，遗传统计学，计算统计学，模式识别，机器学习、数据挖掘，可靠性工程，物流供应链网络，计算机网络等．

测度论在统计学中的应用范文第2篇

一组精要的数学符号，一个简单的数学公式，一条言简深邃的数学定理，一种精彩绝伦的数学构想……，无不闪现着这些数学巨人们思想深处那汩汩不息的美感之源所散发出的激情与脉动，其升腾出的美的氤氲，笼罩着一种思维上的灵逸和深远，带给人们一丝迷醉其中的淡淡情愫。拉丁格言说得好：“美是真理的光辉。”如果将这句话投射在数学领域中，我想，大量的事例都可印证其简约的表述之下所蕴涵的深远意境。但从更广泛的意义看，美又何尝不是一种力量，一种蓄以待发的、存乎自然与人最深处的追求本真的力量，一种属性固有与理性追求的完美统一。不难体会到，数学的美——一种独特的、兼具震撼力的美，本质上包含了两个侧面的含义：主观意义上的数学美与客观意义上的数学美，即数学美既是一种人的能动的主观感受与思维表达，又是内蕴于客观世界的现实存在。从这两个侧面出发，以一种全面、深刻、辩证的数学美学认识为基础，站在哲学平台上，对数学美的本质做进一步的剖析与探讨工作，既有理论的完善意义，又具有数学美育实践的指导与促进意义。鉴于此，笔者拙笔写下了这篇断想。

1数学美的存在性——客观世界的反映

在客观世界纷繁芜杂的各种变化与现象中，时刻贯穿、孕育着各种各样的美。美是杂乱中的秩序，是变化中的规律。美是客观世界的本质属性，是引领整个客观世界向前发展的内在动力。数学美作为科学美的重要方面，就是对自然界中客观存在的秩序与规律从数与形的角度给予反映和揭示。具体来说，对于美的存在性，我们可以从两个方面来认识与考察。

首先，客观世界中处处渗透与体现着数学美，数学美是对客观世界内在规律的反映。对于数学美与客观世界之间的相互联系，其实早在古希腊时期，毕达哥拉斯学派就开始着手研究。毕氏学派在研究音乐乐理的谐音与天体运行的轨道时，发现二者在数量关系上都满足整数比，从而就此得出结论“宇宙间万物的总规律，其本质就是数的严整性和和谐性”，“美是和谐与比例”。在这样的认识基础上，毕氏学派试图从数和数的比例中求得美和美的形式，并终于从五角星形中发现了“黄金分割”，进而得到黄金比。这是数学美学认识史上的一大突破。从古希腊到现在，黄金比在各种造型艺术中都有着重要的美学价值。现代科学研究甚至表明，黄金比在现代最优化理论中也有着应用价值，如优选法中的0.618法。即使在现代医学保健领域中，都可以处处感受到它的存在与神奇。最令人惊奇的是，很多生物的形体比例也是等于黄金比。难道它们都懂得优选法，自觉采用黄金比？不！这只能证明美学家的断言：“美是一切事物生存和发展的本质特征。”

其次，溯源于客观世界的数学理论内部也充满着数学美。这种美本质上间接地表征了客观世界的固有规律。徐利治教授曾说过：“作为科学语言的数学、具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构和方法上也都具有自身的某种美……如数学概念的简单性、统一性，结构系统的协调性、对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异美等。”古代哲学家、数学家普洛克拉斯甚至断言：“哪里有数，哪里就有美。”的确，数学中美的例子可谓俯拾即是。例如，皮亚诺算术公理系统，就是逻辑结构简单美的典范；希尔伯特以非构造方法成功解决了代数不变量理论中的戈丹问题，体现数学方法的简单美；代数中的共扼根式、共扼复数、对称多项式、对称矩阵等。几何中的轴对称、中心对称、镜面对称等，都表现了数学中的对称美；运算、变换、函数，这三个分别隶属代数、几何、分析等不同数学分支的重要概念。在集合论建立之后，便可以统一于映射的概念，这体现了数学中的统一美……。近代科学家开普勒更是一针见血地指出：“数学是这个世界之美的原型。”言简意赅、意蕴深远的一句话，给人以深刻的思想启迪。

2数学美的独特性——内隐而深邃的理智美与理性精神

英国著名哲学家、数学家罗素曾经这样描述过数学的美：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，正象雕刻的美，是一种冷而严肃的美、这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完满的境地。”罗素的这番精彩论述以“冷而严肃”“纯净”“崇高”“严格”“完满的境地”等字眼来形容数学的美，辞藻华丽且思想深刻，将数学美的与众不同淋漓尽致地展现在人们面前，再进一步看，正如前面所论述的数学美的本质包含了两个侧面（主观意义和客观意义）。因此，从主观与客观及其相互联系统一的角度来研究数学美的独特性，必然会有助于我们更好地去理解与认识数学美的内在本质。

第一，数学的美是内在的美、隐蔽的美、深邃的美，美在数学思想内部，数学美是客观规律的反映，但这种反映不是像照镜子那样直接反映，而是人的能动反映，是自然社会化的结果，是人的本质力量对象化的结果。它所反映的不单纯是客观事物，而是融合了人的思维创造。因此，要领悟数学美必须透过，“抽象、枯燥”的符号、公式及定理等洞察其内部的数学思想：比如爱因斯坦创立的相对论可谓内容丰富之极，但如果用式子表示的话，却极其简单：

E=mc[2],P=mv(E为能量，P为动量，m为质量，c为真空中的光速）并非所有人都能意识到其中的美。其实，这两个公式代表了爱因斯坦对人类贡献的精华，它们深刻地揭示了微观、宏面、宇观的无数质能变化现象的规律，但式子却非常简单。其用字之少，内容之丰富，充分体现了数学的简单美。再比如，数学家们把等式

e[πi]+1=0

视为最优美的公式，美在哪里？其实，这个式子将算术中的"1""0"，代数中的"i"，几何中的“π”，分析中的"e"神奇地统一在了一起，即它们相会于天桥：e[iθ]=cosθ+isinθ（在该式中令θ=π就可得到上式），它沟通了三角函数与指数函数之间的内在联系，充分体现了数学的统一美。

第二，从价值追求的角度看，数学美实质上体现了人的审美精神，这种精神说到底是一种理性的精神，恰恰是这种精神，“使得人类的思想得以运用到非常完善至美的程度”，即“完满的境地”；正是这种精神，“从一定程度上影响人类的物质、道德和社会生活，以试图回答有关人类自身提出的一些问题”；正是这种精神，“使得人们能尽可能地去理解、了解、控制自然，掌握客观世界的规律”；正是这种精神，“使人们有可能去探求和确立已经获得的知识的最深刻的、最完美的学科内涵”，并使之“纯净到崇高的地步”。这是笔者从罗素的论述中感悟到的数学美的精神层面的独特内涵。

3数学美的驱动性——个人创新与数学发展的内部动力

对于数学美的追求历来是科学家进行发现与创新的重要内部驱动力。阿达玛与彭加勒都曾从心理学角度阐释美与发明创造之间的关系。他们认为，创造的本质就是做出选择，就是要抛弃不合适的方案，保留合适的方案，而支配这种选择的正是科学美感。正如阿达玛所说的：“科学美感，这种特殊的美感，是我们必须信任的向导，”因为，“唯有美感能预示将来的研究结果是否会富有成果。”数学史的研究表明，希腊几何学家之所以研究椭圆，可以说除了美感之外，再没有什么其他动力了。著名物理学家麦克斯韦在没有任何实验依据的情况之下，仅从数学美的考虑出发，将实验得出的电磁理论方程重新改写，以求得方程形式上的对称优美。令人惊异的是，改写的方程竞被后来的实验证实了，而且利用方程还可推导出一系列令人陶醉的结果，电磁理论决定性的一步就这样跨出了。这不能不让人相信美的确具有如此巨大的推动力与支配力。诚如爱因斯坦所言：“照亮我的道路，并且不断地给我新的勇气去愉快地正视生活的理想，是善、美和真。”事实上，爱因斯坦所提出的科学思想，有很多是出于美学而不是逻辑的考虑。他对实验和理论不相符的忧虑，甚至远远不及对基本原理的不简洁、不和谐所引起的忧虑，而这正是刺激他的思想的源泉。

从广泛的意义上看，对数学美的追求也在不断推动整个数学向前发展，数学发展的历史不啻是一部追求数学美的前进史。比如，在数学发展的历史长河中，数学家们坚持不懈地追求数学的统一性，从而相继诞生出三部数学巨著：欧几里德的《几何原本》，罗素与怀德海合著的《数学原理》，布尔巴基学派的《数学原本》。再如，出于逻辑简单性的考虑，数学家们很早就对欧氏平行公理的自明性和独立性产生怀疑，经过几个世纪的研究，最终导致非欧几何的建立。此外，对于奇异性的追求也同样推动了数学发展，对此，哥德尔不完备定理的提出可以说是一个极好的例子，纽曼和耐格尔曾把这一定理称为“数学与逻辑学发展史中的里程碑”。著名物理学家惠勒则更认为：“即使到了公元5000年，如果宇宙仍然存在，知识也仍然放射出光芒的话，人们就将仍把哥德尔的工作……看成一切知识的中心。”

综上所述，无论是对个人的创新，还是对数学科学的整体发展，数学美的推动作用都是毋庸质疑的。从本质上说，对于统一性、简单性、奇异性的追求过程就是个人与群体认识不断深化和发展的过程。正如郑额信教授所说：“无论是对于统一性、简单性、奇异性或抽象性的追求，事实上都体现了数学家的这样一种特性：他们永不满足于已取得的成果，而总是希望能获得更深刻、更全面、更正确的认识。因此，他们总是希望能将复杂的东西予以简单化，将分散、零乱的东西予以统一，也总是希望能开拓新的研究领域……正是在这样的过程中，数学家们感受到了数学的美，而这事实上也就是认识不断得到发展和深化的过程。”

4数学美的甄别性——评价数学理论的重要标准之一

古往今来的很多数学家、科学家都将数学美视作衡量自己或他人研究成果的重要评价尺度之一。数学美犹如一个筛子，数学家们利用这个筛子对理论中的各种因素做总体上的甄别与评判，剔除丑陋保留美好，力图最终获得“美”与“真”的完美统一。著名数学家冯·诺伊曼就曾说过：“我认为数学家无论是选择题材还是判断成功的标准，主要都是美学的。”庞卡莱则更明确地说：“数学家们非常重视他们的方法和理论是否优美，这并非华而不实的作风……一个解答、一个证明的和谐、对称以及恰到好处的平衡……能使我们对整体以及细节都能有清楚的认识和理解，这正是产生伟大成果的地方。”

数学家与科学家们之所以如此看重数学美，就是因为数学美的甄别性在一定程度上为该理论的发展前景作出了预测，同时也在一定程度上为科学家们的工作指明了方向。如众所知，概率论的产生始于17世纪，在当时，由于人们对概率概念所存有的不同理解，所以建立的理论体系也不完全一样。在这些理论体系中，最迷人的是前苏联数学家柯尔莫哥洛夫建立在公理集合论上的测度论的概率论。以数学美的标准来评价，柯氏的理论体系，无疑极大地显示了数学的简单美与统一美，不仅对论述无限随机实验序列或一般的随机过程给出了足够的逻辑基础，而且应用于统计学也很方便。历史的发展充分地证明了，在这些理论中，惟有柯氏的概率论不断得到进一步发展，而且后来还产生了不少新的分支。正如Nobel物理学奖获得者狄拉克所言：“一种理论如果是正确的，它就应该是美的，一种美的理论有普适性，它有能力预言、解释、提供范例，可用它来进行工作，因而数学美能激起人们的热情，对它的追求就好像是一种信仰行为……数学美是对理论具有决定取舍作用的一个准则。”

5数学美的层次性——主观客观彼此交融的重要特征之一

根据前面的分析，数学美的本质体现在两个侧面，即它既是一种客观世界的本质属性，又是人对于这种本质属性的主观认识与感受，且二者之间是辩证的融合。站在这样的一种辨证的数学美的本质观（数学的主观美、客观美及其你中有我、我中有你）平台上，笔者认为，从客体作用于主体的角度考察，客观世界存在的各种数学美的外部呈现与反映体现出典型的层次性特征。从本质上说，这种美的层次性特征既表达了客体美对人的感官、思维的冲击上的层次差异性，又体现了个体对数学美的主观认识上的阶段性与发展性。张猷宙和木振武两位教授可谓对这一课题做了独特而深入的研究，他们结合数学美育，从主观认识与客观反映之间辨证联系的角度出发，提出了数学美的四个层次：美观、美好、美妙、完美，并以此为基点，探究优化课堂教学的策略与构想。在此，笔者相信，对该课题的研究将会是继续深入、不断完善的。