线性规划

前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇线性规划范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。

线性规划范文第1篇

【关键词】研究性学习；线性规划；教学改革

随着当前基础教育的改革的深入，研究性学习成为当前基础教育的一个热点，引起了教育界和社会的广泛关注，也成为当前培养学生能力的一个崭新的课题。我们本着教学过程始于课内，终于课外的原则对线性规划的实际应用进行研究。主要是把实际问题抽象为数学模型，使其在约束条件下，找到最佳方案。也就是说求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题。

1 线性规划问题

在实际社会活动中遇到这样的问题：一类是当一项任务确定后，如何统筹

安排，尽量做到最少的资源消耗去完成；另一类是在已有的一定数量的资源条件下，如何安排使用它们，才能使得完成的任务最多。

例如1-1：某工厂需要使用浓度为 的硫酸10 ，而市场上只有浓度为 ， 和 的硫酸出售，每千克价格分别为8元，10元，16元，问应购买各种浓度的硫酸各多少？才能满足生产需求，且所花费用最小？

设取浓度为 ， ， 的硫酸分别为 千克，总费用为 ，则

2 线性规划问题的模型

2.1概念

对于求取一组变量 使之既满足线性约束条件，又使具有线

性目标函数取得最值的一类最优问题称为线性规划问题。

2.2模型

3线性规划问题的求解

3.1图解法

在平面直角坐标系中，直线 可以用二元一次方程 来表示，点 在直线 上的充要条件是 ；若 不在直线上，则 或 ，二者必居其一。

直线 将平面分为两个半平面 和 ，位于同一个半平面内的点，其坐标必适合同一个不等式，要确定一个二元一次不等式所表示的半平面，可用“特殊点”法，如原点或坐标轴上的点来检验。另外有如下结论：

（1）若 ，则 表示直线 右侧的半平面， 示直线 左侧的半平面。

（2）若 ，则 表示直线 上方的半平面， 示直线 下方的半平面。

例1-1中，设取浓度为 ， ，的硫酸分别为 千克，取 的硫酸为 千克，总费用为 ，则

当直线 ： 向右上方移动，经过可行域上的 点，此时直线距离原点最远， 取得最大值。由 得 点的坐标为 ，代入 得， .

从图解法来看，它只适用线性约束条件中决策变量为二元一次线性规划问题的求解.对于含有三个或三个以上的求解，用图解法无法下手.如何求多元线性规划问题的解呢？下面我们以例1-2为例，介绍单纯形法的求解方法.

3.2单纯形法

显然，第一行中 的值最小，故选 进基，将第一行乘以0加到第二行，再将第一行乘以 加到第三行，然后再将第一行乘以 加到第四行，得到下表：

4 线性规划的简单应用

4.1物资调运问题（产销平衡）

运输问题一般是某种物资有 个产地 ，产量分别为 个单位；有 个销地 ，销量分别为 个单位， 与 之间的单位运价为 ，问应如何安排运输的方案，才能使总运费最低？

[例] 甲、乙两地生产某种产品，它们可调出的数量分别为300t，750t，A、B、C三地的需要该产品得数量分别为200t，450t，400t，甲地运往A、B、C三地的费运分别为6元/t， 3元/t，5元/t，乙地运往A、B、C三地费运分别为5元/t，9元/t，6元/t，问怎样调运，才能使总运费最低？

如果甲生产的产品运往B之后有剩余，而且也满足B地的需求量，我们应将B所在的列的元素全部划掉，然后在剩余的元素中再找最小元素，依次类推。

4.2合理下料问题

下料问题是加工业中常见的一种问题，其一般的提法是把一种尺寸规格已知的原料切割成给定尺寸的几种毛坯，问题是在零件毛坯数量给定的条件下，如何割才能使废料最少？

[例] 某工厂有一批长为2.5m的条形钢材，要截成60cm和42cm的两种规格的零件毛坯，找出最佳的下料方案，并计算材料的利用率。

解法一：设每根钢材可截成60cm长的毛坯

x根，42cm长的毛坯y根，按题意得不等式

，画出直线 ： 的图象，如图（4）。

因为要截得的两种毛坯数的和必须为正整数。

所以 ，的解为坐标的点一定是第一象限内可行域的网格的交点。

如果直线 上有网格交点，那么按直线上网格交点的坐标 的值为下料方案，这时材料全部被利用，此方案就是最佳方案。从图上看直线 不能过网格交点。在这种情况下，为了制定最佳方案应该找靠近直线 的网格交点。当然不能在直线 的右上方的半平面内找网格交点，右上方的半平面任何网格交点坐标都使 。这时两种零件毛坯长度和超过原钢材的长度，这是不合理的，所以问题的最优解不能在这个区域找。

这样，下料的范围只能在 表示的可行域内，在直线 的左下方半平面内找最靠近直线的网格交点，得点 ， 就是所求的最优解。材料利用率为 。

解法二（列举法）：

4.3生产安排问题

生产安排问题是企业生产中常遇到的问题，用若干种原料生产某几种产品，原料供应有一定的限制，要求制定一个产品生产计划，使其在给定的资源限制条件下能得到最大收益。如前面的例1-2就是生产安排问题，我们不再举例。

本文着重研究线性规划的一些简单的应用及其求解方法。图解法是我们解决一些二维线性问题的最基本的方法，应该必须掌握，对于三维或三维以上的可利用单纯形法求解，单纯形法可以用来求一些比较复杂的线性规划的问题，有兴趣的同学可参阅《运筹学》。通过本文的介绍，要学会解决简单的应用问题，拓展解题思路，培养解决实际问题的能力。

参考文献：

[1]袁小明.数学思想史导论[M].广西教育出版社，1991.

线性规划范文第2篇

关键词：采购 耗用 库存 LINGO 约束条件

针对问题三：当价格保持线性上升时，根据每种油第一个月价格，确定出2个月价格。价格就由常量变关于x的函数，其中x上限20。使用LINGO计算，用EXCEL制作曲线图。无论x在取值范围如何变，都能提出最佳采购与耗用方案并确定最大利润。

一、问题的提出

二、问题分析

问题1、2目的是寻求更好的采购和耗用及库存方案，使总利润最大。总利润包含采购原油费用、储存原油费用、销售成品油所得的金额，目标函数由此构成。每个月对原油的精练、存储油量的限制，成品油的硬度也限制在3至6之间，故约束条件可得。

三、基本假设

1.假设原料油能够满足加工需要；

2.不考虑原料油的采购费用和所需的时间；

3.假设原料油的采购和加工是均匀连续的，存储中没有质量损失。

四、符号说明

六、模型的检验

主要运用LINGO检测，第一个月最大利润43750.元，对问题二：逐月最大利润为55227.27元，采购和耗用原料油都满足限制条件。

七、模型评价

1.模型的优点

1.1本模型解决了原料油的采购和耗用及库存方案，给出解决线性规划问题的一般算法，得出较满意结果。

1.2本模型对原料油市场价格变化规律下的不同 ，利用LINGO计算总利润，可观察出市场的变化规律。

2.模型的不足

2.1假设较多，导致模型不全面反映实际中原料油的采购、耗用和价格的变化对利润的影响。

2.2实际中，为获最大利润，在原料油价格较低时采购，在价格上涨时，仅保证需要即可。

八、模型的推广

本模型的建立为解决变量较多的线性规划问题提供了一个合理的方案，可以应用于其他类似的线性规划问题。可推广到库存材料利用问题、产销不平衡运输问题、材料订购与运输问题和最低成本问题等规划问题上。

参考文献

[1]姜启源、谢金星、叶俊，《数学模型》北京市西城区德外大街4号：高等教育出版社，2007年8月第三版.

[2]袁新生等，用LINGO6.0求解大型数学规划，工程数学，第17卷第5期：73～77，2001.

[3]运筹学教材编写组，运筹学，北京：清华大学出版社，1990.

线性规划范文第3篇

【关键词】线性规划；易错点；归纳整理

线性规划问题是实际生活中常遇到的一类问题，因此常见于各省市高考试卷中.笔者将线性规划教学中学生常见的易错点整理归纳如下，仅供参考.

案例1在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A=（x，y）|x+y≤1x≥0y≥0，求：

（1）若z=x-y，则z的最大值是；

（2）若平面区域B={（x+y，x-y）|（x，y）∈A}，则平面区域B的面积为（）.

A.2

B.1

C.12

D.14

错解（1）作出x-y=0的平行线，如图1，发现当过点B时z取最大值-1.

评析因为z=x-y在y轴上的截距是-z，故点A（1，0）才是使z取得最大值的最优解，所以zmax=1.事实上，对于目标函数z=ax+by，b

错解（2）令a=x+y，b=x-y则0≤a≤1，-1≤b≤1表示的平面区域如图2所示，则面积应等于2.

评析本题中忽略x与y本身的范围，应注意到a+b=2x≥0，a-b=2y≥0，所以约束条件为a+b≥0，a-b≥0，0≤a≤1，-1≤b≤1， 表示的平面区域如图3，所以阴影面积为1，即B的面积为1.

案例2设实数x，y满足x-y-2≤0，x+y-4≥0，2y-3≤0， 求z=y+1x-3的取值范围.

错解因为可行域的顶点分别为A52，32，B72，32和C（3，1），所以-5≤y+1x-3≤5.

评析线性规划问题是数形结合的典范，通过可行域如图4，可以观察得y+1x-3≤-5或y+1x-3≥5.

案例3不等式组y-x≥0，x+y-10≥0，y-3x+6≤0， 表示的平面区域为D，若指数函数y=ax的图像上存在区域D上的点，求a的取值范围.

错解因为区域D的顶点分别为C（3，3），A（5，5），B（4，6），所以a>1，515≤a≤614， 所以515≤a≤614.

评析画出可行域D如图5，发现可行域并非是封闭的三角形区域，点A（5，5）使a取最小值515，所以a的取值范为515≤a.

案例4若实数x，y满足条件y-x≥0，x+y-10≤0，y-3x+6≤0， z=x+yi（i为虚数单位），求|z+1-6i|的最大值和最小值.

错解因为|z+1-6i|可以看作可行域中的点到点（-1，6）的距离，所以画出可行域如图6，分别带入点A（5，5），B（4，6），C（3，3）得出5≤|z+1-6i|≤37，所以最大值37，最小值5.

评析本题错解在于忽视了当由点（-1，6）向直线y-3x+6=0作垂线时，垂足可能在可行域中，事实上垂足72，92恰好在线段BC上，故最小值应为22.5，最大值37.

案例5若实数x，y满足不等式35x+24y≥106，x∈N，y∈N， 求z=140x+120y的最小值.

错解做出可行域如图7所示，因为点A10635，0且由于直线l：z=140x+120y的斜率k=-76>kAB=-3524，可知当直线l向上平移过点（3，1）时z=540，过点（4，0）时z=560，故z的最小值是540.

评析本题的难点在于x∈N，y∈N，对于整点问题可利用“平行移动、代入检验”的方法解决，所以本题中还要考虑x=2，因为35x+24y≥106，故y≥32，所以考察点（2，2）得出z=520；再考察点（1，3）得出z=500；进而考察点（0，5）得出z=600.故本题最优解应为（1，3）时zmin=500.

总评

线性规划范文第4篇

摘要：通过对实际生活中有关优化问题的探讨，运用线性规划知识，使问题情景数学化，特别是应用图解法有关可行解的理论，对有关优化问题的数学模型的建立和求解给出了具体方法。

关键词：线性规划；约束条件；目标函数；图解法

利用线性规划知识建立有关优化问题的数学模型，需要寻求决策变量x，在优化问题中，通常有多个决策变量，常用一组不等式来描述即约束条件。在解决最优解问题时，若用数量形式描述即目标函数。对不同的问题，其目标和条件的表现形式可以是各式各样，但在数学看来，都可以概括为：求某一函数在一定约束条件下的最大（最小）值的问题。

一、线性规划问题

1、不等式Ax+By+C>0

（1）当B>0时 y>-A/Bx-C/B表示直线Ax+By+C=0的上部分

（2）当B

（3）当B=0时，当A>0时 x>-C/A表示直线x=-C/A的右方部分

当A

2、点在直线同侧还是异侧的判断

令A（x1，y1）B（x2，y2）L：Ax+By+C=0

（1）A，B在L的异侧（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）

（2）A，B在L的同侧（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）>0

3、不等式表示的平面区域

例如：|x|+|y|≤2 所表示的平面区域图1

|x|+|y|-2≤0

x+y-2≤0

-x-y-2≤0

x-y-2≤0

-x+y-2≤0

图1

二、建立优化问题的数学模型

下面通过实例看看如何形成约束条件和目标函数。

例：某工厂甲、乙两种产品，计划每天各种产品的生产量不少于15t，已知如表1所示。

12问应如何安排生产才能获得最大利润？

设甲、乙两种产品分别为x（t），y（t），总利润z（万元）

则有约束条件：

9x+4y≤300

4x+5y≤200

3x+10y≤300

x≥15

y≥15

目标函数为：zmax=7x+12y

概括上述问题的数学模型就是：求一组非负数x、y，使之满足上述约束条件，且使目标函数取得最大值。

三、用图解法解线性规划问题的方法

建立有关优化问题的数学模型后，下一步就需要求解问题。由于目标函数和约束条件都是线性函数，在二维情况下，可行解的区域为直线段围成的凸多边形，于是，最优解一定在凸多边形的某个顶点处取得。

解决上述的实际问题：

约束条件：

9x+4y≤300

4x+5y≤200

3x+10y≤300

x≥15

y≥15

目标函数为：zmax=7x+12y

由上述约束条件的5个不等式来确定可行解的区域。图2中阴影部分为凸多边形，其中每个点的坐标都是线性规划问题的一个可行解。

求目标函数为：zmax=7x+12y取得最大值。

令z等于某一个常数，如z=366.69，411，417.246，428等分别做直线zmax=7x+12y，这些线都是互相平行的直线，即是目标函数的等值线。当z越来越大时，直线离开原点越来越远，最后，在满足约束条件的所有解中，使z取得最大值的解将在可行域的边界点A（20，24）处得到，即当x=20、y=24时zmax=428（万元）。

线性规划范文第5篇

［关键词］ 非线性规划； 模型； 产品组合； 应用

doi : 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2012 . 08. 065

［中图分类号］ F272 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1673 - 0194（2012）08- 0096- 02

1 非线性规划数学模型

对实际规划问题作定量分析，必须建立数学模型。建立数学模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，称之为目标函数。然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，称之为约束条件。非线性规划问题的一般数学模型可表述为求未知量x1，x2，…，xn，使满足约束条件：

gi（x1，…，xn） ≥ 0 i ＝ 1，…，m

hj（x1，…，xn） ＝ 0 j ＝ 1，…，p

并使目标函数f（x1，…，xn）达到最小值（或最大值）。其中：诸gi和诸hj都是定义在n维向量空间Rn的某子集D（定义域）上的实值函数，且至少有一个是非线性函数。

上述模型可简记为：

min f（x）

s．t． gi（x） ≥ 0 i ＝ 1，…，m

hj（x） ＝ 0 j ＝ 1，…，p

其中x ＝ （x1，…，xn）属于定义域D，符号min表示“求最小值”，符号s．t．表示“受约束于”。

定义域D中满足约束条件的点称为问题的可行解。全体可行解所成的集合称为问题的可行集。对于一个可行解x*，如果存在x*的一个邻域，使目标函数在x*处的值f（x*）优于（指不大于或不小于）该邻域中任何其他可行解处的函数值，则称x*为问题的局部最优解（简称局部解）。如果f（x*）优于一切可行解处的目标函数值，则称x*为问题的整体最优解（简称整体解）。

2 关于Excel规划求解

“规划求解”是一组命令的组成部分，这些命令有时也称作假设分析 （假设分析：该过程通过更改单元格中的值来查看这些更改对工作表中公式结果的影响。例如，更改分期支付表中的利率可以调整支付金额。）工具。借助“规划求解”，可求得工作表上某个单元格（被称为目标单元格）中公式 （公式：单元格中的一系列值、单元格引用、名称或运算符的组合，可生成新的值。公式总是以等号 （＝） 开始。）的最优值。“规划求解”将对直接或间接与目标单元格中公式相关联的一组单元格中的数值进行调整，最终在目标单元格公式中求得期望的结果。“规划求解”通过调整所指定的可更改的单元格（可变单元格）中的值，从目标单元格公式中求得所需的结果。在创建模型过程中，可以对“规划求解”模型中的可变单元格数值应用约束条件 （约束条件：“规划求解”中设置的限制条件。可以将约束条件应用于可变单元格、目标单元格或其他与目标单元格直接或间接相关的单元格。），而且约束条件可以引用其他影响目标单元格公式的单元格。

使用“规划求解”可通过更改其他单元格来确定某个单元格的最大值或最小值。使用规划求解的操作方法为：

在“工具”菜单上，单击“规划求解”。

如果“规划求解”命令没有出现在“工具”菜单中，则需要安装“规划求解”加载宏 （加载项：为 Microsoft Office 提供自定义命令或自定义功能的补充程序。）程序。操作方法：

在“工具”菜单上，单击“加载宏”。

如果在“当前加载宏”列表框中没有所需加载宏 （加载项：为 Microsoft Office 提供自定义命令或自定义功能的补充程序。），请单击“浏览”按钮，再找到该加载宏。

在“当前加载宏”框中，选中待装载的加载宏旁边的复选框，再单击“确定”。

3 案例资料

某公司生产和销售甲乙两种产品，两种产品各生产一个单位需要工时为4和8，用电量5 kW和6 kW，需要原材料10 kg和5 kg。公司可提供的工时为320，可提供的用电量为260 kW，可提供的原材料为430 kg。两种产品的单价与销量之间存在负的线性关系，分别为p1＝3 100 － 55q1， p2 ＝ 3 350－ 85q2 。当原料用量≥320 kg时，供应商提供的原料价格从180元降为160元。假设两种产品各生产1个单位，总固定成本10 000元，试在Excel中建立产品组合非线性规划模型，并且按如下要求操作：计算需要的工时、用电量、原材料和利润；用规划求解工具求解两种产品的最优生产量和总利润最大值。并用控件表示出两种产品产量不同组合情况下的利润变化情况。

4 模型建立

（1） 计算各项指标

在SHEET 1工作表中将已知各项指标填入相关单元格中，并进行相关计算。如图1所示。

B15 ＝ C10 ＋ D10 － C13 － C12 － D12。

（2） 进行规划求解

单击“工具”菜单上的“规划求解”，在弹出的 “规划求解参数” 对话框中作如图2的设置。

在“设置目标单元格”框中单击，然后选择利润单元格（单元格 C14），在“可变单元格”框中单击，指向区域 C6：D6，该区域为两种产品的产量。

添加约束：单击“添加”按钮，在“添加约束”对话框中，在标记为“单元格引用位置”的框中单击，选择区域C6：D6，从对话框中部的列表中选择“＞＝”，在标记为“约束值”的框中输入0；选择区域E3：E5，从对话框中的列表中选择“＜＝”，在标记为“约束值”的框中单击，选择单元格区域F3：F5。在“添加约束”对话框中单击“添加”，以输入需求约束即可。

在“规划求解选项”对话框中输入所有可变单元格都为非负值的约束，通过单击“规划求解参数”对话框中的“选项”按钮可打开该对话框。

选择“采用线性模型”和“假定非负”选项，然后单击“确定”。

注意：选择“假定非负”选项可确保规划求解只考虑每个可变单元格都采用非负值的可变单元格组合。

选择“采用线性模型”的原因是产品组合问题是一种称为线性模型的特殊规划求解问题。

单击“规划求解选项”对话框中的“确定”后，返回到主“规划求解”对话框，单击“求解”按钮即可，这样，规划求解会迅速找出最佳解决方案，如图3所示。需要选择“保存规划求解解决方案”以将最佳解决方案值保留在电子表格中。

5 添加控件

根据图表向导，做一直方图。打开“窗体”控件，添加两个滚动条，一个与甲产品链接，一个与乙产品链接，其控件参数的设置最终结果如图4所示。