微分方程在化学中的应用

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微分方程在化学中的应用范文第1篇

关键词：微分方程；模型；应用

对于现实世界的变化，人们关注的往往是变量之间的变化率，或变化速度、加速度以及所处的位置随时间的发展规律，之中的规律一般可以写成一个（偏）微分方程或方程组。所以实际问题中，有大批的问题可以用微分方程来建立数学模型，涉及的领域包括物理学、化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、军事、人口、资源等等。

一、微分方程数学原理解析

在初等数学中，方程有很多种，比如线性方程、指数方程、对数方程、三角方程等，然而并不能解决所有的实际问题。要研究实际问题就要寻求满足某些条件的一个或几个未知数方程。这类问题的基本思想和初等数学的解方程思想有着许多的相似之处，但是在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面依然存在很多不同的地方，为了解决这类问题，从而产生了微分方程。

微分方程是许多理工科专业需要开设的基础课程，微分方程与微积分是同时产生的，一开始就成为人类认识世界和改造世界的有力工具，随着生产实践和科学技术的发展，该学科已经演变发展为数学学科理论中理论联系实际的一个重要分支。随着数学建模活动的日益活跃，利用微分方程建立数学模型，成为解决实际问题不可或缺的方法与工具。

而数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构.简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。

二、微分方程模型应用于实际问题的方法和流程总结

在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。

一般用于求解微分方程的方法或形式有三种，分别是求解析解、求数值解（近似解）和定性理论方法。而建立微分方程模型的方法通常也有三种，其一是利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型；其二是利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律；其三是在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。

在建立数学微分方程的流程上，我们通常第一步是对具体实际问题进行分析，找出问题中的变化量和变量关系，接着进行模型假设，将实际问题的元素用数学概念代替，然后进行符号设定，简化计算，从而建立模型，进行求解，最后用求解的结果对之前的问题分析和模型假设进行验证，验证合理后进行模型的应用和评估。

三、微分方程模型应用领域归纳和具体案例分析

从应用领域上讲，微分方程大方向上的应用领域主要分社会及市场经济、战争微分模型分析、人口与动物世界、疾病的传染与诊断和自然科学这五个方面，如果细致来讲，其中社会及市场经济方面又包括综合国力的微分方程模型、诱发投资与加速发展的微分方程模型、经济调整的微分方程模型、广告的微分方程模型、价格的微分方程模型；战争微分模型包括军备竞赛的微分方程模型、战争的微分方程模型、战斗中生存可能性的微分方程模型、战争的预测与评估模型；人口与动物世界领域包括单种群模型及进行开发的单种群模型、弱肉强食模型、两个物种在同一生态龛中的竞争排斥模型、无管理的鱼类捕捞模型、人口预测与控制模型；疾病传染与诊断领域包括艾滋病流行的微分方程模型、糖尿病诊断的微分方程模型、人体内碘的微分方程模型、药物在体内的分布与排除模型；自然科学领域包括人造卫星运动的微分方程模型、航空航天器翻滚控制的微分方程模型、非线性振动的微分方程模型、PLC电路自激振荡的微分方程模型和盯梢与追击问题的微分方程模型等。

尽管从上述微分方程应用领域的罗列和总结上，我们会觉得比较复杂，其实所有微分方程建模问题的流程都是严格按照问题分析、模型假设、符号设定、建立模型、模型求解和验证模型这一流程进行的，下面就结合一个案例来具体分析：

比如弱肉强食微分方程模型。生活在同一环境中的各类生物之间，进行着残酷的生存竞争。设想一海岛，居住着狐狸与野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之丰富，兔子们无无食之忧，于是大量繁殖；兔子一多，狐易得食，狐量亦增，而由于狐狸数量增加吃掉大量兔子，狐群又进入饥饿状态而使其总数下降，这时兔子相对安全，于是兔子总数回升。就这样，狐兔数目交替地增减，无休止的循环，遂形成生态的动态平衡。那么，如何用建立数学模型描述并预测下一阶段情况呢？在这个问题上，某一时刻兔子数量和狐狸数量就存在变量关系：

其中ax表示兔子的繁殖速度与现存兔子数成正比，-bxy表示狐兔相遇，兔子被吃掉的速度；-cy表示狐狸因同类争食造成的死亡速度与狐狸总数成正比；dxy表示狐兔相遇，对狐狸有好处而使狐狸繁殖增加的速度。

四、结语

微分方程模型的应用让很多现实中难以具体计算的问题迎刃而解，通过对事物发展规律的掌控进行科学建模，是数学应用于生活的发展趋势，作为广大在校进行数学专业学习的同学来说，掌握好专业基本功，是将来就业工作，实现自身价值的重要途径。

参考文献：

[1]肖静宇. 几类分数阶微分方程的数值方法研究[D].哈尔滨工业大学，2013.

[2]付树军. 图像处理中几何驱动的变分和偏微分方程方法研究[D].北京交通大学，2008.

微分方程在化学中的应用范文第2篇

关键词：常微分方程；教学方法；教学效果

常微分方程是基础数学的重要分支之一，它是研究客观世界量与量之间关系的重要工具，广泛地应用于物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融等领域。常微分方程课程是我校应用数学系的一门专业基础课，同时又是数学分析的后继课程。这门课程不仅可以让学生领略到丰富的数学知识，而且引导学生用新的视角认识世界，对培养学生的数学思维起到了非常重要的作用。

如何在常微分方程的教学中，提高学生的积极主动性，发挥教师的主导作用，使教学方式由教学投入，即以教学内容、学习年限为导向，转变为教学产出，即以学习效果为导向，是教学改革中大家比较关注的问题。在常微分方程课程的教学过程中，笔者有以下的构想和尝试。

一、“任务式”教学――突出学生主体，体现教师主导

目前，课堂教学的一大弊端是教师包办和代劳太多，而学生的学习兴趣不高，“学生的主体作用”和“教师的主导”体现得都不明显。学生习惯被动地接受知识，而不是主动地学习和探索知识，很难从学习中感受到快乐。为了改变这一现状，教师在教学过程中，有意识地布置一些学习任务，要求学生去完成。这个任务绝不局限于课后的习题。

比如，常微分方程第一节绪论课，主要介绍微分方程的背景知识和基本概念。常规为两课时，课堂上能够介绍的内容非常有限。教师在教学中布置学习任务：

了解常微分方程在生产生活中的应用；

了解常微分方程的发展历史和关键人物；等等。

学生可以利用各种资源，主动查找和学习相关的资料，以作为课堂内容的有效补充。为了督促学生完成任务，教师要求学生在规定时间内以论文、PPT、影像资料等多种形式提交学习成果，并及时记录和交流，任务完成情况作为学习成绩的一部分加以体现。教师则在有限的课堂时间内，重点讲解“数学单摆”“人口模型”“传染病模型”等几个非常经典的微分方程模型，使学生了解和认识应用微分方程“思考问题--建立模型―解决问题”的过程。这样的设计，突出了教师讲解画龙点睛的主导作用，也调动了学生学习的主动性，充分发挥其主体作用。

课后学生分两次完成作业，找到了鉴别名画的真伪、测定考古发掘物的年龄、深水炸弹在水下的运动、物资的供给、红绿灯问题、需求与物价之间的关系、减肥的数学模型等诸多课本上没有的例子；制作了精美的PPT，介绍常微分方程的发展历程；从方法论的角度出发，学习和总结利用常微分方程建模的常用方法。通过学习，学生对常微分方程背景知识和广泛的应用性有了更充分的认识，对应用这个工具解决问题的方法有了更加深刻的理解。这样的作业，突破课堂限制，不仅使学生学到了知识，更主要的是，在学习的过程中学会了资料的搜集与整理以及论文撰写的基本知识与格式，提高了协作完成任务的能力。这样的学习方式，使学生成为学习的主角，而教师在学习活动中的主导和组织作用也得到了充分的发挥。

二、构建以教材为中心的“辐射式”教学内容体系

除教材知识外，“辐射式”构建本课程学习内容，建设一个以教材为中心，以资料为辅助的教学内容体系。微分方程的发展历久弥新，是一门前沿性非常强的课程。教材知识虽然经典，但是比较陈旧，不能体现这门课程前沿性的特点。为此，教师在授课过程中应给学生提供比较恰当的、既结合学习内容又比较新或者比较经典的论文资料，供学生阅读学习。在搜集资料的过程中，注重提供一定比例的外文资料。通过阅读与学习这些资料，使学生提高了学习兴趣，开阔了视野。同时，积累了专业词汇，培养了阅读外文学术文献的能力，提升了学习品质，为今后的学习奠定了良好的基础。这个教学内容体系，随着教学与科研的发展不断更新和补充“新鲜血液”，经过几轮的积累，就会形成一个丰富的、动态的常微分方程课程资料库。

不仅如此，还应要求学生学习Matlab、Maple、Mathematic等常用的工具类数学软件，并且能够把它应用到常微分方程课程的学习中，解决一些基本问题，如画相图、积分曲线（面）、求各类常微分方程的近似解等。

三、“过程化”教学――注重学习过程的管理和引导

为了体现学生是学习的主体，改变单一的考试办法，应分阶段分任务进行考核。考核内容有：

第一，期中、期末考试。

第二，作业考核。

过程考核分课内作业和课外作业。课内作业是常规的课后习题；课外作业有课堂笔记、文献阅读、本课程相关资料整理等。

第三，课外学习内容考核。

主要有数学软件学习、实验课内容学习和操作等。各类学习内容在考核中都占有一定的比例，以此调动学生学习的主动性，使得总评成绩能够比较全面地反映学生的学习情况。

在考核方式的比例分配和成评定过程中，引入学生的意见，甚至部分展示内容中可以让学生的评分占一小部分。

四、“建模化”教学――突出应用，提高能力

微分方程来自于实践，主要解决实践中遇到的各种问题，建模是利用微分方程解决问题的第一步，也是关键一步。常微分方程教学应该尽可能地体现这一特点。

笔者在每一部分的教学中都尽可能引入实例，展现建模过程。完成知识点学习之后，每一章也都以解决一个实例问题作为结束。

在教学过程中，笔者根据教学进度，设计了四节“实验课”内容，体现出微分方程课程的实用性的特点。比如，在学习了解对初值的连续依赖性之后，为了使学生了解参数变化对方程解的影响，教学中增加了关于“混沌”的实验内容。通过对经典的Logistic模型数值解的计算，在计算机上让学生看到混沌现象的发生。在学习了微分方程组之后，增加了以了解微分方程组的应用和求解为目的的实验课――“盐水浓度计算”。在这个试验中，一个复杂过程被拆分成较简单的子系统，一个独立的微分方程描述一个子系统，于是一个微分方程组描述整个系统。

实验课环节比较完整地体现了问题的提出、分析、建模、解决等过程。学生使用计算机软件进行模拟或者近似解计算，提高了解决问题的能力。

五、“开放式”教学

学生的学习不拘泥于课堂，除了前面介绍的几种方法外，笔者还注重营造学术氛围，使学生感受到研究学习的乐趣。

一是请校内外专家为学生作比较通俗的学术报告，介绍微分方程领域的前沿工作、发展动态、趋势和应用，以及学习数学的方法等。通过这些学术活动，使学生在了解前沿的数学知识的同时，能够感受数学与数学家的魅力，寓教于乐、寓教于趣。

二是组织小型“学术活动”，通过分组学习，对于作业完成比较好的学生，在课堂上留5～10分钟时间，请他们给班级同学介绍成果。这项活动极大地激发了学生的学习热情和表现欲望，效果非常好。

六、“研究式”教学――通过师生的科研活动，促进教学，培养兴趣

微分方程课程是一门前沿性非常强的课程，即便是基本的知识点，也可以挖掘出可以研究的科研课题。

首先，在教学中，引导学生选择课题，参与科研活动，发现和完成一些小的科研任务，学生的创造力得到了很好的开发和提高。比如：课题组教师指导学生完成论文《幂级数法求解微分方程的近似解》《一类双反馈系统正解的稳定性研究》《人口流动对传染病的影响》等，基于课堂教学，又高于课本经典内容，这些研究成果的整理发表，极大地激发了学生的学习热情。

其次，我们认识到科研活动是教师保持创造性的重要保障，教师应该科研与教学并重，教学相长。只有知识渊博，富有创造性的教师，才有可能培养出具有创新精神的人才。只有富有教育责任感和工作热情的教师，才有可能引导学生进行富有成效的学习。在工作中，常微分方程教学团队的教师成立有非性分析研究所，每个人都主持有省部级或者国家级科研项目，为不断提高这门课程的教学质量提供了重要保障。

总之，经过几年的教学实践，我校努力践行“学生为学习主体、教师为学习主导”的原则，以课堂教学为核心，同时突破课堂有限的时空限制，通过各种教学形式，促使学生主动学习，积极探索。在鼓励和帮助学生获得知识的同时，培养学生的学习能力、分析解决问题的能力，获得了有效的学习成果。同时也真正体现出教师在教学过程中引导、指导、主导的作用。

参考文献：

[1]张伟年.本科数学专业常微分方程教学改革与实践[J].高等理科教育，2003（1）：19-21.

[2]赵中，陈莹.应用型本科高校“常微分方程”教学模式改革与探索[J].鞍山师范学院学报，2014，（2）：11-13.

[3]周玉兴，蒋心学，韦新.《常微分方程》课程教学改革的探讨[J].数学教学研究，2013，32（12）：63-65.

[4]王锐.应用型高校常微分方程教学模式改革[J].阴山学刊（自然科学），2017（1）：120-121.

[5]唐玉萍.常微分方程教学模式转变初探[J].四川文理学院学报，2015（2）：66-68.

微分方程在化学中的应用范文第3篇

常微分方程是基础数学的一个重要组成部分，常微分方程在整个数学大厦中占据着重要位置。自然科学（物理、化学、生物及天文）中的许多一般规律，用常微分方程的语言来表达最为自然。因此，常微分方程是探索实际问题的重要工具。但是该课程在目前的教学中还存在一些问题：（1）本课程包含一些冗长烦琐的计算公式和定理推导，而教学课时数普遍较少，因此在使用传统教学方法和手段授课时，使得有些内容不能深入细致地讲解，导致教学效果不佳。（2）受传统教学模式的影响，忽略了教学过程中师生的交流和学习效果的验收，使学生陷入思维的惰性中，限制了学生的批判性、创造性思维能力。因此，如何改革传统的教学模式，用新的思路去改进现有教学方法，以培养学生的创新能力，对作为基础课程的常微分方程显得尤为重要。本文从教学内容、教学方法和教学手段等方面探讨常微分方程课程的教学改革。

一、更新教学内容

（一）合理选配教科书和参考书

关于常微分方程的教材有很多，如何合理地选配教科书和参考书是搞好教学改革的关键一环。事实上，给学生指定一些参考书，让他们在课余时间对照课堂上教师讲授的内容进行学习，有助于学生进一步加深对常微分方程这门课程的了解，从而让他们从单纯的课堂中走出来。对于不同层次的学生，由于培养目标和教学计划的差异而有所区分，因此应根据学生具体情况的不同选取教材。

对于基础较好的学生，可选择理论内容较为丰富的教材[1-2]。对于此类学生，他们不但要掌握一些基本的计算方法和推导公式，如一阶微分方程的初等解法、高阶微分方程的求解公式及线性微分方程组的求解公式等，还要知道这些公式、方法的具体来源，推导过程。这就需要教师在教授过程中注重这些公式、原理的理论分析与证明，因此对教材的选取，应以理论侧重为主。对于特别优秀的学生，可直接选用国外原版教材[3]，让学生在学习之余提高阅读外文文献的能力。对于基础一般的学生来说，侧重于使之掌握相关公式的应用，对于相关理论的含义，只需了解其内容并能熟练应用即可。在教学上应侧重使学生领会公式的推导原理和方法，熟练掌握公式的具体运用，淡化理论证明为主。因此，可选用理论与计算兼而有之，侧重于计算为主的教材[4]。

（二）精心选取教学内容

像常微分方程这样的基础课，其教学内容比较经典成熟，但仍应该根据科学和社会发展的需要，用现代数学的思想、观点为指导，重新审视教学内容，与时俱进地吐故纳新，加入一些最新的前沿性知识。例如，近几十年来动力系统及其非线性科学得到了迅猛发展，极大地促进了力学、物理、生物、地理等领域的发展，如果能将这方面的新理论新方法同常微分方程中的一些知识结合起来进行讲授，将会起到很好的效果。

对于具体的教学内容还应在选定教材后，根据学时等的安排合理选择教学内容。当学时较少时，可适当删减一些复杂且将来会随着深造而进一步学习的内容，如文献[1]中的第六章非线性微分方程中的第五、第六节，以及第七章一阶线性偏微分方程。在学时较充裕的情况下，可增加一些当今微分方程中的热点问题。例如，加强Picard逼近法及解的存在唯一性证明，将它们同运用等价积分方程建立迭代推导关系同后面动力系统思想联系起来，不但给出了存在唯一性的相关证明，更对当今动力系统中的一些思想和观点给出一定的介绍和阐释[5]。这样，不但可以让学生学到的知识具有前瞻性，而且还可以帮助他们开阔思维，拓展视野，培养兴趣，增加学习积极性。

二、改进教学方法

（一）传统教学法与现代教学法相结合

教学方法一般是指与一定教学目标和任务相关的具体操作程序，是完成教学任务所使用的方法。我们可以把现行的教学方法大体分为传统教法和现代教法。站在形势发展需要的角度看，传统教法有其弊端：教师的主要精力在于讲授教材，学生的学习是被动的、消极的。可是它毕竟是在人类社会发展的历史中流传下来的，到如今仍有它合理性的一面，有的仍是教师教学中不可缺少的方法，所以不能一概否定。新方法的出现，是随着社会发展的需要、社会的变革产生的，是积极的，它与传统教法的出发点不同，是从灌输知识为主转变到启发学习为主。在教学观念上倡导适应个别差异、因材施教，强调把教学的重心从怎么“教”转到怎么“学”上。若能结合这两种方法，在教学实践的应用中做全面的、客观的分析，深入研究，总结效果，会大大提高教学效果。

在常微分方程课程的讲授中，有许多公式定理需要推导。若教师只是灌输式地教学，学生只是被动地接受，将会逐渐失去对这门课程的兴趣和积极性。因此，在讲授课程的同时，可将启发式、对话式教学引入课堂。例如，在讲完一阶微分方程的初等解法后，我们可以引导学生自己考虑几种常见的一阶微分方程的类型之间的关系，从而引出微分方程中的“化归思想”。在教学过程中将讲授式与启发式教学结合起来，不但能增加学生的学习兴趣，让他们在教师的引导和自己的主动思考中拓展思维空间和知识结构，更能让他们较为全面地掌握系统的理论知识。

（二）注重考核方式的多元化

恰当、正确的考核方式可以及时反映教师的教学效果，因此，制定适当的考核方式是了解学生对所学知识掌握情况的有效手段之一。对此，我们将考核分成三个部分：学习态度考核、随机口试考核、期末考试[6]。

学习态度考核是由教师和课代表平时详细记录每一个学生的出勤、上课表现、作业完成情况等方面，学期末由课代表和主讲教师共同评定成绩。随机口试考核则是由教师事先准备一系列的问题，在课堂或课后由学生随机抽取一道题目作答。这种方式可以引导学生注重常微分方程的基本概念和重要思想，使教师能直接掌握学生对知识细节的熟悉度以及学生的思维能力和综合运用知识的能力。期末考试以闭卷的方式进行，其内容包含本课程的主要理论知识，应突出考查学生对知识的理解程度和运用能力。在试题的选定过程中，应以考查学生对基本概念、基本理论的理解度以及对知识的综合运用度为基本原则。通过这三方面的考核，不但使教师较全面地把握学生对所学知识的掌握程度，也能增进学生与教师之间的学习和交流。

三、运用多样化的教学手段

（一）引入多媒体教学

使用多媒体教学是一种新型的教学模式，需要在教学过程中不断总结与交流，努力将传统教学模式的优点和现代教学模式的长处有机地结合起来。实践证明：两者结合得好坏是新型教学模式成败的关键，传统教学模式讲得好的教师往往使用现代教学模式也更加成功，原因在于保持了传统教学模式的优势[7]。随着计算机技术的发展，多媒体教学具有传统教学模式无法取代的优势。

图文并茂，从直观上展示公式、定理的意义，并激发学生学习微分方程的兴趣。多媒体教学利用图像和图形的结合，能够给学生更多感官上的刺激。变抽象的定理内容为具体，这就使学生更容易理解和掌握教学内容。节省课堂时间，提高教学效率。常微分方程课程涉及大量复杂烦琐的公式计算和定理的推导，如果只使用黑板加粉笔的传统教学模式，将在板书上花费过多的时间和精力。若能合理地运用多媒体教学，把需要的教学内容制作成简洁、生动的课件，并直接在课堂上播放，便能大大减少教师花在板书上的时间，使教学内容变得紧凑而有条理。

（二） 充分利用网络资源

微分方程在化学中的应用范文第4篇

1李关于切触变换的研究

1.1李研究切触变换的缘由受到普吕克尔几何思想的影响，李接受了将直线看作空间基本元素的做法，并将线几何看作是对几何学，尤其是笛卡尔(R.Descartes，1596～1650)创立的解析几何学局限性的哲学思考。李在1872年的博士论文前言中写到:本世纪几何学的快速发展与笛卡尔几何性质的哲学观点有着紧密联系，并严重依赖于此，也就是普吕克尔在早期的数学研究中所阐述的具有最一般形式的哲学观点。那些深刻地理解了普吕克尔数学工作本质的人，对将任意的三参数曲线当作空间基本元素的想法，不会感到陌生。但据我所知，没有人将这种想法付诸实施，原因有可能是人们很难看到这样做能带来的直接好处。在这方面我已经进行了广泛而一般的研究，从而发现通过一种比较奇妙的变换方式①，可以将通常的主切线理论转变成为相应的曲率理论。(［18］，156～157页)深刻地理解了普吕克尔的几何思想，李构造出和普吕克尔的线几何类似的球几何，即李球几何。在这种情况下，新构造的几何系统与原有几何系统的关系就至关重要。李试图去证明这些几何系统都是相容的，甚至在某种意义下是等价的。这就需要在射影意义(乃至更广泛的意义)下空间元素之间的“等价”变换，其实就是广义的“对偶原理”。于是，李开始研究各种空间元素之间的变换，如点和直线的变换〔彭赛莱(J-V.Poncelet，1788～1867)等研究过的对偶变换〕、线球变换等，这方面的研究直接导致李创立了一般意义上的切触变换。另一方面，早在1872年李就将几何变换与微分方程紧密地联系在一起。数学中经常用坐标变换来化简微分方程，用来证明一类微分方程等价于某一标准形式或典范形式。在此过程中，切触变换是主要的实现方法。在李群理论发展初期(1870～1880)，李的研究主要集中在切触变换和一阶偏微分方程。他在1874年创立了切触变换的不变量理论，逐渐建立起了系统的变换群理论，并于1888年到1893年出版了三大卷两千余页的《变换群理论》。这三卷本《变换群理论》常被列为该领域主要原始文献和参考书目。但在这三卷巨著中，我们很难发现李创立李群理论的主要动机，也无法领略到李的几何思想。对此李的好友、德国数学家克莱因(C.F.Klein，1849～1925)在1893年的演讲中有着精辟论述，他说:“要全面了解索福斯•李的数学天赋，我们不能去看他和恩格尔新近共同出版的著作，而是要去看他在科学研究生涯初期发表的文章，那些显示出李是一个纯粹的几何学家。”［19］其中“新近出版的著作”指的便是李和恩格尔在1888年到1893年间出版的三大卷《变换群理论》。李也曾在Math.Ann.杂志发表文章说:我在偏微分方程和切触变换方面的数学研究，可参见发表在本杂志第九卷的文章，这是我最好的文章之一。其次可以参考我在本杂志第八卷上的文章，接下来是本篇文章①。(［4］，464页)对此笔者认为，要详细了解某一理论的诞生过程，就必须探寻能体现该领域最初思想和方法的早期论文，而不应仅局限于后期系统专著。因此，本文对李在切触变换方面的研究主要集中于他19世纪70年表的几篇文章，即参考文献［2］、［3］、［4］。

1.2对切触变换的定义文献［2］中，李对切触变换给出若干定义，有的用文字描述方式给出，不甚严谨。如其中一个定义为:(1)很明显古尔萨的定义局限于曲线和二元函数范围，李的定义更为广泛和一般，并不仅限于二元函数。(2)古尔萨根据“曲线相切”的先验条件定义了切触变换，并将其理解为保持曲线间的相切关系不变的变换。李则从微分方程出发，根据雅可比(C.G.J.Jacobi，1804～1851)的理论，在微分方程不变性限制下得出了充要条件，由李的条件可以推出古尔萨的条件。(3)造成以上不同的原因是多方面的，与数学家的知识背景、研究方法都不无关系。古尔萨是法国分析学派的典型代表，他从纯粹分析角度来定义切触变换，其观点仍然是处理与变量密切相关的函数及其关系等问题，属典型的分析学派。而正如克莱因所言，李是几何学家，受到普吕克尔几何思想的影响，他不再拘泥于坐标间关系的限制，并将普吕克尔的线几何推广为李球几何。李定义的切触变换使一般的平面几何、普吕克尔的线几何和李球几何具有了切触变换意义下的等价性和相容性。

1.3李对切触变换的研究在文献［2］的第一部分中，李专门研究了切触变换(［2］，218～248页)。这一部分共八节，前六节分别为:§1.切触变换的定义§2.任意的切触变换的确定§3.将x1，…，xn，p1，…，pn的函数变换成x''''1，…，x''''n，p''''1，…，p''''n的函数的切触变换§4.特征的某种关系的确定§5.齐次切触变换§6.无穷小的齐次切触变换以上这些均以切触变换本身为研究对象，其中很大一部分都是特殊的切触变换，如齐次切触变换、无穷小齐次切触变换等。将李关于切触变换的工作与前人比较，我们发现:(1)李所创立的切触变换与前人的定义保持了某些统一性。从历史上看，勒让德(A.M.Legendre，1752～1833)引入勒让德变换将欧拉—拉格朗日方程化为线性方程，普法夫(J.F.Pfaff，1765～1825)则将n变元的偏微分方程变换为2n变元的方程。雅可比也得到了与普法夫类似的结果，并创立了雅可比第一方法。从勒让德、普法夫、雅可比给出的变换到李所给出的定义，变换形式越来越一般，而应用范围却越来越广。更重要的是李将前人关于切触变换的零星的特殊研究统一起来，使进一步的研究及统一结论成为可能。(2)在研究目的、定义方式、研究方法等方面，李的切触变换与前人有着明显不同。在李的研究出现之前，切触变换只是被当作一种应用工具，很少有数学家去关注其自身性质，而只是在某种实际问题的特殊要求(为了使微分方程更好求解，或为了使微分方程具有某种一致的对称性等)下，寻找某种特殊变换;即使所得到的变换具有某种一般性，但既没有出现统一定义，也没有体现出统一性质。李对切触变换的研究则与前人迥然不同，体现在以下方面。首先是研究目的不同。李最初研究切触变换的目的也是寻求偏微分方程的某种不变性，但在给出切触变换的定义后，李转而研究其自身性质，其目的是变换自身的某种不变性，而不仅是其他数学对象在切触变换之下的不变性。这种转变是最本质、最具决定性的。其次是定义方式不同。李之前的各种切触变换定义带有明显的应用特征，李不仅真正给出切触变换严格的现代定义，还给出了切触变换的充要条件。其定义更基本、更一般，涵盖范围也更广泛。第三是研究方法不同。李依据将特定偏微分方程化为全微分方程的条件，确定能够实现这种转化的切触变换，分析该切触变换满足的充要条件，并由此开创了一整套研究方法。

1.4李群理论的诞生背景一般认为，真正将李引导到连续变换群的是他1869～1872年的工作以及和克莱因的一些合作［21］。现有研究文献，或以人物及其工作为研究主线，如［15］，或从不同数学分支分述，如［16］，或两者并重，如［22］，但少有文献注意到切触变换基础上无穷小变换与微分方程的关系。其实切触变换和无穷小变换与微分方程都有密切联系，在李的变换群理论创立中起着举足轻重的作用。早在1871年克莱因和李就开始研究无穷小变换及其形成的“封闭系统”(［23］，54页)，并首次将无穷小变换与微分方程联系起来。对于齐次微分方程引入变换yx=t，则方程变为可分离变量方程，并可通过积分求解。克莱因和李对于方程的这种性质非常着迷，认为容许一个变换才是该方程化为可分离变量方程的真正原因。他们写到:我们想要探寻方程具有这种性质的真正的内在原因。(［23］，81页)1876年李连续发表了两篇文章“变换群理论”(I，II)［6，7］，给出了无穷小变换的具体表示，并得到了微分算子Ak(f)=∑ni=1Xkifxi及微分算子的关系式:Ah[，A]k=∑lclhkAl。后来他直接将微分算子Ak(f)称作无穷小变换dxi=Xkidt(1≤i≤n)的“象征”。(［7］，165页)不久便将微分算子Ak(f)本身称作“无穷小变换”(［24］，588～589页)。另外，切触变换理论和无穷小变换通过微分方程发生了联系，进一步促使李产生了变换群的思想。1876年李证明每一个r-参数群包含了r个相互独立的无穷小变换，并用如下的记号来表示一个无穷小变换:如果一个变换可以写为x''''i=xi+δtX(x1，…，xn)，其中δt为一个无穷小量，则将该变换称为无穷小变换。我们经常将上方程写为δxi=δtXi(x1，…，xn)。(［7］，155～156页)

2李创立的变换群理论

1872年10月克莱因发表了爱尔兰根纲领(ErlangerProgramm)，主要讨论了几何图形在变换群之下的不变性质，不仅一举解决了当时若尔当(C.Jordan，1838～1922)考虑的问题，还将其结果纳入自己的研究纲领，开创了用群论研究几何的新时期。李的变换群理论也正肇始于此时期。本部分以切触变换为中心，从变换群概念的诞生方面进行论述。

2.1“群”的观念其实李早就有了群的观念，只是在早期研究中没有给出“变换群”的定义，也没有对“群(Gruppe)”加以定义和说明①，而仅是研究了满足某些带有“群”的特征的集合。1870年李首次使用了“群”这个术语，但并没有事先定义“群”的概念。这里的“群”和现代意义上的“群”相去甚远，仅指对应某一线丛的几何图形的全体，大多数情况下仅具有“集合”的意义［25］。在1871年的论文中［23］，李和克莱因用“封闭系统”来表示满足封闭性的某种变换的集合。这时他们已经有了变换群的观念，并研究了群的某些性质，只是由于概念和工具限制②，他们的理论缺乏一般性而难以推广。在1872年的文章中［26］，“群”出现了10次，同样李也没有定义和解释“群”的概念，“群”的含义与1870年的情形大致相同。在1874年的文章中李明确给出了“群”的概念，该文第二部分的标题就是“群论”(TheoriederGruppen)(［2］，248页)。但他定义的“群”只是满足一定条件的变换的集合，并没有特别强调该集合应该满足的封闭等性质。因此，从“群”的角度来说，将1874年文章第二部分出现的“变换群”称作特殊的“变换组”则更为合适一些。1874年到1880年李发表了十几篇关于变换群的文章，这里的“群”充其量只是具有了封闭性的特殊函数或某些变换的集合，并不能真正称得上“群”。在李看来，连续变换群概念必须要满足以下性质:(1)它是一类切触变换;(2)在此种切触变换下，偏微分方程具有某种不变性;(3)这种切触变换最好是由一个无穷小生成的变换或称作与一个无穷小增量所对应的变换;(4)所有切触变换的集合依赖于r个参数，就形成了一个连续变换群。正因为连续变换群承载了如此多的含义和作用，真正意义上的“连续变换群”概念的产生必然是一个缓慢而渐进的过程。

2.2变换群概念的出现众所周知，群中单位元素(在变换群里即为恒等变换)和逆元素(在变换群里即为逆变换)的存在非常重要。由于要研究在合成作用下稳定的所有变换的集合，李逐渐意识到恒等变换与逆变换的重要性。1876年李认为能够证明在具有封闭性的变换的集合中必定先验地存在恒等变换及一个无穷小变换，并假设所研究的变换群总可以成对的表示为变换及其逆变换。［6］1880年李正式给出了“变换群”的定义，不过这里给出的定义也仅仅是满足了合成法则的特殊的变换组。他给出的变换群的定义如下:众所周知，置换理论中已经证明:一个置换群的元素与其逆元素可以认为是成对出现的。而置换群和变换群理论的不同点仅在于，前者含有有限元，而后者则包含有无限个变换。不过很自然(将上述做法推广)认为变换群的一个变换与其逆变换也是成对出现的。(［28］，444～445页)1884年恩格尔构造了一个有限连续群，不包含恒等变换，其元素也并不总能成对的表示为变换及逆变换(［11］，174～175页)。由此李意识到之前假设是错误的，并证明引入新的参数以及解析延拓后，总可以达到他最早给出的论断。(［16］，414页)定义了变换群后，李进一步定义了两变换群相似的概念。随后，李和恩格尔于1888～1893年出版了三大卷的《变换群理论》，在第一卷总结得到了李代数的三条基本定理，给出了李群的局部特征的表示。此外，李也研究了连续变换群的分类和同构问题，最早尝试对李群进行分类，为基灵(W.Killing，1847～1923)和嘉当(.Cartan，1869～1951)李代数结构的研究开启了大门。

3切触变换在李群理论中的作用

本部分我们试图对以下问题进行初步探索:李创立连续变换群的主要目的是什么?或者说出于什么动机?李是沿着何种路线如何达到这些目的?切触变换在其中究竟起到什么作用?

3.1以微分方程为中心的研究目的李曾在克里斯蒂安尼亚大学(今奥斯陆大学)受教于希罗(P.L.Sylow，1832～1918)。希罗则是当时欧洲大陆能够读懂伽罗瓦理论的少数数学家之一。李意识到了伽罗瓦理论强大的力量，希望将代数方程的伽罗瓦理论推广用来解决微分方程，并考虑偏微分方程的解在切触变换下的不变性。他自豪地宣称要将连续群的概念应用到微分方程上去。(［27］，60页)众所周知，伽罗瓦理论的一个基本结果为:代数方程可根式解的充要条件是该方程的伽罗瓦群是可解群。与此相类似，在皮卡-韦西奥理论中，引入了线性齐次常微分方程的伽罗瓦群，并将之称作微分伽罗瓦群，而线性齐次常微分方程可用积分解的充要条件就是其微分伽罗瓦群是可解群。李则更多地从分析的角度来考虑问题，即:对于一个给定的微分方程组，考虑使该微分方程组保持稳定的底空间的微分同胚群，也就是考虑该微分方程组的解的置换。布尔巴基曾比较贴切地评论道:实际上，对李来说，变换群的理论就像是微分方程的积分工具一样，就像代数方程中的伽罗瓦理论一样重要。(［16］，416～417页)尽管李的目的和出发点受到伽罗瓦理论的强烈影响，但他对伽罗瓦理论的理解却值得我们思考。在李1874年写给迈耶(A.Mayer，1839～1908)的信中说:在伽罗瓦之前，代数方程理论的问题是:是否方程可以根式解，如何解?伽罗瓦之后的问题是，用根式解方程的最简单方法是什么?…我相信是时候应该在微分方程领域也进行类似的工作了。(［24］，586页)在李看来伽罗瓦理论对代数方程的最直接影响是给出了根式解方程的最简单方法，这与我们现在的看法多少有些不同。现在认为:对代数方程来说，伽罗瓦理论最要紧之处是给出代数方程可解性的判据。另一方面，对“群结构”的不断探索深化了人们关于“抽象群”的认识，李在这方面也作出了尝试。1880年他写道:我们的问题可以表述为:确定一个流形的所有r参数群。(［28］，443页)。他将自己的目标描述为:发展出一套关于变换的一般理论，并将其应用到微分方程上去。一方面要寻找能将一个给定的微分方程或者是解析表达式变成给定形式的变换的存在条件，另一方面则在其存在时求出该变换。(［29］，538页)事实上，用变换来研究给定微分方程的方法已出现在欧拉(L.Euler，1707～1783)、拉格朗日(J-L.Lagrange，1736～1813)和勒让德的著作中。但这些数学家从未想过研究这些变换的自身性质，也没有建立包含所使用的特殊变换的一般理论，更很少对这些变换分类。他们只是将变换当做解微分方程的一种工具，更不要说从群的角度来研究微分方程。李的研究动机和目的显而易见，即:将连续变换群应用到微分方程上去，为微分方程发展出一套积分理论，其中包含了一种变换理论，它可以判断一个微分方程能否变成给定的形式，并求出该变换。正是通过这种变换理论，李发展出了解微分方程的理论，该理论通过寻求微分方程在变换下的不变性而简化求解过程。在这个过程中，切触变换和无穷小变换两个概念起重要作用，这也正是他研究的出发点。

3.2以切触变换为基础的研究方案在1884年的文章中，李详细的介绍了他的思路:首先建立切触变换的理论基础，然后引入无穷小变换的重要概念。首要目标是建立切触变换的不变量，也就是说研究微分方程在所有切触变换(或所有的点变换)之下的不变性。第二步是建立带有有限参数的连续变换群理论，并建立将其应用到微分方程上去的一般理论。(［29］，538页)在此基础上，李研究了微分方程在切触变换下的不变性和该不变性与无穷小变换的关系。1871年他开始研究使得微分方程不变的无穷小变换，并考虑了可交换的变换及其形成的群，这就有可能“或者由此得到一些积分方法，或者可以将问题分成几个更简单的问题。”(［29］，547页)首先，李将对微分方程的研究转变为对使该方程不变的切触变换的研究;借助无穷小变换与切触变换的关系，形成变换群的概念。由此对于微分方程的分类就相当于对变换群的分类。对此，李认为:给定任意阶的两变量的微分方程，它可能容许一个将自身变为自身的切触变换，而这些切触变换形成的群一定属于上面列出中的某一个。在此基础上，可以对这些方程进行分类，……也就给出了对其进行积分的一个正确理论。(［4］，541页)作为应用，李将一个平面切触变换的所有有限连续群化为典范形式，同时研究了属于这些群的一阶、二阶和三阶微分方程的不变量。以此为基础就可以原则上解决微分方程的分类问题，从而大大简化微分方程的积分理论。(［4］，529～542页)由此我们总结得到李的研究方案，并得出切触变换在李群创立过程中的中心作用:(1)研究切触变换，建立切触变换的不变量理论，研究微分方程在切触变换下的不变性;(2)将无穷小变换的概念与微分方程联系起来，探寻微分方程在切触变换下不变性的真正原因，并将结果应用于微分方程的积分理论的研究中;(3)将微分方程所容许的变换与无穷小变换结合，产生有限参数的连续变换群的概念;研究将任意的变换群化为典范形式的方法，或研究能否将典范群变换成给定的变换群，在此基础上构造典范群的不变微分方程，对变换群进行分类;(4)将有限参数的连续变换群的性质归结为无穷小变换的性质;通过相互独立的无穷小变换的个数对变换群分类，从而对微分方程分类;在此基础上建立微分方程的系统理论。

4结语

微分方程在化学中的应用范文第5篇

【关键词】 医用高等数学;数学建模

1 引言

马克思说过，一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。20世纪以来，数学向医学领域的不断渗透，推动了医学向更深层次的发展，不断有新的科学分支出现，如生物数学、数理诊断学、细胞动力学、病理过程的模拟及决策分析等。数学作为工具应用于医学中生命系统重要特征的研究，更深刻地揭示出了生命系统中每个细胞、有机体随时间不断变化的特征与规律。

医学院校的学生要掌握医用高等数学这门工具，不仅要掌握其理论知识，更重要的是要会用，要具备将其作为一项技能与辅助工具解决实际医学问题的能力。数学教育应该培养学生两种能力：“算数学”(计算、推导、证明…)和“用数学”(实际问题建模及模型结果的分析、检验、应用)。

数学建模是应用数学知识与计算机解决医学中诸多实际问题的一种有效工具。例如：生物医学专家若掌握了药物浓度在人体中随时间和空间变化的数学模型，就可以用来分析药物的疗效，从而有效指导临床用药。

2 为什么要在医用高等数学中融入数学建模思想

医用高等数学课程主要内容微积分具有将复杂问题归纳为简单规划和步骤的非凡能力，迄今已获得相当大的成功。但是由于微积分形式抽象及大量符号语言的使用与人们的直接生活距离较大，给医用高等数学的教与学带来了很大的障碍和困难。

医学院传统的高等数学教学过分注重数学的抽象定义、定理的证明，而与现实结合很少。这一学科在学生眼中成为一些规划与步骤，而对其本身的价值缺乏认识，造成相当多的学生觉得数学抽象难学、枯燥无味，从而愈来愈失去兴趣。这对于培养有竞争与创新能力的学生来讲是十分不利的。

而数学建模正是这样一门学科，它将复杂的实际问题划归为数学问题，应用数学理论和方法或编程计算对模型进行分析从而得到结果，再返回去解决现实问题。它建立了一座从理论到现实的桥梁。

3 如何融入数学建模思想

3.1 让学生认识高等数学的重要性

迫于学时压力，我们大多数医学院数学教师在第一堂课直接“切入主题”，开始第一章内容的讲解。我们忽略了高等教育与初等教育的区别。高等教育不是简单地在课堂上将知识灌输给学生，更多地是要引导学生合理安排课堂之外的时间自主学习，激发学生去发掘，去创新。通过以往的经验，我们发现学生由于缺乏对高等数学与医学结合日益紧密的认识，学生学习的目标盲目，在遇到难题的时候往往缺乏知难而进的精神。

在绪论课上，医学院校的数学教师，首先要将一些数学与医学最新结合的动态传递给学生。如医学上CT的发明获得1979年诺贝尔奖，其数学基础就是二维Rodan变换，1985年医学诺贝尔奖也是由建立了“免疫网络系统”的瑞典数理医学专家Jerne获得。随着在完整基因组、功能基因组、生物大分子相互作用及基因调控网络等方面大量数据的积累和基本研究规律的深入，生命科学正处在用统一的理论框架和先进的实验方法来探讨数据间的复杂关系，向定量生命科学发展的重要阶段。医学科研问题，与数学联系越来越紧密。

留出第一节课，让学生了解数学应用于医学研究的最前沿的知识，而不是仅仅停留在抽象的数学符号、公式、定理的表面，让学生认识其重要性，培养学生兴趣，激发其自主学习的动力，这一点是十分必要的。

3.2 将医学模型引入课堂教学

应用数学模型研究生命科学与临床医学中的一些课题已越来越受到重视。将医学模型引入课堂教学，有助于学生将数学与自己的专业知识联系在一起学习，对数学的认识不再停留于抽象的理论。如：

例1 恒速静脉滴注多次给药一室模型血药浓度计算

设k0是静脉滴注速率， k是一级消除率，τ0 是滴注时间，c(t)t 是t 时刻体内血药浓度，V 是表观体积，静脉滴注过程服从如下一室药物动力学模型[1]：

dc(t)dt=k0V-kc(t)， 0≤t≤τ0

dc(t)dt=-kc(t)， t≥τ0

c(0)=0(1)

若考虑以24 h为一个治疗时段，由(1)式可解得第一次静脉滴注后体内的血药浓度为[2]：

c(t)=A(1-e-kt)， 0≤t≤τ0

c(τ0)e-k(t-τ0)， τ0≤t≤24(2)

其中 A=k0kV=k0Clt(3)

Clt 为药物的清除率。

若dn 为第n 次静脉滴注与第n-1 次静脉滴注间隔的天数(n=2，3，…) 。由(1)式及(2)式可推导出第n 次静脉给药后体内的血药浓度为[2]

c(t)=A-[A-c(24dn-1)]e-k(t-24dn-1)， 24dn-1≤t≤24dn-1+τ0

c(24dn-1+τ0)e-k(t-24dn-1-τ0)， 24dn-1+τ0≤t≤24dn(4)

临床中很多疾病需采用不同药物交替治疗，各种药物在组织与血液中血药浓度也不同，医生采取什么样的用药方案直接影响治疗结果。例如小儿重症支原体肺炎治疗方案的涉及一直是临床关注的问题。文献[2]的作者在进一步的研究中以小儿重症支原体肺炎的治疗问题为背景，根据其疗程的要求和恒速静脉滴注多次给药一室模型给出四种用药方案，并根据计算出的4种给药方案的血药浓度，绘制药时曲线，给出其相应的平均稳态血药浓度和有效治疗时间，为依据临床表现，选择最优的治疗提供了可供参考的方案。

我们尝试在每章数学知识介绍的同时穿插个别典型医学应用模型，个别数学模型作为课后辅助研读材料[3]，如下：

第一章 函数、极限与连续

药物的吸收模型、药物在体内的残留量模型、简单的肿瘤生长模型(判断已知生长规律函数的肿瘤是否会无限制长大)、化学反应物质的量。

第二章 导数与微分

微分在心输出量误差估计中的应用模型、种群增长变化率模型、病菌繁殖速度模型。

第三章 中值定理与导数应用

小血管的轴流问题，咳嗽问题的数学模型，导数在求医学中一些极值问题时的应用模型(血药浓度何时达到最大、睡眠时气管中气流何时流速最大)。

第四章 不定积分，第五章 定积分

单位时间内血流量、心脏输出血量的控制、血流速、心脏输出量的测定、呼出或吸入空气的速度、主动脉压。

第六章 多元函数微积分学

尿素清除率的误差估计、利用已知样本数据和最小二乘法拟合血硒和发硒的经验公式、利用已知数据和最小二乘法拟合血药浓度和时间的关系式、药物稳定性及疾病诊断模型、糖尿病诊断模型。

第七章 常微分方程

给药模型、静脉输液问题、死亡生物体内C14 变化规律、血液流速、种群生长模型、人口模型、流行病学模型、减肥问题的数学模型、药物动力学房室模型(快速静脉注射模型、口服或肌肉注射模型)、SARS传染病模型。

由于各种病毒潜伏期、传播途径、变异与否及生物体是否产生抗体等因素不同，在介绍了经典的传染病模型之后，引导学生思考H1N1病毒传播的数学模型。

第八章 无穷级数

药物在体内的残留量。

面向不同专业的学生我们根据其未来的发展方向介绍不同的应用模型，如医学信息管理专业的学生我们更多引入医院管理中所涉及到的规划、预测、决策模型，并会用计算机模拟求解。我们也可适当引入应用高等数学知识的社会热点问题模型，如高校学费收费标准，核废料处理，H1N1传播规律与控制等问题，引导学生自主思考，学会建模。这也无形中提高了学生科研创新的能力。

3.3 将数学建模软件引入课堂教学

计算机技术和数学软件的迅速发展，为数学建模的应用提供了强有力的工具。SPSS、SAS等数学统计软件从凌乱的数据中找到规律，Mathematica、Matlab、Maple、Lindo、Lingo等常用数学建模软件不仅可处理繁琐的计算，其强大的绘图功能也丰满了我们的课件，将抽象的符号直观地呈现。

例如，Matlab将高性能的数值计算和可视化集成在一起，提供了大量的内置函数，被广泛地应用于科学计算、控制系统一集信息处理等领域的分析、仿真和设计工作。它强大的数学函数库，包括了一系列基本的数学函数。利用Matlab可以进行高等数学中的极限计算、导数微分计算、积分计算、常微分方程求解以及级数计算。

例2 求解微分方程组的通解和特解[4]

2dxdt+dydt-y=e-t

dxdt+x+y=0，

其中初始条件：x(0)=1.5，y(0)=0 。

首先求解微分方程的通解：

>> s=dsolve('2*Dx+Dy-y=exp(-t)'，'Dx+x+y=0');%求解的微分方程组的通解

>> s.x %微分方程组变量x的通解

ans =

-C1*exp((1+2^(1/2))*t)-C2*exp(-(2^(1/2)-1)*t)+1/2*C1*exp((1+2^(1/2))*t)*2^(1/2)-1/2*C2*exp(-(2^(1/2)-1)*t)*2^(1/2)-1/2*exp(-t)

>> s.y %微分方程组变量y的通解

ans =

C1*exp((1+2^(1/2))*t)+C2*exp(-(2^(1/2)-1)*t)

然后根据初始条件，求解微分方程组的特解：

>> s=dsolve('2*Dx+Dy-y=exp(-t)'，'Dx+x+y=0'，'x(0)=1.5'，'y(0)=0');%微分方程组在给定初始条件下的特解

>> s.x

ans=

-2^(1/2)*exp((1+2^(1/2))*t)+2^(1/2)*exp(-(2^(1/2)-1)*t)+exp((1+2^(1/2))*t)+exp(-(2^(1/2)-1)*t)-1/2*exp(-t)

>> s.y

ans=

2^(1/2)*exp((1+2^(1/2))*t)-2^(1/2)*exp(-(2^(1/2)-1)*t)

%或者使用下面的命令直接获取x，y的特解

[x，y]=dsolve('2*Dx+Dy-y=exp(-t)'，'Dx+x+y=0'，'x(0)=1.5'，'y(0)=0')

得到

x =

-2^(1/2)*exp((1+2^(1/2))*t)+2^(1/2)*exp(-(2^(1/2)-1)*t)+exp((1+2^(1/2))*t)+exp(-(2^(1/2)-1)*t)-1/2*exp(-t)

y =

2^(1/2)*exp((1+2^(1/2))*t)-2^(1/2)*exp(-(2^(1/2)-1)*t)

Mtalab还提供了丰富的图形表示方法，使得数学计算结果可以方便、多样性地实现可视化，从而可以直观地观察数据之间的内在关系。Matlab图像处理工具箱和自编函数可以方便快捷地对医学图像进行各种处理，使用者可根据临床需要自行建模与仿真，为临床教学与科研提供了很好的处理工具。

例3 利用Matlab特殊图像显示技术显示多帧核磁共振图像[4]，代码如下：

%定义一个4维矩阵，用来存储27幅核磁共振图像

>>mri=uint8(zeros(128，128，1，27));

%循环读出多帧图像中的每一图像

for frame=1:27

[mri(:，:，:，frame)，map]=imread('mri.tif'，frame);

End

%多帧显示

>> montage(mri，map)

其运行结果如下： Mtalab制作的图形使我们的CAI课件更加形象生动，激发了学生学习的兴趣，另一方面还可培养学生对医学图像处理和加工的能力。图像变换功技术在图像增强、图像恢复和有效地减少图像数据、进行数据压缩以及特征提取等方面都有着十分重要的作用。Matlab提供的快速傅立叶变换函数和离散余弦变换函数(DCT)等在对图像效果增强、图像分析、图像复原和图像压缩等方面应用广泛。

3.4 融入医学建模实例的高等数学教材编写

紧密跟随医学与生命科学发展的脚步，编写包含最新科研成果的医用高等数学教材也是我们医科院校高等数学教师积极不懈所奋斗的一个方向，这也无形中要求我们改变知识结构，拓宽知识面，多学习医学知识，与医学类教师多交流合作。

4 结语

我们通过选取个别专业班级(医学信息技术、生物医学工程和临床医学)作为试点，不断尝试和改进教学方法，并起到了良好的效果。试点班级学生课堂表现活跃，课下积极思考，并踊跃参加全国大学生数学建模竞赛。我们发现，要培养高素质的医学人才，医用高等数学作为基础课程必须与应用紧密结合，这就要求我们将数学建模的思想和方法结合计算机的模拟求解巧妙融入其课堂教学过程。当然提高医用高等数学的教学质量，需要做的还很多，这将是我们医学院数学教师要不断努力和探索的课题。

参考文献

1 周怀梧.数理医药学.上海：上海科学技术出版社，1983，98～131.

2 李冬梅，王树忠，汪琪.阿奇霉素治疗支原体肺炎的序贯疗法定量分析.生物数学学报，2007，22 (4)：735～739.

3 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型.北京：高等教育出版社，2003.

4 刘会灯，朱飞.Matlab编程基础与典型应用.北京：人民邮电出版社，2008，146～193.