概率论在经济学中的应用

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概率论在经济学中的应用范文第1篇

关键词：概率论；商业经济活动；具体应用

中图分类号：D922文献标识码： A 文章编号：

经济学是一门研究如何将有限资源进行合理配置的社会科学，研究人类社会在各个发展阶段上的各种经济活动和各种相应的经济关系及其运行、发展的规律。现代市场经济充满了不确定性和风险，经济人做出某一项决策后，其后果往往是无法预知的，因此现代经济学就是研究在充满不确定性因素的条件下如何公平而有效地配置有限资源。经济学与我们的日常生活联系紧密。它帮助我们更好地进行个人决策，帮助我们理解生活于其中的世界是如何运转的，帮助我们制定政府政策并分析其优劣性等等，我们的生活不可缺少经济学。概率论近几年得到了广泛的应用，无论是在自然科学领域、社会科学领域、工程技术领域、军事领域、工农业生产还是在社会经济活动都大规模的被应用着。在经济领域，概率论得到了大规模的应用，企业的管理者会运用概率论来分析经营和生产中出现的信息，寻找其中的规律，再对生产实践进行指导。使经济效益能够有效地提高。

一、正态分布在自动控制中的应用

通过大量的调查获得的数据表明，如果一个饮料厂要生产容量为300ml的罐装饮料，那么每罐饮料都会服从标准差是30ml的正态分布。如果想要把少于300ml的产品数量控制在百分之十以内，那么要怎样调节均值μ？一个全新的包装机一般在10万元左右。然而，每一罐饮料的容量都要服从标准差为7．5ml的正态分布，这样的情况，要怎么调节均值μ，才能使每罐饮料少于300ml的产品数量不超过10％。

我们把通过原包装线上生产的一罐饮料的容量设置为X。则X～N（μ，302），如果把均值μ设置在300ml上，那么如果出现50％的产品少于300ml，那么这批产品是不合格的。所以，要把均值μ调整到大于300ml大的位置上，但是要注意μ一定要遵循概率方程P｛X＜300｝＝0．1。根据这个公式得到＝1．28，所以μ＝338．4。这就要求我们，把自动包装机的均值控制在338．4的位置上，这样才能使少于300ml的产品数量不大于百分之十。如果投资10万元新买一台包装机，新包装线上每罐饮料的容量为Y，则Y～N（μ1，7．52），为了使少于300ml的饮料所占的比例不多于10％，其中μ1必须满足方程P｛Y＜300｝＝0．1。即P｛Y＜300｝＝P｛＜｝＝Φ（）＝0．1，于是Φ（）＝0．9，由此可得＝1．28，从而μ1＝309．6。采用新包装机平均每罐可节约饮料

338．4－309．6＝28．8ml。

如果按一天可以生产出20000罐饮料来进行计算，那么通过这种方式可以节省20000×28．8＝576000ml饮料，如果100ml饮料的成本是1元，那么一个工厂一天就可以增加5760元的利润，这样在18天成本就能赚回，第十九天就可以获得净利润了。所以，饮料厂应该买新的包装机，这样更有利于企业的发展。因为自动线包装的饮料的容量服从正态分布，而其出现的反差会对产品的质量造成影响，还会反应包装机的精度，对工程的效益也会产生很大的影响。因此，在控制产品质量时，要重视对方差的控制。方差越大，精度就越差，系统的性能就越差。而方差越小精度就越高，性能就越好。

二、大数定律在保险中的应用

大数定律应用在保险学中，就是保险的赔偿遵从大数定律。假如某保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险，每人每年付120元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0．006，死亡时，其家属可向保险公司领得10000元。试问：平均每户支付赔偿金59元至61元的概率是多少？保险公司亏本的概率有多大？保险公司每年在这项险种中利润大于40万元的概率是多少？

设Xi表示保险公司支付给第i户的赔偿金，则。E（Xi）＝60，D（Xi）＝59．64（i＝1，2，…，10000）诸Xi相互独立。则表示保险公司平均对每户的赔偿金E（）＝60。

D（）＝59．64×10－4，由中心极限定理，～N（60，0．07722），P｛5961｝＝＝2Φ（12．95）－1≈1。虽然每一家的赔偿金差别很大，但保险公司平均对每户的支付几乎恒等于60元，在59元至61元内的概率接近于1。保险公司亏本，也就是赔偿金额大于10000×120＝120（万元），即死亡人数大于120人的概率。死亡人数Y～B（10000，0．006），E（Y）＝60，D（Y）＝59．64。由中心极限定理，Y近似服从正态分布N（60，59．64），则P｛Y＞120｝＝1－Φ（7．77）≈0。这说明，保险公司亏本的概率几乎等于0。

如果保险公司每年的利润大于40万元，即赔偿人数小于80人。则P｛Y＜80｝＝Φ（2．59）＝0．9952。可见，保险公司每年利润大于40万元的概率接近100％。在激烈的竞争中，保险公司要想得到相同的收益可以采取两种办法，一个是提高保险的赔偿金额，这样可以吸引更多的客户。第二个是降低保费，但是这种方式没有第一个吸引的人数多。

三、数字特征在组合证券投资决策中的应用

投资者在选择投资策略时，降低投资风险的有效途径是组合证券投资方式。假定投资者选定n种证券，Xi为证券投资期内第i种证券的收益率，它受证券市场波动的影响，其预期收益率和风险分别为Xi的数学期望E（Xi）＝μi及方差D（Xi）＝σi2（i＝1，2，…，n）。n种风险证券收益率向量为X＝（X1，X2，…，Xn）T，若X的期望向量μ＝［E（X1），E（X2），…，E（Xn）］T＝（μ1，μ2，…，μn）T，协方差矩阵，其中σij＝Cov（Xi，Xj），σij＝σji，σij＝σi2（i＝1，2，…，n）。且假定∑为正定矩阵。

组合证券投资的收益率为R＝wiXi，wi为投资期内在第i种证券投资占总投资额的比例，满足wi＝1，wi≥0。则R是随机变量，其数学期望为E（R）＝wiμi，方差为σ2＝D（R）＝wiwjσij。记W＝（w1，w2，…，wn）T，FnT＝（1，1，…，1）。则组合证券投资的期望收益率和风险可以分别表示为E（R）＝WTμ和σ2＝WT∑W。由此可以看出，在选定n种投资证券的前提下，n种证券的预期收益率向量μ及协方差矩阵∑就是已知的（可以根据统计数据给出估计），组合证券投资的收益率及风险都是由投资比例向量W所确定的，投资者可以根据自己的偏好选择投资比例向量。

如果一个投资者既想要获得高收益，又不想承担高风险这是不可能的，投资者只有建立一个组合证券投资的方式才能够在达到预期收益时承担最小的风险。接下来我们来建立一个组合证券投资决策模型：其中μ0是给定的预期收益率。该模型的意义是：在达到预期收益率不低于μ0的情况下使组合证券投资的风险最小。这就是著名的马克维兹均值—方差模型。现在，人们越来越接受经济学和概率论之间的共同发展和相互作用。通过本文的案例我们可以知道，经济活动和概率论是密切相关的，不能分离。概率论能够为经济的发展提供一个科学严谨的分析办法，这样就可以发现经济发展中的规律，从而能够更好地促进经济的发展。

【参考文献】

［1］茆诗松．概率论与数理统计［M］．中国统计出版社，2000

概率论在经济学中的应用范文第2篇

【关键词】保险产品定价 保险精算学 保险经济学

精算一般是指运用数学、统计学、金融学、保险学以及人口学等学科知识和原理，定量解决工作，尤其保险经营管理中的实际问题，进而为决策提供科学依据。精算和保险的结合形成保险精算，保险精算是精算学的重要组成部分。保险经济学是经济学的一个分支，运用经济学原理来分析、研究关于保险领域问题的一门学科。从微观层面来看，保险经济学研究个人、保险人、保险中间人、保险监管者在市场中的行为决策，如何在有限资源下达到效用最优。从宏观层面来看，保险经济学研究保险在整个国民经济中的作用及影响。在这两个既有联系又有区别的学科中，保险产品定价是它们共同的重要内容，究竟这两门学科中保险产品定价有何异同，这正是本文所要尝试探讨的问题。

一、保险定价的数理基础

（一）保险精算学中保险定价的数理基础

大数定律在保险定价中所起的作用主要有以下几个方面：一是利用贝努里大数定律和泊松大数定律来估计风险损失发生的概率；二是利用大数定律来分散和降低风险；三是大数定律是衡量保险公司财务稳定性的数理基础；四是大数定律也是再保险的数理基础。

保险精算一般分为寿险精算和非寿险精算，它们具有不同的数理基础。寿险保费的计算涉及的数理基础主要有概率论与数理统计、人口数学、利息理论和生存模型等。非寿险保费的计算比寿险保费计算更为复杂，因为非寿险中损失次数和损失额都是随机变量，其涉及的数理基础主要有概率论与数理统计、信度理论等。

（二）保险经济学中保险定价的数理基础

保险经济学的建立与发展有赖于不确定情况下的经济分析工具的发展。金融定价模型，如投资组合选择模型、资本资产定价模型、最佳证券投资理论、跨时期资本资产定价模型、套利定价理论、期权定价理论、折扣的现金流模型等，在保险定价中起着重要的作用，也是保险经济学中保险产品定价的重要的数理理论基础。将资本资产定价模型应用到保险业后可以发现，均衡保险价格反映了保险经营中的不变风险。如果保险风险和金融市场风险没有统计相关，那么均衡保险价格是以预期索赔成本的现值厘定的。如果它们是统计相关的，那么均衡中会出现正的或负的保险附加费。资本资产定价模型的一个主要局限在于其没有考虑诸如有限责任及不对称税收计划等要素引起的非线性影响。

（三）保险定价数理基础的差异

从上面的分析可以看出，保险精算学中定价的数理基础是纯数学的、概率统计的，而保险经济学中定价更多的是基于金融数学、随机过程。尽管二者都采用了数学分析手段，但各自的侧重点不相同。

二、保险定价的基本原理

（一）保险精算学中保险定价的基本原理

保险精算学中保险定价的核心内容是厘定纯保费，用E表示。纯保费厘定的基本原理是收支平衡原理，厘定结果为精算公平纯保费，即纯保费与保险人未来预期保险责任赔款损失相等。用L表示保险人在签单生效时的损益，表示保险人未来预期保险责任赔款损失现值，X表示投保人或被保险人缴纳的纯保费的现值，则保险精算学中保险定价的收支平衡原理可以表示为E（L）=0，即E（Z）=E（X）。尽管寿险精算和非寿险精算所处理的风险性质不相同，但是纯保费厘定所适用的原理都是一样的，只是在具体的厘定纯保费模型上有差异。给定了预定死亡率（非寿险为预定损失率）、预定利息率（非寿险是短期险，一般不考虑）、预定费用率以及安全加成或利润因素等，采用收支平衡原理厘定毛保费。在保险精算中，这些预定的定价因素是从保险公司（或再保险公司）以往经营中得到的经验结果，具有很强的主观性，不同的保险公司之间可能会存在个体差异性。

（二）保险经济学中保险定价基本原理

保险经济学中保险定价和保险精算学中保险定价的不同之处在于，保险经济学定价在保险价格的决定过程中充分考虑了市场的作用，应用了经济学中的均衡价格决定原理。因此，保单价格应该是风险和收益的一种均衡。相对而言，保险精算中的精算保费模型是从供给方面着手，它假定价格由保险人单方面决定。在保险经济学中，由精算学者和金融经济学者共同发展的保险金融定价模型成为了保险定价的主流趋势。在保险经济学中，在不同的保险市场和经济条件下应用经济学理论来考察保险定价。在完全市场模型下，认为由竞争决定的长期均衡保险费即公平保费与索赔、销售费用、所得税和其他成本，包括税收以及资本成本等的预期现金流的风险贴现值相等（Myers and Cohn，1986）。保险经济学者也在资本冲击、价格管制等经济条件下来考察对保险定价的影响。

三、保险产品定研――保险精算学与保险经济学研究比较

通过上面的分析，对于保险精算学和保险经济学中关于保险定价的一些联系与差异，我们可以得到一些探索性的结论：

（1）从数理基础上看，保险精算学偏重于纯数学的、概率统计的的数学工具，而保险经济学侧重于应用的、随机过程的、和金融市场结合紧密的数学工具。

（2）从定价的基本原理上看，保险精算学立足于计算公平保费，使用的是收支平衡原理。保险经济学立足于计算市场均衡保费、最优保险保费等，充分利用了经济学原理，如供求均衡原理、效用最大化原理、市场结构理论等。而且，在保险经济学中，保险被看成是一种金融产品，在其价格确定时，也充分利用了金融产品价格确定的金融数学模型。

概率论在经济学中的应用范文第3篇

【关键词】概率论；数理统计；数学建模；实际案例

概率论与数理统计是研究和处理随机现象的一门重要的数学分支，在工程、人文、经济、社会等领域应用广泛。特别是近30年来，随着科学技术的迅速发展和计算机的普及，这门课也得到了长足地发展，在统计学、经济学、生物学、控制论等方面发挥着越来越重要的作用。因此，它已经逐步成为各高等院校理工类、经管类等各专业大学生学习的最重要的数学基础课程之一。该课程应用性比较强，但也有自己的理论框架，有自己的定义、性质、定理等，虽然计算技巧要求不高，但对学生的分析问题的能力， 以及如何快速正确的找到问题的切入点，这方面的要求相对较高。鉴于该课程的以上特点， 如何让学生更深刻、灵活的掌握基本概念和性质，并能把所学知识高效地应用到实际问题中提高教学效果是每一位从事该课程教学的老师， 都在思考解决的问题。结合几年来对这门课程的实际教学经验，简单提出几点看法和建议：

一、改变传统的教学模式，在教学过程中引入数学建模的思想

在传统的教学方式中，一般我们只从理论上注重概念公式的讲解，很少注重学生实际学习能力的提高。这种“填鸭式”教学丝毫提不起学生的学习兴趣，教学效果可想而知。鉴于概率论与数理统计这门课的实用性，在上课的过程中我们可以把数学建模的思想课程中融入到这门课程中，既可以提高学生的学习兴趣，又能提高学生解决实际问题的能力。比如在概率统计中讲解古典概率时可以引入生日相同例子，如：在集体宿舍中（6个人），研究是否有两个以上的人生日相同。（假设每人的生日在一年365天中的任意一天是等可能的）进一步问，那么随机找n个人，（不超过365人），求这n个人生日各不相同的概率有多大？从而求这n个人中至少有两个人生日相同这一随机事件发生的的概率是多少？这是一个很实际的例子，大部分学生都比较感兴趣，从而愿意配合老师积极的去思考、计算，在计算过程中也掌握了求古典概率的方法。在其他教学内容上也有很多模型可以列举，如：各种概率分布的应用背景问题、合理配置问题、排队论、报童的收益问题、随机贮存问题、航空公司的预定票策略、组织货源使收益最大化、平均成绩的估计、机器工作是否正常、生产的产品是否合格问题、某射手是否是一级射手等等这些模型。我们可以看到上面列出来的数学建模的例子很多也很有趣，由于篇幅的原因具体模型没有一一列举出来。

二、在教学过程中引入实际案例，调动学生的学习主动性

在概率论与数理统计中的教学中，结合概率论与数理统计应用性较强的特点， 在课堂教学中， 平时注意收集生活中的实际案例， 并根据各章节的内容选择适当的案例融人教学， 将理论教学与实际案例有机地结合起来组织讨论课，一方面使得课堂讲解生动清晰， 收到良好的教学效果；另一方面也加深了学生对教学内容的理解和掌握。例如， 保险机构是较早使用概率统计的部门之一， 保险公司为了恰当估计企业的收支和风险， 需要计算各种各样的概率下面是赔偿金的确定问题：据统计， 某年龄段的健康人在3 年内死亡的概率为0.0 3 ， 保险公司准备开办该年龄的3 年人寿保险业务， 预计有5000 人参加保险， 条件是参加者需交保险金10 元，若3 年之内死亡，公司将支付赔偿金b元（待定），便有以下几个问题：

（1） 确定b， 使保险公司期望盈利及保险公司盈利的可能性超过95 % ？

（2）确定b ， 使保险公司的期望盈利超过1 万元及使保险盈利超过1 万元的可能性大于9 5呢？

（3） 若b=3000 元， 保险公司盈利的期望值和盈利都超过2 万元的可能性为多少？

（4）若b=3000 元， 欲使公司盈利20 万元时， 每位参保者至少需要交保险金为多少元？ .这一系列问题的解决需要综合运用概率论知识. 通过这样的案例分析题将有利于增强学习氛围， 活跃课堂， 激绪， 开发思维， 有利于个人素质和协作能力的培养，教学效果当然会大幅度提高。

三、采用启发式教学引导学生的自主学习

教学是一种教师和学生之间的互动关系。在此过程中，学生的主观能动性则起了非常大的作用，可以说，是师生在共同控制信息的传递。如果只是教师在讲台上一味的讲，不停地推导公式，加上数学本身的晦涩难懂和枯燥，学生必然会觉得索然无味，很快失去学习热情和学习兴趣，更谈不上学习效果怎么样了。然而如果教师采用引导、启发式教学，不是直接讲授给学生，而是时不时地环环相扣地把问题抛给学生， 让学生去主动思考， 调动学生的自发的积极性与主观能动性，则会大大提高教学质量，改善教学效果，学生自身掌握的知识也会更加扎实。

四、开设上机实验课，培养学生应用数学软件来解决问题的能力

许多学生完成概率论与数理统计的学习后，在专业课程中，面对大量数据，需要运用统计思想方法分析时往往出现无从下手的现象，造成这种现象的原因有两方面： （ 1） 缺乏灵活运用所学知识解决实际问题的能力； （ 2） 数据量大，计算过于繁琐，手工难以实现。对于第一种情况我们通过案例将教学内容与学生所学的专业相结合来提高学生的运用能力。针对于第二种情况开设上机实验课，让学生掌握相关的计算机统计分析软件，训练学生应用数学软件来解决问题。这不仅提高了学生的学习兴趣，也加强了学生运用概率论与数理统计原理解决实际问题的能力。

以上是我在实际教学中的一些心得体会， 旨在让学生对这门课能有更深刻、直观、全面的认识， 更好地培养学生的学习兴趣， 激发学生的学习热情，从而提高这门课得教学效果。

参考文献：

[1]闫庆伦，范晓娜.注重数学建模思想的概率统计教学探讨，中国科教创新导刊，2012（8 ）：50.

概率论在经济学中的应用范文第4篇

该校“卓越工程师教育培养计划”试点工作已经在2010年9月实施。该计划人才培养的目标为：主要面向企业生产一线，培养能综合应用现代科学理论和技术手段，掌握一定的管理与工程经济学知识和技能，具有较强工程实践能力、创新能力和较高综合素质的本科工程型（制造、施工、运行、营销、维修）人才，毕业后能够基本胜任其中一种或多种角色。学校试点专业的《概率论与数理统计》课程教学计划从2011―2014学年度春季学期开始执行，截止目前第三轮已经结束。文章介绍了《概率论与数理统计》课程教学中的一些经验。

1 适时引进案例式教学法

传统的“灌输式”教学方法显然已经不能适应目前的课堂教学。营造活跃的课堂氛围，提高学生学习的兴趣是教育工作者的责任。积极引导学生学好《概率论与数理统计》的关键是选择生动的案例。下面试举两个例子加以说明。

（1）引入案例之一。在《概率论与数理统计》课程的第二章讲授到随机变量服从正态分布时，不是仅仅讲解正态分布概率密度函数表达式的特点、标准正态分布概率密度函数及分布函数等基本的知识，而是引入了公司招聘的例子。“某公司招聘155人，共有526人报名，于是通过考试，按成绩由高到低依次录取，设考试成绩为随机变量的分布为，问：某人成绩为78分，能否被录取？”在这个例子中，只有计算出招聘录用的分数线，将某人的成绩同录用的分数线比较，如果分数线不高于78分，则某人就能被录用。但是计算分数线，就需要用到一般正态分布标准化的问题、标准正态分布函数表的使用问题等关于正态分布的知识。这样通过该案例的教学，学生既巩固了关于正态分布的知识，又应用该知识解决了实际的问题，一举两得。

（2）引入案例之二。在《概率论与数理统计》课程的第三章讲授到二维随机变量函数的分布时，引入了这样找庄家公平吗的例子。“星期天，老张、老王、老李和老赵凑在一起打麻将。开始打麻将，要先兆头，即找庄家。他们的作法是，随便哪一位掷两个质体均匀的骰子，观察出现的点数之和。若点数之和为5或9点，则掷骰子者本人为庄家；若点数之和为3或7或11点，则掷骰子者对面为庄家；若点数之和为2或6或10点，则掷骰子者的下一家为庄家；若点数之和为4或8或12点，则掷骰子者的上一家为庄家。这种方法已经成为一种习惯，可谁也没有注意到这样找庄家是否公平呢。也就是说，这4个人坐庄的机会是否相等呢。”解决这个问题，可以先假设第一、二颗骰子出现的点数为两个相互独立的随机变量，进而得到二维随机变量的联合分布律，然后再分别计算四种情况下两个随机变量和的概率，结果表明四种情况下的概率并不完全相等，即说明了这样掷骰子的方法找庄家是不公平的。通过该案例的教学，学生既巩固了关于离散型二维随机变量分布的相关知识，又应用该知识解决了实际的问题，使得学生对学习《概率论与数理统计》的兴趣更加浓厚。在讲授这个例子时，可以进一步引导学生思考“如何对刚才的例子中的规则加以改进使其变的公平呢？”。当提出上面的问题后，课堂气氛马上变的更加的活跃了，经过学生们热烈讨论和激烈的争论后，给出好几种的修改规则进而公平找庄家的方法。这充分说明案例式教学的优势所在。当然，本例也说明，案例式教学方法是课堂教学中的一种比较好的方法，将“案例式教学”与“启发式教学”等其他教学法相结合对提高课堂教学质量会更加明显。

2 课堂教学中突出实践特色

基于“卓越工程师计划”的《概率论与数理统计》的教学，要求教师在课堂教学中必须要突出实践特色。如何在《概率论与数理统计》课程教学中突出这一特色，下面通过一个例子加以说明。

在《概率论与数理统计》课程的第七章讲授到参数估计的点估计法实践教学时，引入了“捕鱼问题”的案例。“设湖中有鱼N条，现捕出r条，做上记号后放回湖中（设记号不消失），一段时间后湖中的鱼（做上记号的和没做记号的）就混合均匀了，再从湖中捕出s条（不小于r），其中有t条标有标记。试根据这些信息，估计湖中鱼数N的值。”对这个题可以先介绍如何根据二项分布与极大似然估计法得到湖中鱼数N的估计值，然后再详细说明如何利用计算机编程实现对N的计算问题。使用数学软件MATLAB编程前要将题目中的字母表示的数值具体化，如，以s=1000，r=108，t=38为例来给学生具体演示。演示时给学生提供了两种不同的方法，一种是直接在MATLAB命令窗口中输入命令，提醒学生注意组合数命令nchoose（s，t）的使用格式，并提醒学生注意正确使用解含有微分计算的方程的命令：N=solve（diff（log（pt），N），N），其中pt是根据二项分布计算的s条鱼中有t条有标记的概率。另一种演示的方法是采用通用的M文件形式。在程序中采用M文件确定了一个可以在MATLAB命令窗口中执行的函数，根据具体的实际情况选择合适的r、s、t的值，进行不同的模拟运算得到相应的N的估计值。这样做的目的是让学生不仅复习了理论的知识，又能将实际问题通过计算机数学软件得到快速实现。理论与实际充分的结合，进一步体现了“卓越工程师计划”的精神。

概率论在经济学中的应用范文第5篇

关键词：分层次教学；概率论与数理统计；独立学院

概率论与数理统计是本科院校面向理工科和经管等专业开设的一门重要的数学基础课程，是学生在本科阶段接触到的为数不多的研究随机现象和统计规律的一门课程．随着科学的发展，在云计算以及大数据理论的推动下，概率论与数理统计的思想方法已经越来越多地渗入到自然科学和社会科学的各个领域中[1]．如何结合独立学院学生的特点，将概率统计较强的应用性和实践性充分体现出来，是独立学院概率统计教学改革中值得探讨和研究的课题．

1独立学院的学生特点

独立学院是我国经济社会发展和高等教育改革中出现的新生力量，为我国高等教育的大众化起到了很大的推动作用[2]．独立学院学生大多数的进校分数介于二本院校和专科院校之间．从多年的教学实践来看，独立学院学生数学基础相对薄弱，学生自控力较差，学习缺乏主动性且比较随意．与社会整体认知有所差异的是独立学院中也会有15%左右的学生有一定数学基础，学习认真；此外还有5%左右的学生由于偏科或考试发挥失常导致高考失利来到独立学院．这些学生往往是独立学院参加各学科竞赛的主力，他们不仅有较强的数学基础，而且学习积极主动，经过一定的训练在某些知识的应用方面甚至会超过一本、二本的学生．因此需要因材施教，针对不同专业、不同类型的学生开设不同层次的数学基础课程教学，在保证基础理论教学的同时，适当增加一些实验实践课程．这样可以提高学生的学习兴趣，充分锻炼学生的动手能力和应用能力[3-4]．

2分层次教学实践

与其他课程不同，概率统计研究的对象为不确定现象．因为不确定性，概率论与数理统计的大量概念很难理解．同时，作为概率论与数理统计的基础课，微积分和线性代数在概率论与数理统计的教学中有很深入的体现，尤其微积分，基础是否扎实直接影响着概率论与数理统计的学习．因此，对不同数学基础、不同专业的学生进行分层次教学是十分必要的．分层次的概率论与数理统计教学并非简单地将学生按成绩分成不同等级，而是让学生在对自身数学基础有全面认识的前提下，结合自己的兴趣，在教师的指导下进行自主选班．分层次教学主要包括3个层次，即基础层、提高层和探索层．前2个层次为课内教学，分别在普通班和提高班进行．普通班与提高班人数按4∶1进行分配．第3层次结合网络平台及课外学习小组面向对概率论与数理统计有更多兴趣，且希望进一步学习实际应用的学生展开．

2.1分层次的教学大纲和教学内容

普通班和提高班学生在数学基础和学习主动性上存在一定的差距，而概率论与数理统计又是很多专业及后续课程的基础，根据这种情况，分别对普通班和提高班编写不同的教学大纲和教学计划．从教学学时来看，普通班学时是50学时，提高班是64学时（54+10），其中10学时的实验．从教学大纲内容来看，普通班重点突出对知识背景和统计思想的掌握，重视体验数学和实验数学的过程，从而提高学生的学习积极性和主动性．因此，删除了大数定理与中心极限定理的理论部分，取而代之的是要求在讲授概率与频率、二项分布和正态分布时分别回归到实际背景，利用多媒体课件及计算软件（Excell，Matlab等）进行随机模拟实验演示，让学生观察并参与到实验中，直观地得出相关结论．考虑到普通班学生数学基础较为薄弱，对于高维随机变量的相关复杂计算也降低了要求．而把重点放在了一维和二维随机变量的简单计算上，要求学生进一步加强基本积分求和计算的基础训练，保证学生掌握基本的数学内容和计算方法，为学习后续相关课程提供必备的数学素养．此外，在统计部分，统计量、参数估计和假设检验等都存在大量的公式，由于手工计算的局限性，大样本数据的处理过程无法贯穿整个课堂，往往使得学生对于结果感到很茫然．在实际应用中，绝大部分统计公式是可以实际查表计算，甚至可以通过一些应用软件直接得出统计结果[5-7]．因此，在普通班的大纲中降低了对公式的记忆要求，而把重点放在了应用案例的分析和统计思想的理解上，让学生明确概率论与数理统计课程的用途及如何应用．相比于普通班，提高班的教学大纲在理论教学部分与普通本科要求一致．同时增加了10学时的实验课程．在有限的时间内既要熟悉软件操作，又要将概率论与数理统计知识实验化，对于数学基础较弱的普通班学生来说可能会力不从心．因此，只面向提高班开设．实验课程主要是将普通班没有进行理论授课而改为课堂教师实验展示的部分，改为了学生自己动手操作实践．这样既可以帮助学生进一步巩固课堂知识，加深对相关现象、概念和公式的理解，也提高了学生的数值计算能力，增强了学生的学习兴趣．

2.2利用网络实现第3层次的教学

互联网+课堂已成为现在教学的一个发展趋势，增加学生的课外自主学习，使概率论与数理统计的教学跳出课本，贴近生活是建立第3层次——探索层的主要目的．树立以学生为主体，教师参与指导的教学理念．结合课堂学习内容，利用网络平台，组织课外学习小组，让学生参与到一些实际课题中，对概率论与数理统计相关应用案例[8]做进一步探索．如让学生对某次考试成绩进行统计分析，利用假设检验了解成绩的分布情况，同时可以利用2个正态总体的假设检验对2个不同班级相同课程的成绩进行比较，最后深入到班级同学中进行抽样调查，并分析差异原因．让不同专业的学生参与到与自身专业相关的统计案例分析中，如经济金融专业的学生可以考虑人寿保险费额确定的案例，这样既练习了概率中的期望、方差和中心极限定理的运用，同时也学习保险数学的相关知识；工程管理专业的学生可以参与到建筑工程公司投标的决策分析案例中，不仅对期望、条件概率和贝叶斯公式等会有进一步深入的理解，同时可以学习投资项目的风险决策问题；工业和经管等专业的学生可以学习质量控制图，通过计算机对所获得的工业产品的质量数据进行测定，复习并深入体会数理统计中的参数估计和假设检验等有关知识及相关的应用．通过这些课题的参与，学生自己动手采集数据，建立模型，进行统计计算以及提交分析报告，不仅体会到了概率论与数理统计的实际应用，尝试了发现和创造的过程，还开阔了视野，增添了自信和成就感．从而提高了学习积极性，同时对所学课本知识也有了新的认识和理解．

2.3分层次的考核方式

对学生学习情况的期末考核是整个教学过程中的重要环节，它是对学生学习程度的检验，更是对教师教学水平的检验．因为存在不同层次的教学大纲，所以对学生的考核也分多个层次进行．对于基础班学生，卷面考试以基础题和简单计算为主，占总评成绩的70%，此外是参与第3层次学习情况作为加分项占总评分10%的额外加分．通过加分奖励机制鼓励学生积极参与到动手实践中去．对于提高班学生，卷面考试占总评成绩的60%，实验部分占30%，除了对软件的基本命令和操作的考核外，还增加了需要通过小组合作解决的综合应用题，以及实验报告的写作．既考核了学生的综合动手能力，还考察团队合作精神．此外第3层次的学习情况依旧作为加分项占总成绩的10%．

3分层次教学的实施效果和意义

独立学院的教学目标是面向地方和区域，培养高素质、复合型、应用型的高级人才．由于生源在数学基础上存在着一定的层次区分，各专业对概率论与数理统计知识要求也各有差异．因此，对不同专业、不同层次的学生在教学中进行不同教学重点的区分，分层次教学，使得教学有的放矢，因材施教．从整个教学的实践效果来看，课堂气氛有了明显的改善，更多的学生积极地加入到课堂演示的过程中，作业的完成率有了很大提高，尤其是实践作业．普通班的学生不再为复杂的计算感到迷茫，学习主动性显著增强，相比于以往不愿跟教师交流，现在很多学生课后愿意跟教师一起探讨随机试验和统计思想．提高班学生学习的内容则比以往更加充分，实验课程的学习使其对软件的掌握更加灵活，满足了他们的求知欲，同时也增强了动手能力．从学生的反馈来看，学生更愿意参与到与自己专业有关的概率论与数理统计课题中，而课题中所要用到的知识促使他们在课堂上更加认真地去学习．此外，通过各专业后继课程教师的反馈，分层次教学所学内容为学生后继的专业课和专业基础课提供了充分的理论保证．在很大程度上改变了以往所学内容无法应用，同时因难度过大，导致学生成绩不佳，失去学习信心，影响后继学习的情况．分层次教学的开展是对独立学院教学方式的有益尝试，对独立学院的数学教学改革有重要的意义．利用多媒体和计算机软件教学，让学生参与教学实验演示过程，利用启发式教学引导学生提出问题，分析问题和解决问题，使得学生对抽象理论有了直观感受，锻炼了学生的数学思维，扩展了学生的数学视野．注重概念与思想的渗入，而降低对计算技巧的要求，既照顾了数学基础较弱的学生，又加深了学生对概率论与数理统计这门课程的理解，帮助他们更加牢固地掌握概率论与数理统计方法，为后续课程的学习打下较好的数学基础．此外，利用课余时间，借助网络平台引导学生参与课外案例的分析和解决，将概率论与数理统计同学生的专业相结合，架起了数学与专业之间的桥梁．

4结语

概率论与数理统计课程的分层次教学是我院对数学基础课程教学改革的一部分，从实践来看取得了较好的教学效果，受到师生广泛的好评．随着教学改革的深入，在分层次教学中，新的教学方法和教学案例将会进一步融入到课堂教学和课后实践中来，为培养有创新能力的“现场工程师”打下良好的基础．

参考文献：

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