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三角函数与解三角形
第九讲
三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换
2019年
1.(2019北京文8)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,
是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为
(A)4β+4cosβ
(B)4β+4sinβ
(C)2β+2cosβ
(D)2β+2sinβ
2.(全国Ⅱ文11)已知a∈(0,),2sin2α=cos2α+1,则sinα=
A.
B.
C.
D.
3.(2019江苏13)已知,则的值是
.
2010-2018年
一、选择题
1.(2018全国卷Ⅰ)已知角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边上有两点,,且,则
A.
B.
C.
D.
2.(2018全国卷Ⅲ)若,则
A.
B.
C.
D.
3.(2018北京)在平面坐标系中,,,,是圆上的四段弧(如图),点在其中一段上,角以为始边,为终边,若,则所在的圆弧是
A.
B.
C.
D.
4.(2017新课标Ⅲ)已知,则=
A.
B.
C.
D.
5.(2017山东)已知,则
A.
B.
C.
D.
6.(2016年全国III卷)若,则=
A.
B.
C.
D.
7.(2015重庆)若,,则
A.
B.
C.
D.
8.(2015福建)若,且为第四象限角,则的值等于
A.
B.
C.
D.
9.(2014新课标1)若,则
A.
B.
C.
D.
10.(2014新课标1)设,,且,则
A.
B.
C.
D.
11.(2014江西)在中,内角A,B,C所对应的边分别为若,则的值为
A.
B.
C.
D.
12.(2013新课标2)已知,则
A.
B.
C.
D.
13.(2013浙江)已知,则
A.
B.
C.
D.
14.(2012山东)若,,则
A.
B.
C.
D.
15.(2012江西)若,则tan2α=
A.−
B.
C.−
D.
16.(2011新课标)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边在直线上,则=
A.
B.
C.
D.
17.(2011浙江)若,,,,则
A.
B.
C.
D.
18.(2010新课标)若,是第三象限的角,则
A.
B.
C.2
D.2
二、填空题
19.(2017新课标Ⅰ)已知,,则
=__________.
20.(2017北京)在平面直角坐标系中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin=,则sin=_________.
21.(2017江苏)若,则=
.
22.(2016年全国Ⅰ卷)已知是第四象限角,且,则
.
23.(2015四川)已知,则的值是________.
24.(2015江苏)已知,,则的值为_______.
25.(2014新课标2)函数的最大值为_______.
26.(2013新课标2)设为第二象限角,若
,则=_____.
27.(2013四川)设,,则的值是____________.
28.(2012江苏)设为锐角,若,则的值为
.
三、解答题
29.(2018浙江)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,它的终边过点.
(1)求的值;
(2)若角满足,求的值.
30.(2018江苏)已知为锐角,,.
(1)求的值;
(2)求的值.
31.(2015广东)已知.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
32.(2014江苏)已知,.
(1)求的值;
(2)求的值.
33.(2014江西)已知函数为奇函数,且,其中.
(1)求的值;
(2)若,求的值.
34.(2013广东)已知函数.
(1)
求的值;
(2)
若,求.
35.(2013北京)已知函数
(1)求的最小正周期及最大值.
(2)若,且,求的值.
36.(2012广东)已知函数,(其中,)的最小正周期为10.
(1)求的值;
(2)设,,,求的值.
专题四
三角函数与解三角形
第九讲
三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换
答案部分
2019年
1.解析
由题意和题图可知,当为优弧的中点时,阴影部分的面积取最大值,如图所示,设圆心为,,.
此时阴影部分面积.故选B.
2.解析
由,得.
因为,所以.
由,得.故选B.
3.解析
由,得,
所以,解得或.
当时,,,
.
当时,,,
所以.
综上,的值是.
2010-2018年
1.B【解析】由题意知,因为,所以,
,得,由题意知,所以.故选B.
2.B【解析】.故选B.
3.C【解析】设点的坐标为,利用三角函数可得,所以,.所以所在的圆弧是,故选C.
4.A【解析】由,两边平方得,所以,选A.
5.D【解析】由得,故选D.
6.D【解析】由,得,或,
,所以,故选D.
7.A【解析】.
8.D【解析】由,且为第四象限角,则,
则,故选D.
9.C【解析】知的终边在第一象限或第三象限,此时与同号,
故,选C.
10.B【解析】由条件得,即,
得,又因为,,
所以,所以.
11.D【解析】=,,上式=.
12.A【解析】因为,
所以,选A.
13.C【解析】由,可得,进一步整理可得,解得或,
于是.
14.D【解析】由可得,
,,答案应选D。
另解:由及可得
,
而当时,结合选项即可得.答案应选D.
15.B【解析】分子分母同除得:,
16.B【解析】由角的终边在直线上可得,,
.
17.C【解析】
,而,,
因此,,
则.
18.A【解析】,且是第三象限,,
.
19.【解析】由得
又,所以
因为,所以
因为.
20.【解析】与关于轴对称,则
,
所以.
21.【解析】.
22.【解析】因为,所以
,因为为第四象限角,所以,
所以,
所以,
所以.
23.【解析】由已知可得,
=.
24.3【解析】.
25.1【解析】
.,所以的最大值为1.
26.【解析】,可得,
,=.
27.【解析】,则,又,
则,.
28.【解析】因为为锐角,cos(=,sin(=,
sin2(
cos2(,所以sin(.
29.【解析】(1)由角的终边过点得,
所以.
(2)由角的终边过点得,
由得.
由得,
所以或.
30.【解析】(1)因为,,所以.
因为,所以,
因此,.
(2)因为为锐角,所以.
又因为,所以,
因此.
因为,所以,
因此,.
31.【解析】(Ⅰ).
(Ⅱ)
.
32.【解析】(1),
;
(2)
.
33.【解析】(1)因为是奇函数,而为偶函数,所以为奇函数,又得
所以,由,得,即
(2)由(1)得:因为,得又,所以因此
34.【解析】(1)
(2)
所以,
因此
35.【解析】:(1)
所以,最小正周期
当(),即()时,
(2)因为,所以
因为,所以
所以,即
36.【解析】(1).
(2)
一、沉重的反思
长期以来,高三传统复习模式往往是大量的试题训练,反观复习效果,其实不佳。究其原因:
1.注重考点复习而轻视回归教材
进入高三,不少语文教师一味埋头于考点复习之中,置教材文本而不顾。殊不知高中语文教材,不论是必修文本,还是选修文本,它们都承载了新课程标准所要求的基础知识、基本技能、基本学科思想和基本活动经验;而全国新课标卷,则正体现了新课程标准的“四基”要求。高三一轮语文复习应两手抓,既抓考点复习,又抓教材复习。研读考纲,把握考试的内容与结构,回归教材,落实课程标准的“四基”。
2.注重教师讲析而轻视学生主体活动
高三语文课堂,学生依然是学习实践活动的主体。纵观我们不少的语文课堂,教师仍津津乐道于讲析,甚至一讲到底,全然忽视学生的思维过程与活动。记得美国著名的人本主义心理学家说过:“能够影响一个人行为的知识,只能是他自已的发现并转化为已有的知识”。高三语文复习课堂,应该构建共生课堂,教师应指导学生学会知识点的归纳与整理,培养学生独立阅读的能力,引导学生开展合作探究学习,让学生在“互生”的学习体验活动中认知、发现、感悟,进而获得成功的愉悦感。
3.注重语言运用与阅读训练而轻视作文的有序训练
全国语文新课标卷命题,特别注重考查学生的阅读能力和表达应用能力,而表达能力的考查占71分(分别为第16、17、18题)。语文重基础,提高靠作文。因此,一轮复习中在夯实学生语文基础的同时,一定要注重提升学生的表达能力,而作文的复习与训练尤为重要。作文的复习不可随意打乱仗,应合理安排,有序进行。一轮复习与训练的重点可设置审题与立意、文体与结构、语言出采与素材积累,最好每周安排一节作文课。设计好作文复习与训练的作文学案,结合近三年高考作文题型加以导练,用高考考场满分卷加以示例,让学生有具体真切感受。学生有借鉴,有模仿,有启迪,使学生树立“作文不可怕、作文我能行”的信心。
4.注重考题训练而轻视对考题的研究
高三一轮复习中,不少教师往往不加选择让学生进行大量的试题训练,而试题的陈旧、重复,甚至与高考考题相差甚远,他们视而不见,不“运用脑髓,自已来拿”,让学生“囫囵吞枣”,其结果,复习效果与考试成绩也就不尽如人意了。
有责任、有经验的高明教师,进入高三复习时,他们往往对当年高考各套语文试题(2016年共八套,全国卷三套,其他自主命题的省市五套)详加研究,寻找高考命题的特点、趋势,剖析高考考题考查的内容、能力及题型特点,让自已的引导与复习能真正“瞄准高考”。
高三语文教师,进入复习阶段,应该加强对近三年高考试题的研究,同时还要研究《考试说明》中的“题型示例”。如高考常考点“成语使用”,2016年全国卷(I)命题题型略有变化(变式),变为多则成语分组考查,增加了难度。再如常考考点“语言连贯”:就单选题而言,全国新课标卷主要有两种题型,一种是“衔接式排序题”(2015年以前),难度教大,一种是“语句复位题”(2015年),难度降低;就填空题而言,全国新课标卷主要题型是补写语句,补写三句话,每句12至15字不等,连续五年考耍几乎是一道必考的“大餐”。教师多研究高考真题,复习时成竹在胸,学生的训练就不会出现盲目性、随意性。精选准练,复习效果就会事半功倍。
二、复习策略
进入高三复习备考,切不可天马行空,毫无章法,更不可一味依赖单一的“复习资料”,思想懒惰僵化。高三复习备考应该是动态的、立体的,因时而变,因事而化,要不断创新复习方法。
1.制定详实计划
进入高三复习备考,可谓千头万绪,似乎一切都是从“零”开始。那么多的语文知识,那多的考点要求,加上十几本高中教材,如何展开复习呢?这时一定要忙而不乱,繁而有序,制定好合理详实的复习计划。
首先是教材复习计划。教材文本如何复习,复习哪些内容,重点是什么,采用何种复习方法,如何落实好教材的能力要求和语文素养要求等等,缜密思考,统筹落实。
其次是《考纲》的考点复习计划。制定考点复习计划要特别关注哪些是全国新课标卷考查的重点考点,哪些是高考中的高频考点。计划既要全面覆盖,又要突出重点考点、高频考点,切不可平均用力。
其三是学生自习复习计划。不少高三学生并没有形成良好的语文学习习惯,也缺乏语文学习的自觉性与主动性。学生的自习,特别是早自习,教师一定要让学生自我复习有序进行。教师要帮助学生制定好早自习复习计划,正告学生:或教材复习,或语文知识复习,或考点知识复习,或朗读、背诵文段。学生每天有具体任务,又有章可循,日积月累,自我复习定会收到效果。
总之,复习计划不可单一,要全面,要有层次、阶段性,做到合理、科学、有效。
2.构建知识网络
高中语文知识按考纲要求,大致可概括为语音知识系统、标点知识系统、词句及语段知识系统、修辞知识系统、古代诗歌知识系统、文言文知识系统、现代文体知识系统和写作知识系统等。因此在语文第一轮复习时,教师要指导学生归纳整理各系统的相关知识,同时还要引导学生将所复习的知识点与所属的知识系统横向联系,再将语文的各个大系统知识纵向联系起来。如此纵横交错,不断积累完善,便能形成较完整的知识网络,形成一定的语文素养,从而提升能力,学生答题便能更好地寻找解题的依据。
3.注重利用教材
教材是培养学生能力最典型的例子,抛开教材搞题海战术是本末例置。2016年全国新课标颁布的《考试说明》在“考试内容与要求”中明确规定:“必修课程中语文1至5五个模块的阅读与鉴赏、表达与交流,选修课程中诗歌与散文、小说与戏剧、新闻与传记、语言文字应用、文化论著研读五个系列,组成必考内容和选考内容,对必考内容和选考内容均有难易不同的考查。“因此,教材既是教学之本,也是复习之据,教材复习的重点应该是词语知识及积累,相关语文常识与文体知识,文言文与古代诗歌,规定背诵的段落、篇章,以及优秀篇章的结构思路、表现手法等。此外,也可将课文的内容作为写作素材。如庄子、陶渊明、苏轼、桑地亚哥等中外的人物都能让我们产生对生命价值的看法,以及对生命意义的追求。如果能够灵活运用好课文中的素材,既能充实作文的内容,又可增加作文的文学内涵及文化底蕴。
4.突出能力培养
2016年全国新课标卷的命题特别注重突出能力立意,强化语文素养的考查。高考命题给我们启示是:紧靠一味大量的试题训练是不行的,语文教学也应“不忘初心”,必须回归多读、多写的正途,必须把培养学生语文素养和能力当作核心教学任务。
培养学生独立阅读的能力。比如论述类文章阅读,学生往往不易把握。教师要指导学生怎么读:第一步,全神贯注,快速阅读,第二步细读勾划,划出关键(划观点句、中心句、总起句、总结句;重要概念词、时间词,限制词、指代词等),第三步,理清思路,把握主旨。学生阅读如果能形成良好的阅读习惯,阅读能力会提逐渐提升,也为学生答题提供了寻找解题的依据。
培养学生筛选整合信息的能力。教师指导学生首先要对语言材料整体把握,然后在信息区间分层探寻勾取,运用同类合并、异类并列的方法进行归纳。信息筛选与整合,这是高考必考的能力要求。教师还要注重培养学生古诗阅读与鉴赏的能力、作文审题立意与快速构思的能力。
5.重视学生积累
积累是培养学生语文素养的重要方法。第一轮复习中学生的积累尤为重要,有了平时的“厚积”,才有高考的“薄发”。
教师要指导学生积累丰富的语言材料,尤其是成语。2016年全国新课标卷以组考查成语,扩大了考查的范围,这就要求考生必须掌握丰富的成语语料。教师可指导学生课外搜集成语,分类整理,积累成册,并能有意识地在作文中运用,增加作文语言的文采和意蕴。
指导学生积累相关文言知识。文言知识包括文言虚词、实词、文言句式、中国古代文化常识等,让学生分类整理。
指导学生积累古代诗歌知识。古代诗歌知识包括诗歌文体、题材特点、风格流派、艺术手法、语言风格等,让学生分类整理。