高中数学求最小值的方法

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高中数学求最小值的方法范文第1篇

关键词：数学思维、数学思维障碍

【中图分类号】G633.8

在高中数学教学过程中，我们经常听到学生反映，上课听老师讲课听得很“明白”，但到自己解题时，无从入手。究其原因，是学生的数学思维存在着障碍。这种思维障碍，有的是来自于我们教学中的疏漏，而更多的则来自于学生中存在的非科学的知识结构和思维模式。因此，探究高中学生数学思维障碍的表现，寻求高中学生思维障碍的化解办法，对于增强学生学习效果具有十分重要的意义。

一、高中数学思维障碍的具体表现

根据布鲁纳的认识发展理论，由于不同学生对所学知识认知水平的高低、理解能力的深浅，他们的思维习惯、方法都有所区别，所以，高中数学思维障碍的表现也各异，主要有如下表现：

1、数学思维的肤浅性：由于学生在学习数学的过程中，对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻的去理解，一般的学生仅仅停留在表象的概括水平上，无法把握事物的本质。由此而产生的后果：（1）数学思维的片面，缺乏沿着多方面去探索解决问题的途径和方法。例如在课堂上要求学生证明： | |≤1，| |≤1，则 。让学生思考片刻后提问，有相当一部分的同学是通过三角代换来证明的（设 ），理由是| |≤1，| |≤1。这恰好反映了学生在思维上的肤浅，把两个毫不相干的量 建立了具体的联系。（2）缺乏足够的抽象思维能力，不善于转化为已知的数学模型或过程去分析解决。在复习圆锥曲线时，有个例子：已知实数x、y满足 ，则点P（x ， y）所对应的轨迹为（ ）（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线。学生一着手就简化方程，化简了半天还看不出结果，而不是去仔细观察此式的结构 进而可以发现点P到点（1，3）的距离等于它到直线x+y+1=0的距离，从而找出其轨迹为抛物线。

2、数学思维的差异性：由于不同学生对于同一数学问题的认识、感受不尽相同，因而导致学生对数学知识理解的差异。这样，学生在解决数学问题时，一方面不大注意挖掘所研究问题中的隐含条件，影响问题的解决。如非负实数x，y满足x+2y=1，求 的最大、最小值。在解决这个问题时，如对x、y的取值范围没有足够的认识（ ），那么就容易产生错误。另一方面学生不知道用所学的数学概念、方法为依据进行分析推理，从而造成障碍。如函数y= f （x）满足f（a+x）=f（a-x）对任意实数x都成立，证明函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称。对于这个问题，一些基础好的同学都不大会做（主要反映写不清楚），这时应该引导学生看书，待看完反函数与原函数的图像对称性之后，学生也就能较顺利的解决这一问题了。

3、数学思维定势的负迁移：高中学生不能根据新的问题的特点做出灵活的反应，形成思维定势的负迁移。如：若函数 图像都在X轴上方，求实数 的取值范围。学生因思维定势的影响，往往错解为 ，得出 ，而忽略了 的情况。又如刚学立体几何时，一提到两直线垂直，学生马上意识到这两直线必相交，这就是思维定势的负迁移造成错误的认识。

由此可见，学生数学思维障碍的形成，阻碍了学生解决数学问题能力的提高。所以，在平时的数学教学中如何帮助学生化解数学思维障碍就显得尤为重要。

二、高中学生数学思维障碍的化解

1、由表及里，激活思维

在数学问题的解决过程中，应引导学生由浅入深，让学生通过表象看深层，从而提高数学解题能力。

例：对于二次函数中最大、最小值尤其是含参数的二次函数的最大、最小值的求法学生普遍感到比较困难，为此做了如下题型设计：

（1）求函数y=x2-2x+2，x∈R的最小值。

（2）求函数y=x2-2x+2，x∈[0，3]的最大、最小值。

（3）求函数y=x2-2x+2，x∈[2，3] 的最大、最小值。

（4）求函数y=x2-2x+2，x∈[-1，0] 的最大、最小值。

（5）求函数y=x2-2ax+a2+2，x∈[0，3]时的最小值。

（6）求函数y=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值。

上述设计层层递进，学生普遍（包括基础差的学生）情绪亢奋，思维始终保持活跃。每做完一题，适时指出解决这类问题的思维方法，解题要点，使学生能通过现象看本质，这就大大地调动了学生学习的积极性，提高了课堂效率。

2、拓宽思路，缩小差异

重视数学思想方法的教学，指导学生进行解题方法归纳，才能使学生具有触类旁通，举一反三的能力。数学教学中，在强调基础知识的准确性、规范性、熟练程度的同时，我们应该加强数学思想方法归纳，不满足于用常规方法取得正确答案，要鼓励学生从不同角度，如变换思维角度进行探索，力图用最好的方法解决问题。如：设x2+y2=25，求u= 的取值范围。若采用常规的解题思路，μ的取值范围不大容易求，但适当对u进行变形： 转而构造几何图形容易求得u∈[6，6 ]，这里对u的适当变形实际上是数学的转换思路在起作用。因此，只有加强数学思想方法的教学，才能使学生面对数学问题从容作答，尽可能避免差异。

3、暴露观点，消除定势

诱导学生暴露其原有的思维框架，消除思维定势的消极作用。通过暴露学生原有的思维框架，发现其思维缺陷或障碍，对于突破学生的数学思维障碍会起到极其重要的作用。

例如：学生在判断函数的奇偶性时常忽视定义域问题，为此我们可设计如下问题：判断函数 在区间[2 -6，2a]上的奇偶性。不少学生由f（-x）=-f（x）立即得到f（x）为奇函数。教师设问：

①y=x2，x∈[-1，2]一定是偶函数吗？②区间[2 -6，2a]有什么意义？通过对这两个问题的思考学生意识到函数 只有在a=2或a=1即定义域关于原点对称时才是奇函数。

随着教改的深入发展，应赋予新课教学以新的方法和内容，以输入鲜活的“血液”。实践证明，在高中数学教学中，坚持以学生为主体，通过化解学生思维障碍，不仅使学生深刻理解和掌握知识，提高思维能力，还使学生学会学习、学会发现，培养学生善于合作、善于交流的良好品质，从而有效地发展学生的数学能力，把提高高中生的整体素质落实到实处。

参考文献：

1、《实用中学数学解题思路策略与方法技巧大典》（1999年8月版）

2、《中学成功教学法体系》（2000年9月版）

高中数学求最小值的方法范文第2篇

【摘 要】随着教学改革的不断深化，对高中数学教学提出了更高的要求。尤其针对现阶段数学课程难度的不断增加，使学生在解决数学问题过程中面临许多困难。因此在长期教学实践中引入构造法，在数学解题过程中得到有效的应用。本文主要对构造法的基本概述、高中数学解题中应用构造法的意义以及构造法的实际应用进行探析。

关键词 构造法；高中数学；解题思路

前言

在新课程改革背景下，高中数学教学过程中应注重帮助学生从数学学习中发现其中的数学思维与方式。因此对高中数学解题思路中构造法的应用研究具有十分重要的意义。

一、构造法的基本概述

（一）构造法的概念界定

关于构造法的概念界定，以往许多数学家与学者对其理解为以固定方式通过一定的步骤便可获取结果的方式。换言之，高中数学解题过程中学生的思考方式多以正向思维为主，在给定的条件下进行问题的解决。但这种正向思维的方式并不适用于所有问题的解决，所以通过思考角度或思维方向的转换，使问题中的障碍得以跨过，这种方式便为解题中应用的构造法。相比一般逻辑方法，构造法作为非常规思维，要求学生具备基本的知识结构基础并具有敏锐的洞察力。

（二）高中数学解题中构造法应用的意义

构造法应用过程中通常会将原有题型作为基础，通过假设相应的结论或条件使数学中的理论知识、方程公式等能够形成与问题相对应的数学模型。因此这种能够用“已知”代替“未知”的化归手段为数学解题过程带来新的路径。

二、高中数学解题中构造法的实际应用策略

（一）从方程构造角度

作为高中数学中较为重要的内容，方程式学习过程中多与函数知识保持一定的关系。由此可引入常用的构造方法，即方程构造。具体应用过程中主要根据问题中体现的结构特征与数量关系，构建等量性方程式，以此实现对方程式等量的关系以及未知量间存在的关系。而且通过恒等式的变形，可将问题中的内容由抽象化向特殊化、实质化过度，促进学生解题质量以及解题速度的提高，对学生的思维与观察能力进行培养。以具体习题为例，设a>b>c且a+b+c=1,a2+b2+c2=1，求a+b的范围。

解：由a+b+c=1得a+b=1-c (1)

将(1)的两边平方并将a2+b2+c2=1代入得ab=c2-c (2)

由(1)(2)可知，a,b是方程x2+(c-1)x+(c2-c)=0的两个不等的实根

于是=(c-1)2-4(c2-c)=-3c2+2c+1>0

（二）从函数构造的角度

高中数学题中的函数属于较为基本的知识内容，不仅与方程存在较为密切的关系，而且在许多集合类型或代数类型等习题出中可发现函数思想。因此利用函数构造的方式能够利用简单函数问题代替复杂的数学难题，而且在转化的过程中也可培养学生的创造性思维。以2011年南京数学学校“紫金杯”数学竞赛以题为例：已知f(x)=x2+(a2+b2-1)x+a2+2ab-b2是偶函数，则函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值是___。

分析：由已知f(x)是偶函数可知，a2+b2-1=0，故可联想到三角函数关系式并构造a=cosθ,b=sinθ，函数图象与y轴交点的纵坐标为a2+2ab-b2，则

所以L的方程为y＝x－1。

(2)令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)＞0(?坌x＞0，x≠1)。

所以除切点之外，曲线C在直线L的下方。

（三）图形构造的角度

除方程构造与函数构造的方法外，高中数学解题中常用到图形构造的方式。

其几何意义是平面内动点P（x，0）到两定点

M（2，3）和N（5，-1）的距离之和（如图1）。

为求其值域只要求其最值即可，

易知当M，N，P三点共线（即P在线段MN上）时，

f(x)取得最小值，，故得函数的最小值为5。

三、结论

数学作为高中学科的重要组成部分，学生在面对其中大量的数学题组很容产生厌学感。对此教师应注重构造法的引用，通过构造法中的向量构造、图形构造、方程构造以及函数构造等方式使学生解题更加容易，也因此促进学生思维能力与创新能力的提高。

参考文献

[1]赵杰.高中数学解题中“构造法”的应用探讨[J].华夏教师.2014.12:28

[2]吉海波.构造法在高中数学解题中的应用[J].数理化学习(高中版).2014.06:13-14

[3]苏京亚.浅析“构造法”在高中数学解题中的运用[J]. 中学数学.2014.11:62-63

[4]王秀奎,李昆.构造解析几何模型求函数值域[J].语数外.2006.37-38

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高中数学求最小值的方法范文第3篇

一、函数思想的应用

一般而言，函数思想，主要是借助于运动和变化的基本观点，并对立体几何中的数量关系进行分析，进而借助于函数思想对函数关系进行建立和构造，并将抽象的复杂问题转化为一种函数问题，最终实现问题的解答.这种函数思想主要是借助于函数的基本概念，并对学生的解题进行指导，进而做好对几何问题的全面分析，对于学生逻辑思维能力的提升有着一定的积极作用.

函数思想对立体几何问题进行解析的过程中，更加注重函数关系的构造，实现化难为易的目的，并借助于函数的性质和证明不等式等，做好立体几何问题的解答.如高中数学中这一例题而言：如图1所示，PA和圆O所在的平面垂直，同时圆O的直径是AB，C是圆周上的一点，若∠BAC=α，同时PA=PB=2r，求异面直线PB和AC之间的距离.

在求解的过程中，首先就要对直线AC和PB之间距离进行分析，尽可能的将直线PB上任何一点到直线AC之间距离的最小值求出，并对变量进行设定对目标函数进行建立，进而将目标函数的最小值求出.首先就要在PB上将任意一点M取出，并保证MD和AC垂直于D，同时MH和AB垂直于H.假设MH=x，同时MH和平面ABC垂直，同时AC和HD垂直.

MD值最小的时候，只有x=2rsin2α/（1+sin2α），可求得两异面直线的距离.该题型在解答的过程中，主要是将两条异面直线的距离向异面直线上两点之间的距离进行转换，进而对其最小值进行求解.这种解析方法主要是对函数的性质加以利用，进而对立体几何做的一种解答.

二、空间几何思想的应用

高中数学立体几何问题解答的过程中，更要对立体几何的相关知识结构进行详细的分析，并对线和面之间的知识以及面与面平行的相关知识进行全面的分析，尽可能将其向向量之间的平行和向量共面之间的问题进行转换，进而实现一种化难为易的解答.

对于空间几何图形的垂直关系而言，不仅仅有线与线之间的垂直，同时也存在面与面的垂直和线与面的垂直.这种向量之间的转化，主要如下所示：lπs∥ms=km，k∈R，同时s和π内的两个相交向量相互垂直，也即是一种线面垂直.

线线垂直主要表现为lmlnsmsnsm・sn=0.

面面垂直主要表现为π1π2m1m2m1・m2=0.

三、距离、夹角的利用

在高中数学立体几何问题求解的过程中，就要借助于距离和夹角的一些条件，进而运用向量的运算，做好高中数学立体几何问题的求解.

假设两条直线lm和ln的方向向量sm和sn的夹角是两条直线之间的夹角，在对cosθ=|cos（s1，s2）|=s1・s2|s1||s2|进行确定.

首先就要假设直线l和平面上π上的投影夹角用θ表示，而θ=|π2-0〈s，n〉|，也即是sinθ=|cos〈s，n〉|=|s・n||s||n|.

同时设两平面的夹角为θ，而平面π1和平面π2内部的法向量为n1和n2，如果0≤〈n1，n2〉≤π2，两个平面之间的夹角为π-〈n1，n2〉；当π2〈n1，n2〉

总而言之，高中数学求解立体几何距离和夹角问题利用解析的过程中，主要是借助于平面外一点到平面的距离的合理计算，并对异面直线间的距离进行计算，进而获得的一种新的求解.在对高中数学立体几何中动态问题进行解析的过程中，主要是借助于几何的思想进行解决，一旦遇到立体几何问题的同时，就要本着动态的眼光，进而对空间几何思想加以借助，进而使得立体几何中相对复杂的问题逐渐的简单化.

四、化曲为直思想的应用

化曲为直的思想主要是指寻找一些直线段，进而找寻解题思路，这种思想是求线段最短的主要方法.如图2所示，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1，点E在线段AA1上，同时线段A1E长1，F点是一个截面A1BD上的一个可以移动的点，问线段AF与FE和的最小值是多少.

高中数学求最小值的方法范文第4篇

关键词：高中数学；总结归纳；举例

进入高中以后，我发现很多身边的同学不能适应数学学习，进而影响到学习的积极性，以致成绩一落千丈。出现这样的情况，原因很多。我认为造成这样的原因注意是学习方法不等当。高中数学学习的方法有很多，我认为学习数学养成归纳、总结的习惯是很必要的。归纳总结知识的方法，即可以加深对知识的记忆、理解，使知识系统化、程序化。有助于数学思想方法的形成，从而为学好数学奠定了基础。那么如何进行归纳总结呢？

一、每节课的小结

老师讲的每一节课一般都围绕1-2个中心问题，要根据不同的内容做出恰当的总结。比如要注意挖掘概念的内涵和外延，对于公式要注意成立的条件及使用的范围，这是说明性的小结；对典型例题总结出一般性的规律和方法。

二、单元的小结

通常概念、公式的学习是局部的、分散的，因而在头脑中呈零乱无序的状态，难以形成有规律的清晰的认知结构。因此，当每一单元结束时，若能将这些知识，方法以一个新的角度串联起来，就可以形成一个完整的认识结构。

三、知识间的总结

随着学习的不断深入，总结的层次应再提高一步。既要注意知识纵向，横向各个层面的联系，又要重视其程序化的科学组织，使大及中形成系统性的知识网络。 通过课堂小结、单元小结、知识整体的串联，一定会在我们的头脑中形成数学知识的立体的网络，那一道道的习题不过是我们网中的一条条小鱼。数学还有什么可怕的呢？

下面我就线性规划做一总结举例：

线性规划主要考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值（或取值范围）；考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围等等；其主要题型有以下五种类型。

类型一：求二元一次代数式最值（取值范围）

例1：设x，y满足约束条件，求z=x-2y的取值范围

解：作出不等式组的可行域，作直线x-2y=0，并向左上，右下平移，当直线过点A时，z=x-2y取最大值；当直线过点B时，z=x-2y取最小值.由得B（1，2），由得A（3，0）.zmax=3-2×0=3，zmin=1-2×2=-3，z∈[-3，3].

方法点评：作出可行域，求出交点坐标，代入目标函数，求出最值。

类型二：求二元一次分式最值，二元二次代数式最值

例2：变量x、y满足

（1）设z=，求z的最小值；（2）设z=x2+y2，求z的取值范围；

解由约束条件，作出（x，y）的可行域如图所示.由，解得A.由得C（1，1）.由，得B（5，2）

（1）z==. z的值即是可行域 中的点与原点O连线的斜率.

（2）z=x2+y2是可行域上的点到（0，0）的距离的平方.可行域上的点到原点的距离中，

dmin=|OC|=2，dmax=|OB|=29.2≤z≤2

方法点评：常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：①表示点（x，y）与原点（0，0）的距离，表示点（x，y）与点（a，b）的距离；②表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率.

类型三：知目标函数最值，求参数值

例3：已知a>0，x，y满足若z=2x+y的最小值为1，则a=________.

解：作出不等式组表示的可行域，易知直线z=2x+y过交点A时，z取最小值，由得zmin=2-2a=1，解得a=.

方法点评：知目标函数最值，求参数值，转化为找出最值点坐标，代入目标函数。

类型四：最优解有多个（不唯一）求参数值

例4：x，y满足：，若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）A.或-1 B.2或 C.2或1 D.2或-1

解：由y=ax+z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，

（1）当a>0时，要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则a=2；

高中数学求最小值的方法范文第5篇

关键词：导数与函数；交汇；命题

中图分类号：G632.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）01-0166-02

数学是一门具有独特魅力的学科。在高中数学里我们会学到很多有趣的数学符号以及复杂的函数，当然还有很多复杂的数学问题。高中数学主干知识包括函数与导数、数列、三角函数、证体几何、解析几何、概率与统计，这些主干知识足以支撑高中数学知识体系的主要内容，构成了高考数学试卷的主体。在函数与导数这一重点模块当中便有许多值得探究的问题，为了认清这一模块，我们将从导数与函数的思想概念、地位以及它们在数学中的应用着手，仔细分析导数与函数间的关系，为此我们作了研究并从例子中分析导数与函数的融会以及它们的作用。本文主要分成两部分，第一部分在参考了文献的基础上对导数与函数的概念及其关系做出了解答，并且详细地阐释了导数的思想及其在高中数学中的工具性地位。第二部分是论文的重点部分，在对导数与函数的运用中，通过导数解决单调性问题，通过导数求最值、证明不等式等展开对导数应用方面的诠释，包括了通过历年的高考例题来解析导数与函数在高考中的重大作用。

一、理解导数，掌握导数的思想和概念

1.高中数学中的导数概念。导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它是由平均变化率到瞬时变化率引出和定义的，导数的几何意义是曲线的割线逼近曲线的切线，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。导数可以说是新课程改革与旧课程的一个区分点，也是新教材的一个亮点。因为导数的应用非常广泛，它是连接高中数学与大学数学的纽带，用它可以解决许多数学问题。目前，随着新课程改革的不断推进，对导数知识考查的能力要求也逐渐提高，而且对导数的考查已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析问题和解决问题时的有力工具。

2.高中数学中导数的思想及工具性地位。函数与导数是高中数学的核心内容，在导数应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维、简化解题过程的目的。而导数已由解决问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性、极值、最值以及切线问题。

二、函数解题需要导数

1.函数中运用导数的思想。函数中运用导数的思想主要有四种：等阶转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想和数形结合思想。等阶转化就是“把要解的题转化为已经解过的题”就是把未知解的题转化到在已有知识范围内可解问题的一种重要思想方法。等阶转化在导数及其应用中主要用来解决有关恒成立、函数的单调性等问题。函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题、解决问题。方程问题是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程或不等式），然后通过解方程或不等式来使问题获解。而函数与方程的思想在导数及其应用中主要用来解决生活中的优化问题以及构造函数证明不等式问题。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。它在导数及其应用中主要用来求解单调区间、参数问题、极值、最值及恒成立问题等。数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来。数形结合思想在导数及其应用中主要用来解决方程根的问题。因为函数是贯穿中学数学的一条主线，是数学高考考查的重点。而函数是中学数学研究导数的一个重要载体。通常遇到复杂函数的时候难以利用普通的手段进行求解，所以采用对函数求导的方式可以克服此类问题，从而达到从繁化简的效果。

2.函数中导数的应用。高中数学中导数有很大的作用，主要表现在三个方面。①导数解决单调性问题，当函数表达形式比较复杂，并且用初等函数不能求解的时候，可以考虑使用导数求解的方法，通常可以求出函数的导数，然后再求解导数的不等式。函数f（x）=-（a+1）ln（x+1）其中a≥-f'（x）=ax-1/x+1，a≥-1，可以求f（x）的单调区间。函数f（x）的定义域是（-1，+∞）且函数的导数是f'（x）=ax-1/x+1.可以分成两个分进行求解，一部分是-1≤a≤0时，f（x）0时，f（x）=0，则无论是导数还是函数，都会随着x的变化而变化。根据x的取值变化可以化一个表来看函数和导数的变化范围和区间，由此可见，当a在（-1，+∞）区间变化时，函数是单调递减的，余下的部分是单调递增。导数在解题时出现最多的就是分类讨论的问题，解决此类问题，需要找到分类点和画表，根据表格x值得走向来判断函数是递增还是递减。②导数求解函数的最值问题，函数最值的问题也是常考的题型之一，对于闭区间的可导函数求其最值可以先求极值，根据极值与函数进行比较，确定最大值与最小值。函数f（x）=-x3+9x+a，闭区间[-2，2]，最大值为20，给出函数式子求最值。这种问题一般都会有两个问题：第一个问题，会对函数的单调增减区间进行探讨，然后给定一个闭区间求最值，最值包括最大值和最小值。第二个问题，闭区间会给你固定值，并且还会有最大的取值，从计算的过程中看，可以将闭区间两端的值代入导函数中，求出一个公式，f（x）=-24+a，f（x）=10+a，然后，根据第一问讨论的单调递增与递减区间的确定，确定其大小值，求解a的值。③导数证明不等式问题，导数证明不等式的问题，最关键的步骤要构造函数，利用导数判断单调性，来证明不等式。利用函数的单调性证明不等式，最关键需要构造一个函数，利用相应区间上证明不等式的知识来判断其单调性。根据以上的分析，可以解决数学的问题，并且也是有效的手段之一，思路很清晰，过程比较简单，能够加强导数的教学任务，可以提供一个清晰的思想，一个新的解题方法。

三、从高考命题来解析导数

1.导数在高考上的运用趋势。近几年来利用导数与函数、数列、三角函数、向量、不等式、解析几何等其他知识的交汇进行命题考查学生应用数学知识解决综合问题的能力已成为高考的一大亮点。因此，在命题上导数充分突显出其“工具性”的作用，在处理各类交汇性问题上，在处理曲线的切线、函数的最值（极值）及单调性、参数的范围、实际生活中的优化等问题方面，导数发挥着重大作用，所以导数是高考解答题命题的热点内容。例1：（重庆·理·16）f（x）=a ln x+1/（2x）+3/2 x+1，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴.（1）求a的值；（2）求函数f（x）的极值。解：（1）对f（x）求导，故f'（x）=a/x-1/（2x2）+3/2；由于曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，所以该切线的斜率为0，即f'（1）=0，所以a-1/2+3/2=0，解得a=-1。（2）由（1）知f（x）=ln x+1/（2x）+3/2 x+1，（x>0），则f'（x）=1/x-1/（2x2）+3/2=（3x2-2x-

1）/（2x2）=（3x+1）（x-1）/（2x2），x>0，令f'（x）=0，得x1=1，（x2=-1/3，不在定义域，舍去），当x∈（0，1）时，f'（x）

2.运用导数的解题技巧。①求导后导数的几个固定形式：a.含分母的导数形式f（x）=（mx2+nx+p）/x，此类导数由含lnx的函数求导得到，所以定义域为（0，+∞），此时导数的正负与分母无关，只要研究g（x）=mx2+nx+p，分m=0及m≠0时Δ与0的关系即可；b.含ex的导数形式，此类导数的正负与ex无关；c.含三角函数的导数形式，利用三角函数的有界性。②二次求导的使用：当遇到含ex的复杂形式函数时可以采用二次求导的方法，例如设函数f（x）=ex-1-x-ax2。若当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围。一阶求导f'（x）=ex-1-2ax，二阶求导f''（x）=ex-2a，由于x≥0，所以ex≥1，即2a与1的大小与二阶导数与0的关系，而二阶导数与0的关系决定一阶导数的单调性，若一阶导数单调则必有f'（x）≥f'（0）=0成立，从而获得原函数的单调性。③恒成立的应用：恒成立是导数问题中永恒的话题，归结为一句话就是恒成立即为求最大值与最小值问题，所以是导数应用的一个最重要的体现。在导数问题中，几乎所有的最后一问都要涉及到这类恒成立问题。

四、结论

1.重视导数方面的学习，弄清导数的概念。

2.有必要强调导数的工具作用。

3.进一步加深对函数的理解和直观认识。总之，导数引入中学数学教材后，使传统中学教学内容注入了新的生机与活力，如何更好地利用导数这一工具来重新认识原中学课程中的有关问题并为解题提供新的途径和方法已经成为当今中学数学教学要面对的崭新课题。

随着时代的发展，特别是适应课程改革和考试改革的需要，数学教学应“与时俱进”，重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵导数作为新增内容，在研究函数的性质中发挥了重要的作用。函数是高中数学的主线，因此导数与高中数学的融会关系将会更近一步。高中数学是高中课堂极为重要的一门功课，在高考中占据很大的分量。导数作为高中数学的重要知识，不仅蕴含着丰富的数学思想，也是一种简捷而有效的解题工具，对于解决数学问题有极大的帮助，因此本文希望通过导数与函数间解题研究能够帮助广大同学更好地学数学。

参考文献：

[1]王锦.导数在中学数学中的应用[J].学科建设，2012，（8）.